Формулалар жиынтығы

1

Дәреженің қасиеттері:
1°. ?? ∙ ?? = ??+?
2°. ?? : ?? = ??−?
1
3°. ?−? = ?
?
1

?

4°. ?? = √?
5°. ?0 = 1
6°. (?? )? = ???
Қысқаша көбейту формулалары:
1. a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
3. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
5. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
6. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 немесе a3 + b3 + 3ab(a + b)
7. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 немесе a3 – b3 – 3ab(a – b)
Квадрат теңдеу:
a2x + bx + c = 0
? = ?2 − 4??
D >0
−? − √?2 − 4??
?1 =
2?
−? + √?2 − 4??
?2 =
2?
D=0
−?
? =
2?
D < 0 шешімі жоқ
a(x – x1)(x – x2)
Периодты бөлшек:
Мұндағы 9 саны жақшаның ішіндегі санға байланысты қойылады. Мысалы жақшаның ішінде
екі сан болса екі 9 саны жазылады. 0 саны үтір мен жақшаның арасындағы санға байланысты
қойылады. Мысалы: жақша мен үтірдің ортасында екі сан болса екі 0 саны жазылады. Егер сан жоқ
болса жазылмайды.
?, ??(??) =

????? − ???
9900

2
ПРОГРЕССИЯ:
Арифметикалық прогрессия:
a1 – арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі;
d – арифметикалық прогрессияның айырмасы;
аn – арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесі;
Sn – алғашқы n мүшелерінің қосындысы;
?1 , ?2 , … , ??
? = ?2 − ?1 = ?? − ??−1
?? = ?1 + (? − 1) ∙ ?
2?1 + (? − 1) ∙ ?
?? =
∙?
2
?? + ?? = ?? + ?? ? + ? = ? + ?

b1 – геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі;
q – геометриялық прогрессияның еселігі;
bn – геометриялық прогрессияның n-ші мүшесі;
Sn – алғашқы n мүшелерінің қосындысы;
S – шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысы;
?1 , ?2, … , ??
?2
??
?=
=
?1 ??−1
?? = ?1 ∙ ? ?−1
?1 ∙ (? ? − 1)
?? =
?>1
?−1
?)
(1
?1 ∙ − ?
?? =
?<1
1−?
?1
?=
1−?

Геометриялық прогрессия:
ТРИГОНОМЕТРИЯ
??? 2 ? + ??? 2 ? = 1
??? ∙ ???? = 1
????
??? =
????
????
???? =
????
1
1 + ?g2 ? =
??? 2?
1
1 + ??g 2 ? =
??? 2 ?
Тригонометриялық функциялардың әр ширектегі таңбасы
І ширек
ІІ ширек
+
+
sinx
+
cosx
+
tgx
+
ctgx

0°
Функция

0

30°
?
6
1
2

45°
?
4

60°
?
3

√2
2

ІІІ ширек
+
+

90°
?
2

180°

ІV ширек
+
-

360°

?

270°
3?
2

1

0

-1

0

0

-1

0

1

2?

sinx

0

cosx

1

√3
2

√2
2

√3
2
1
2

tgx

0

√3
3

1

√3

-

0

-

0

ctgx

-

√3

1

√3
3

0

-

0

-

3

Келтіру формулалары
Бұрыштары
Функция

-?
-?

sinx
cosx
tgx
ctgx

- sinx
cosx
- tgx
- ctgx

90° + ?
?
+?
?

90° - ?
?
−?
?

180°+?

180°- ?

?+?

cosx
- sinx
- ctgx
- tgx

cosx
sinx
ctgx
tgx

- sinx
- cos
tgx
ctgx

270°-?
??
−?
?

360°+?

360°-?

?−?

270°+?
??
+?
?

?? + ?

