ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС Тақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы» 5В060100-«Математика» мамандығы бойынша

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті Физика, математика және ақпараттық технологиялар факультеті Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасы

Қорғауға жіберілді (жіберілмеді).

______________________________

_____ кафедрасының меңгерушісі

____________________(Аты-жөні)

қолы

«____»________________ 2016ж.

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы»

5В060100-«Математика» мамандығы бойынша

Орындаған: Бақтығали Жаннат Нұрлыбекқызы

Ғылыми жетекшісі: Толеуова Р.У техника ғылымдарының кандидаты

Атырау 2016

Мазмұны

КІРІСПЕ....................................................................................................................

1НЕГІЗГІ БӨЛІМ....................................................................................................

1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру..............................................................

1.1 Жаңа сандарды құру............................................................................................

1.2 Жаңа сандарды анықтау әдістері......................................................................

1.3 Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы..............................

1.3.1 Көбейту кестесі................................................................................................

1.4 Жаңа алгебраны алу әдістері.............................................................................

1.4.1 Жалпыланған екі еселеу әдісі..........................................................................

1.4.2 Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісі.......................................................

1.4.3 Гиперквадратты сандар..................................................................................

1.4.4 Кэли – Диксонның екі еселеу әдісі................................................................

1.5 Бикватерниондар алгебрасы..............................................................................

1.6 Гиперболалық кватерниондар алгебрасы..........................................................

1.7 Дуалді кватерниондар алгебрасы.......................................................................

1.8 Дуалді гиперболалық кватерниондар алгебрасы..............................................

1.9 Дуальді бикватерниондар алгебрасы.................................................................

2 Кватерниондар мен бикватерниондардың қолданылулары...............................

2.1 Кватерниондардың кейбір қолданулары...........................................................

2.2 Бір айнымалы кватерниондық қарапайым функциялар..................................

2.2.1 Кватернионды логарифмді функция құрылымы...........................................

2.3 Кватернионның физикалық қолданулары.........................................................

2.4 Кватернионды сызықтық дифференциалдық теңдеу.......................................

2.5 Бір айнымалы бикватерниондық функциялар..................................................

2.6 Бикватерниондардың кейбір қолданулары.......................................................

2.7 Бикватернионның манипулятор кинематикасы есебін шешудегі қолданысы .................................................................................................................

2.8 Бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы.......................................

2.9 Минковский кеңістігіндегі Лоренц түрлендірулері.......................................

2.10 М кеңістігіндегі бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы........

2.11 және кеңістіктерінің құрылымы....................................................................

ҚОРЫТЫНДЫ........................................................................................................

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ...................................................

Кіріспе

Математиканың басқа ғылымдардың әртүрлі салаларындағы қолданылуында комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың, қазіргі кезде бұлардың жалпыламасы болып табылатын полисандардың қолданылатындығы белгілі. Гиперболалық, параболалық сандардың геометриялық қасиеттері кеңінен қарастырылғанымен [5,12], олардың алгебралық қасиеттеріне арналған зерттеулер көп кездеспейді. Сондықтан нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуінен шығатын жалпыланған сандардың, нақты сандар өрісінің алгебралық қасиеттеріне жақын келетін алгебралық құрылымдарды зерттеу өзекті болып табылады.

Сан ұғымы математикадағы ең маңызды зерттеу объектісі болып табылады. Сандық жиындарды ретімен орналастырып, осы алгебралық кеңеюлерді құрудағы алгебралық структураларды ретімен қарастыралық. Бұларды сәйкесінше натурал, бүтін, рационал, нақты, комплекс, сандық жиындар деп атау қабылданған.

Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары нәтижесі натурал сан болады, яғни алгебра құрайды. Қосу және көбейту амалдары терімділік, орын ауыстырымдылық және үлестірімділік заңдылықтарына бағынады. Сондықтан бұл жүйе натурал сандардың коммутативті жартылай сақинасы деп аталады. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай етіп, кеңейту нәтижесінде бүтін сандардың жиыны шығады. Сонда, алгебрасы коммутативті сақина құрайды. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай кеңейтудің нәтижесінде рационал сандардың жиыны шығады. алгебрасы коммутативті өріс құрайды . Рационал сандар өрісі барлық сандық өрістердің қиылысуында жататын ең кіші сандық өріс болады. Рационал сандар өрісіне шексіз периодсыз ондық бөлшектерді қосу арқылы, нақты сандардың өрісін аламыз. Бұл өріс мектепте қарастырылатын сандық жиындардың ең үлкені болып табылады. Нақты сандар өрісін теңдеуінің шешімі болатындай етіп кеңейтудің нәтижесінде комплекс сандардың өрісі шықты. Жалпы математикадағы табиғаты сан болатын бұл ең үлкен өріс. Сондықтан комплекс сандар өрісінің ішкі өрістерін сандық өрістер деп атайды.

Дискрминантың нөл, оң және теріс сан болуына байланысты, нақты сандар жиынының кеңейтілуі математикада сәйкесінше параболалық, гиперболалық және эллипстік сандар жиыны деп атау қабылданған [8]. дипломдық жұмыста пайда болған жаңа сандар жиынында, оның элементтерін қалайша қосуға және көбейтуге болады, мұнда шыққан алгебралардың құрамы қандай деген сұрақтарға жауап іздейміз.

Енді осы алгебралардың қалай пайда болатынына тоқталайық:

; (0.1)

теңдеуін түрлендірейік, яғни толық квадратқа келтірейік.

. (0.2)

(0.2) теңдіктің оң жағын (дискриминант) деп алсақ, онда Енді осы санының мүмкін болатын үш жағдайын қарастыралық:

₁₎ – теріс сан болсын, сонда нақты сан табылып, Бұны (0.2) теңдікке қойып, мынаны аламыз: немесе .

Енді белгілеуін енгізсек, онда болатындығы шығады. Бұл жағдайда белгілі комплекс сан ұғымына келеміз. Комплекс сандарды кейбір әдебиеттерде эллипстік сандар деп те атайды [8].

2) D – нөлге тең болсын, онда болатынын аламыз. белгілеуін енгізсек, онда дискриминант түріне келеді. Осы шартты қанағаттандыратын санын дуалдық немесе параболалық сандар деп атайды.

3) D – оң сан болсын, сонда нақты сан табылып, және (0.2) теңдігінен мынаны аламыз: . белгілеуін енгізсек, онда . Бұл шартты қанағаттандыратын сандарды қосарланған немесе гиперболалық сан деп атаймы3.

Қосарланған және дуалді сандарды алудың математикадағы әртүрлі бағыттарға тоқталалық.

Бірінші бағыт келтірілген ( ) квадрат теңдеуінің түбірлерінің бар болуын зерттеуге байланысты, дәстүрлі көз-қарас [5,12]. Теңдеуінің дискриминанты теріс, оң және нөл болуына байланысты түрлендірулердің нәтижесінде , теңдіктерінің шығатындығын жоғарыда көрсеттік.

Екінші бағыт өрісті таза алгебралық кеңейтудің Грассман – Клиффорд және Кэли-Диксон процесін [5,17] қолдану арқылы комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың , , жиындарын ашық түрде алып, оның элементтеріне қосу және көбейту амалдарын дәстүрлі түрде анықтайды.

Үшінші бағыт қолданбалы математикада [8] кеңінен қолданылатын жазық векторлар ұғымын пайдаланып жалпыланған сандарды алу. Жазық векторларының көбейтіндісі:

жазықтықтан шықпауы үшін деп аламыз. Сонда

.

Жалпыланған сандардың әртүрлі ғылым салаларында кеңінен қолданылуы, дипломдық жұмыстың өзектілігін көрсетеді.

Зерттеу мақсаты: бикватерниондар алгебрасын құру және оның қолданылу аясын қарастыру.

Зерттеудің нысаны: табиғаты нақты сандарға ұқсас, қасиеттерінде өзгешелігі бар эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың екі еселенген кеңейтілуінен шығатын жиын.

Зерттеудің пәні: жазық сандардың жиынының негізінде шығатын алгебралардың құрылымын зерттеу болып табылады.

Зерттеудің міндеттері:

а) жазық сандарды құру мәселесін қарастыру;

комплекс кеңістіктегі квадраттық теңдеудің шешілуін қарастыру;

ә) бикватерниондар алгебрасын құрып, оның алгебралық қасиеттерін тағайындау;

б) кватерниондар мен бикватерниондардың қолдануларын көрсету.

Зерттеудің деңгейі: гиперкомплекс сандарға байланысты ана тілді ақпарат құралдарында әдебиеттер мен мақалалар өте сирек кездесетіндіктен дипломдық жұмыстың деңгейі жоғары болып табылады.

Зерттеудің дерек көздері: ақпарат құралдары, абстрактілі алгебра мен ғылыми әдебиеттер.

Зерттеудің әдіснамалық және теориялық негіздері: университеттегі алгебра негіздері, геометрия, комплекс айнымалы функциялар курстарында баяндалған.

Зерттеудің әдістері: алгебраны құрудағы Грассман – Клиффорд және Кэлли – Диксон әдісін қолдану.

Зерттеудің жаңашылдығы және практикалық маңыздылығы: зерттеу нысандарын жүйелі түрде қарастырып, осы нысандардағы алгебралық құрылымдардың толық зерттелуі, оның ана тілді математикалық әдебиеттерде кездеспейтіндігімен құнды болады.

Зерттеудің практикалық базасы: физикалық дүниетанымдағы жоғарғы ретті гиперкомплекс сандарға келтірілетін табиғи құбылыстардың қолданбалы есептері.

Диплом жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 64 беттен тұрады.

1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру

Бұл бөлімде нақты сандар өрісін кеңейтуден алынатын жаңа сандардың математикалық моделі құрылып, жаңа алгебралардың құрылымы қарастырылады.

1.1 Жаңа сандарды құру

Нақты сандардың жалпылауы болып табылатын кез–келген гиперкомплекс сандар, жорамал бірліктердің сызықты комбинациясы ретінде анықталады:

,

мұндағы – нақты сандар өрісі, – гиперкомплекс санның тәуелсіз жорамал бірліктері және

Мұндай алгебралар дәрежелер үшін ассоциативтілік қасиетке ие болады. Базисі болатын жазықтықтағы элементтерді көбейту мына түрде жүргізіледі

Жорамал бірліктің квадратын есептеуде басқа бір жорамал бірлік қатысса, онда бұл қасиет бұзылады. Бұл жағдайда гиперкомплекс сандар класын анықтау біршама кеңейеді.

Жорамал бірліктің квадратынан түбір табудың мәніне байланысты гиперкомплекс сандар мына кластарға жіктеледі: комплекс (немесе эллипстік), қосарланған (немесе гиперболалық), дуалды (немесе параболалық) және осылардың жиынтығына байланысты аралас деп аталады.

Гиперкомплекс сандардың ішіндегі қазіргі кезде жиі практикада қолданылатыны әрі маңыздылары екі өлшемді комплекс сандар, төрт өлшемді кватерниондар және сегіз өлшемді октавалар болып табылады. Басқа гиперкомплекс сандардың практикалық қолданыста болмауының себебі, олардың қарапайым геометриялық интерпретациясының табылмауы, ассоциативтік және коммутативтік қасиеттердің орындалмауы, нақты және комплекс сандардағы сияқты оларда нөлдің бөлгішінің болуы. Жалпы гиперкомплекс сандар үшін, қандай ма бір кеңістіктің нүктелері сәйкес қойылуы керек. Дегенмен, өлшемі екіден үлкен евклидтік және псевдоевклидтік кеңістіктер гиперкомплекс сандарға сәйкесті кеңістіктер бола алмайды. Бұдан гиперкомплекс сандарға сәйкесті геометриялық интерпретацияның жоқ болады деген ұйғарым шықпайды.

