Бозе - Эйнштейн конденсациясы. Әлсіз идеал емес бозе – газындағы квази бөлшектер.

Бұрыннан белгілі реал сұйықтағы энергетикалық спектрдің теориялық анықтамасын шешу аналогиялық тұрғыдан мүмкін емес. Сондықтан энергетикалық спектр туындайтын кез келген жай модельдің құрамы, жоғарыда айтылған жағдай және аналогиялық мән айтарлықтай ерекшелігі болып табылады. Бұл бөлімде біз нақты мәні анықталатын әлсіз идеал емес бозе- газындағы энегетикалық спектрдің бірінші ретті кері теориясының шешуін қарастырамыз. Н.Н.Боголюбовтың бұл есепті шешуінің негізгі әдісі болып, импульсті кеңстікте бозе- бөлшегінің макраскопиялық санының «конденсациясы» болып табылады. Шындығында, Бозе- Эйнштейн статистиксына бағынатын бөлшектер Паули принципіне бағынатын Ферми статистикасына қарағанда кез келген мөлшерде бір кванттық күйде бола алады. Бұл дегеніміз, критикалық температурадан Т_с төмен, р=0 импульске ие макраскопиялық бөлшектер санының артуына әсер етеді. Бұларды конденсациялық бөлшектер деп атайды. Бұл бөлшектердің саны біртекті жүйеде мына формуламен анықталады:

(4.1)

Жұптық өзара әсерлесетін Бозе- бөлшек жүйесінің Гамильтонианы екінші ретті квантталу кезінде былай анықталады:

(4.2)

мұндағы

(4.3)

(4.4)

• шреденгерлік толқын функциясының базисіндегі бірбөлшекті және екі бөлшекті операторларының матрицалық элементі, - газдың химиялық потенциалы, - бөлшек арасындағы жұптық өзара әсер потенциалы. ретінде меншікті толқындық функцияның еркін гамильтонианын , демек жазық толқынды пайдаланамыз

өзара байланысты ескеріп

(4.5)

Бұдан (4.6)

Мұндағы - атом аралық потенциалдың Фурье- үлгісі

(4.7)

Бозе- бөлшектің туындау және жою операторлары және комунтаторлық өзара әсерге бағынатынын ескереміз.

, (4.8)

Боголюбовтың негізгі идеясы конденсатта бөлшектердің саны көп болса, онда

(4.9)

және оларды және комутативті деп есептейміз. Бұл жағдайда нолдік импульсті бөлшек саны вариациялық параметр ретінде қарастыруға болады.

Енді гамильтониан сумма түрінде беріледі:

(4.10)

Мұндағы

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Мұнда сумма үстіндегі жұлдызша айнымалының нолдік емес мәнін білдіреді.

Келесі жуықтау Боголюбовтың зерттеуі бойынша, мына өрнектердің тіркеуде тұрады. Бұл жағдайда, алынған туындау және жою операторларының гамильтонианын квадрат түрінен диагональ түріне келтіру керек. Бұл дегеніміз, қорытқы гамильтониан және операторларының санына тең. Гамильтонианды диагональдау үшін туындау және жою операторларына Боголюбовтың түрлендіруін қолданамыз:

Егер, түрлендіру коэффициенттері және мына өрнекті қанағаттандырса, онда оларды жеңіл тексеруге болады:

және операторлары (4.8) өзара әсер алмасуларына бағынады. Бұл дегеніміз, Боголюбовтың түрлендіруі - канондық болады. Бұл өрнекте бір анықталмаған параметрге көшу ыңғайлы болады

Соңғы өрнектерді гамильтонианына және дигональ емес мүшелердің коэффициенттерін нольге теңестірсек,

Мұндағы

• квазибөлшектердің энергиясы; бұл жүйедегі құрылым факторы мына өрнекпен анықталады:

• әлсіз идеал емес бозе- газының негізгі күй энергиясы.

Сөйтіп, біз әлсіз идеал емес бозе- бөлшек гамильтонынан , квази бөлшектердегі энергетикалық спектр арқылы өзара әсерлесетін гамильтонианына ауыстық. Боголюбовтың канондық түрлендіруінде енгізілген жаңа операторлар, р импульсті күйдегі квази бөлшектердің туындау және жою операторларының мәніне ие. Қысқа толқынды қозу кезінде екінші өзара әсерлесетін (4.21) формуласындағы жақша ішіндегі өрнекті ескермеуге болады. Бұл жағдайда , ал (4.20) формуласы еркін бөлшек спектріне ауысады.

Бұл бөлімде қарастырылған жағдай әлсіз қозу күйінде шынайы үлгіде квази бөлшектердің концепциясын туындауын түсініп қана қоймай, кваттық статистикалық физиканың есептерін шешу кезінде екінші ретті квантталу әдісінің қаншалықты күшті және мінсіз екенін демонстрациялады.