Ашық сабақ Дифференциалдық теңдеулер. Айнымалары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер 11 сынып

1 слайд
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: VIII бөлім. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы мағлұмат. Айнымалары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Оқу мақсаты: 11.4.1.24. Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифферен- циалдық теңдеулерді шеше білу.

2 слайд
Оқушылардың басым көпшілігі: Дифференциалдық теңдеулер туралы түсінігі болады. Оқушылардың барлығы дерлік: Дербес және жалпы шешімдерінің айырмашылғын біледі және есеп шығаруда қолдана алады. Кейбір оқушылар: Дифференциалдың теңдеулердің химия, биология және медицина ілімдерінде қолдану

3 слайд
Пәнге тән терминология: Дифференциалдық теңдеу-дифференциальное уравнение – Differtial equation Жалпы шешім – общее решение – common decision Дербес шешім – частное решение – particular solution Дифференциалдау- дифференцирование – differentiation Функция туындысы – производная функции- derivative Анықталмаған интеграл – неизвестный интеграл – indefinite integral Коши есебі- задача Коши – Cauchy problem

4 слайд
Амандасу Сабақ мақсаттары айтылады. Топқа бөлу. Оқушылар әр түрлі фигураларды алып, оған бірдей тақырыптарды табу арқылы жұптарын табады. Интеграл Дифференциал Алғашқы функция Интеграл Дифференциал Алғашқы функция Тақырыпқа шығу

5 слайд
Дифференциалдық теңдеулер жайлы негізгі түсініктер. Анықтама . Дифференциалдық теңдеу деп, тәуелсіз айнымалыны, оның функциясын және осы функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеуді атаймыз. Анықтама . Егер дифференциалдық теңдеуде тәуелсіз айнымалы біреу болса, онда теңдеу қарапайым деп аталады, ал егер тәуелсіз айнымалы екі немесе оданда көп болса, онда теңдеу дербес туындыдағы дифференциалдық теңдеу деп аталады. Анықтама . Теңдеуге кіретін туындының ең жоғары реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.

6 слайд
Дифференциалдық теңдеулер жалпы түрде келесі формулалармен жазылады:    0 ,..., , , ,    n y y y y x F 0 ,..., , , , 2 2               n n x y dx y x y y x F Мысалы: 1)     2 2 5 y xy y x бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу; 2)    2 2 2 4 x dx dy xy dx y d екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу; 3)        0 2 2 y z y x z x бірінші ретті дербес туындыдағы дифференциалдық теңдеу.

7 слайд
Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер   0 , ,   y y x F немесе y ке қатысты шешілген   y x f y ,  түріндегі теңдеулер. Анықтама . Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп, дифференциалданатын   x y   функциясын айтамыз, бұл функцияны теңдеудегі белгісіз функцияның орнына қойғанда теңдеуді тепе – теңдікке айналдырады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процессі, дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп аталады. Анықтама . Бірінші ретті  y x f y ,  дифференциалдық теңдеуінің D облысындағы жалпы шешімі деп, келесі шарттарды қанағаттандыратын   C x y ,   функциясын айтамыз: 1) ол қандай да бір жиында жататын кез келген C тұрақтысының мәнінде берілген теңдеудің шешімі болады; 2) кез келген   0 0 y x y  бастапқы шарт үшін,   D y x  0 0, болғанда,   0 ,C x y   шешімі берілген бастапқы шартты қанағаттандыратын тек ғана 0 C C  тең болатын жағыз мәні бар болады. Анықтама . Жалпы шешім   C x y ,   функциясынан кез келген   0 ,C x y   шешімі нақты 0 C C  болғандағы мәнінде дербес шешім деп аталады.

8 слайд
Анықтама . Берілген   0 0 y x y  бастапқы шартын қанағаттандыратын   y x f y ,  дифференциалдық теңдеуінің дербес шешім табу есебі Коши есебі деп аталады. Анықтама . Дифференциалдық теңдеудің кез келген   x y   шешімінің жазықтығындағы тұрғызылған графигі осы теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады. Сонымен   C x y ,   жалпы шешіміне Oxy жазықтығында интегралдық қисықтардың кездейсоқ  C тұрақтысынан тәуелді болатын тобы сәйкес келеді,   0 0 y x y  бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешіміне осы топтың берілген   0 0 0 ;y x M  нүктесінен өтетін қисығы сәйкес келеді. Теорема (Коши) . Егер  y x f , функциясы D облысында үздіксіз және y f   үздіксіз туындысы бар болса, онда   0 0 y x y  бастапқы шарты берілгенде   y x f y ,   дифференциалдық теңдеуінің шешімі бар және жалғыз болады, яғни берілген теңдеудің   0 0;y x нүктесі арқылы өтетін жалғыз интегралдық қисығы өтеді.