1.2. Жаңа сандарды анықтау әдістері

G құрама санын анықтаудың ең қарапайым, әрі табиғи әдісі – кез-келген векторлық кеңістігін құрама санға дейін толықтыру болып табылады. Бұл үшін қажетті элементтер сол векторлар мен нақты сандар болады. Құрама санды анықтау үшін вектор мен нақты санды біріктіріп мына құрылымға келеміз:

Бұл анықтама құрама сандардың элементтері векторларға тағы бір компонента, нақты координата а (немесе ) қосылғандығын көрсетеді. Құрама сандарды көбейту үшін арнайы көбейту кестесі қолданылады. Гиперкомплекс сандар үшін бұл көбейту кестесінің ерекшелігі толық болу үшін әрбір жол және бағанда осы векторлық кеңістіктің барлық базистік элементтерінің бар болуында.

Сонымен бірге осы жиынның базистік элеметтері үшін коммутативті, ассоциативті, дистрибутивті және т.б. қасиеттері орындалатындай көбейту амалы анықталуы керек.

Қазіргі заманғы құрама сандардың берілуінде коммутативті, кейбір жағдайларда ассоциативті қасиет болмауы мүмкін, бірақ барлық жағдайда альтернативті (соның ішінде бір жақты – сол және оң ), икемділік(немесе орталық) ассоциативтілік немесе ең болмағанда дәрежелі ассоциативтілік қасиеттердің бірі бар болады. Кейбір сирек жағдайларда гиперкомплексті сандар бөлу амалы бірмәнді орындалатын алгебра құрайды, керісінше жағдайда нолдің бөлгіштері бар болады. Гиперкомплекс сандар алгебрасының ішінде бірмәнді бөлу амалын енгізуге болатын немесе нөлдің бөлгіштерінсіз алгебраларға Фробениус (және Гурвиц) теоремасы бойынша – нақты сандар, комплекс сандар, кватерниондар және октавалар жатқызылады.

Қарапайым гиперкомплекс сандарға комплексі, қосарланған және дуальді сандар жатады. Комплекс сандарды жазықтықтағы нүктелер ретінде қарастырған сияқты, гиперкомплекс сандарды көпөлшемді кеңістіктегі нүктелер ретінде қарастыруға болады. Қосуға қатысты гиперкомплекс сандар векторлық кеңістік құрайды, ал гиперкомплекс сандарды көбейту осы кеңістіктің күрделі түрлендіруі: бұл шеңберлік және гиперболалық бұрулар, кеңістіктің ығысуы немесе тұрақты коэффициентті деформациясы болады.

Бұл кеңейтулердегі комплекс сандардан басқаларының еш қайсысы өріс құрамайды. Кейбір гиперкомплекс сандар дене (коммутативті емес сақина) құрайды.

1.3. Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы

Гиперкомплекс сандарды нақты сандар өрісінің негізінде аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Бір өлшемді нақты сандарды және екі өлшемді комплекс сандарды, Клиффордтық сандарды аксиоматикалық анықтауға болатындығы белгілі. Сонымен қатар кватерниондарды және басқада атаулы гиперкомплекс сандарды аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Қалған гиепркомплекс сандарды бір нақты және бірнеше жорамал базистік элементтердің векторлық кеңістігі ретінде анықтауға болады.

1.3.1. Көбейту кестесі

Гиперкомплекс сандарды алудың негізгі әдісінің бірі – көбейту кестесі. Көбейту кестесінің негізгі формасы Кэли кестесі деп аталады. Көбейту амалының коммутативтілігі туралы мәселе көбейту кестесін тексеру арқылы шешіледі, бұл жағдайда кесте бас диагоналға қарағанда симметриялы болады. Көбейту кестесінің коммутативті немесе антикоммутативті болуына байланысты, сәйкес алгебрада коммутативті немесе антикоммутативті болады.

Алгебраның ассоциативтілігі туралы мәселеге жауап беруді көбейту кестесі арқылы жүргізу біршама қиындық туғызады. Көбейту кестесі бірмәнді ассоциативтілік болған жағдайда ғана толық жауап беру мүмкін. Жорамал бірліктердің үштігі үшін тек қана сол немесе оң жақ ассоциативтілік орындалса, онда қарастырып отырған алгебра бұл қасиеттердің ешқайсысына ие болмауы мүмкін. Дәрежелі ассоциативтілік кез-келген көбейту кестесіне тән қасиет, олай болса кез-келген гиперкомплекс сандар алгебрасында осы қасиет орындалады. Бірақ, альтернативтілік, икемділік қасиеттерді барлық алгебраларға көшіруге болмайды. Дәлелдеу үшін оң-альтернативті келесі өрнекті алайық. Сонда

Мұндағы – айырмашылығы базистік бірлігінде болатын біркомпонентті гиперкомплекс сандар; анықтамаға сай компоненттері бойынша көбейту альтернативті болады деп аламыз. Өрнектің сол жақ жақшасы анықтауымыз бойынша альтернативті. Ал барлық өрнек альтернативті болу үшін екінші жақшада альтернативті болуы керек, бірақ онда әртүрлі үш санның көбейтіндісі тұр. Барлық өрнек альтернативті болу үшін көбейту кестесі жорамал компоненталарды көбейту ассоциативті немесе антикоммутативті болуы қажетті. Ассоциативтіліктен альтернативтілік, ал антикоммутативтіліктен екінші жақшаның нөлге теңдігі шығады. Қарсы жағдайда көбейту кестесінің альтернативтілігінен, бұл қасиет алгебраға көшпейді.

Кестенің дистрибутивтілігі векторлық алгебраның дистрибутивтілігін қамтамасыз етеді. Мысалға кватерниондардағы көбейтуді анықтайтын кестені қарастырайық.

	1
1	1
		-1		-
			-1
			-	-1

Бұл кестедегі 1 – нақты базистік элемент, - жорамал базистік элементтер. Басқада мүмкін көбейту кестелері, осы кестенің толық емес вариациялары болады;

Сол жақ бағанды және жоғарғы жолды алып тастап, алдыңғы кестенің тек нақты бөлігінен құралған көбейту кестесінің екінші түрін аламыз.

1
1
	-1		-
		-1
		-	-1

Екі сол жақ бағанды және екі жоғарғы жолды алып тастап, алдыңғы кестенің тек жорамал бөлігінен құралған көбейту кестесінің үшінші түрін аламыз:

	-1
		-1

Көбейту кестесінің екінші түріндегі алынып тасталған бағандар мен жолдар, олардың көбейту кестесін құруда аса маңызды рөл атқармайтындығын көрсетеді. Үшінші кесте өте сирек жағдайларда ғана қолданылады. Бұл кестені толтырудың нақты шектеулері болмайды. Кестенің бірінші баған мен жолынан басқа торларында міндетті түрде бірлік емес кез-келген гиперкомплекс сандарды қоюға болады. Бірақ сейкесінше гиперкомплекс сандардың практикалық қолданылу мақсаты үшін олардың кейбір базалық қасиеттерді қанағаттандыруы керек: коммутативті- антикоммутативті, ассоциативті(антиассоциативті)- альтернативті(оң, сол) – икемді – дәрежелі ассоцивтивтілік. Кестенің торларында «+» таңбасымен жорамал бірліктің немесе «0» тұрғаны , ал диагоналында жиынынан алынған нақты сандар тұрғаны дұрыс.

Көптеген гиперкомплекс сандардың түрлері үшін қолданылатын көбейту кестесі есептеулер ыңғайлы болу үшін ассоциативті және коммутативті болып алынады. Дегенмен, көптеген гиперкомплекс сандар үшін көбейту амалы 1) ассоциативті емес, 2) коммутативті емес, 3) ассоциативті бірақ коммутативті емес болатындықтан сәйкес кестелерде осы шарттарды қанағаттандыратындай етіп алынады. Мұндай кестелер гиперкомплекс санның өлшемі 64 – тен басталатындығы компьютер арқылы іріктеуде пайда болған.

Гиперкомплекс сандардың кез-келген стандартты көбейту бір, екі және үш түрдегі кестелермен берілуі мүмкін. Бір кестемен берілгенде кестенің торларында көбейтулер нәтижелері таңбаны есепке алынып жазылады. Бұған мысал ретінде кватерниондарды көбейтуді алуға болады. Екі кестемен берілгенде бірінші кестеде 1) әрбір торында гиперболалық сандар класының көбейту сәйкес «+» таңбасымен алынған жорамал бірліктер жазылады; 2) әрбір торда және шамаларының жиынынан алынған көбейтудің нәтижесі үйлесетіндей етіп жазылады. Жоғарыда айтылған кватерниондарды көбейту кестесі үшін бұған төменде а) және d) жағдайлары сәйкес келеді. Үш кестемен берілгенде бірінші кестеде 1) әрбір торында гиперболалық сандар класының көбейту сәйкес «+» таңбасымен алынған жорамал бірліктер жазылады; 2) жиынынан алынған жорамал бірліктердің квадратының диагоналдық сигнатурасының мәндері алынады және 3) жиынынан алынған көбейту кестесінің коммутативті сигнатурасының мәндері алынады. Осы үш жағдай кватерниондарды көбейту үшін төмендегі кестелердің алғашқы үшеуіне сәйкес келеді .

1					1					1	1	1	1
	1					-1				1	1	-1	-1
		1					-1			1	-1	1	-1
			1					-1		1	-1	-1	1

a) b) c)

1	1	1	1
1	-1	1	-1
1	-1	-1	1
1	1	-1	-1

d)

Енді осы кестелерді толығырақ қарастырайық.

Бірінші кесте (а) көбейту кестесінің қалыпты түрде жазылуы болып табылады. Ол екі түрде берілуі мүмкін – таңба есепке алынған жорамал бірліктердің өзара көбейтіндісі (бір кестемен берілгенде) және кестенің торларында анықталған оң таңбалармен берілуі (бірден артық кестемен берілгенде).

Екінші (b) кестесінің диагоналында сәйкесінше жорамал бірліктердің квадраттарының сигнатурасы жазылады, ал қалған орындарда және жорамал бірліктерінің көбейтіндісінің нәтижесі жорамал бірлігінің таңбасына сәйкес таңба жазылады:

Үшінші (с) кестесінде жорамал бірліктердің өзара көбейтіндісі сигнатураның көбейтіндісінің коммутативтілігінің кестесі болады:

.

Егер онда көбейтінді коммутативті егер онда көбейтінді антикоммутативті егер онда көбейтінді дуалды (0) болады. Бірінші кестені екінші кестеге компоненттері бойынша көбейтуден таңбалары анықталынған кватерниондар үшін нақты көбейту кестесін аламыз. Көбейтіндінің таңбаларын орналастырудың қандай-да бір шектеуі жоқ.

Төртінші кесте b) және с) кестелерін, олардағы көбейтуді үйлестіріп, түрлендіруден алынған аралас кесте болады. Бұл кестеде диагонал бойына жорамал бірліктердің квадратының сигнатурасы және одан тыс торларда өзара көбейтіндінің сигнатурасы орналасады. Мұндай кестелер гиперкомплекс сандарды компьютерлік талдауда пайдаланылады.

Компьютерлік талдауда көбейту кестесіндегі бірлігінің орынына индекстің өзі жазылатындай жазылады. Мысалы, орынына тек индекс 2, ал орнына 12 жазылады. Кестені қағазға жазуда индекстің мәні 9-дан үлкен болса қиындықтар туу мүмкін, ал компьютер үшін бұл еш қиындық туғызбайды, Мысал үшін осындай кестенің екі формасын келтірейік. Мұнда I – нақты бірлік, 1, 2 және 3 – жорамал бірліктің индекстері. Бірінші кесте базалық бірлік жиынынан еселеу әдісі арқылы алынған гиперкомплекс снадардың көбейту кестесіне сәйкес келеді. Кестенің торындағы санның номері базалық евклид кеңісітігінің базистік координаталарына сәйкес келеді. Тордағы «0» мәні осы тордың дуалды мәніне сәйкес келеді. Сонымен қатар жаңа бірлік «12» жорамал 1 және 2 бірліктерінің құрамасы болады. Екінші кесте біріншіге сәйкес келеді, бірақ құрама бірліктерінсіз. Кесте торындағы сан жорамал бірліктің реттік номеріне сәйкес келеді. Сонымен бірге осы кестедегі «12» жаңа құрама бірлікке жеке мән «3» тағайындалады:

1	1	2	12		1	2	3	4		1	i	j	k
1	-1	12	-2		2	-1	4	-3		i	-1	k	-j
2	-12	-1	1		3	-4	1	-2		j	-k	1	-i
12	2	-1	-1		4	3	2	1		k	j	i	1

Үшінші кесте кватерниондар үшін басқа кестелердің символдық берілу.

