Туынды ұғымның дамуы мен пайда болу тарихы және оларды оқу сабақтары кезінде пайдалану

Аңдатпа. Туынды-математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Ол физикадан, механикадан және кинематика және математикадан бірқатар есептерді шығару қажеттілігімен байланысты туындады. Бірақ бәрінен бұрын жүріп өткен қашықтықтың уақытқа тәуелділігін сипаттайтын жанаманың, сонымен қатар түзу сызықты қозғалыс жылдамдығын анықтау үшін маңыздылығы жоғары.

Түйін сөздер:Туынды, дифференциал, жанама.

Туынды ұғымның дамуы мен пайда болу тарихы және оларды оқу сабақтары кезінде пайдалану

Маңғыстау облысының білім басқармасының Ақтау қаласы бойынша білім бөлімінің «№21 жалпы білім беретін мектеп» КММ-нің математика пәні мұғалімі Ерке Ү.Б.

«Туынды» термині француз тілінің «derivee» сөзінен қазақ тіліне сөзбе-сөз аудармасы арқылы шыққан. 1797 жылы математикаға Дж.Лагранж француз тілінен енгізген. Сонымен қатар Лагранж қазіргі заманғы туынды белгісінің авторы , болып табылады. «Функцияның туындысы» терминінің орысша атауын алғаш рет орыс ғалымы В.И.Висковатов қолданған [1].

Туынды-математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Ол физикадан, механикадан және кинематика және математикадан бірқатар есептерді шығару қажеттілігімен байланысты туындады. Бірақ бәрінен бұрын жүріп өткен қашықтықтың уақытқа тәуелділігін сипаттайтын жанаманың, сонымен қатар түзу сызықты қозғалыс жылдамдығын анықтау үшін маңыздылығы жоғары.

Математикада туынды бір нүктеде болатын әр түрлі жағдайлардағы өзгеру дәрежесінің сандық көрінісін көрсетеді. Туынды формуласы бізге XV ғасырдан бері таныс. Оны көрнекті итальяндық математик Тарталья өз еңбектерінде снарядтың ұшу диапазонының тәуелділігі туралы мәселені қарастыру және дамыту барысында туындының формуласын қолданған. 1537 жылы «Жаңа ғылым» атты алғашқы очеркінде ол алғаш рет снарядтың бүкіл қашықтық бойымен ұшу траекториясы қисық сызық (парабола) екенін көрсетті. Тартальяға дейін снарядтың ұшу траекториясы қисық сызықпен байланысқан екі түзу деп оқытылды. Осы жерде Тарталья снарядтың ең үлкен ұшу қашықтығы бұрышқа сәйкес келетіндігін көрсетеді. Тартальяның «Сан және өлшем туралы жалпы трактат» еңбегінде арифметика, алгебра және геометрия сұрақтары бойынша ауқымды материалдар бар. Сонымен қатар, оның есімі кубтық теңдеулерді шешу әдістерімен де танылған.

Туынды формуласы көбіне XVII ғасырдағы математика саласындағы данышпандардың белгілі еңбектерінде кездеседі. Оны Ньютон мен Лейбниц кең қолданды.

Галилейдің қозғалыс туралы іліміне негізделген туындының кинематикалық концепциясы белсенді дамыды. Бұл концепцияға байланысты үдеу және оны қисық сызықты қозғалыс үшін одан әрі жалпылау голландық ғалым Христиан Гюйгенстің (1629 - 1695) еңбектерінен көрініс тапты. Ол үдеудің тангенске және қалыпты компоненттерге ыдырауын алғаш қолданды. Галилей тұтас трактатты математикадағы туындының рөліне арнады.

Бұл ғалымдардың еңбектерінің соңынан туынды және оны қолдану туралы көптеген танымал математиктердің Декарт, француз математигі Роберваль және ағылшын математигі Грегорий еңбектерінде кездесе бастады. Туындыны зерттеуге айтарлықтай үлес қосқан данышпандар Лопиталь, Бернулли, Эйлер, Гаусс болды [2].

Осы уақыттарда қозғалыс жылдамдығы мен үдеуіне қатысты өткір таластар көбейді. Бұл талас-тартыстардың шешімі қозғалыстағы дененің жылдамдығын есептеу мен қисық сызыққа жанама жүргізу арасында қашықтықтың уақытқа тәуелділігін сипаттайтын байланыс орнатуға әкелді.

Шынында да, материалдық нүкте қисық сызық бойымен қозғалған кезде (1-сурет) жылдамдық векторы әрбір уақыт аралығында жанамадан қисық сызыққа бағыттала береді.

Сурет 1 - М материалдық нүктесінің қозғалуы

Осы байланысты қолдана отырып, Э. Торричелли горизонтқа бұрышпен лақтырылған дененің жылдамдық векторын есептеп, жанаманың параболаға салынған мүлтіксіз әдісін алды. Қисық сызыққа жүргізілген жанаманы табу бұл уақытта математикада алдыңғы орында тұрған жоспарлардың бірі еді.