?? − ?

sinx
- cos
- tgx
- ctgx

- cos
sinx
- ctgx
- tgx

- cos
- sinx
ctgx
tgx

sinx
cosx
tgx
ctgx

- sinx
cosx
- tgx
- ctgx

Қосу формулалары:
??? (? + ? ) = ???????? + ????????
??? (? − ? ) = ???????? − ????????
???(? + ? ) = ???????? − ????????
???(? − ? ) = ???????? + ????????
?gα + ?gβ
??gα + c?gβ
?g(? + ? ) =
=
1 − ?gα ∙ ?gβ ??g ∙ c?gβ − 1
?gα − ?gβ
??gα − c?gβ
?g(? − ? ) =
=
1 + ?gα ∙ ?gβ ??g ∙ c?gβ + 1
1 − ?gα ∙ ?gβ ??gα ∙ c?gβ − 1
??g(? + ? ) =
=
?gα + ?gβ
??g + c?gβ
1 + ?gα ∙ ?gβ ??gα ∙ c?gβ + 1
??g(? − ? ) =
=
?gα − ?gβ
??g − c?gβ

Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формулалары:
1
???? ∙ ???? = (???(? − ? ) − ???(? + ? ))
2
1
???? ∙ ???? = (???(? − ? ) + ???(? + ? ))
2
1
???? ∙ ???? = (??? (? + ? ) + ??? (? − ? ))
2
?gα + ?gβ
?gα ∙ ?gβ =
??gα + c?gβ
??gα + c?gβ
??gα ∙ c?gβ =
?gα + ?gβ
???4?
???α ∙ cos2α = 2
2 ∙ ????
???8?
???? ∙ ???2? ∙ ???4? =
8????

4

Қос бұрыштың формулалары:
???2? = ??? 2? − ???2 ?
???2? = 2??? 2? − 1 = 1 − 2???2 ?
1 − ?g 2 α
???2? =
1 + ?g 2 α
???2? = 2????????
2?gα
???2? =
1 + ?g 2 α
2?gα
2c?gα
?g2α =
=
1 − ?g 2 α c?g 2 α − 1
1 − ?g 2? ??g 2? − 1
??g2? =
=
2?gα
2??gα
Үш еселенген бұрыштың формуласы:
???3? = 3???? − 4???3 ?
???3? = 4??? 3 ? − 3????
3?gα − ?g 3α
?g3α =
1 − 3?g 2 α
??g 3? − 3??g ?
??g3? =
3??g 2 α − 1

Кейбір қосындылар:
(???? + ???? )2 = 1 + ???2?
(???? − ???? )2 = 1 − ???2?
1 + ??? 22?
4
4
??? ? + ??? ? =
2
2 − ???2 2?
4
4
??? ? + ??? ? =
2
3
+
???4?
??? 4? + ???4 ? =
4
5 3
??? 6? + ???6 ? = + ???4?
8 8
1
3
??? 6? + ???6 ? = + ??? 22?
4 4
15
???6?
??? 6? + ???6 ? =
???2? +
16
16

5

Қосындыны көбейтіндіге түрлендіру формулалары:
?+?
?−?
???? + ???? = 2???
???
2
2
?+?
?−?
???? − ???? = −2???
???
2
2
?+?
?−?
???? + ???? = 2???
???
2
2
?−?
?+?
???? − ???? = 2???
???
2
2
?
???? + ???? = √2??? ( + ?)
4
?
???? + ???? = √2??? (? − )
4
?
???? − ???? = −√2??? (? − )
4
?
???? − ???? = √2??? (? + )
4
?
???? − ???? = √2??? (? − )
4
?
???? − ???? = −√2??? (? + )
4
(
)
??? ? + ?
?gα + ?g? =
???? ∙ ????
??? (? − ? )
?gα − ?g? =
???? ∙ ????
??? (? + ? )
??gα + c?g? =
???? ∙ ????
??? (? − ? )
??gα − c?g? =
???? ∙ ????
???(? − ? )
?gα + c?g? =
???? ∙ ????
???(? + ? )
?gα − c?g? = −
???? ∙ ????
2
?gα + c?g? =
???2?
?gα − c?g? = −2??g2?
Дәрежені төмендету:
???2 ? =

1 − ???2?
2

6

1 + ???2?
2
1
−
???2?
?g 2 ? =
1 + ???2?
1 + ???2?
??g 2 ? =
1 − ???2?
3????
− ???3?
???3 ? =
4
3???? + ???3?
??? 3 ? =
4
1
???4 ? = (???4? − 4???2? + 3)
8
1
??? 4? = (???4? + 4???2? + 3)
8
??? 2? =

Жарты бұрыштың формулалары:
???

