Материалдар / КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ
2023-2024 оқу жылына арналған

қысқа мерзімді сабақ жоспарларын

жүктеп алғыңыз келеді ма?
ҚР Білім және Ғылым министірлігінің стандартымен 2022-2023 оқу жылына арналған 472-бұйрыққа сай жасалған

КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ

Материал туралы қысқаша түсінік
Математика олимпиадаларына дайындалуға арналған материал
Авторы:
Автор материалды ақылы түрде жариялады.
Сатылымнан түскен қаражат авторға автоматты түрде аударылады. Толығырақ
10 Тамыз 2018
1207
2 рет жүктелген
Бүгін алсаңыз 25% жеңілдік
беріледі
770 тг 578 тг
Тегін турнир Мұғалімдер мен Тәрбиешілерге
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!
Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады
logo

Материалдың толық нұсқасын
жүктеп алып көруге болады

КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ
Батырбек Қайрат
Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы
№61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі
Теорема: Кез келген нақты a1 , a2 ,..., an және

b1 , b2 ,...,bn

сандары үшін

a1b1  a2b2  ...  an bn 2  a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2  *

теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздікті Коши-Буняковский теңсіздігі деп
атайды.
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктен A  a12  a22  ...  an2 , B  b12  b22  ...  bn2 деп
белгілейік.
Кез келген нақты x, y саны үшін



xy  2 x 2  y 2



теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз:

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn 2

2

a
b 
b
a
b
 a
  1  1  2  2  ...  n  n  
AB
A B
A B
 A B
2
2
2
2
2
2
1   a1   b1   1   a 2   b2  
1   a n   bn  


 
  
 
  ...  
 
 
2   A   B   2   A   B  
2   A   B  
1  a 2  a 22  ...  a n2 b12  b22  ...  bn2  1
  1  1  1.
  1

2
A
B
 2

Осыдан,

a1b1  a2b2  ...  an bn 2  a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2 

теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.
Мұнда,

a
a1 a 2

 ...  n болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
b1 b2
bn

Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік
a  a  ...  a 
2
1

2
2

2
n

a1b1  a2b2  ...  an bn 2
b12  b22  ...  bn2

* *

түрінде қолдануға тура келеді.
№1. Кез келген нақты a, b, c сандары үшін
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті
дәлелдейміз:
ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  b 2  c 2  a 2  a 2  b 2  c 2 .

Мұнда, a  b  c болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
1

№2. Кез келген нақты a, b, c сандары үшін

a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  abc a  b  c 

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Берілген теңсіздіктің оң жаңын түрлендіріп, оған КошиБуняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:
abc a  b  c   a 2 bc  ab 2 c  abc 2  ab ac   bc ab   ca bc  



ab 2  bc 2  ca 2  ac 2  ab 2  bc 2 .

Бұдан,

abc a  b  c   a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 .

Мұнда, a  b  c болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
№3. Кез келген оң a, b, c сандары үшін
a
b
c


1
b  2c c  2a a  2b

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына

a

2
1





 a 22  a32 b12  b22  b32  a1b1  a 2 b2  a3b3 

2

теңсіздігін қолданамыз.
a1 

a
, a2 
b  2c

b
, a3 
c  2a

c
,
a  2b

b1  ab  2c , b2  bc  2a , b3  ca  2b 

болсын. Осы таңдап
айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда

алған

b
c 
 a
2



a b  2c   bc  2a   c a  2b   a  b  c  .
 b  2c c  2a a  2b 

Бұдан,

a  b  c  .
a
b
c



b  2c c  2a a  2b 3ab  bc  ca 
2

Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз:

a  b  c  
a
b
c



b  2c c  2a a  2b 3ab  bc  ca 
2

a2  b2 b2  c2 c2  a2


 2ab  bc  ca 
ab  bc  ca  2ab  bc  ca 
2
2
2


 1.
3ab  bc  ca 
3ab  bc  ca 

Демек, берілген теңсіздік дәлелденді.
№4. (Математика Республикалық Олимпиада-2009.
Кез келген оң нақты a, b, c және d сандары үшін
2