Кез-келген өлшем үшін реттік саны болатын көбейту кестесінің жиындарын табуға болатындықтан, көбейту кестесінің эквивалентті кестесінің бар болу мүмкіндігі туындайды. Бұдан эквивалентті көбейту кестесін бөліп алу туралы маңызды сұрақ туады. Екі кесте эквивалентті болады, егер жорамал бірліктерді қайта нөмірлеу және / немесе қарама-қарсы кестені алып оларды қосу арқылы алынса. Бұл жоғарыда келтірілген кестелерде синхронды түрде жолдарымен бағандарды бір-бірімен ауыстыруға болады, яғни кестелердің арасында қандай да реттілік болады деген сөз. Түрлендірулерді кестелер қанағаттандыратындай келесі шарттар негізінде жүргізуге болады.

1. Диагонал бойындағы торларда кезектесіп алдымен +1, одан кейін -1 және соңында 0(нөлдер) тұрады. Егер диагоналда -1 және +1 кезектесіп тұрса, онда реттілік принципі бойынша олардың орын ауыстыруға мүмкіндік болады.

2. Коммутативті кестеде сәйкесінше кез-келген вертикалда оң жоғарғы және сол жақ төменгі бөліктерде диоганал элементтерден бөлек алдымен +1, одан кейін -1 тұруы керек. Егер -1 және +1 кезектесіп орналасса және диагоналдық элементтер бұл жолдарда тең болса, онда реттілік принципі бойынша олардың орын ауыстыруға болады. Осылайша алынған «минималды кесте» талдау үшін өте ыңғайлы болады.

1.4. Жаңа алгебраны алу әдістері

Жорамал бірліктер үшін көбейту кестесін құру арқылы жаңа алгебраларды қарастыру, олардың құрылымын зерттеу мәселесінде көптеген қиыншылықтарға әкеледі. Жаңа алгебра құру үшін сандардың симметриялылығын немесе басқада қасиеттерін пайдалану тиімді болып табылады. Осындай жалпылай қолданылатын әдістердің бірі қандай ма бір базалық кестені екі еселеу әдісі болып табылады. Қазіргі кезде жаңа алгебраларды алу үшін Грассман – Клиффордтың және Кэли – Диксонның екі еселеу әдістері пайдаланылады. Теориялық тұрғыдан алғанда басқа ережелерге негізделген екі еселеу әдістерін бар болатындығын теріске шығаруға болмайды.

Екі еселеу әдістерінің бар болатындығы жұп өлшемді кестені ұяшықтар арқылы көрсетуге болатындығында. Мысалға, сегіз өлшемді кесте үшін, оны төрт өлшемді ұяшықтардың қосындысы ретінде көрсетуге болады, мұндағы әрбір ұяшықтары төрт өлшемді көбейту кестесі, олардың әрқайсысы басқаларынан ұяшықтағы элементтердің орындарын ауыстырудан алынады:

Кестенің ішіндегі әрбір ұяшықты бір - біріне тәуелсіз өзгертуге, мысалға, диагоналдарға қарағанда симметриялауға, жолдар мен бағандардың орындарын синхронды алмастыруға болады.

1.4.1. Жалпыланған екі еселеу әдісі

және жорамал бірлігі болатын кез-келген гиперкомплекс сандар болсын. мұнда болатын және нақты сандармен жорамал бірліктерімен, орын ауыстырымды болатын - жаңа таңбасын қарастырамыз. түріндегі сандар жиынын қарастырайық. Сонда саны мына түрде болады:

мұндағы - нақты сандар және - жаңа жорамал бірліктер. Жаңа жорамал бірліктер көбейту кезінде нақты сандармен орын ауыстырымды болады. Жорамал бірліктерді мүмкін болатын - ге көбейтуге қарағанда орын ауыстырымдылық заңдылығы мына ереже бойынша жүреді:

мұнда шамалары тең болады. шамасы әрбір жаңа жорамал бірліктер үшін жоғарыдағы ереже бойынша жеке таңдап алынады.

Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып екі еселеуден алынған сандар үшін мыналарды айтуға болады:

1) екінші (төменгі) квадраттың бас диагоналының бойы негізгі

квадраттың бас диоганалын таңбаларға дейінгі дәлдікпен қайталайды;

2) жоғарғы қосымша квадрат негізгі квадратты жаңа жорамал бірлікке көбейтуден алынады.

3) кесте таңбаға дейінгі дәлдікпен бас диагоналға қараңанда симметриялы болады.

Мысал ретінде кватерниондарды екі еселеуден алынған гиперкомплекс сандар үшін кестені қарастыралық:

1.4.2. Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісі

Алгебралық зерттеулерде қолданылып жүрген Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісіне тоқталалық. Бұл әдістің көмегімен өлшемі болатын гиперкомплекс сандарды алуға болады. Бастапқы қадам өлшемі 1- ге тең нақты сандардан басталады. Сонымен бұл әдістің көмегімен рангісі және өлшемі болатын кестені құруға болады.

Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісінің көмегімен гиперкомплекс сандарды алудағы көбейту кестесі, оның базалық бірліктерін көбейтудің кестесіне тәуелді болады. Алғашқы қадам нақты “1” санына қолданудан басталады. Әрбір келесі қадамда өлшем екі еселеніп отырады. Қалыпты әдісті қолдануда әрбір қадамда көбейту кестесінің мөлшері алты есеге өседі: үш қосымша бірліктің квадратының мәнін жаңа екі түрдегі бірліктің алдыңғыларымен орын ауыстырымды болуына байланысты. Әрбір базалық жорамал бірліктің жаңа жорамал бірлікпен жеке орын ауыстырымды болуын беру арқылы бұл әдістің кеңейтілуін алуға болады.

Базалық жорамал бірліктерді көбейту кезінде ассоциативтілік заңдылығы орындалады деп алынады. Нәтижеде ассоциативті кестелер алынып, олардың бір-бірінен айырмашылығы ұяшықтардағы жорамал бірліктердің таңбаларында болады.

Нақты сандар өрісін бір рет кеңейтуден алынатын жаңа сандардың, яғни комплекс, гиперболалық және дуалді сандардың құрылымын қарастыралық. Нақты сандардың жиынын екі еселеудің жорамал бірлігінің көмегімен жаңа екі еселенген гиперкомплекс сандар жиыны алынып, бұл мына түрде болады:

,

мұнда . жиынының элементтері болғанда комплекс сандар деп, болғанда гиперболалық сандар деп, ал болғанда дуалді сандар деп аталады. жиынының элементтерінің қосындысы, айырмасы және көбейтіндісі шартын ескере отырып, өрнектерді қосу, азайту және көбейту сияқты есептелінеді. Осыған байланысты комплекс, гиперболалық және дуалді сандарды көбейту сәйкесінше мына формулаларымен табылады:

Барлық жағдайда көбейту коммутативті әрі ассоциативті болады, яғни сандары үшін және .

Осы әдістің көмегімен алынған гиперкомплекс сандар үшін арнайы атау беріледі. Жорамал бірлікке байланысты атаулар мына түрде болуы мүмкін.

болғанда негізгі атаудың алдына ''би'' сөзі қосып жазылады. Барлық гиперкомплекс сандар үшін болса, онда мұндай түрдегі гиперкомплекс сандар гиперкомплекс сандардың комплекстік класына тиісті болады.

болғанда негізгі атаудың алдына ''гипер'' сөзі қосып жазылады. Барлық жорамал бірліктер үшін болып, олардың ішінде болатындар жоқ болса, онда мұндай гиперкомплекс сандар гиперболалық сандар класына тиісті болады.

болғанда негізгі атаудың алдына ''дуалді'' сөзі жазылады немесе ''пара'' сөзі қосылып жазылады. Жорамал бірліктердің арасында болатындары бар болса, онда мұндай гиперкомплекс сандар параболалық сандар класына тиісті болады.

1.4.3. Гиперквадратты сандар

және жорамал бірлігі болатын кез-келген гиперкомплекс сандар, ал жаңа саны , мұнда және нақты сандармен көбейтуде орын ауыстырымды болады. Жаңа санды оң жақтан жорамал бірлігіне көбейткенде антикоммутативті немесе коммутативті немесе ерекшеленетін , яғни барлық үшін теңдігі орындалады. түріндегі сандар жиынын қарастырайық. Мұнда болғандықтан болады. көбейтіндісі жаңа қасиеттерімен берілген математикалық обьекті болады. белгілеуін енгізейік. Сонда саны үшін таңбалары жорамал бірліктер деп және бас немесе базалық бірлік деп атаймыз. Берілген жағдайда таңбалардың бір-біріне мүмкін болатын барлық көбейтінділері қасиеттері негізінде табылады. Бұл көбейтінді келесі жалпыланған көбейту кестесі арқылы анықталады:

Кестеден байқағандай болғанда таңбаларының кез-келген екеуінің көбейтіндісі коммутативті , ал жағдайында сандары антикоммутативті, болғанда сандары коммутативті болмайды. Бұл кестені пайдаланып, және болған жағдайларында таңбаларының кез-келген үшеуінің көбейтіндісі ассоциативті болатындығын көрсетуге болады: . болғанда үштіктің көбейтіндісі жалпы ассоциативті болмайды.

1.4.4. Кэли – Диксонның екі еселеу әдісі

Жаңа сандарды Кэли – Диксонның екі еселеу әдісінің көмегімен де алуға болады. Бұл әдістің көмегімен бастапқы кестеден жаңа жалғыз ғана кестені алуға болады. Бұл әдістің негізіне бастапқы алгебрадағы түйіндестің қалыпты өрнегі алынған. – белгілі бір көбейту заңдылығымен берілген гиперкомплекс сандар жиыны болсын. Енді мына түрдегі сандардың жиынын қарастыралық: мұндағы , ал – жаңа таңба және ол нақты сандармен орын ауыстырымды болуы керек. жиынындағы көбейтуді мына түрде анықталық:

мұнда – түйіндес сандар.

өлшемі болатын гиперкомплекс сандар жиынын анықтап, оны жүйесін екі еселеу деп атайды. жүйесін құруды Кэли – Диксонның екі еселеу процедурасы деп атайды. Бұл процедураның Грассман – Клиффорд процедурасынан айырмашылығы көбейту ережесінің бірмәнді болатындығында. Сонымен қатар бастапқы жүйесінің өлшемі мен жорамал бірліктерді көбейту ережесінің қандай болғанына қарамастан жаңа жүйені алуға болады. жүйесінде көбейтудің коммутативтілігі мен ассоциативтілігін кесте арқылы тексеру қажет, бұл қасиеттердің бастапқы жүйеде орындалатындығынан олардың жаңа жүйеде орындалатындығы шықпайды.

Кестені құруда коммутативтілік және ассоциативтілік қасиеттер пайдаланылмайды, тек қана дистрибутивтілік қасиет пайдаланылады.

Бастапқы жүйе нақты сандар болғандағы бірнеше рет Кэли – Диксонның процедурасының көмегімен алынатын сандар жүйесін қарастыралық.

1. Комплекс сандар. болсын. Сонда жиыны және болғандағы түріндегі сандардан құралады. Көбейту заңдылығы мына түрде болады: яғни комплекс сандар өрісіндегі көбейтумен бірдей болады.

2. Кватерниондар жиынын комплекс сандар жиынын Кэли – Диксонның екі еселеу әдісімен алуға болады. болсын. Сонда жиыны

және болғандағы түріндегі сандардан құралады. , болатындықтан , мұнда . Сонда екі еселеуден алынған кестені пайдалана отырып таңбалары кватерниондарды көбейту кестесіндегідей көбейтілетіндігін көрсетуге болады.

3. Октавалар кватерниондарға Кэли – Диксонның екі еселеу әдісін қолданудың нәтижесінде алынады. болсын. Сонда жиыны ал

жорамал бірліктер болғандағы мына түрдегі сандардан құралады:

1.5. Бикватерниондар алгебрасы.