?
1 − ????
= ±√
2
2

?
1 + ????
??? = ±√
2
2
?g

?
1 − ????
= ±√
2
1 + ????

Кері тригонометриялық функциялар:
??? (??????? ) = ?
??? (??????? ) = √1 − ? 2
?
??? (????g? ) =
√1 + ? 2
1
??? (?????g? ) =
√1 + ? 2
??? (2??????? ) = 2? √1 − ? 2
??? (2??????? ) = 2? √1 − ? 2
2?
??? (2????g? ) =
1 + ?2
2?
??? (2?????g? ) =
1 + ?2

??g

?
1 + ????
= ±√
2
1 − ????

?
????
=
2 1 + ????
? 1 − ????
?g =
2
????
? 1 + ????
??g =
2
????
?g

???(??????? ) = √1 − ? 2
???(??????? ) = ?
1
???(????g? ) =
√1 + ? 2
?
???(?????g? ) =
√1 + ? 2
???(2??????? ) = 1 − 2? 2
???(2??????? ) = 2? 2 − 1
1 − ?2
???(2????g? ) =
1 + ?2
?2 − 1
???(2?????g? ) =
1 + ?2

7

?g(??????? ) =

?

√1 − ? 2
√1 − ? 2
?g(??????? ) =
?
(
)
?g ????g? = ?
1
?g(?????g? ) =
?
1
?g(?????g? ) =
?
2
? −1
?g(?????g? ) =
2?
2?√1 − ? 2
(
)
?g 2??????? =
1 − 2? 2
2?√1 − ? 2
?g(2??????? ) =
2? 2 − 1
2?
?g(2?????g? ) = 2
? −1
√1 − ? 2
??g(??????? ) =
?

??g(??????? ) =

?

√1 − ? 2
1
??g(????g? ) =
?
(
)
??g ?????g? = ?
1
??g(?????g? ) =
?
2
? −1
??g(?????g? ) =
2?
1 − 2? 2
??g(2??????? ) =
2?√1 − ? 2
2? 2 − 1
??g(2??????? ) =
2?√1 − ? 2
?2 − 1
??g(2?????g? ) =
2?
1 − ?2
??g(2?????g? ) =
2?

Тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдары:
???? = ? − 1 ≤ ? ≤ 1
?
? = (−1) ??????? + ??,
? ∈ ?, −? ≤ ? ≤ ?
???? = −? − 1 ≤ ? ≤ 1
? = (−1)?+1??????? + ??,
? ∈ ?, −? ≤ ? ≤ ?
???? = ? − 1 ≤ ? ≤ 1
−?
?
? = ±??????? + 2??,
? ∈ ?,
≤?≤
2
2
???? = −? − 1 ≤ ? ≤ 1
−?
?
? = ±(? − ??????? ) + 2??,
? ∈ ?,
≤?≤
2
2
?g? = ?,
?∈?
−?
?
? = ????g? + ??, ? ∈ ?,
≤?≤
2
2
?g? = −?,
?∈?

8

−?
?
≤?≤
2
2
??g? = ?,
?∈?
? = ?????g? + ??, ? ∈ ?,
−? ≤ ? ≤ ?
??g? = −?,
?∈?
? = ? − ?????g? + ??, ? ∈ ?,
−? ≤ ? ≤ ?
Тригонометриялық теңдеулердің дербес жағдайлары:
???? = −1
?
?g? = −1
? = − + 2??, ? ∈ ?
?
2
?
=
−
+ ??, ? ∈ ?
???? = 0
4
?g? = 0
? = ??, ? ∈ ?
? = ??, ? ∈ ?
???? = 1
?
?g? = 1
? = + 2??, ? ∈ ?
?
2
? = + ??, ? ∈ ?
4
???? = −1
??g? = −1
? = ? + 2??, ? ∈ ?
3?
???? = 0
?
=
+ ??, ? ∈ ?
?
4
? = + ??, ? ∈ ?
2
??g? = 0
?
???? = 1
? = + ??, ? ∈ ?
2
? = 2??, ? ∈ ?
??g? = 1
?
? = + ??, ? ∈ ?
4
Тригонометрия теңсіздігі:
???? ≥ ?
? ∈ [arcsin ? + 2??; ? − arcsin ? + 2?? ]
???? ≤ ?
? ∈ [−? − arcsin ? + 2??; arcsin ? + 2?? ]
???? ≥ ?
? ∈ [−arccos ? + 2??; arccos ? + 2?? ]
???? ≤ ?
? ∈ [arccos ? + 2??; 2π − arccos ? + 2?? ]
?g? ≥ ?
?
? ∈ [arctg? + ??; + ??)
2
?g? ≤ ?
?
? ∈ (− + ??; arctg? + ??]
2
? = −????g? + ??, ? ∈ ?,