ІІ-кезең, 10-сынып)

a2  b2  c2 b2  c2  d 2 c2  d 2  a2 d 2  a2  b2



4
ab  bc  cd bc  cd  da cd  da  ab da  ab  bc

теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:

a

2





 b 2  c 2 b 2  c 2  d 2  ab  bc  cd  .
2

Бұдан,
1

ab  bc  cd 

2



1
.
a  b  c b2  c2  d 2



2

2

2





Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз:
a2  b2  c2

ab  bc  cd

a

2

 b2  c2



2

ab  bc  cd 2



a



2

 b2  c2
a2  b2  c2 b2  c2  d 2



2





немесе
a2  b2  c2

ab  bc  cd

a2  b2  c2
.
b2  c2  d 2

Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз:
b2  c2  d 2

bc  cd  da

b2  c2  d 2
,
c2  d 2  a2

c2  d 2  a2

cd  da  ab

c2  d 2  a2
,
d 2  a2  b2

d 2  a2  b2

da  ab  bc

d 2  a2  b2
.
a2  b2  c2

Бұл теңсіздіктерді берілген теңсіздікке орналастырып, оған Коши
теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді.
a2  b2  c2 b2  c2  d 2 c2  d 2  a2 d 2  a2  b2




ab  bc  cd bc  cd  da cd  da  ab da  ab  bc
a2  b2  c2
b2  c2  d 2
c2  d 2  a2
d 2  a2  b2





b2  c2  d 2
c2  d 2  a2
d 2  a2  b2
a2  b2  c2
 44

a2  b2  c2
b2  c2  d 2
c2  d 2  a2
d 2  a2  b2



 4.
b2  c2  d 2
c2  d 2  a2
d 2  a2  b2
a2  b2  c2

№5. (Математика Республикалық Олимпиада-2010. ІІ-кезең, 9-сынып)
a  b  c  x  y  z теңдігі орындалатын теріс емес a, b, c және оң нақты x, y, z
сандары үшін
a3 b3 c3


 abc
x2 y2 z 2
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
3

Шешуі: Алдымен берілген теңсіздіктің екі жағын a  b  c   ге көбейтіп,
мына теңсіздік
 a3 b3 c3 
2
S  a  b  c  2  2  2   a  b  c 
y
z 
x

түрінде келтіреміз. Осы теңсіздіктің сол жағын түрлендіріп, оған КошиБуняковский теңсіздігін қолданамыз:
S  


  3 2  3 2  3 2 
 a   b   c  
c  



  x   y   z  
 
 
 


 a  b   
2

2

2

2

2

a3
b3
c 3   a 2 b 2 c 2 

 a
 b
 c
 
  .

  x
x
y
z
y
z 



Енді, бұған Коши-Буняковскийдің * * теңсіздігін қолданамыз:
2

2
2
2
2

 a   b   c    a  b  c 


S 



  x   y   z    x  y  z



 

2


  a  b  c 2 .



Бұдан,

a3 b3 c3


 abc
x2 y2 z 2
теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:
1.
J.Micheal Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class. An Introduction to
the Art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. – 2004. – 318 p.
2.
Соловьёв Ю.П. Неравенства. Серия: «Библиотека “Математическое
просвещение”» – М.: МЦНМО, 2005. – 16 с.: ил.
3.
Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства /
Пер. с арм. Г.В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 256 с.
4.
Radmila B.M., JosenAntonio G.O., Rogelio V.D. Inequalities. A
Mathematical Olympiad Approach. Birhauser. Basel – Boston – Berlin. 2009. – 216
p.

4
Материал жариялап тегін сертификат алыңыз!
Бұл сертификат «Ustaz tilegi» Республикалық ғылыми – әдістемелік журналының желілік басылымына өз авторлық жұмысын жарияланғанын растайды. Журнал Қазақстан Республикасы Ақпарат және Қоғамдық даму министрлігінің №KZ09VPY00029937 куәлігін алған. Сондықтан аттестацияға жарамды
Ресми байқаулар тізімі
Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!