Жалпы білім беретін орта мектептің 10-11 сынып оқушыларына арналған элективті курс бағдарламасы

Специализированная школа-интернат-колледж олимпийского резерва

программа

элективного курса

для учащихся 10-11 классов

общеобразовательной средней школы

Павлодар, 2020

“Помимо и даже против воли того или другого математика,

мнимые числа снова и снова появляются на выкладках,

и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза

от их употребления, они получают

более и более широкое распространение”

Ф. Клейн.

Программа элективного курса для учащихся 10-11 классов общеобразовательной средней школы

Составитель: Сункарбекова А. Т., учитель математики

специализированной школа-интернат-колледж олимпийского резерва, г.Павлодар,

Павлодарской области.

Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят ещё свои специфические цели, определяемые особенностями математической науки. Одна из них – это формирование и развитие математического мышления. Это способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с ее многочисленными приложениями в частности.

Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.

Хотелось бы обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики: модернизация содержания школьного математического образования и совершенствование структуры курса.

Быстрый рост объема научной информации, ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модернизации школьного образования, а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени, тщательно и строго на научной основе.

Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры, что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I-V классах, позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние; включить в программу старших классов элементы высшей математики. Таким образом, улучшение системы курса возможно и в период между реформами, т.е. независимо от модернизации образования.

Мы не беремся решать эти вопросы, т.к. работаем в более узком направлении, предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный курс тему «Комплексные числа».

Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.

Борьба за сознание учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.

1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности - в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении и т.д.

2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.

3) Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий.

Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел. Предлагаем для образовательного курса формально – логическую теорию. Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, т.к. со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т.е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, лишь в последствии получающее арифметическое истолкование.

Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.

Задачи:

- исследовать особенности математического мышления старшеклассников;

- исследовать процесс формирования понятий на материале темы «Комплексные числа».

Программа элективного курса «Комплексные числа»

(2 ч. в неделю, всего 68 часов)

Пояснительная записка

Курс «Комплексные числа» развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Изучение этого курса преследует следующие основные цели:

1. Повышение математической культуры учащихся;

2. Углубление представлений о понятии числа;

3. Дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

Следует отметить важное прикладное значение данного курса ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

После изучения курса «Комплексные числа» ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах: знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую.

Курс «Комплексные числа» благоприятнее всего вводить в 9 классе в I-ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.

Содержание и структура курса

Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X-XI классах – систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

Учащиеся систематически изучают тригонометрические, показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования тригонометрических, показательных и логарифмических выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями, аппаратом математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи.

Исходя из объема, трудности материала, а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем следующее примерное распределение часов.

Основные разделы и темы курса.

Примерное распределение часов

Тематическое планирование

Курс «Комплексные числа» содержит пять разделов. Ниже мы описываем каждый их них, не углубляясь в теоретическую и практическую части, они даются в приложениях 1, 2. Формулируются цели данного раздела, основные знания и умения.

Раздел 1.

Введение. История возникновения комплексных чисел.       

Развитие понятия о числе. На пути к комплексным числам. Утверждение комплексных чисел в математике.      

Обучающая цель: Расширить понятие числа;

Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. Кратко познакомить учащихся с историей развития комплексных чисел. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.

Основные знания и умения. Знать историю возникновения комплексных чисел.

Раздел 2.

Комплексные числа и их свойства. 

Понятие мнимой единицы. Степени мнимой единицы. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Свойства комплексных чисел.

Обучающая цель: Ввести понятие мнимой единицы, степени мнимой единицы, определение комплексного числа; показать запись в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости; изучить свойства комплексных чисел.

Воспитательная цель: В процессе изучения раздела, решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом необходимо обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету.

Основные знания и умения. Знать: Понятие мнимой единицы, степени мнимой единицы, определение комплексного числа, формулировки основных соотношений; алгебраическую форму комплексного числа; определение сопряженных и противоположных чисел; геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Уметь: степени мнимой единицы, находить мнимые и действительные части комплексных чисел; строить комплексные числа на плоскости.

Раздел 3.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение. Вычитание. Умножение. Деление. Решение квадратных уравнений (D<0).

Обучающая цель: Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, решать квадратные уравнения (D<0).

Воспитательная цель: В процессе решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом необходимо обращать внимание на в