9

??g? ≥ ?
? ∈ (??; arcctg? + ??]
??g? ≤ ?
? ∈ [arctg? + ??; ? + ??)

ТУЫНДЫ:
c’= 0
(cx)’= c
x’ = 1
(? ? )′ = ?? ?−1
1
′
√? =
2√?
′
1
1
( ) =− 2
?
?
′
1
?
( ? ) = − ?+1
?
?
′
′
(? ∙ ? ) = ? ∙ ? + ? ∙ ? ′
? ′ ?′ ? − ?? ′
( ) =
?
?2
(?? )′ = ??′ ∙ ??−1
?′
′
(√?) =
2√?

1 ′
?′
( ) =− 2
?
?
′
1
? ∙ ?′
( 2 ) = − ?+1
?
?
′
(???? ) = ????
(???? )′ = −????
1
?g? =
??? 2 ?
1
??g? = −
???2 ?
(???? )′ = ?′ ????
(????)′ = −?′ ????
?′
′
(?g? ) =
??? 2?
?2
′
(??g? ) = −
???2 ?

10

Күрделі туындылар:
1
? ln ?
1
(ln ? )′ =
?
?′
(log ? ?)′ =
? ln ?
?′
′
(ln ?) =
?
?
′
?
(? ) = ? ln ?
(? ? )′ = ? ?
(? ? )′ = ? ? ∙ ?′
(?? )′ = ?′ ∙ ?? ∙ ln ?
(???2 ? )′ = ???2?
(??? 2? )′ = −???2?
1
(??????? )′ =
√1 − ? 2
1
(??????? )′ = −
√1 − ? 2
1
(????g? )′ =
1 + ?2
1
(?????g? )′ = −
1 + ?2
(log ? ? )′ =

Жанама теңдеуі:
? = ? (?0 ) + ? ′ (?0 )(? − ?0 )
Бұрыштық коэффициент:
?g? = ? ′ (?0 )

11

Интеграл
Анықталмаған интеграл

12

Тригонометриялық функциялардың
интегралы

13

Интегралы от некоторых
трансцендентных функций

14

ЛОГАРИФМ:
log ? 1 = 0
log ? ? = 1
log ? ? + log ? ? = log ? (? ∙ ?)
?
log ? ? − log ? ? = log ? ( )
?
1
log ? ? =
log ? ?
log ? ?
log ? ? =
log ? ?
?log? ? = ?
log ? ?? = ? log ? ?
1
log ?? ? = log ? ?
?
?
log ?? ?? = = log ? ?
?
log? ?
?
= ? log? ?
Логарифм теңдеуі:
??? ? ?(?) = ?
? (? ) = ? ?
??? ? ?(?) = ??? ? ?(?)
? (? ) > 0
{ g(? ) > 0
? (? ) = g(? )

15

Иррационал теңсіздіктерді шешу әдістері:
? (? ) ≥ 0
2?
2n
√?(?) < √g(?) ⇔ {
? (? ) < g(? )
g(? ) ≥ 0
2?
2n
√?(?) > √g(?) ⇔ {
? (? ) > g(? )
2?+1

2n+1

2?+1

2n+1

√?(?) >
√?(?) <

√g(?) ⇔ ? (? ) > g(? )
√g(?) ⇔ ? (? ) < g(? )

2?+1

2?+1

2?+1

2?+1

√?(?) < g(? ) ⇔ ? (? ) < (g(? ))

√?(?) > g(? ) ⇔ ? (? ) > (g(? ))
? (? ) ≥ 0
2?
g(? ) < 0
√?(?) < g(? ) ⇔ {

2?