9 слайд
Анықтама . Дифференциалдық теңдеуінің ерекше шешімі деп, барлық нүктеде жалғыздық шарты орындалмайтын шешімді айтамыз, яғни ерекше шешімнің әрбір   y x, нүктесінің кез келген аймағында осы нүкте арқылы өтетін ең кемінде екі интегралдық қисық бар болады. Ерекше шешім жалпы шешімнен кездейсоқ C тұрақтысының ешбір мәнінде алынбайды.

10 слайд
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер .        0 2 2 1 1   dy y x f dx y x f   (1) Егер         y y x f x f 2 1 2 1 , , ,   функциялары-ның бірде бірі нөлге тепе тең болмаса, онда (1) теңдіктің екі жағын     y x f 1 2  көбейткішіне бөле отырып, келесі түрдегі теңдеуді аламыз         0 2 1 2 1   dx y y dx x f x f   (2) Бұл теңдеуді мүшелеп интегралдау келесі қатынасқа әкеледі         C dy y y dx x f x f     2 1 2 1   . (3) Бұл теңдеу берілген теңдеуідің шешімін айқындалмаған түрде анықтайды. Дифференциалдық теңдеудің айқын түрде өрнектелуі сол теңдеудің интегралы деп аталады.

11 слайд
Мысалы:   0 4 2    ydy dx y x теңдеуін шеш. Шешімі: Бұл теңдеудің екі жағын 0 4 2   y бөлеміз, сонда 0 4 2    y ydy xdx Бұл теңдікті мүшелеп интегралдаймыз C y x C y x C y ydy dxx 2 4 ln ; 4 ln 2 1 2 ; 4 2 2 2 2 2            соңғы теңдікте C2 тұрақты болғандықтан оны C C ln 2  деп белгілейміз, сонда C y x ln 4 ln 2 2    бұдан 2 2 ln 4 ln x C y    немесе 2 4 2 x Ce y    бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі. Енді 0 4 2   y болсын, яғни 2   y Бұл берілген теңдеудің ерекше шешімі болмайды, себебі 0  C болғанда алынады.

12 слайд
Мысал: tgxtgy y   теңдеуінің жалпы интегралын тап. Шешімі: dx dy y  болғандықтан теңдеуді tgxtgy dx dy  түрінде жазамыз, бұдан tgxdx ctgydy  енді осы теңдеудің екі жағын интегралдаймыз dx x x dy y y tgxdx ctgydy       cos sin sin cos , x C x C x y cos sin , ln cos ln sin ln     немесе C x y  cos sin бұл берілген теңдеудің жалпы интегралы. Мысалы: Бастапқы шарты   4 2   y болатын 0   y yx теңдеуінің дербес шешімін тап. Шешімі: Алдымен б ерілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз, сондықтан dx dy y  болғандықтан қарастырып отырған теңдеуіміз келесі түрде жазылады 0   y dx dy x Бұл теңдеудің екі жағын . xy dx - ке көбейту арқылы айнымалылары ажыратылған теңдеу аламыз 0   x dx y dy бұдан x dx y dy  енді осы теңдеудің екі жағын интегралдаймыз    x dx y dy , C x y ln ln ln   , xC y ln ln  , xC y  . Соңғы теңдеу берілген теңдеудің жалпы шешімі болып табылады . Сондықтан бастапқы шартты қолдана отырып, C - ның мәнін анықтаймыз 2 C ,4 C2     . Демек берілген теңдеудің дербес шешімі келесі түрде жазылады x 2 y   .

13 слайд
Жеке жұмыс – 10 минут - Дифференциалдық теңдеулер туралы түсінігі болады. -Дербес және жалпы шешімдерінің айырмашылғын біледі және есеп шығаруда қолдана алады. - Дифференциалдың теңдеулердің химия, биология және медицина ілімдерінде қолдану

14 слайд
-мысал. 0 1   ydy dx x теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз. Шешімі. Мүшелеп инегралдап, теңдеудің жалпы интегралын аламыз, яғни C ydy dx x     1 немесе C y x   2 2 1 ln . Соңғы теңдеуді y -ке қатысты шешіп, берілген теңдеудің шешімін аламыз, яғни x C y ln 2 2 2   немесе 2 ln 2 x C y   (жалпы шешім).

