Оқушылардың математика пәні бойынша Республикалық
олимпиадасының аудандық этапы 2013-2014 жыл желтоқсан айы
18-19 жұлдызы
8
сынып I-тур
-
a+b=1a+1b=6 қатынасын қанағаттандыратын
a, b нақты сандар үшін
ab+ba өрнегінің мәнін табыңыз.
Шешуі: 36 = 6 * 6 = (a + b)
( 1a+1b ) = 1 + ab+ba+1 болғандықтан
ab+ba=34 болады.
-
72013 дәрежесінің соңғы екі цифры неге
тең.
Шешуі: 70=1, 71=7, 72=49, 73=343,
74=2401 болғандықтан,
2013=4*503+1 түрінде
жазып
72013=74*503+1=(
74)503*7=(2400+1)503*7=
=(2400503+…+503*2400+1)=...*100*7+7=...07
түрінде жазылады. Ендеше ең соңғы екі сан 0 мен 7
болады.
Жауабы: Соңғы екі сан
....07
-
Аралда 7 көк , 9 жасыл және 11 қызыл құбылғылар
тұрады. Әртүрлі түстегі екі құбылғы кездескенде екеуі
де үшінші түске өзгереді. Қандайда бір уақыттан кейін барлық
құбылғылар бір түске боялуы мүмкін бе?
Шешуі: Құбылғылардың көк, жасыл және жасыл
түстерін сәйкесінше
к , ж , қ әріптерімен белгілейік. Ендеше
есептің шарты бойынша
1) Егер к+ж=қ болса, онда
7(к+ж)=7қ, яғни
7к+7ж=7қ.
Барлығы 7қ+11қ=18қ (қызыл) құбылғы. Артық кездеспей қалған
жасыл құбылғылар 9ж-7ж=2ж болады.
2) Егер ж+қ=к болса, онда
9ж+9қ=9к. Барлығы
9к+7к=16к
құбылғы 11қ-9қ=2қ. Бұл жолы кездесуден тыс қалған 2 қызыл
құбылғы болады.
3) Егер к+қ=ж болса, онда
7к+7қ=7ж. Барлығы
7ж+11ж=18ж құбылғы. 11қ-7қ=4қ. Бұл жағдайда кездеспеген 4 қызыл
құбылғы қалады. Бір мезетте барлық құбылғылардың
түсі бірдей болу үшін артық, яғни кездесуден тыс
қалатын құбылғылар болмау керек. Олай болса, бір
мезетте барлық құбылғылардың түсі бір түске
айналмайды.
жауабы: Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері
бірдей бола алмайды.
8
сынып II-тур
-
5-ке және 9-ға бөлінетін, 1-ді және өзін
қоса есептегенде дәл 10 бөлгішке ие болатын барлық натурал сандарды
табу керек.
Шешуі: Ізделінді сан 5-ке де, 9-ға да бөлінсе
және 5 пен 9 өзара жай болғандықтан, ол сан 45-ке бөлінуі тиіс.
Ал 45=3*3*5 болғандықтан,ізделінді санда 1,3,5,9,15,45 –кем
дегенде 6 бөлгіш бар. Егер ізделінді сан тағы да бір P ≠ 3.5 жай
санына бөлінсе, онда ізделінді сан кем дегенде 12 бөлгіш болып
кетеді. Ал бізге дәл 10 бөлгіш болуы керек. Сондықтан бізде екі
мүмкіндік қалады. Олар келесілер:
N=3*3*3*3*5 және
N=3*5*5*5*5. Екінші сан 9-ға
бөлінбейді.
Жауабы: N=3∙3∙3∙3∙5=405
-
x2-8x+41+y2+6y+25=9
теңдеуін нақты сандар жиынында
шешіңіздер.
Шешуі: Түбір астындағы өрнектерден толық
квадратты бөліп аламыз.
x2-8x+41+y2+6y+25=x2-8x+16+25+y2+6y+9+16=
=(x-4)2+25+(y+3)+16=9
Теңдік тек қана x-4=0,
y+3=0 болғанда ғана орындалады.