? (? ) < (g(? ))
? (? ) ≥ 0
{
g(? ) < 0
2?
(
)
√?(?) > g ? ⇔
g(? ) ≥ 0
{
2
[ ? (? ) > (g(? ))
g(? ) > 0
{?
?
√?(? )
√?(?) < ? ∙ g(? )
g(? ) < 0
g(? )
{?
[ √?(?) > ? ∙ g(? )

16

ГЕОМЕТРИЯ
ҮШБҰРЫШ

AB = c, BC = a, AC = b
Ішкі бұрыштарының қосындысы: ? + ? + ? = 180°
Сыртқы бұрыштарының қосындысы: : ? ′ + ? ′ + ? ′ = 360°
Косинустар теоремасы:
?2 = ? 2 + ? 2 − 2?? ∙ ????
?2 = ?2 + ? 2 − 2?? ∙ ????
? 2 = ?2 + ?2 − 2?? ∙ ????
Синустар теоремасы:
?
?
?
=
=
= 2?
???? ???? ????

Тік бұрышты үшбұрыш:
Пифагор теоремасы: ? 2 = ?2 + ?2
?? 2
ℎ=
ℎ = ?? ??
?
?
?? =
2
?? ℎ?
?∆ =
=
2
2
2
Проэкциялары: ? = ?? ?
?2 = ?? ?

17

Дербес жағдайлары:

Тең бүйірлі үшбұрыш:
ℎ? = ?? = ??
AC = BC
AH = HB
?? ∙ ??
?∆ =
2

Тең қабырғалы үшбұрыш:
ℎ=?=?=
?√3
6
?√3
?=
3
2
? √3
?∆ =
4
?=

? √3
2

18

Үшбұрыштың элементтері:

1) Биіктігі: h
ℎ? =

2) Медианасы: m

2?
= ? ∙ ???∠? = ? ∙ ???∠?
?
1 1 1
ℎ? : ℎ? : ℎ? = : :
? ? ?

?? =

?=

1
√2 ∙ (?2 + ? 2) − ?2
2

2
√2(??2 + ??2) − ??2
3

3) Биссектрисасы: l
?? =

??
?
?? (? + ? + ? )(? + ? − ?)
??? = √
?+?
2
?+?

?? = √? ∙ ? − ?? ∙ ??
Биссектрисалардың қиылысу нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі
болады:

1
1
1
1
???
=
+ +
?=
? ℎ? ℎ? ℎ?
4?∆
?∆
?
?
?
?=
=
=
= 2?
?
???? ???? ????
Мұндағы: R, r – іштей және сырттай сызылған шеңбердің радиусы.

19

Кез келген үшбұрыштың ауданы:
?∆ =
?∆ =

?? ∙ ℎ
2

1
1
1
?? ∙ ?? ∙ ???? = ?? ∙ ?? ∙ ???? = ?? ∙ ?? ∙ ????
2
2
2
?∙?∙?
?∆ =
=?∙?
4?
?∆ = √? ∙ (? − ?)(? − ?)(? − ? )

Мұндағы: ? =

?+?+?
2

жарты периметр

ТӨРТБҰРЫШТАР
Тіктөрт бұрыш
? = 2? + 2?
1
? = ? ∙ ? = ? 2????
2

Параллелограм
? + ? = 180°
1
? ∙ ? ????
2 1 2
2?2 + 2?2 = ?12 + ?22

? = ? ∙ ℎ = ?? ∙ ???? =

Трапеция
?? = ??, ?? = ??
?+?
?=
2
?+?
?=
∙ℎ =?∙ℎ
2

Ромб
? = 4?
? = ?∙ℎ
?=

1
?1 ∙ ?2 = ?2 ????
2

20

ДӨҢГЕЛЕК, ШЕҢБЕР

O – шеңбердің центрі
MN – шеңбердің диаметрі
AB – шеңбердің хордасы
d – шеңбер диаметрі

?=

r – шеңбердің радиусы
RK – шеңбердің қиюшысы
TQ – шеңбердің жанамасы

?
2

?=

?=

?+?
2

?=

?−?
2

?−?
2

Хорда: ? = 2? ∙ ???

ab = cd

?
= 2? ∙ ????
2

AC = BC

21

?? 2 = ?? ∙ ??

?? ∙ ?? = ?? ∙ ??