Бірінші ретті қисықтарға жанаманы салудың алғашқы әдістерін Р. Декарт пен П. Ферма ұсынды. Алайда олардың әдістері ежелгі заман геометриясын зерттеушілерінің әдістеріндей эллипске, дөңгелекке, параболаға, гипербола және басқа да қисық сызықтарға жанама жүргізу кезінде әрбір нақты жағдай үшін арнайы тәсілдерді қажет етті. Мұның барлығы белгілі бір есептеу техникасының қажеттілігін тудырды. Бірыңғай тәсілді табу үшін жанаманы анықтау мәселесін шеше отырып, жалпы шешілген мәселелердің артында не жатырғанын айқындауға болады. Бұл мәселенің шешімі XVII ғасырдың аяғында бір мезгілде және бір-біріне тәуелсіз ағылшын ғалымы физик-математик И.Ньютон мен неміс философы, әрі математигі Г.Лейбництің себебімен табылды.

Дифференциалды есептеулер кіріспесі негізінде дифференциалдың негізгі тұжырымдамасын қалыптастыруға байланысты есептеулер қарастырылады. Мазмұны жағынан әртүрлі көптеген есептер үшін де аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғанда функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының шегін қарастыру қажет. Бұл, атап айтқанда, қисық сызыққа жанама, біркелкі емес түзу бойымен қозғалыс жылдамдығына қатысты есептеулерде және т.б.

Туынды ұғымына келтірілетін есепке туындының геометриялық мағынасын ашатын қисық сызыққа жүргізілген жанаманы алуға болады (жоғарыда көрсетілген).

Материалық нүктенің қозғалу жылдамдығының мәселесін қарастырайық. Материалдық нүкте қандай да бір түзу бойымен ( -уақыт, -координата нүктесі) заңына сәйкес қозғалсын. Бұл теңдеу-нүктенің қозғалыс заңын білдіретін қозғалыс теңдеуі.

Сурет 2- М материалдық нүктесінің қозғалуы

Нүктенің қозғалыс заңын ескере отырып, кез келген уақыттағы қозғалатын нүктенің жылдамдығын табыңыз. Кейбір уақыт моменттерінде нүктесі келесідей жағдайларда болады. уақытынан кейін , уақыт мезетінде нүктесі үшін теңдігі орындалады. уақыты мезетінде нүктенің жүріп өтетін жолы . қатынасы уақытындағы орташа жылдамдықты береді. қаншалықты кішкентай болса, уақыт моментіндегі нүктенің қозғалыс жылдамдығын мейлінше нақтырақ сипаттайды. Қозғалыстың орташа жылдамдығы ұмтылғанда лездік жылдамдық болып табылады.

Сонымен, түзу сызықты қозғалыс жылдамдығы уақытқа қатысты жолдың туындысы. Бұл туындының механикалық мағынасында да көрсетілген.

Дифференциалдық есептеулердің ортақ анықтамасы ұзақ уақыт бойы жеткілікті түрде негізделмеді. XIX ғасырда ғана француздың ұлы математигі

О.Коши шек түсінігіне негізделген дифференциалдық есептеулердің қатаң тұжырымдамасын бекітті. Жалпы білім беретін орта мектептердің оқулықтарында туынды және дифференциалдау туралы шекке қатысты нақты анықтамалар көрсетілмеді және кері тригонометриялық функциялардың туындысын табуға арналған есептерге көңіл бөлінбеді. Математика терең оқытылатын сыныптар үшін туынды ұғымы шекті ұғым арқылы алдын-ала анықталады және оны егжей-тегжейлі қарастырылады. Туындының қолданыс аясына да назар аударылады. Көптеген орта мектептерде өінішке орай, туындының шығу тарихы мен дамуы туралы маңызды және қызықты ақпараттар жоқ. Мұндай түсінбеушілікті жою кез-келген мұғалімнің құзырында.

Сабақта, факультативті сабақтарда немесе сабақтан тыс кезде оқушылардың туынды тақырыбына түсініктерін тереңдету мақсатында әртүрлі материалдарды пайдалануға болады. Практикалық тұрғыдан ең қысқа немесе ең ұзын жолды табу іспетті есептерді ұсынуға болады. Мұндай есептер дифференциалды есептеулердің пайда болуына ықпал еткен түрткілердің біріне жатады. Максимум және минимумды (экстремум) табуға арналған алғашқы есептер б.з.д. V ғасырда да кездескен. Бұл есептерді шешумен Евклид, Архимед, Кеплер, Герон, Фермалар айналысты. Алайда есептерді шешудің ортақ әдісі табылмады. Әр есептің өзіндік бір шығару жолы болды. XVII ғасырда ғана Ньютон мен Лейбництің арқасында экстремумды табуға арналған баршаға ортақ оңтайлы әдіс жарық көрді.