Кватерниондар алгебрасын Кэли - Диксон бойынша екі еселеуден алынған алгебрасы бикватерниондар алгебрасы деп атаймыз, мұндағы екі еселеудің жорамал бірлігі және , – кватерниондар алгебрасы. Екі еселеудің жорамал бірлігі берілген кватернионның жорамал бірліктерімен орын ауыстырымды болады және жорамал бірліктерімен көбейтіндісі жаңа үш жорамал бірліктерін береді. Бикватерниондардың жорамал бірліктерін көбейту кестесі мына түрде болады:

Бұл кестені құруда бикватерниондардың жорамал бірліктерін жаңа бірлікке көбейтуде кватерниондардың жорамал бірліктерін оң жақтан көбейту ережесін пайдаландық. Дәл осылайша бикватерниондардың жорамал бірліктерін көбейтудің сол жақ ережесі үшін кесте құруға болады. Кейбір жағдайларда бикватерниондарды комплекс сандар өрісінде қарастырылған кватерниондар деп есептеуге болады, мұнда және жорамал бірліктерінің жиынтығы үшін кватерниондардың жорамал бірліктерінің үштігі кватернионның құрлымын, ал жорамал бірлігі комплекс сандар өрісінің құрлымын сақтайды. Бикватерниондар алгебрасында нөлдің бөлгіші болатындықтан, оған кватерниондар мен комплекс сандар үшін алынған қатыстардың барлығын тікелей көшіруге болмайды. Бикватерниондарды қосу және азайту операциясы сәйкес компоненталарын қосу және азайту арқылы, ал көбейту операциясы жоғарыдағы кесте арқылы жүргізіледі.

Бикватерниондар үшін түйіндестік операциясы – үш түрде: скалярлық, векторлық және алгебралық түйіндестік болып анықталады. Бұл үш түрдегі түйіндестіктер әр түрлі болады және алгебралық түйіндестілік сызықты емес анықталынады.

Бикватерниондар кватерниондарды екі еселеуден алынатындықтан, оның жалпы түрі мынадай болады:

Сонда 1) Скалярлық түйіндестілік жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

2) Векторлық түйіндестілік бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

3) Алгебралық түйіндестілік теңдеуінің шешімі ретінде

анықталады және оны алу мәселесіне кейінірек тоқталамыз.

Бикватерниондардың қасиеттері.

қосу амалы коммутативті:

қосу амалы ассоциативті:

көбейту қосуға қарағанда дистрибутивті:

көбейту амалы комутативті емес:

көбейту амалы ассоциативті:

Бұл қасиеттердің дұрыстығын бикватеринонның алгебралық жазылуын және кватерниондарға қолданылатын амалдардың қасиеттерін пайдалана отырып, тікелей тексеру арқылы көз жеткізуге болады. Сонымен, бұл айтылғандардан бикватернионның алгебрасының мынадай құрылымдық қасиеттерін аламыз.

1 – ұйғарым. алгебрасы жартылай топ құрайды.

–

бикватернионы қосу амалының нейтрал элементі болатындықтан мына ұйғарымды аламыз.

2 – ұйғарым. алгебрасы моноид құрайды.

Әрбір бикватернионына симметриялы элемент мына бикватернион болады:

Бұдан мына ұйғарымды аламыз:

3 – ұйғарым. алгебрасы топ (группа) құрайды.

Бикватернионның бірінші қасиетінен мынаны аламыз:

4 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті немесе абелдік топ (группа) құрайды.

Бикватернионның үшінші қасиетінен мына ұйғарымды аламыз:

5 – ұйғарым. алгебрасы сақина құрайды.

Бикватернионның төртінші және бесінші қасиеттерінен мына ұйғарымды аламыз:

6 – ұйғарым. алгебрасы ассоциативті, бірақ коммутативті емес сақина құрайды.

Бикватерниондарды нақты санға көбейту операциясын енгізсек , онда мына қасиеттердің орындалатындығын тікелей тексеруге болады.

нақты санға көбейту ассоциативті: ;

нақты сандарды қосу нақты санға көбейтуге қарағанда дистрибутивті:

;

нақты санға көбейту қосуға қарағанда дистрибутивті:

;

нақты санға көбейту унитарлық болады: .

Бикватерниондардың алтыншы – тоғызыншы қасиеттерінен мынаны аламыз.

7 – ұйғарым. алгебрасы векторлық кеңістік құрайды.

Бикватерниондарды көбейту ассоциативті болатындықтан нақты санға көбейту үшін мына қасиеттің орындалатындығын тікелей тексеруге болады:

.

Бұл қасиеттен мынаны аламыз.

8 – ұйғарым. сызықты алгебра құрайды.

Бикватернионның алгебралық түйіндестілігі үшін ережені табу үшін, бикватернионның экспонентасын табамыз. Жазылу ыңғайлы болу үшін бикватернионның жазылуына қосымша функциялар енгізелік.

1) скалярлық функция: ;

2) полярлық функция: ;

3) аксиалдық функция: ;

4) векторлық функция: ;

Сонымен кез - келген бикватернион үшін мына теңдік орындалады:

;

5) Экспоненциалды функциясы

мұнда кез-келген бикватернион үшін .

Бұл функцияны қатарға жіктеп және ұқсас мүшелерді біріктіріп мынаны алуға болады:

теңдеуін -ге байланысты шешіп, бикватернионның логарифмін немесе басқаша айтқанда оның фазасын аламыз. Келесі қадамда барлық жорамал бірліктері бар мүшелердің таңбасын ауыстырып, нәтижеден экспонента аламыз. Бикватернионның экспоненталық жазылуы үшін

формуласы орындалатындықтан алынған бикватернион бастапқы бикватернионның алгебралық түйіндесі болады.

Бикватернионның модулі төртінші ретті формамен анықталынады.

Бикватерниондар алгебрасында нөлдің бөлгіші болатындықтан, барлық бикватерниондар үшін кері бикватернион табыла бермейді.

Бикватерниондар алгебрасындағы нөлдің бөлгіштері мына теңдеудің шешулері болады: . Бұл теңдеудің шешулері екі ішкі жиынға жіктеледі, бұлар

және .

Мұндағы бірінші теңдеудің шешулері нильпотенттер, ал екінші теңдеулің шешулері – идемпотенттер болады. Бикватерниондар үшін нөлдің бөлгіштерінің кері элементтері бар болып, олардың көбейтіндісі нөлге тең болады. Бикватерниондар үшін нөлдің бөлгіштерін оларға кері шамаларға көбейту арқылы алуға болады, себебі олар берілген кеңістікте өлшемдері жоғары болатындықтан кез келген бикватернионды онымен векторлық түйіндеске көбейтуге сәйкес келетін айналу опреациясы бар болады. Кез келген нөлдің бөлгіші үшін мұндай айналу операторлары шексіз көп болады.

Кеңістік–уақыт ретінде қарастыруға болатын 4 өлшемді кеңістік үшін, бикватерниондық базисте компонентасын уақытты, ал компоненталары сәйкесінше кеңістіктің координатасы ретінде қарастыруға болатын математикалық моделін құруға болады. Бұл моделде бикватернионның барлық қалған бөлігі алынып тасталады немесе олар барлық жағдайда нөлге тең деп есептеледі. Бұл моделде , түрдегі түрлендірулердің құрамында Лоренцтің түрлендірулер тобы болады. Мұнда шамасының полярлық бөлігі қозғалыстың бір санау жүйесінен екіншісіне қарағанда түрленуінің параметрі, ал аксиалды бөлігі санақ жүйесінің бұрылу параметрі болып табылады.

1.6 Гиперболалық кватерниондар алгебрасы

Гиперболалық сандар алгебрасын Кэлли–Диксоның екі еселеу процесімен алынған коммутативті емес алгебраны гиперболалық кватерниондар алгебрасы деп атаймыз: , мұндағы екі еселеудің жорамал бірлігі және , – гиперболалық сандар алгебрасы.

Екі еселеудің жорамал бірлігі берілген гиперболалық алгебраның жорамал бірліктерімен орын ауыстырымды болмайды және жорамал бірліктерімен көбейтіндісі жаңа үшінші жорамал бірліғін береді. Гиперболалық кватерниондардың жорамал бірліктерін көбейту кестесі мына түрде болады:

Бұл кестені құруда оң жақ көбейту ережесін пайдаландық. Дәл осылайша гиперболалық кватерниондарды көбейтудің сол жақ ережесі бойынша анықтауға болады. Сол жақ гиперболалық кватерниондарының оң жақ гиперболалық кватерниондардан айырмашылығы жорамал бірліктердің көбейтіндісінің нәтижесіне байланысты болады. Көп жағдайда гиперболалық кватерниондар алгебрасын қарастырғанда оң жақ гиперболалық кватерниондарын анықтау қолданылады. Гиперболалық кватерниондар құрылымы жөнінен кватерниондарға өте ұқсас болады. Гиперболалық кватерниондар үшін қосу, азайту, көбейту және бөлу операциялары орындалады. Гиперболалық кватерниондарды қосу және азайту операциясы сәйкес компоненталарын қосу және азайту арқылы, ал көбейту операциясы жоғарыдағы кесте арқылы жүргізіледі.

Гиперболалық кватерниондар үшін түйіндестік операциясы – үш түрде: скалярлық, векторлық және алгебралық түйіндестік болып анықталады. Берілгенге түйіндес паракватернион жорамал бірлік компонентінің таңбасын алмастыру арқылы пайда болады. Егер паракватерниондарды мына түрде жазуға болады: . Сонда түйіндес гиперболалық кватернион мына түрде болады: .

Гиперболалық кватерниондардың түйіндестігі үшін анықтама бойынша мына қасиеттің орындалатындығын тікелей тексеруге болады: .

Гиперболалық кватернионды түйіндесіне көбейткенде тек қана нақты бөліктерден тұратын гиперболалық кватернионды береді. Көбейту үшін қолданылатын түйіндесті алгебралық деп есептесек онда мұндай көбейтіндінің нәтижесі гиперболалық кватернионның модулінің квадраты деп атаймыз: .

Гиперболалық кватернионнның модулі үшін мультипликативті қасиеті орындалатындығын, яғни паракватерниондардың көбейтіндісінің модулі олардың модулдарының көбейтіндісіне тең болатындығын анықтама бойынша текесеруге болады. Гиперболалық кватернионың модулі компоненталары арқылы былайша өрнектеледі:

Гиперболалық кватерниондар нөлдің бөлгіштері болатын алгебраның өкілі болады. Гиперболалық комплекс сандар сияқты гиперболалық кватерниондар үшін де нөл бөлгіштерінің ішкі жиындарын бөліп алуға болады. Гиперболалық кватерниондарда нөлдің бөлгіштері мына теңдеуді қанағаттандырады: немесе .

Гиперболалық кватернионға төрт өлшемді кеңістікті сәйкестендіріп, бұл теңдеуге геометриялық түсініктеме жасасақ, онда нүктелері осінде жататын сфералар жиынтығын аламыз.

Гиперболалық кватерниондар паракомплекс сандардың жалпы жағдайы болғандықтан гиперболалық комплекс сандардағы нөлдің бөлгіштерінің қасиеттері гиперболалық кватерниондар үшін де орындалады, соның ішінде:

1) гиперболалық кватерниондар үшін нөлдің кез-келген бөлгішін нүктелері осінде жататын сфера теңдеуінің шешімі болатын вектор түрінде көрсетуге болады.

2) нөлдің кез-келген бөлгішін нақты сан және идемпотенттің көбейтіндісі түрінде өрнектеуге болады.

3) нөлдің бөлгішінің оның векторлы түйіндесіне көбейтіндісі нөлді береді.

4) кез-келген гиперболалық кватернионды нөлдің бөлгішінің сызықты суперпозициясы түрінде көрсетуге болады.

Егер гиперболалық кватернион нөлдің бөлгіші болмаса онда бөлу амалы былайша анықталады:

Гиперболалық кватерниондар үшін комплекс сандардағы сияқты Эйлер формуласының баламасын құруға болады. Экспоненциалды қатарға жіктеп, мынаны аламыз:

.