Дөңгелектің ауданы: ? = ?? 2
Шеңбердің ұзындығы: ? = 2??
Доғаның ұзындығы: ? =

???
180°

, ? - центрлік бұрышы

Сектордың ауданы: ?сектор =

?? 2 ?
360°
2

Сегменттің ауданы: ?сегмент = ? (

??

−

????

360°
2
2
2)

)

Сақинаның ауданы: ?сақина = ?(? − ?

ДӨҢЕС КӨПБҰРЫШ
Айталық n– қабырғалар саны
1) Көпбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы: (? − 2) ∙ 180°
2) Диагоналдарының қосындысы:

?(?−3)
2

3) Дұрыс көпбұрыш ауданы:
?∙?∙? 1 2
? ?
2?
?=
= ?? ??g = ? 2 ???
2
4
? 2
?
Мұндағы a– дұрыс көпбұрыштың қабырғалары:
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Призма

22

Призманың бетінің ауданы мен көлемі
Көлбеу призма
Тік призма
Бүйір
?б.б = ?қима ∙ ?
?б.б = ?табан ∙ ?
беті Мұндағы: Рқима - перпендикуляр Мұндағы: Ртабан – табанының
ауданы., H - биіктік
қиманың ауданы. l– бүйір қыры
Толық
?толық = ?б.б + 2?табан
?толық = ?б.б + 2?табан
беті
Көлемі
? = ?қима ∙ ?
? = ?табан ∙ ?
Мұндағы: Sтабан – табанының
Мұндағы: Sқима - перпендикуляр
ауданы., H - биіктік
қиманың ауданы. l– бүйір қыры
Параллелипипед
?12 + ?22 + ?32 = 4?2 + 4?2 + 4? 2

Тік параллелипипед:
- Бүйір қырлары табанына перпендикуляр;
- Бүйір жақтары – төртбұрыштар;
- Табандары – параллелограмм;

Тікбұрышты параллелипипед
- Барлық диагональдары тең;
- ? 2 = ?2 + ? 2 + ? 2
- ?толық = 2(?? + ?? + ?? )
- ? = ???

23

Куб:
Кубтың көлемі ? = ?3 , мұндағы a – қабырғасы.
Толық бетінің ауданы: ? = 6?2
Диагональ: ? = ?√3

ПИРАМИДА:
? – табанындағы екіжақты бұрыш
? – қырының табанына көлбеу бұрышы
? – бүйір қырындағы екі жақты бұрыш
h – биіктік
l – бүйір қыры
m – апофема
r, R – табанына іштей және сырттай сызылған шеңберледің радиустары

Кез келген пирамиданың бетінің ауданы мен көлемі
Толық беті: ?толық = ?б.б + ?табан
1

Көлемі: ? = ?табан ∙ ℎ
3

1

Дұрыс пирамида үшін: ?б.б = ? ∙ ?, ? - апофема.
2

24

Қиық пирамида

Қиық пирамиданың бетінің ауданы мен көлемі
Дұрыс қиық пирамида үшін:
1
?б.б = (?1 + ?2 ) ∙ ?,
2

?1 және ?2 − табандарының периметрі, ? − апофема

Толық беті: ?толық = ?б.б + ?1 + ?2
1

Көлемі: ? = ℎ(?1 + ?2 + √?1?2 )
3

Егер ℎ1 – кіші пирамиданың, ал ℎ2 – үлкен пирамиданың биіктігі болса,
онда:

?1
?2

2

ℎ

= ( 1 ) ал
ℎ2

?1
?1

ℎ

2

= ( 1)
ℎ2

ТЕТРАЭДР
?√2
3
?
?√3
?? =
=
6
2√3
?√3
?? =
3
?√3
?шар =
4
?=

АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІ
Цилиндр

?√6
12
2
? √3
?? =
4
2
?т.б = ? √3
?2 √2
?=
12
3?2 √3
?б.б =
4
?шар =

25

Бүйір бетінің ауданы: ?б.б = 2??ℎ
Толық беті: ?толық = ?б.б + 2?табан = 2??(ℎ + ?)
Цилиндрдің көлемі: ? = ?табан ∙ ℎ = ?? 2ℎ

Конус. Қиық конус.