15 слайд
2-мысал. x y dx dy  теңдеуінің шешімін анықтаңыз. Шешімі. Бұл теңдеу (11) түрдегі айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Айнымалыларын ажыратсақ, онда x dx y dy  . Екі жағын да интегралдап оның жалпы интегралын аламыз: C x y x dx y dy ln ln ln ;      , немесе x C y   ln ln (жалпы интегралы). Соңғы теңдеуді y ке қатысты шешіп, теңдеудің жалпы шешімін аламыз, яғни Cx y 

16 слайд
3-мысал. 0 ) 1( ) 1( 2 2     ydy x dx y теңдеуін шешіңіз. Шешімі. Бұл теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын да ) 1)( 1( 2 2 x y   өрнегіне бөлсек, онда айнымалылары ажыратылған теңдеу аламыз: 0 1 1 2 2     dy y y x dx . Екі жағын да интегралдау арқылы оның жалпы интегралын аламыз, яғни C dy y y x dx       2 2 1 1 , немесе C y arctgx ln 1 ln 2 1 2    (жалпы интеграл). Соңғы теңдеуден: 2 2 1 ln ; 1 ln ln y C zrctgx y C arctgx      , немесе ) 1 ln( 2y C tg x   (жалпы шешім).

17 слайд
4-мысал. 0 1 2    x y xy теңдеуін шешіңіз. Шешімі. Функцияның туындысын дифференциал        dx dy y арқылы өрнектесек, онда 0 1 2    x dx dy xy . Бұдан, .0 )1 ( 2    dx x xydy Теңдеудің екі жағын да x-ке бөліп, айнымалылары ажыратылған теңдеу аламыз, яғни 0 1 2    dx x x ydy . Соңғы теңдеуді интегралдау арқылы берілген теңдеудің шешімін табыңыз. 2 2 2 2 2 2 ln ln ln 2 2 1 Cx x y C x x y C dx x x ydy             (жалпы интеграл).

18 слайд
5-мысал. y x yy 2 1  теңдеуін шешіңіз. Шешімі. dx dy y  екендігін ескерсек, онда: dx y x ydy y x dx dy y 2 1 2 1      . Соңғы теңдеудің екі жағын да y -ке көбейтіп, шыққан теңдеуді интегралдап, берілген теңдеудің шешімін табамыз. Онда: . 3 3 3 3 3 3 2 2 3 ) 2 1( ) 2 1( 3 2 2 3 2 3 2 2 C x x y C x x y C x x y C dx x dy y dx x dy y                    

19 слайд
6-мысал. 0 )1 ( )2 (     dx y dy x теңдеуінің 2 1  xy алғашқы шартын қанағаттадыратын дрбес шешімін табыңыз. Шешімі. Теңдеудің айнымалыларын ажыратып, интегралдасақ, онда: . 2 1 ; 2 1 1 ;2 ln 1 ln ; ln 2 ln 1 ln ; ln 2 1 ;0 2 1                         x C y x C y x C y C x y C x dx y dy x dx y dy Соңғы теңдеуден, .1 2    x C y Берілген алғашқы шарттан, 1  x болғанда 2  y екендігін ескеріп, теңдеудің жалпы шешімінен С тұрақтысының мәнін табамыз. 1 3 2   C немесе .3  C Табылған .3  C мәнін теңдеудің жалпы шешіміне қойып, оның дербес шешімін табамыз. Яғни, .1 2 3    x y

20 слайд

21 слайд
Бактерияның көбею жылдамдығы туралы есеп Есеп. (Бактерияның көбею жылдамдығы) Бактерияның көбею жылдамдығы оның мөлшеріне пропорционал. Бастапқы t=0 уақыт мезетінде 100 бактерия болды делік, ал 3 сағаттан кейін оның саны екі есе өсті. Бактерия санының уақытқа тәуелділігін табыңыз. 9 сағатта бактерия саны қанша есе артады? Шешуі: Берілген уақыт мезетіндегі бактерия санын x делік. Онда есептің шарты бойынша оның дифференциалдық теңдеуі kx dt dx  болады. Мұндағы k пропорционалдық коэффициенті. Бұл дифференциалдық теңдеудің айнымалыларын ажыратып, интегралдап kt Ce x  табамыз. 0 t болғанда 100  x бастапқы шартын пайдаланып С мәнін анықтаймыз. С=100, яғни . 100 kte x  3 t болғанда 200  x қосымша шартынан k пропорционалдық коэффициентін анықтаймыз. k e3 100 200  немесе k e3 2  , яғни бұдан 3 1 2  ke . Сондықтан ізделініп отырған функция 32 100 t x   болады. Бұдан 9 t болғанда 800  x болады. Сонымен, 9 сағатта бактерияның саны 8 есе өседі.

22 слайд
Рефлексия 4 минут Көңіл -күй ағашына жемістер жабыстырамыз. Жасыл - сабақ маған ұнады, түсінікті болды Қызыл -сабақ маған ұнамады, түсініксіз болды Сары -орташа деңгейде түсіндім.