Барлық нақты үшін болғандықтан, кез-келген гиперболалық кватернионнан алынған экспонента нәтижесі идемпотент болмайды. Бұдан кез-келген идемпотентті емес гиперболалық кватернион үшін оның логарифмі гиперболалық кватернион үшін Эйлер формуласының шешімі ретінде бар болады.

1.7. Дуалді кватерниондар алгебрасы

Кватерниондар алгебрасын Кэлли–Диксоның екі еселеу процесі бойынша алынған алгебраны дуалді кватерниондар деп атаймыз: мұндағы – алгебраны еселеудің жорамал бірлігі, және – кватерниондар алгебрасы, – дуалді кватерниондар жиыны.

Дуалді кватернион компоненттерімен мына түрде жазылады:

арқылы жорамал бірліктер, ал арқылы дуальді кватернионның компоненталары белгіленген.

Дуальді кватерниондардың жорамал бірліктерін көбейту кестесі мына түрде болады:

	1
1	1
		-1		-		-		-
		-	-1			-	-
			-	-1			-	-
					0	0	0	0
		-		-	0	0	0	0
		-	-		0	0	0	0
			-	-	0	0	0	0

Дуалді кватерниондар үшін түйіндестік операциясы – үш түрде: алгебралық, векторлық және дуалдық түйіндестік болып анықталады. Мына түрдегі дуалды кватернион үшін

оған түйіндес сандардың түрі мынадай болады:

1) векторлық түйіндестілік бар жорамал бірліктердегі мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

2) дуальді түйіндестілік жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын

ауыстыру арқылы алынады:

3) алгебралық түйіндестілік барлық жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

Модулдің квадраты: .

Дуальді кватернионның дуалді бөлігі модулді құруға қатыспайды. Сондай ақ кейбір есептерде дуальді кватерниондарды дуальді емес және дуальді деп бөліп, көпмүшелігінсіз модулдің дуальді және дуальді емес бөліктерін бөлек қарастырады. Дуалді кватерниондардың қасиеттері:

1) қосу амалы коммутативті: ;

Дуалді кватерниондарды қосу және азайту операциясы сәйкес компоненталарын қосу және азайту арқылы анықталатындықтан былайша жазуға болады:

1. дуалді кватерниондарда қосу және көбейту амалдары ассоциативті:

,

2. дуальді кватерниондар дистрибутивті:

,

4) көбейту амалы коммутативті емес

Бұл қасиеттердің орындалатындығынан мынадай алгебралық құрылымдарды аламыз.

1 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті группоид құрайды.

2 – ұйғарым. алгебрасы жартылай топ құрайды.

–

дуалды кватернионы қосу амалының нейтрал элементі болатындықтан мына ұйғарымды аламыз:

3 – ұйғарым. алгебрасы моноид құрайды.

Әрбір дуалды кватернионына симметриялы элемент мына дуалды кватернион болады:

.

Бұдан мына ұйғарымды аламыз:

4 – ұйғарым. алгебрасы группа (топ) құрайды.

Дуалды кватернионның төртінші қасиетінен мынаны аламыз:

5 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті емес жартылай топ

құрайды.

6 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті емес моноид құрайды.

Дуалды кватернионның үшінші қасиетінен мына ұйғарымды аламыз:

7 – ұйғарым. алгебрасы сақина құрайды.

8 – ұйғарым. алгебрасы ассоциативті, бірлік элементті, коммутативті емес сақина құрайды.

Дуалді кватерниондарда бөлу операциясы кері дуалды кватернионға көбейту опрациясымен анықталады. Кері кватернион былайша есептеледі:

Дуальді кватерниондар үшін Эйлер формуласының баламасын құруға болады. Экспоненциалды қатарға жіктеп мынаны аламыз:

.

1.8 Дуалді гиперболалық кватерниондар алгебрасы

Гиперболалық кватерниондар алгебрасынан Кэлли–Диксонның екі еселеу процесі бойынша алынған алгебраны дуалды гиперболалық кватерниондар деп атаймыз: , мұндағы – алгебраны еселеудің жорамал бірлігі, және гиперболалық кватерниондар алгебрасы.

Дуалді гиперболалық кватерниондар компоненттерімен мына түрде жазылады: , мұндағы арқылы жорамал бірліктер, ал арқылы дуалді гиперболалық кватерниондар компоненталары белгіленген.

Дуалді гиперболалық кватерниондар жорамал бірліктерін көбейту кестесі мына түрде болады:

	1
1	1
		1		-				-
		-	1			-
			-	1			-
					0	0	0	0
				-	0	0	0	0
		-			0	0	0	0
			-		0	0	0	0

Дуалді гиперболалық кватерниондар үшін түйіндестік операциясы – үш түрде: алгебралық, векторлық және дуалдік түйіндестік болып анықталады. Мына формадағы дуалді гиперболалық кватерниондар үшін

оған түйіндес сандардың түрі мынадай болады:

1) векторлық түйіндестілік бар жорамал бірліктердегі мүшелердің

таңбасын уыстыру арқылы алынады:

2) дуалді түйіндестілік жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

3) алгебралық түйіндестілік барлық жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

Дуалды кватернионның үшінші қасиетінен мына ұйғарымды аламыз:

7 – ұйғарым. алгебрасы сақина құрайды.

8 – ұйғарым. алгебрасы ассоциативті, бірлік элементті, коммутативті емес сақина құрайды.

Модулдің квадраты: .

Дуалді гиперболалық кватерниондар дуалді бөлігі модулді құруға қатыспайды. Сондай ақ кейбір есептерде дуалді паракватерниондарды дуальді емес және дуальді деп бөліп, көпмүшелігінсіз модулдің дуалді және дуалді емес бөліктерін бөлек қарастырады.

Дуалді гиперболалық кватерниондардың қасиеттері:

1) қосу амалы коммутативті: .

Дуалді гиперболалық кватерниондар қосу және азайту операциясы сәйкес компоненталарын қосу және азайту арқылы анықталатындықтан былайша жазуға болады:

2) дуалді гиперболалық кватерниондар қосу және көбейту амалдары ассоциативті: ,

3) дуалді гиперболалық кватерниондар дистрибутивті:

,

4) көбейту амалы коммутативті емес

Бұл қасиеттердің орындалатындығынан мынадай алгебралық құрылымдарды аламыз.

1 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті группоид құрайды.

2 – ұйғарым. алгебрасы жартылай топ құрайды.

– дуалды гиперболалық кватерниондар қосу амалының нейтрал элементі болатындықтан мына ұйғарымды аламыз:

3 – ұйғарым. алгебрасы моноид құрайды.

Әрбір – дуалды гиперболалық кватернионына симметриялы элемент мына дуалды гиперболалық кватерниондар болады:

.

Бұдан мына ұйғарымды аламыз:

4 – ұйғарым. алгебрасы группа (топ) құрайды.

Дуалды кватернионның төртінші қасиетінен мынаны аламыз:

5 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті емес жартылай топ құрайды.

6 – ұйғарым. алгебрасы коммутативті емес моноид құрайды.

Дуалді гиперболалық кватернионына бөлу операциясы кері гиперболалық кватернионына көбейту опрациясымен анықталады. Кері гиперболалық кватернионы былайша есептеледі:

Дуалді гиперболалық кватернионның қасиеттері дуалді кватернион қасиеттеріне өте ұқсас және көп жағдайда оны қайталайды. Айырмашылығы дуалді гиперболалық кватернионы құрамында гиперболалық кватернионы бөлігімен бірге нөлдің бөлгіштерінің де бар болуында.

Дуалді кватерниондар үшін Эйлер формуласының аналогын құруға болады. Экспоненциалды қатарға жіктеп мынаны аламыз:

Егер дуалді гиперболалық кватернионы келтірілген теңдеудің оң бөлігі түрінде берілсе, онда оған кері дуалді гиперболалық кватернионы бар болады.

1.9 Дуальді бикватерниондар алгебрасы

Гиперболалық кватерниондар алгебрасын Кэллидің екі еселеу процесі бойынша алынған алгебра санын дуалді бикватерниондар деп атаймыз: , мұндағы – алгебраны еселеудің жорамал бірлігі, және – бикватерниондар алгебрасы.

Дуалді бикватернион компоненттерімен мына түрде жазылады:

арқылы жай және құрама жорамал бірліктер, ал арқылы дуалді гиперболалық кватернионның компоненталары белгіленген.

Дуальді бикватерниондар үшін түйіндестік операциясы – төрт түрде: алгебралық, векторлық, скалярлық және дуалдік түйіндестік болып анықталады. Мына формадағы дуальді бикватернион үшін

оған түйіндес сандардың түрі мынадай болады:

1) векторлық түйіндестілік бар жорамал бірліктердегі мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

2) скалярлық түйіндестілік жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

3) дуалді түйіндестілік жорамал бірлігі бар мүшелердің таңбасын ауыстыру арқылы алынады:

4) алгебралық түйіндестілік алу үшін мына дуальді функцияны енгіземіз:

Бұл дуалді функцияның нәтижесі дуалді кватернионның дуалді бөлігінен жорамал бірлікті алып тастағаннан шығатын бикватернион болады. Сондай –ақ мына тура функцияны енгізелік:

.

Бұл тура функцияның нәтижесі дуалді бикватернионның дуалді бөлігін алынып тастағаннан шығатын бикватернион болады. Нәтижесінде мынаны аламыз:

Егер тура бөліктің модулі нөлге тең болмаса, онда екінші теңдік ақиқат болады.

Бикватернионның алгебралық түйіндестілігі тура бөлігі тура функцияның алгебралық түйіндестілігі және дуалді бөлігі дуалді функцияның дуалді түйіндестілігінің комбинациясы ретінде алынады:

.

Сонымен, олардың көбейтіндісі дуалді бөліктен тәуелсіз нақты санды береді:

Дуальді бикватерниондар қасиеттері.

1) қосу амалы коммутативті: .

Дуалді бикватерниондарды қосу және азайту операциясы сәйкес компоненталарын қосу және азайту арқылы анықталатындықтан былайша жазуға болады:

2) дуалді бикватерниондарда қосу және көбейту амалдары ассоциативті: , .

3. дуалді бикватерниондар дистрибутивті .

4) дуалді бикватерниондар көбейт уге қатысты коммутативті болмайды. Жалпы жағдайда:

Дуалді паракватерниондарда бөлу операциясы кері паракватернионға көбейту опрациясымен анықталады. Кері кватернион былайша есептеледі:

Кері дуалді бикватернион кез келген дуалді кватернион үшін табыла бермейді. Кері дуалді кватернион болу үшін дуалді кватернионның нильпотент немесе идемпотент болмайтындай нөлдік емес тура бөлігі болуы керек. Сонымен қатар дуалді бөлігі кез келген бола алады, себебі кері дуалді бикватернион құрылуда түрлендіру үшін дуалді бөлікке ешқандай шарт қойылмайды.

Дуалді бикватернион қасиеттері бикватернион қасиеттеріне өте ұқсас және көп жағдайда оны қайталайды. Бикватерниондарды дуалді бикватерниондардың дербес жағдайы ретінде қарастыруға болады.

Бикватерниондардағы сияқты дуалді бикватерниондар үшін Эйлер формуласының аналогын құруға болады. Бикватерниондар үшін сәйкесінше функциядан бірлік қосу дуалді функция көбейтуішімен айырмашылығы болады.

.

Дуалді бикватерниондардың бикватернионның тура бөлігіне сондай - ақ дуалді бөлігіне де қатысуы, олардың Пуанкаре түрлендіруінің толық группасын құруға оңай қолданылатынын көрсетеді.

2 Кватерниондар мен бикватерниондардың қолданылулары

2.1 Кватерниондардың кейбір қолданулары

Кез келген екі кватернионның көбейтіндісінің нормасы сол кватерниондардың нормаларының көбейтіндісіне тең болады, яғни кез келген және кватерниондары үшін:

Шынында да,

.

және деп алып, көбейтіндісін және нормаларды есептейміз:

,

,

.

Сонда

.

және

.

Бұл екі теңдіктен мынаны аламыз:

.