Бүйір
беті
Толық
беті
Көлемі

Конустың бетінің ауданы мен көлемі
Конус
Қиық конус
?б.б = ???
?б.б = ?(? + ?)?
Мұнд: l-қиық конустың жасаушысы
?толық = ??(? + ?)
?толық = ?(? + ?)? + ?? 2 + ?? 2
1 2
?? ?
3

ℎ
(? + ?2 + √?1 ?2 )
3 1
Мұнд: ?1 , ?2 - табан ауданы.
2??
Конустың бүйір бетінің жазбасының бұрышы: ? =
?=

?=

?

Шар. Сфера.

26

Егер қиманың жазықтығы шардың центрінен d қашықтықта орналасса,
онда ? = √? 2 − ? 2
Сфера ауданы: ? = 4?? 2
4

Шар көлемі: ? = ?? 3
3

Шардың бөліктері

Сегмент бітінің ауд:
?сег = 2???
Сегмент көлемі:
1
? = ?? 2 (3? − ? )
3

Сектордың толық бетінің ауд: Шар қабатының толық
?тол = ?? (2? + √2?? − ? 2 ) бетінің ауд:
?б.б = 2???
Сектордың көлемі:
Шар қабатының көлемі:
2 2
1
1
? = ?? ?
? = ?? 3 + (?12 + ?22)?
3
6
2

АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Жазықтықта
(?1 ; ?1 )нүктесінен координаталар басына дейінгі арақашықтық:
√?12 + ?12
(?1 ; ?1 ) және (?2 ; ?2 ) нүктелерінің арақашықтығы:
√(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1 )2
АВ кесіндісінің ортасы болатын С нүктесінің координаталары,
мұндағы ?(?1 ; ?1 ) және ? (?2 ; ?2 )
?1 + ?2 ?1 + ?2
(
;
)
2
2
АВ кесіндісін ? қатынасында бөлетін D нүктесінің координаталары

27

??
?1 + ??2 ?1 + ??2
= ? ⇒ ?(
;
)
??
1+?
1+?
беттеспейтін (?1 ; ?1 ) және (?2 ; ?2 ) нүктелер арқылы өтетін түзудің
теңдеуі
? − ?1
? − ?1
=
?2 − ?1 ?2 − ?1
?(?1 ; ?1 ) нүктесінен ?? + ?? + ? = 0 түзуіне дейінгі
арақашықтық:
|??0 + ??0 + ?|
?=
√?2 + ?2

Айталық ?1 : ? = ?1 ? + ?1 және ?2 : ? = ?2 ? + ?2 берілсін:
1) Егер ?1 = ?2 және ?1 = ?2 болса, түзулер беттеседі;
2) Егер ?1 = ?2, бірақ ?1 ≠ ?2 болса, түзулер параллель;
3) Егер ?1 ≠ ?2 болса, түзулер қиылысады;
4) Егер ?1 ?2 = −1 болса, түзулер перпендикуляр;
Түзулер арасындағы бұрыш

Айталық ? ?1 және ?2 арасындағы бұрыш болсын:
? =?+? ⇒? =?−?
??1 = ?g?, ??2 = ?g?
? ?1 − ? ?2
?g? =
1 + ? ? 2 ? ?2
Центрі (?0 ; ?0 ) нүктесіндегі шеңбердің теңдеу:
(? − ?2 )2 + (? − ?0 )2 = ? 2

Кеңістікте

28

(?; ?; ?) нүктесінен бас нүктеге дейінгі арақашықтық:
√? 2 + ? 2 + ? 2
(?1 ; ?1 ; ?1) және (?2 ; ?2 ; ?2) нүктелерінің арақашықтығы:
√(?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1)2
АВ кестесінің ортасы болатын М нүктесінің координаталары,
мұндағы ?(?1 ; ?1 ; ?1) және ? (?2 ; ?2 ; ?2):
?1 + ?2 ?1 + ?2 ?1 + ?2
(
;
;
)
2
2
2
ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕРБА ЭЛЕМЕНТТЕРІ
̅̅̅̅ (?2 − ?1, ?2 − ?1 ), мұндағы ?(?1; ?1 ) және ? (?2 ; ?2 ), векторының
??
ұзындығын табу формуласы:
̅̅̅̅ | = √(?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1 )2
|??