Ендеше x=4, y=-3.
-
АВС үшбұрышының АD биіктігі ВС
қабырғасынан екі есе кіші.
А бұрышы доғал болуы мүмкін
бе?
Шешуі: АD биіктігінің А төбесі мен D табаны
сәйкесінше А нүктесінен өтетін СВ-ға параллель түзу мен С және В
нүктелерінен өтетін түзуге тиісті болады. D нүктесі
ВС-нің ортасы болған жағдайды координаталар басы деп есептеп
А нүктесін −∞ тен
+∞ дейін өзгертеміз. Сонда А бұрышы 0-ден 90
̊-дейін және 90
̊-тан 0-ге дейін өзгереді. Ендеше А бұрышы доғал
болуы мүмкін емес.
Жауабы: А бұрышы доғал болуы мүмкін
емес
9
сынып I-тур
-
АВСD квадраты берілген.АС және ВС кесінділерінде
кесінділердің шетімен беттеспейтіндей етіп, сәйкесінше М және N
нүктелері алынған. Егер MN=MD болғанда
∠ MDN бұрышының шамасы неге
тең?
Шешуі: Дәл осы түрдегі сызбаның болуы мүмкін
емес, себебі MN=MD. Сондықтан сызбаны келесі түрде басқаша
сызамыз. ∠CDN=β, ∠NDM=α болсын. Онда ∠NDA=β болады да
∠MDA=β-α болады. Олай болса
∠MBA= β-α болады. Ендеше
∠NBM=∠MNB=90-β+α. Берілгені бойынша
∠DNM=∠NDM=α. Ендеше 900+α-β= ∠MNB=180-α-β болғандықтан α=45° болады.
Жауабы: =∠MDN=α=45o
-
Өзара жай a,b (a>b) сандары a3-b3(a-b)3=733 қатынасын
қанағаттандыратын a-b мәнін есептеңіздер.
Шешуі: a>b болғандықтан a-b=c>0 және a=b+c
болады.
a3=(b+c)3=b3+3b2c+3bc2+c3
қоя отырып
3b2c+3bc2+c3c3=733.
Осыдан
9b2c+9bc2=70c3=>c(70c2-9bc+9b2)=0. c≠0=>70c2-9bc-9b2=0
болады. c1,2=9b±81b2+4*9*70b22*70=9b±3*17*b2*70
c1=3b7=>a=b+3b7=>7a=10b=>a=10q, b=7q.
(a,b)=1=>q=1
c2=-42b2*70=-3b10=>a=b-3b10=>10a=7b=>
a=7q>b=10q.
(a,b)=1=>q==-1
Екі жағдайда да a-b=3 болады.
3.
Аралда 7
көк ,
9 жасыл және 11
қызыл құбылғылар тұрады.
Әртүрлі түстегі екі құбылғы кездескенде екеуі де үшінші түске өзгереді.
Қандайда бір уақыттан кейін барлық құбылғылар бір түске боялуы мүмкін бе?
Шешуі:
8.I.3 қараңыз.
9
сынып ІІ-
тур
-
k4+ 64,
k-бүтін сан,
түріндегі жай сан табыла ма?
Шешуі:
k4+64=k4+82 түріндегі өрнекті көбейткіштерге жіктеп көреміз.
(k2-4k+8)(k2+4k+8)==k4+4k3+8k2-4k3-16k2-32k+8k2+32k+64=k4+64.
Ендеше k-нің кез-келген мәнінде k4+64 саны екі санның көбейтіндісі түрінде жазылады.
Жауабы: k4+64, ( k
бүтін сан)
түріндегі
жай сан табылмайды.
2.
АВС үшбұрышының АD
биіктігі ВС қабырғасынан екі есе кіші.
А бұрышы доғал болуы мүмкін
бе?
Шешуі:
8.ІІ.3 қараңыз.
3. а
параметрінің қандай мәндерінде
{x+у+z=a+1, xу+xz+уz=2a xyz=a. , жүйесі нақты шешімдерге
ие?