2.2 Бір айнымалы кватерниондық қарапайым функциялар

Кватерниондардың қолданылуын қарастыру үшін, бізге бір айнымалы кватерниондық функцияларды есептеу әдістемесін жасау қажет.

Бастапқы қарапайым функциясын көпмүшеліктер ретінде анықтаймыз.

Мысалға, экспоненциалды функциясы көпмүшелік ретінде мына түрде анықталады:

Нақты санының экспоненциалды функциясының аргументін басқа алгебрадың санымен ауыстыру жағдайда, біз нөлдік дәреженің құрылысы, сондай-ақ бір саны сол алгебра қарастырылады деп есептейміз.

Мысалға, комплекс сандар алгебрасына тиесілі болса, онда экспоненциалды функциясы мына түрдегі Эйлер формуласын жазуға:

және Муавр теңдігін, қосынды мен айырымының синусы және косинусын табуға мүмкіндік береді. Айнымалы функциясы ретінде кватернион бірлігін қарастырайық: .

Кватернионды функцияның аргументі ретінде қарастырғанда, оны шартты бірлікті және шартты комплекс сан ретінде қарастыру ұсынылады:

,

,

.

Бұл жазылулар кватернионның кешенді саны қасиеттерін сақтайды:

,

, .

Бұл сипатты пайдалана отырып, комплекс айнымалылар функциясы теориясында стандартты функцияларды анықтауды кватерниондар үшін ауыстыра аламыз:

1) Дәстүрлі кватернионның комплекс санын ауыстыру;

2) кешенді айнымалы функциясы функциясы ретінде ашып көрсету ;

3) кері ауыстыру белгісін қосамыз:

,

Бұл анығырақ көріну үшін кейбір қарапайым кватернионың функциясын жаздық:

Осы сияқты логарифмдік, гиперболалық синусынты пен косинусты және басқа функцияларды анықтауға болады.

2.2.1 Кватернионды логарифмді функция құрылымы

Кватернион үшін Эйлер формуласын үш өлшемді айналуларға амалдар қолдануда және оның салдары ретінде үшөлшемді кеңістіктегі дененің орналасу бағытын табуға, космостық аппараттардың траекторияларын есептеуге қолдануға болады.

Осыған байланысты кватернионды сызықты емес функцияларды нақты айнымалы функциялар арқылы өрнектеу мәселесі қойылады.

Қазір кватернионды көпмүшеліктер, бөлшек–рационал функциялар, экспоненталар құрылымы анықталып, қасиеттері зерттелген. Басқада кватернионды сызықты емес функцияларды, мысалға, гиперболалық функциялар – синус және косинустардың құрылымы зерттелуде.

Кватерниондық айнымалының логарифмін анықтауда қолайлы болуы үшін Эйлер формуласын мына түрде жазамыз:

,

мұнда ; .

кватернионының логарифмін арқылы белгілелік. Енді кватерниондық теңдеуін шешуді қарастырамыз, мұнда – кватернионы ізделініп отырылған шешім.

Демек, – кватернионы теңдеуін қанағаттандыруы керек, яғни мына теңдік орындалуы керек:

Бұл теңдіктің сол жағындағы жақшаларды ашып және оң жағындағы сәйкес мүшелерді теңестіріп, мына жүйеге келеміз:

Бұл жүйененің шешімі мына түрде болады:

Сонымен, кватернионының логарифмінің нақты функциялар арқылы өрнектелуі мына түрде болады:

.

Бұл өрнектелуден кватернионның логарифмі көп мәнді болатындығын көреміз. Бұл өрнектелудің басты бөлігін табалық. Ол үшін деп алу керек. Сонда мына өрнекке келеміз және оны кватернионның анықтамасы ретінде аламыз:

.

Нақты және комплекс сандар өрісі кватерниондар алгебрасының ішкі өрістері болатындықтан, бұл алынған өрнектерден жеке жағдайда, мысалға, комплекс сандар үшін логарифмдер шығуы керек.

Комплекс сан түрінде берілсе, онда оны – кватернионы деп алуға болады. Сонда

ал бұл комплекс санның логарифмімен үйлеседі.

2.3 Кватернионның физикалық қолданулары

Кватернион – ориентацияны бағыттаушы вектор және осы вектордан айналуды пайдалану арқылы беру тәсілі болып табылады (1-сурет).

Вектор

Айналу

1-сурет

Кватерниондардың көбейтіндісіне сәйкесті айналдыру, алдымен айналдыруын содан кейін айналдыруын қолдану нәтижесін береді. Бұл жағдайда көбейтіндісі көбейтіндісіне тең болмайды. Себебі нәтиже алдымен қай айналудың қолданылуына тәуелді болады. Кватерниондардың қосындысы қосылғыштардың арасында болатын айналуды береді. Егер кватерниондар нормаланған болса, онда қосылғыштардың дәл ортасында болатын айналуды аламыз.

Кватернионды нөлден өзге санға көбейткенде айналу өзгереді, бірақ мұның қосумен комбинатциясы пайдалы болуы мүмкін.

Кез-келген екі нүктесінің арақашықтығы уақытқа байланысты өзгермейтін материалды нүктелер жүйесін қатты дене деп атайды.

Қандайма бір санақ жүйесінде қатты дененің орналасуын анықтай есебі қатты дененің әрбір нүктесінің орнын көрсететін параметрлер жиынтығын табу болып есептеледі.

Басы нүктесі болатын оң бағытталған ортонормаланған санақ жүйесіндегі қатты дененің кез келген қозғалысын қарастыралық.

Дененің бойынан санақ жүйесімен қатаң байланысқан щң бағытталған ортонармаланған базисін таңдап алалық (2 – сурет).

2 – сурет

Бұл базисте дененің кез келген нүктесінің радиус векторы санақ жүйесіндегі әрбір нүктесін орнын анықтау үшін базисінің базисіне қатысты орналасуын беру жеткілікті болатындығы шығады. Бұл үшін щстері бастапқы жүйесінің остеріне параллел болатын санақ жүйесін қарастырамыз.

Демек базисінің бастапқы санақ жүйесіне қарағандағы қозғалысы нүктесінің, яғни радиус векторының қозғалысымен және базисінің санақ жүйесіне қарағандағы қозғалысымен сипатталады (3 – сурет).

Координаталар басы нүктесін кеңістіктегі және нүктелерімен қосатын және радиус векторлары үшін бұл жағдайда мына шарттар орындалуы керек:

, , ( = .

Бұдан = const, яғни денедегі кез келген екі нүктені қосатын радиус векторлардың скаляр көбейтіндісін өзгермейтіндігі шығады. Қозғалмайтын нүктесі бар қатты дененің кез келген орналасуы нормаланған кватернионы арқылы мына формуламен беріледі:

,

3 – сурет

Мұнда дененің әрбір орналасуына айырмашылығы таңбасында болатын екі кватернионы сәйкес келеді.

кватернионы үшін – оның сандық бөлігі, ал қосындысы – векторлық бөлігі деп аталады.

және векторлық кватерниондар беріліп, олардың көбейтіндісін есептелік:

.

Мұндағы – скалярлық, ал – векторлық көбейтінді және – кватерниондарының. Бұл теңдіктен векторлық көбейтіндінің анықтамасынан мынаны аламыз:

Бұл формуладан мына теңдіктер шығады:

,

Бұл екі формуланың көмегімен тікелей есептеу арқылы кватерниондары үшін Якоби тепе – теңдігін алуға болады:

Комплекс сандардағы сияқты кватерниондар үшінде кватерниондардың модулі, олардың модулдерінің көбейтіндісіне тең болады деген ұйғарым ақиқат болады, яғни

Егер және болса, онда бұл теңдікті ашып жазып, белгілі төрт санның квадраттарының көбейтіндісін квадраттардың қосындысы түрінде жазу туралы Эйлер тепе-теңдігін аламыз:

Модулі бірге тең кватерниондар тобы анықтауышы бірге тең унитарлық екінші ретті матрицалардың тобына изоморфты болады.

және оның түйіндесі кватернионына мына матрицаларды сәйкес қоялық:

,

.

Сонда теңдігінен , яғни матрицалардың көбейтіндісі унитарлық болады. Бұдан мына теңдікті аламыз:

.

Егер матрицасы унитарлық болып, болса, онда теңдігінен , болып, мынаны аламыз:

.

Сонымен бейнелеуі бірлік модулді кватерниондар тобы мен айналулардың тобы, яғни Лоренцтің алгебралық түрлендірулер арасындағы изоморфтылықты көрсетеді.

2.4 Кватернионды сызықтық дифференциалдық теңдеу

Екінші ретті сызықты дифференциалды теңдеуді қарастырайық

(2.4.1)

мұндағы – мағынасы кватернион болатын, нақты айнымалысы бар белгісіз функция, – берілген ватерниондар. (2.4.1) теңдеудің шешімін табу үшін Эйлердің дәстүрлі әдісін қолдануға болады, онда жеке шешімдер түрде іздестіріледі. кватерниондық экспонент мына қатардан табылады:

,

және қарапайым экспонеттің қасиеттері орындалады:

,

функциясын (2.4.1) теңдеуде алмастырудан сипаттамалық теңдеудің кватернионды баламасының түрі шығады

(2.4.2)

1 – ұйғарым. (2.4.2) теңдеудің әрдайым шешімі бар және әртүрлі шешімі екеуден аспайды.

1 – ұйғарымның дәлелдеуі (2.4.2) эквивалентті теңдеудің төрт с сызықты емес скалярлы теңдеуді зерттеумен шектеледі. Іс жүзінде, жалпы жағдайда (2.4.2) теңдеудің шешімі скалярлық квадраттық теңдеуінің бір оң түбір табу болып табылады.

2 – ұйғарым. Егер (2.4.2) теңдеу екі түрлі және түбірі болса, онда (2.4.1) жалпы шешімі мына түрде болады:

, (2.4.3)

мұндағы – еркін кватерниондар. Егер – (2.4.2) теңдеудің жалғыз түбірі болса, онда жалпы шешім мына формуламен табылады.

. (2.4.4)

Ескерту. (2.4.4) интеграл және түрде сызықты комбинациялық функция табылады ( – және кватерниондары арқылы сипатталатын нақты сандар). Кватернион коммутативті болмағандықтан, (2.4.4) формулада интеграл астында дәрежелерін қосуға болмайтынын атап өту қажет.

2.5 Бір айнымалы бикватерниондық функциялар

Бір айнымалы бикватерниондық функцияларды анықтауда бір айнымалы кватерниондық функцияларды құрудағы әдістемені пайдаланамыз.

Комплекс сандарды ескере отырып, содан кейін, көбейту астында коммутативті болғандықтан элементар функцияларды бикватернион, күрделі компоненттерімен ерекшелігі қарапайым кватернион болады.

Бір айнымалы бикватерниондық функцияның экспоненциалды түрін мынадай етіп жазуға болады:

Біз өте маңызды нүктесін ескеріңіз: . Жобасыз өрнек тең болуы мүмкін жағдайда, мысалы нөлдік мәндер, нөлге тең емес белгісі қосамыз жазылған фраза , жасырын бар болғандығы Дегенмен нөлден бөлгіш, олар мүмкін емес болып табылады. ауыстыру бұл жай ғана конвенция болып табылады.

Осылайша,

Енді айрықша бір жағдайды қарастыралық: . Бұл жағдайда мына теңдіктер орындалады:

.

2.6 Бикватерниондардың кейбір қолданулары

Біз өмір сүріп отырған әлемді 4 өлшемді кеңістік–уақыт ретінде қарастыруға болатындықтан, оны бикватерниондық базисте компонентасын уақыт координатасы, ал компоненталарын сәйкесінше кеңістіктің координатасы ретінде қарастыратын математикалық модел табылады. Бұл моделде бикватернионның барлық қалған бөлігі алынып тасталады немесе олар барлық жағдайында нөлге тең деп есептеледі.

Бұл моделде мына түрдегі түрлендірудің , құрамында Лоренцтің түрлендіру тобы болады. Мұнда шамасының полярлық бөлігі қозғалыстың бір санау жүйесінен екіншісіне қарағанда түрлендіруінің параметрі, ал аксиалды бөлігі санақ жүйесінің бұрылу параметрі болып табылады.