1. Жазықтықтағы ?⃗(?1 ; ?2 ) және ?⃗⃗(?1; ?2 ) векторларының ортогоналдық
шарты: ?1?2 + ?1 ?2 = 0
2. Векторлардың тең болу шарты: ?⃗ = ?⃗⃗ ⇔ ?1 = ?2 ; ?1 = ?2
3. ?⃗(?1 ; ?2 ) және ?⃗⃗(?1 ; ?2 ) векторларының коллинеарлық шарты:
?2
?2

=?

Векторларға амалдар қолдану

?1
?1

=

29

1) Қосу
?⃗(?1 ; ?2 ) және ?⃗⃗(?1 ; ?2 ) векторларының қосындысы:
?⃗ = ?⃗ + ?⃗⃗ = (?1 + ?1 ; ?2 + ?2 )
Сонымен қатар, векторларды параллелограмм немесе үшбұрыш
ережелерін қолданып қосуға болады.

2) Алу
?⃗(?1 ; ?2 ) және ?⃗⃗(?1 ; ?2 ) векторларының айырымы:
?⃗ = ?⃗ − ?⃗⃗ = (?1 − ?1 ; ?2 − ?2 ), яғни с⃗ + ?⃗⃗ = ?2 ⇔ ?⃗ = ?⃗ − ?⃗⃗

3) Векторларды санға көбейту
?⃗(?1 ; ?2 ) векторының ? санына көбейтіндісі:
??⃗ = (??1 ; ??2 )
а) егер ? > 0 болса, ??⃗ векторы ?⃗ векторымен бағыттас;
ә) егер ? < 0 болса, векторы векторына қарсы бағытта.
|??⃗| = |?||?⃗|
Векторлардың скаляр көбейтіндісі
?⃗ және ?⃗⃗ векторының скаляр көбейтіндісі:
?⃗ ∙ ?⃗⃗ = |?⃗| ∙ |?⃗⃗|????

Скаляр көбейтудің қасиеттері:

30

1) ?⃗ ∙ ?⃗ = ?⃗2
2) ?⃗ ∙ ?⃗⃗ = ?⃗⃗ ∙ ?⃗
3) ?⃗ ∙ (?⃗⃗ + ?⃗) = ?⃗ ∙ ?⃗⃗ + ?⃗ ∙ ?⃗
4) (?⃗ ∙ ?⃗⃗) ∙ ?⃗ = ?⃗ ∙ (?⃗⃗ ∙ ?⃗)
5) (??⃗ ) ∙ (??⃗⃗) = ?? ∙ (?⃗ ∙ ?⃗⃗)
Кез келген нөлдік емес ?⃗(?1 ; ?2 ) векторын бір ғана жолмен координат
векторларға жіктеуге, яғни ?⃗ = ?1 ?⃗ + ?2 ?⃗ түрінде жазуға болады.
Кеңістіктегі векторлар
̅̅̅̅
?? (?2 − ?1, ?2 − ?1 , ?2 − ?1), мұндағы ?(?1 ; ?1 ; ?1 ) , ? (?2 ; ?2 ; ?2),
векторының ұзындығы келесі формуламен табылады.
̅̅̅̅ | = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1)2
|??
Егер ?⃗(?1 ; ?2 ; ?3 ) және ?⃗⃗(?1 ; ?2 ; ?3 ) болса, онда:
?
?
?
Коллинеарлық шарты: 1 = 2 = 3 = ?
?1

?2

?3

Векторлардың қосындысы: ?⃗ + ?⃗⃗ = (?1 + ?1 ; ?2 + ?2 ; ?3 + ?3 )
Векторлардың айырмасы: ?⃗ − ?⃗⃗ = (?1 − ?1 ; ?2 − ?2 ; ?3 − ?3 )
Векторды санға көбейту: ??⃗ = (??1 ; ??2 ; ??3 )
Скаляр көбейту: ?⃗ ∙ ?⃗⃗ = ?1?1 + ?2 ?2 + ?3 ?3
Координат векторлар: ?⃗ = (1; 0; 0), ?⃗(0; 1; 0), ?⃗⃗(0; 0; 1)

Паралеллограмның диагональдарының формуласы
|а⃗⃗ + в
⃗⃗|2+|а⃗⃗ − в
⃗⃗|2=2|а⃗⃗|2+2|в
⃗⃗|2

31

32