КОШИ-БУНЯКОВСКИЙ ТЕҢСІЗДІГІ
Батырбек Қайрат
Асатана қаласы, Сарыарқа ауданы
№61 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі
Теорема: Кез келген нақты a1 , a2 ,..., an және
b1 , b2 ,...,bn
сандары үшін
a1b1 a2b2 ... an bn 2 a12 a22 ... an2 b12 b22 ... bn2 *
теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздікті Коши-Буняковский теңсіздігі деп
атайды.
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктен A a12 a22 ... an2 , B b12 b22 ... bn2 деп
белгілейік.
Кез келген нақты x, y саны үшін
xy 2 x 2 y 2
теңсіздігі орындалатыны белгілі. Ендеше, осы теңсіздікті қолданамыз:
a1b1 a 2 b2 ... a n bn 2
2
a
b
b
a
b
a
1 1 2 2 ... n n
AB
A B
A B
A B
2
2
2
2
2
2
1 a1 b1 1 a 2 b2
1 a n bn
...
2 A B 2 A B
2 A B
1 a 2 a 22 ... a n2 b12 b22 ... bn2 1
1 1 1.
1
2
A
B
2
Осыдан,
a1b1 a2b2 ... an bn 2 a12 a22 ... an2 b12 b22 ... bn2
теңсіздігі алынады. Демек, теорема дәлелденді.
Мұнда,
a
a1 a 2
... n болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
b1 b2
bn
Коши-Буняковский теңсіздігін көптеген есептерде мына теңсіздік
a a ... a
2
1
2
2
2
n
a1b1 a2b2 ... an bn 2
b12 b22 ... bn2
* *
түрінде қолдануға тура келеді.
№1. Кез келген нақты a, b, c сандары үшін
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті
дәлелдейміз:
ab bc ca a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 .
Мұнда, a b c болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
1
№2. Кез келген нақты a, b, c сандары үшін
a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 abc a b c
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Берілген теңсіздіктің оң жаңын түрлендіріп, оған КошиБуняковский теңсіздігін қолдану арқылы теңсіздікті дәлелдейміз:
abc a b c a 2 bc ab 2 c abc 2 ab ac bc ab ca bc
ab 2 bc 2 ca 2 ac 2 ab 2 bc 2 .
Бұдан,
abc a b c a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 .
Мұнда, a b c болғанда теңсіздік теңдікке айналады.
№3. Кез келген оң a, b, c сандары үшін
a
b
c
1
b 2c c 2a a 2b
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковскийдің мына
a
2
1
a 22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a 2 b2 a3b3
2
теңсіздігін қолданамыз.
a1
a
, a2
b 2c
b
, a3
c 2a
c
,
a 2b
b1 ab 2c , b2 bc 2a , b3 ca 2b
болсын. Осы таңдап
айнымалыларды Коши-Буняковский теңсіздігіне орналастырсақ, онда
алған
b
c
a
2
a b 2c bc 2a c a 2b a b c .
b 2c c 2a a 2b
Бұдан,
a b c .
a
b
c
b 2c c 2a a 2b 3ab bc ca
2
Енді, бұл теңсіздікті түрлендіріп, оған Коши теңсіздігін қолданамыз:
a b c
a
b
c
b 2c c 2a a 2b 3ab bc ca
2
a2 b2 b2 c2 c2 a2
2ab bc ca
ab bc ca 2ab bc ca
2
2
2
1.
3ab bc ca
3ab bc ca
Демек, берілген теңсіздік дәлелденді.
№4. (Математика Республикалық Олимпиада-2009.
Кез келген оң нақты a, b, c және d сандары үшін
2
ІІ-кезең, 10-сынып)
a2 b2 c2 b2 c2 d 2 c2 d 2 a2 d 2 a2 b2
4
ab bc cd bc cd da cd da ab da ab bc
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
Шешуі: Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:
a
2
b 2 c 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd .
2
Бұдан,
1
ab bc cd
2
1
.
a b c b2 c2 d 2
2
2
2
Соңғы теңсіздікті берілген теңсіздікке қолданамыз:
a2 b2 c2
ab bc cd
a
2
b2 c2
2
ab bc cd 2
a
2
b2 c2
a2 b2 c2 b2 c2 d 2
2
немесе
a2 b2 c2
ab bc cd
a2 b2 c2
.
b2 c2 d 2
Осы теңсіздікке сәйкес қалған теңсіздіктерді жазамыз:
b2 c2 d 2
bc cd da
b2 c2 d 2
,
c2 d 2 a2
c2 d 2 a2
cd da ab
c2 d 2 a2
,
d 2 a2 b2
d 2 a2 b2
da ab bc
d 2 a2 b2
.
a2 b2 c2
Бұл теңсіздіктерді берілген теңсіздікке орналастырып, оған Коши
теңсіздігін пайдалансақ теңсіздік дәлелденеді.
a2 b2 c2 b2 c2 d 2 c2 d 2 a2 d 2 a2 b2
ab bc cd bc cd da cd da ab da ab bc
a2 b2 c2
b2 c2 d 2
c2 d 2 a2
d 2 a2 b2
b2 c2 d 2
c2 d 2 a2
d 2 a2 b2
a2 b2 c2
44
a2 b2 c2
b2 c2 d 2
c2 d 2 a2
d 2 a2 b2
4.
b2 c2 d 2
c2 d 2 a2
d 2 a2 b2
a2 b2 c2
№5. (Математика Республикалық Олимпиада-2010. ІІ-кезең, 9-сынып)
a b c x y z теңдігі орындалатын теріс емес a, b, c және оң нақты x, y, z
сандары үшін
a3 b3 c3
abc
x2 y2 z 2
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
3
Шешуі: Алдымен берілген теңсіздіктің екі жағын a b c ге көбейтіп,
мына теңсіздік
a3 b3 c3
2
S a b c 2 2 2 a b c
y
z
x
түрінде келтіреміз. Осы теңсіздіктің сол жағын түрлендіріп, оған КошиБуняковский теңсіздігін қолданамыз:
S
3 2 3 2 3 2
a b c
c
x y z
a b
2
2
2
2
2
a3
b3
c 3 a 2 b 2 c 2
a
b
c
.
x
x
y
z
y
z
Енді, бұған Коши-Буняковскийдің * * теңсіздігін қолданамыз:
2
2
2
2
2
a b c a b c
S
x y z x y z
2
a b c 2 .
Бұдан,
a3 b3 c3
abc
x2 y2 z 2
теңсіздігі алынады. Демек, теңсіздік дәлелденді.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:
1.
J.Micheal Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class. An Introduction to
the Art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. – 2004. – 318 p.
2.
Соловьёв Ю.П. Неравенства. Серия: «Библиотека “Математическое
просвещение”» – М.: МЦНМО, 2005. – 16 с.: ил.
3.
Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства /
Пер. с арм. Г.В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 256 с.
4.
Radmila B.M., JosenAntonio G.O., Rogelio V.D. Inequalities. A
Mathematical Olympiad Approach. Birhauser. Basel – Boston – Berlin. 2009. – 216
p.
4