Екі өлшемді евклидтік кеңістікте комплекс саны радиус вектор сәйкес келеді және оның ұзындығының квадраты тұрақты шама инвариант болады, яғни . Физикада пайдаланылатын түрлендіру тобын, олардың инварианттары бойынша айыру қабылданған. Екі өлшемді евклидтік кеңістікте түрленетін вектордың ұзындығын сақтайтын түрлендіру, жазықтықтағы бұрулар тобы немесе екі өлшемді арнайы ортогонал – тобы болып табылады. – өлшемді евклиттік кеңістікте түрленетін вектордың ұзындығын сақтайтын, яғни:

болатын ортогонал түрлендірулер тобын анықтауға болады және оны арқылы жазады. Мұндағы – түрлендірудің нақты кеңістікте берілгендігін көрсетеді.

Вектордың компоненталарының квадраттарының қосындысы сақталатындай комплекс сызықты кеңістігінде анықталынған түрлендірулер тобын анықтауға болады. Мұны арқылы белгілейді.

Бикватерниондармен байланысты болатын ортогонал тобын қарастыралық. Анықтауымыз бойынша бұл топты мына бисызықты комбинация тұрақты болады:

. (2.6.1)

Бұл қосындыны және бикватерниондардың көбейтіндісі түрінде жазуға болады. Бұл тобын параметрлеуге мүмкіншілік береді. Бикватерниондарды көбейту коммутативті емес болғандықтан шамасын бикватернионға сол және оң жақтан көбейтуді айыру керек. Сонымен жалпы түрлендіруді мына түрде жазуға болады:

. (2.6.2)

Инварианттылықты пайдалансақ, онда

(2.6.3)

және болғандықтан

. (2.6.4)

Сонда (2.6.3) шартынан болғандығы шығады. Мұнда және деп алуға болады. бұл шарттар орындалу үшін және бикватерниондарын ортонормаланған түрде алу керек:

,

(2.6.5)

;

немесе

,

;

мұнда мынадай белгілеулер енгізілген

,

(2.6.6)

. (6)

тобының нәтижелерін физикада аса маңызды рөл атқаратын, оның ішкі топтарында орындалады. Осындай топтардың біреуі Лоренцтің тобы. Оны псевдоевклидтік 4 өлшемді кеңістіктің векторының ұзындығы шамасын инвариант қылатын, яғни

(2.6.7)

болатындай бұрулар тобы ретінде қарастыруға болады.

– таза жорамал координатасын енгізіп, (2.6.7) инвариантты евклидттік формада жазуға болады:

, . (2.6.8)

Бұл өрнекті бикватернионның дербес жағдайы және векторының көбейтіндісі түрінде жазуға болады.

Лоренц түрлендірулер тобының инвариантты, арнайы салыстырмалық теориясында (АСТ) интервал деп аталып, арқылы белгіленеді. Сонда , мынадай үш жағдайы қарастыруға болады:

, (2.6.9)

, (2.6.10)

, (2.6.11)

мұнда , – жарық жылдамдығы, – уақыт.

(2.6.9) жағдайды интервалы бастапқы нүктеден электромагниттік (жарықтық) толқынның таралуының координаталарымен таралу уақыты қанағаттандырады. Бұндай интервал изотропты деп аталады.

(2.6.10) қанағаттандыратын интервалды кеңістік тәріздес деп атайды. Бұл Лоренцтің түрлендіруі арқылы (2.6.10) шартты қанағаттандыратын бикватернионды тек қана кеңістікті координаталары болатындай санақ жүйесіне көшуі болатындығына байланысты.

(2.6.11) шартты қанағаттандыратын интервал уақыт тәріздес деп аталады. Бұл жағдайда Лоренцтің түрлендіру арқылы бикватернионның тек қана уақыт координатасы болатындай санақ жүйесіне көшуге болады.

(2.6.9) – (2.6.11) шарттар 4 өлшемді кеңістік–уақытты (Минковский әлемі) Лоренц түрлендіруіне қарағанда инвариантты болатын ішкі кеңістіктерге жіктейді.

(2.6.9) – (2.6.11) шарттарды геометриялық кескіндемесі бірінші суретте (төменде) көрсетілген.

4–суретте ыңғайлы болу үшін тек қана және кеңістік координаталары алынған. – конусы жарықтық деп аталады.

Оның жоғарғы бөлігінің іші абсолютті болашақ, ал төменгі бөлігі – абсолютті өткен шақ деп аталады. Бұл екі облыс (2.6.11) интервалға келеді. (2.6.11) жағдайға сәйкесті аралық (2.6.10) жағдайға сәйкесті интервалдың, яғни жарық конусының сыртындағы кеңістік–уақытты көрсетеді және абсолютті алыстаған оқиғалар облыс деп аталады

Абсолютті

болашақ

Абсолютті өткен шақ

Абсолютті қиып өтетін

4 – сурет

2.7 Бикватернионның манипулятор кинематикасы есебін шешудегі қолданысы

Мынадай координаттары қарастырайық: – манипулятор базасында байланысты координаттардың негізгі жүйесі; – қатаң шығысына қосуға жүйесін үйлестіру (таңдалған нүкте деңгейде бастап) сілтеме манипулятор; және т.б. қолдау (бағдарламалық) манипулятор жұмысы сыртқы саусақ қажетті қорытынды ұстанымын анықтайтын координаттар жүйесі. Жалпыланған координаттары алты бұрыштарды шығып салыстырмалы айналу бірлік ( ) және айнымалы , 2–ге қатысты сызықтық қозғалысы үшінші сілтемені сипаттайды. арқылы манипулятор жалпылама координаттарын береді:

, ; .

Біз сәйкес нормаланған бикватернионы , (немесе ), , қорытынды қозғалыстар анықтауға кіріс координат жүйесінде салыстырмалы позиция ығысудың схемасымен

, , (2.7.1)

,

,

,

, ;

, ;

, .

Мұнда, – Гамильтонның жорамад бірлік векторлары; – таңбасы Клифордтың символы (комплекстік); – негізгі координаттар жүйесіне қарағанда манипулятордың шығушы (бағдарламалық қамтамасыз ету) мүшесінің шекті винттік ығысуының меншікті бикватернионы, бұл манипулятордың шығушы ( бағдарламалық қамтамасыз ету) мүшесінің кватерниондарының комплексті комбинациясы; кватернионы шығушы (бағдарламалық қамтамасыз ету) мүшесінің бірқалыпты қозғалысын сипаттайды; – меншікті бикватернионы координаттар жүйесіне қарағанда манипулятордың шығушы мүшесінің винттік қозғалысын сипаттайды және шығушы мүшенің бағыттаушы кватернионы мен осы жүйедегі шығушы мүшенің бірқалыпты қозғалысының кватерниондарының комплексті комбинациясы.

«Меншікті бикватернион» термині бикватерниондарының әрбірі өздеріне сәйкесті координаттар жүйесіндегі компонентпен анықталатынын білдіреді.

арқылы бағдарламасы координаттар жүйесіне қатысты манипулятор шығысының винттік қорытынды қозғалысының негізгі жүйесіндегі координаттарымен берілген бикватернионды белгілелік.

бикватернионы (2.7.1) ауыстыру тізбегінің тармағына сәйкес және базисінде қосымша ақырлы жылжудың формуласы мына түрде ұсынылады:

, (2.7.2)

және оның әрқайсысы сәйкес бикватернион формуласы қосымша ақырғы ығысудың, қайта негізінде анықталады:

. (2.7.3)

Мұнда – бикватерниондарды көбейту таңбасы.

(2.7.2) формуласындағы бикватернионы манипулятордың шығысының нақты орнынан қажетті орынының (сызықтық және бұрыштық) ауытқу сипаттап, координаталар жүйесінде компоненттері арқылы анықталады. (2.7.3) формуласындағы бикватернионы нақты ( негізі бағдарламалық қамтамасыз ету) орнынан ауытқу сипаттап, компоненттері арқылы анықталады.

(2.7.2) және (2.7.3) сәйкес және бикватерниондары мына формулалармен табылады:

, (2.7.4)

. (2.7.5)

Бұдан әрі, жоғарғы сызық түйіндестік символын білдіреді (жоғарыдағы формулаларда, бикватериондардың барлық нормаланған болуы тиіс, сондықтан кері бикватериондар түйіндесіне тең болады).

Манипулятор бірлік бикватернионы салыстырмалы қорытынды қозғалыстар, жалпылама координаттардың функциялары болып табылады:

. (2.7.6)

Содан кейін белгіленген шығу сілтемелер манипулятор жұмысының соңғы лауазымы жүйесі ие болуын сипаттайтын, бикватернионы мына түрде болады:

(2.7.7)

( ) және ( ) векторлары арқылы жүйесіне қарағанда лездік бұрыштық және сызықтық жылдамдығы шығыс тетігінен қозғалысына (координаттар жүйесі бағдарламалық қамтамасыз ету) қатысты үйлестіру базалық болсын. Біз векторлары және және координаттары мен векторлар байланысты координат жүйесіндегі олардың болжамдары мен және анықталады бағдарламалық қамтамасыз ету жүйесінде олардың жоспарларын ескере отырып және деп санайды.

Мотор лездік ротор жылдамдықта (кинематикалық бұранда) шығыс тетігінен, полюсі аталатын, қос вектор табылады, және автомобиль лездік бұрандалы (кинематикалық бұранда) жылдамдатады бағдарламасы координаттар жүйесі, полюсі деп аталады , қос вектор табылады.

Қимылмен басқару манипулятор тапсырмасы бойынша біз бағдарлама жолын сәттік жылдамдығын бұрап манипулятор ұштастыра шығыс мүшесі бағдарламалық қамтамасыз (жиынтығы) қозғалатын координаттар жүйесі жүйесін үйлестіру тарту міндетін түсінуге .

Хабарлар шығыс сілтеме сәттік жылдамдығы арқылы бұранданың бұл қозғалыс бақылау делік: Біз бақылау проблемасын кинематикалық тұжырымын қарастырдық.

Стэнфорд манипулятор қозғалысын кинематикалық теңдеулерді қабылданған қозғалыс математикалық моделі ретінде бұл тұжырымы манипулятор қозғалысын басқару міндеттелді және айнымалылары арқылы өрнектеледі:

. (2.7.8)

матрицасы жалпылама координаттар функциясы болып табылады: . Басқару элементтері қос ортогоналды проекция онымен байланысты координаттар осіне кинематикалық бұранда шығыс сілтейтін болғандықтан. Басқармасы немесе басқару элементтерін (түзету) кезінде және бағдарламаның басқару элементтерді тұрақтандыру үшін қажет болады. Құндылықтар (бағдарламалық қамтамасыз ету, бақылау) уақыт көрсетілген қос функцияларды сенім артады.

Қатенің орналасқан жерін бикватернион түрінде көруге болады

онда скалярнлық және бұрандамалы бөлігінде бикватерниондық қатенің орналасқан жерін түрі бар

(2.7.9)

(2.7.10)

Біз қалыптастыру қозғалысын басқару шығыс деңгейі манипулятор формуласы бойынша есептеуді ескере отырып, қатынастарды (2.7.9), (2.7.10) басқару келесі түрде жазуға болады:

. (2.7.11)

(2.7.11) формуласының басты және моменттік бөлігінде, мынадай заңдар қалыптастыру талап етілетін проекциялар және бұрыштық және сызықтық жылдамдықтар қозғалыс шығыс деңгейдегі манипулятор (басқармаларының) аламыз.

,

, . (2.7.11)

Шешу алгоритмі кері кинематикасы болып табылады сандық құрылымдары дифференциалдық теңдеулер жүйесі (2.7.8), толықтырылған ара (2.7.11), формула (2.7.10) және бикватерниондық ара табу үшін ағымдағы маңызы бар бикватерниондық ережелер қатты манипулятор алынған.

