9 сынып математикадан олимпиада емептерін шешу жолдары

Математикадан ектепішілік күзгі олимпиада 2017
9-сынып 2-тур
9.1. Өлшемі 8(8 кестенің әрбір шаршысында бүтін сан жазыңдар: кез келген 1(4 және 4(1 тік төртбұрыштағы сандардың қосындысы жұп, ал барлық сандардың қосындысы тақ болсын. /3 ұпай/

9.2. L және M нүктелері ABCD тік төртбұрышының сәйкес AB және BC қабырғаларының ортасы, ал P – CL мен AM кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер (MPC = 30( болса, LDM бұрышын тап. /7 ұпай/

9.3. Қайсысы үлкен: 7926 ме, әлде 24421 ме және неліктен? /4 ұпай/

9.4. Мына теңдікті қанағаттандыратын a, b, c натурал сандары табыла ма: (a + b)(b + c)(a + c) = 4242? / 5 ұпай/

9.5. Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының AC және BC қабырғалларынан AD:DC = 3:4 және BE:EC = 2:3 болатындай етіп сәйкесінше D және E нүктелері алынған. Егер AE мен BD кесінділері F нүктесінде қиылысса, (AF(BF) / (FE(FD) мәнін тап. /6-ұпай/





Математикадан ектепішілік күзгі олимпиада 2017
9-сынып 2-тур
9.1. Өлшемі 8(8 кестенің әрбір шаршысында бүтін сан жазыңдар: кез келген 1(4 және 4(1 тік төртбұрыштағы сандардың қосындысы жұп, ал барлық сандардың қосындысы тақ болсын. /3 ұпай/

9.2. L және M нүктелері ABCD тік төртбұрышының сәйкес AB және BC қабырғаларының ортасы, ал P – CL мен AM кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер (MPC = 30( болса, LDM бұрышын тап. /7 ұпай/

9.3. Қайсысы үлкен: 7926 ме, әлде 24421 ме және неліктен? /4 ұпай/

9.4. Мына теңдікті қанағаттандыратын a, b, c натурал сандары табыла ма: (a + b)(b + c)(a + c) = 4242? / 5 ұпай/

9.5. Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының AC және BC қабырғалларынан AD:DC = 3:4 және BE:EC = 2:3 болатындай етіп сәйкесінше D және E нүктелері алынған. Егер AE мен BD кесінділері F нүктесінде қиылысса, (AF(BF) / (FE(FD) мәнін тап. /6-ұпай/



ШЕШІМДЕРІ

8.1. Өлшемі 8(8 кестенің әрбір шаршысында бүтін сан жазыңдар: кез келген 1(4 және 4(1 тік төртбұрыштағы сандардың қосындысы жұп, ал барлық сандардың қосындысы тақ болсын..
8.1.
0
1
3
0
0
1

0
0
5
1
2
0

1
0
0
3
1
0

1
1
4
0
3
1

0
5
1
2
0
1

6
0
3
1
0
0


8.2. L және M нүктелері ABCD тік төртбұрышының сәйкес AB және BC қабырғаларының ортасы, ал P – CL мен AM кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер (MPC = 30( болса, LDM бұрышын тап.
8.2.x = (LDC, y = (MDM болсын. Онда (LDC = (DLA = (PLB = x + y. Сонымен бірге (LPM = (APC = 150(. Ал (PMB = (DМС = 90( – y.
LPMB төртбұрышының ішкі бұрыштарының қосындысы 360(-қа тең: (BLP + (LPM + (PMB + (MBL = 360(, яғни x + y + 150( + 90( – y + 90( = 360(. Осыдан x = 30(.


8.3. Қайсысы үлкен: 7926 ме, әлде 24421 ме және неліктен?

8.3. 7926 < 8126 < 3104 < 3105 < (35)21 = 24321 < 24421.

8.4. Мына теңдікті қанағаттандыратын a, b, c натурал сандары табыла ма: (a + b)(b + c)(a + c) = 4242?
8.4. 4242 = 2(3(7(101. Теңдеудің натурал a, b, c шешімі табылса, онда a + b, b + c, a + c сандарының біреуі 101-ге бөліну керек, мысалы a + b саны. Онда кебір k натурал саны үшін a + b = 101k. Осыдан 101k(b + c)(a + c) = 4242, немесе k(b + c)(a + c) = 42. Осы теңдіктегі жақшаны ашса k[ab + c(a + b) + c2] = 42, немесе k[ab + 101kc + c2] = 42 теңдігіне келеміз. Ал k[ab + 101kc + c2] > 42. Қайшылық. Сондықтан теңдеудің натурал шешімі табылмайды.