Дифференциалдық есептеуді математиканың басқа амалдарынан тәуелсіз ету тәртібі XVII ғасырдың екінші жартысында И.Ньютон және Г.Лейбниц есімдерімен байланысты танылды. Олар дифференциалдық есептеудің негізгі ережелерін тұжырымдады. Осы кезден бастап дифференциалдық есептеу математикалық талдаудың негізгі бөлігі болып табылды.

Дифференциалдық есептеудің дамуы туралы сөз қозғағанда дифференциялды есептеудің маңызды әдістерін қалыптастырған екі тұлға Исаак Ньютон және Готфрид Лейбницті айтпай кете алмаймыз. Осы ұлы ғалымдар жасаған математикалық әдіс-тәсілдер қазіргі математиканың негізі болып табылады [3].

Ньютонның жазбаларында дифференциалдық есептеулер “флюксия” деп аталады. Айнымалы шаманы “флюэнта” (лат. fluere – ағу), ал флюэнтаның өзгеру жылдамдығы “флюксия” (лат. fluxio – ағынды) деп атады. Шексіз аз шама туралы анализді Ньютон механиканың көмегімен құрастырды. Флюэнталардың ортақ аргументін Ньютон уақыт деп санады. Бұл уақыт тек физикалық уақыт қана емес, сонымен қоса уақыт өте келе өзгеріске ұшырайтын кез келген өлшем болуы да мүмкін. Қазіргі көзқараспен қарайтын болсақ флюкция флюэнтаның уақыт бойынша алынған туындысына тең.

Кейінірек Ньютон флюэнтаны , ал олардың флюксияларын деп белгілей бастады. Соңғы белгілер әлі күнге дейін ғылымда туындыларды белгілеуге қолданылады.

Ньютонның флюксияны есептеудегі негізгі мәселесі: флюэнталар арасындағы қатынаспен олардың флюксияларының қатынасын табу (берілген функциялар арасындағы қатынас бойынша олардың туындыларының арасындағы қатынасты табу). Ол мәселені мысалдар арқылы шешеді, бірақ шешімі жалпыға ортақ: флюэнталар байланыстыратын кез келген алгебралық теңдеуге қолданылады [4].

Тұжырымдама. Бірнеше флюэнталармен теңдеу берілсін: . Флюэнталар арасындағы сәйкес теңдеуді шешу үшін біз бұл теңдіктегі флюэнтасын флюксиясына, флюэнтасын флюксиясына алмастыру жұмысын жүргіземіз.

Мұндағы -уақыттың шексіз аз өсімшесі (яғни , ).

Сонда:

теңдеуін аламыз. Жақшаны ашып, формулаға шығарсақ келесідей теңдеуді аламыз:

,

.

Бастапқы теңдеуді негіздей отырып, соңғы теңдеудегі құрамында жоқ мүшелер қосындысы нөлге тең екенін байқаймыз. Ал қалған мүшелерді ( нөлге тең емес деп алып) -ға қысқартамыз. Нәтижесінде:

.

Жоғарғы ретті шексіз аз шамаларды елемеу принципіне сүйеніп, құрамында және бар мүшелерді жазбай кетеміз. Сонда:

.

Ньютонның тұжырымдамасы бойынша: флюэнталар теңдеуінен флюксиялар теңдеуіне көшу үшін теңдеудегі әрбір флюэнтаны өзіне ұйқас флюксиямен алмастырып, алынған өрнектерді өзара біріктіру қажет. Мысалы: 3-дәрежелі флюэнтаның флюксиясы . Ал берілген теңдеудің флюксиясы -ке тең. Шындығында, бұл жерде қосындыны дифференциалдау ережелері, натурал көрсеткішті дәреженің туындысы және тұрақты көбейткіші бар өрнектердің туындысы жасырылған.

Уақыт өте келе, Ньютон бұдан басқа есептеу жолын табуға кіріседі. Арнайы негізі бар, әрі неғұрлым тиімді әдіс табу барысында ғалым ұзақ еңбектенеді. Ньютон флюэнталармен берілген теңдеуде бөлшек немесе радикалдар болса, оған басқаша жол қажеттігін жақсы түсінді.

Туынды ұғымның дамуы мен пайда болу тарихын оқу сабақтары кезінде қосымша пайдалануға болады. Тек есеппен ғана емес, қосымша ізденіс жұмыстарымен айналысу да, әр нәрсенің шығу тарихы да оқушылар үшін қызығушылық арттырары сөзсіз.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

1. «Методика обучения производной в курсе алгебры и начал анализа общеобразовательной школы»: диссертация. Е.И. Дубровская. Тольятти-2020, 127 с.

2. Жəутіков О.А.Математикалық анализ курсы. Оқулық/ Жəутіков О.А. Екінші басылым; Қазақстан Республикасы Жоғары оқу орындарының қауымдастығы. – Алматы: «Экономик» баспасы, 2014,147-бет.

3. Ибрашев, Х.И., Еркеғұлов, Ш.Т. Математикалық анализ курсы : Оқулық. 2-том / ҚР Білім және ғылым министрлігі, ҚР жоғару оқу орындарының қауымдастығы. - Алматы: Экономика 2014, 59-бет.