8.5. Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының AC және BC қабырғалларынан AD:DC = 3:4 және BE:EC = 2:3 болатындай етіп сәйкесінше D және E нүктелері алынған. Егер AE мен BD кесінділері F нүктесінде қиылысса, (AF(BF) / (FE(FD) мәнін тап.

8.6. 99 жәшікте алмалар мен апельсиндер бар. Барлық алмалардың жартысынан көбі және барлық апельсиндердің жартысынан көбі жататын 50 жәшік таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.
8.6. Жәшіктерді алманың мөлшері бойынша кемімелі реттейік: x1 ( x2 ( ( x99, мұндағы xi – i-жәшіктегі алманың мөлшері. Енді x1 мөлшеріндегі бар бір жәшікті жеке қойып, қалған 98 жәшікті екі топқа бөлейік: әуелі бірінші топқа – екінші жәшікті, екінші топқа – үшінші жәшікті.
Мұнда
, 1-шіден басқа, тақ нөмірлі жәшіктерді. Онда x2 + x4 + + x98 > x3 + x5 + + x99 және (x2 + x4 + + x98) – (x3 + x5 + + x99)





















9-сынып
9.1. xy = x + y = 2006 теңдеуінің барлық бүтін, теріс емес шешімдерін анықта.
9.1. xy – x + y = x(y – 1) + y, сондықтан алғашқы теңдеуді x(y – 1) + y = 2006 түрінде жазуға болады. Енді z = y – 1 деп алайық. Онда теңдеу xz + z + 1 = 2006, xz + z = 2005, z(x + 1) = 2005 теңдеуіне айналады. Соңғы теңдеудің теріс емес x және бүтін z ≥ 1 шешімін табайық.
2005 = 5(401 және 401 – жай сан. Сондықтан теңдеуіне x(z + 1) = 2005 үш жағдай болу мүмкін.
1) x1 + 1 = 1, z1 = 2005, яғни x1 = 0.
2) x2 + 1 = 5, z2 = 401, яғни x2 = 4.
3) x3 + 1 = 401, z3 = 5, яғни x3 = 400.
4) x4 + 1 = 2005, z3 = 1, яғни x3 = 2004.
Осыдан алғашқы теңдеуің қалған төрт шешімі бар:
x1 = 0, y1 = 2006; x2 = 4, y2= 402; x3 = 400, y3 = 6; x4 = 2004, y4 = 2.

9.2. ABCD трапециясында AB || CD, ал қабырғалары AB = 8, BC = 5, CD = 4 және AD = 3. Егер E – ADC және BCD бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктелері болса, CDE үшбұрышының ауданын тап.
9.2. (EDN = (ADE және (EDN = (AED, сондықтан (ADE = (AED, яғни AED – теңбүйірлі үшбұрыш. Осыдан AE = AD = 3.
Осыған үқсас (NCE = (ECB, (NCE = BEC, сондықтан BEC – теңбүйірлі үшбұрыш. Осыдан BE = BD = 5.
DH, EN, CK сәйкесінше ADE, DEC, BCE үшбұрыштарының биіктіктері және x = KB, y = AH болсын. Пифагор теоремасы бойынша, AD2 = y2 + h2 және BC2 = x2 + h2, мұндағы h – трапецияның биіктігі. Осыдан 9 = y2 + h2, 25 = x2 + h2. Осыдан 16 = x2 – y2, (x – y)(x + y) = 16, x – y = 4. Ал x + y = 4. Сондықтан x = 4, y = 0. Онда h = 3. Енді SDEC = 0,5(h(DC = 0,5(3(4 = 6.
Іс жүзінде (DAB = 30(. Бірақ басында ол есептің шығару барысында табылды.



9.3. 8.3-есепті қара.
9.4. Егер b > 2ac болса, натурал a, b, c коэффициенттері бар ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлері иррационал екенін дәлелдеңдер.
9.5. ABC үшбұрышында (B = 60(, (C = 90( және AB = 1. Тең қабырғалы BCP, CAQ және ABR үшбұрыштары ABC-ға сырттай салынған. QR және AB кесінділері T қиылысады. PRT үшбұрышының ауданын табыңдар.
9.6. 8.6-есепті қара.