Қолданылатын бақылау заңдар қажетті дәлдік дәрежесі қажетті түпкі жағдайы, жиынтығы бикватернион үшін асимптоталық тұрақты шығыс манипулятор жұмыс қатты кепілдік, кері байланыс принципі бойынша құрылған, және . жалпылама координаттар құндылықтар, осы соңғы лауазымға тиісті қатты , және манипулятор кері міндеттері шешудің бірі болады. Кері кинематика мәселенің сандық шешу сұлбасы суретте көрсетілген. Бикватернион манипулятор бағдарламалық қамтамасыз шығару сілтеме лауазымына тиісті координаттар жалпы мәндер үшін бикватернион бірдей жолмен шығару.

2.8 Бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы

_{кеңістігіндегі декарттық координаталар жүйесінің орттарын арқылы және белгілейік.} комплекс координатты үш өлшемді вектор: , - комплекс сан болсын. Гиперкомплекс сандардың бикватерниондар деп аталатын кеңістігін енгізелік: .

алгебрасы сызықты кеңістік құрайды, егер оның элементтерін қосуды және кватерниондық көбейтуді мына түрде анықтаймыз:

,

, (2.8.1)

Мұндағы және берілген және векторларының сәйкесінше скалярлық және векторлық көбейтіндісі, ал Леви – Чивитаның псевдотензоры. Енді - Кронекердің символын пайдалансақ, онда мына шарттардан:

, және ,

_{бикватерниондар алгебрасының коммутативті емес, бірақ ассоциативті болатындығы шығады:}

алгебрасы сызықты кеңістік құрайтындығын анықтаманың шарттарын жоғарыда анықталған элементтерді қосу және кватерниондық көбейтуді пайдаланып, тікелей тексеру арқылы жүргізіледі.

Бикватерниондар алгебрасының құрылымын зерттеу үшін қажетті ұғымдарды қарастыралық.

және бикватерниондарын өзара түйіндес деп атаймыз.

бикватернионын бикватернионына комплекс түйіндес деп атаймыз.

Егер болса, онда бикватернионы унитарлық деп атаймыз.

бикватернионын бикватернионына алгебралық түйіндес деп атаймыз.

Егер болса онда бикватернионды өзтүйіндес деп атаймыз.

және F нақты сандар болғанда өзтүйіндес бикватерниондардың жалпы түрі мынадай болады:

(2.8.2)

, бикватерниондарының скалярлық көбейтіндісі деп

бисызықты операцияны айтамыз.

бикватерионының нормасы деп мына теріс емес шаманы аламыз:

.

Егер кватернион (нақты бикватернион) болса, онда және

. (2.8.3)

бикватернионының псевдонормасы деп, мына шаманы айтамыз:

, , (2.8.4)

Бұл жағдайда мына теңдік орындалады:

(2.8.5)

Егер - өзтүйіндес болса, онда . Егер мына шарт орындалса,

(2.8.6)

онда бикватернионы, бикватернионына оң жақтан кері деп, ал бикватернионы бикватернионына сол жақтан кері деп аталып сәйкесінше және арқылы жазылады.

Бұл жағдайда мына теңдіктердің орындалатындығын тексеруге болады:

,

2.8.1 – ұйғарым. Егер болса онда екі жақтанда кері бикватерниондар бар болып, олар тең болады

.

Егер болса онда кері бикватернион табылмайды.

Дәлелдеу. Мына теңдіктің ақиқаттылығынан

және шартын ескеріп, (2.8.6) теңдігінің екі жағын шамасына бөліп, қажетті теңдікті аламыз.

Егер болса онда кері бикватернионды анықтау үшін (2.8) шартты пайдаланып, теңдіктердің скалярлық және векторлық бөліктерін жазып, төрт сызықты теңдіктерден тұратын мына екі жүйені аламыз (cәйкесінше оң жақ және сол жақ кері бикватерниондарды анықтау үшін):

,

және

.

Бұл жүйелердің анықтауышы сәйкес таңбаларымен мынаған тең:

Бұл анықтауыштың рангісі 2-ге тең, ал кеңейтілген матрицаның рангісі 3-ке тең болғандықтан, бірінші және екінші жүйелердің шешімі болмайды. Демек, кері бикватерниондар табылмайды.

2.8.2 – ұйғарым. Берілген және бикватерниондар үшін бикватерниондық сызықты (бисызықты) мына теңдеулердің:

(2.8.7)

немесе

(2.8.8)

жалғыз ғана сәйкесінше немесе шешулері бар болады, егер болса.

Бұл ұйғарымның ақиқаттылығы 2.8.1 – ұйғарым шығады.

Егер болса, онда (2.8.7) немесе (2.8.8) шешулердің бар болу мәселесі бикватернионының түріне байланысты кеңейтілген жүйенің матрицасының рангісі арқылы анықталынады.

болсын. Егер болса, онда шешуді анықтау үшін (2.8.7) теңдеу үшін мына теңдікті

, (2.8.9)

немесе (2.8.8) теңдеу үшін мына теңдікті аламыз:

, (2.8.10)

Егер болса (2.8.9) теңдіктің шешімі мына бикватерниондар болады:

,

,

мұндағы – кез-келген бикватерниондар.

Егер болса (2.8.9) теңдеудің шешімі мына түрде болады:

,

.

Осылайша (2.8.10) теңдеулер жүйесінің шешімдерін алуға болады.

, т.с.с белгілеу енгізейік. дәрежесін және бикватерниондар алгебрасын қолданып, мына түрдегі

бикватернионды полиномдарды(биполиномдар) құруға болады, мұндағы тұрақты бикватерниондық коэффициенттер. Жеке жағдайда келесі теорема оңай дәлелденеді.

2.8.3–ұйғарым. Квадратты бикватерниондық(биквадратты) теңдеуінің барлық уақытта шешлімді бар және оның 4 түбірі мына түрде болады: , мұндағы

, .

Сондай-ақ бикватернионнан квадрат түбір табу ұғымын енгізуге болады.

2.8.4–ұйғарым. биквадратты теңдеуінің мына түрдегі төрт шешімі бар, мұндағы жақшадағы индекс радикалдың төрт мәнінің бірін білдіреді.

Енді Минковский кеңістігіндегі бикватерниондарды және олардың осы кеңістіктегі сызықты түрлендірулер тобын қарастырайық.

2.9 Минковский кеңістігіндегі Лоренц түрлендірулері

Нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуі туралы Фробениус теоремасы бойынша жаңадан алынатын алгебралардың өлшемдері 2, 4, 8 болатындығы белгілі. Төрт өлшемді кеңістікті физикалық мағынасына байланысты Минковский кеңістігі деп атайды. Қарастырылатын кеңістіктің өлшемі сегізге тең болатындықтан, оны жалпыланған Минковский кеңістігі деп атадық. Бұл кеңістікте Лоренцтің түрлендірулерін құруда бикватерниондар алгебрасын пайдалану ыңғайлы болатындығын көрсетелік.

Минковский кеңістігін арқылы белгілеу қабылданған. Минковскийдің М кеңістігінде комплекс-түйіндес бикватерниондарды енгізелік:

, ,

, (2.8.10)

Бұдан бұлардың өзтүйіндес бикватерниондар болатындығы шығады:

,

және

, .

Демек жарықтық конуста ( ) және бикватерниондары үшін кері бикватернион табылмайды.

Енді өзара бикватерниондарды енгіземіз:

, , ,

мұндағы – нақты сан және оған гиперболалық синус пен косинус қолданылады. Бұлардан олардың унитарлы болатындығы шығады, яғни

.

Тікелей есептеу арқылы келесі ұйғарымдардың орындалатындығын көрсетуге болады.

2.8.5–ұйғарым. Лоренцтің классикалық түрлендіруі мына түрде болады:

, .

Енді мына белгілеулерді енгізсек:

, , ,

онда және бикватерниондарының скалярлы және векторлы бөліктері сәйкесінше мына формулалар түрінде жазылады:

, ,

, .

Бұның өзі координаталар жүйесінің өлшемсіз жылдамдықпен векторының бағытымен қозғалысына сәйкес келеді. Ассоциативті және унитарлық қасиеттері орындалатындықтан, псевдонорма сақталады:

.

2.8.6–ұйғарым. Мына түйіндес кватерниондар:

, , ,

кеңістігінде бикватернионының векторлық бөлігіне, яғни мыналарға

ортогонал болатын түрлендіру тобын анықтайды, мұндағы – нақты сан.

Бұл түрлендіру кеңістігінің векторынан шамасына айналдыру болады.

Дәлелдеу. Есептеу арқылы керек мына шамаларды аламыз:

.

болғандықтан, мына теңдік орындалады: .

Ескерту. теңдігі орындалатындықтан, осы түрлендірулердің композициясынан Лоренцтің түрлендіруінің жалпы түрі алынады.

Анықтама. Минковскийдің кеңістігінде Лоренцтің түрлендіруі мына псевдонорманы сақтайтын сызықты түрлендіру ретінде анықталады:

,

теңдігі орындалатындықтан псевдонорма сақталады және жарықтық конуста нөлге тең болады.

Салдар. Лоренцтің түрлендіруінде жарықтық конус жарықтық конусқа көшеді.

2.10 М кеңістігіндегі бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы.

Мұнда бикватерниондардың функционалды кеңістігін қарастырамыз:

мұндағы - комплекс мәнді функция, ал - комплексті компонеті болатын үшөлшемді вектор – функция. Әрі қарай және М кеңістігінде локалды интегралданатын (дәйекті) және дифференциалданатын функциялар деп қарастырамыз. айнымалысы немесе бойынша бикватенионның дербес туындысын былайша белгілейміз:

, .

полинимиалды - ші дәрежелі бикватерннион деп атаймыз, егер оның компоненттері алынған полином болып, жоғарғы дәрежесі мынаған тең болса:

.

Осы ұғымдарды пайдаланып кеңістігінде полиномда сәйкесінше аттас туынды координатасын сәйкесінше дәрежеге алмастырып сызықты дифференциалды операторды енгізуге болады:

.

Бұдан бикватернионды сызықты дифференциалды теңдеуді қарастыруға болады:

(мұндағы операторды енгізу үшін формалды бикватернионды көбейту амалы, әрі қарай бұл белгілеуді алып тастаймыз).

Бұл теңдеу төмендегідей төрт теңдеуден тұратын жүйеге эквивалентті:

,

мұнда нақты және комплексті бөліктерге бөліп қарастырсақ сегіз теңдеуден тұратын жүйеге эквивалентті болады. Алда көрсететініміздей математикалық физика теңдеулері жүйесінің өте кең класын (4) типті бір теңдеуді шешуге келтіруге болады.

Стандартты (4) шешімін құру амалы тұрақты коэффициентті көпмүшелік болған жағдайда Фурье түрлендіруі болады. Бұл Фурье айнымалылар кеңістігінде сызықты алгебралық теңдеуді алуға мүмкіндік береді

мұндағы бикватерниондардың Фурье түрлендіруі тильдамен белгіленген.

2.11 және кеңістіктерінің құрылымы

Бикватерниондардың екі кеңістігін енгіземіз, негізгі

, , –

кеңістігі шексіз дифференциалданатын финитті кеңістік, ал

– жалпыланған бикватернионның түйіндес кеңістігі кеңістігінде сызықты үздіксіз функционалдар кеңістігі болады:

.

Кез – келген дәйекті бикватернионға сәйкесінше интеграл түрінде берілген функционал сәйкес келеді:

Жалпыланған бикватернион түрінде қарастырғанда қолданамыз. Егер жалпыланған бикватернионды интеграл түрінде беру мүмкін болмаса оны сингулярлы деп атаймыз. Сингулярлы функцияны қолданып күрделі жалпыланған бикватерниондарды құруға болады. Жеке жағдайда математикалық физика есептерінде қарапайым қабат ретінде қолданылады. Олардың кеңістігіндегі жалпыланған бикватернионы мына түрде болады:

Мұнда интеграл өлшемдері 1, 2, 3, …7 болатын жазықтығына тиісті болады. бикватернионын қарапайым қабаттың тығыздығы деп атаймыз.

Жалпыланған бикватернионның туындысының анықтамасын қолданып:

үшін

кез – келген ретті дербес туынды құруға болады.

Анықтама: дифференциалдық теңдеуінің жалпыланған шешімін

үшін

шартын қанағаттандыратын жалпыланған бикватернионы деп атаймыз, мұндағы – тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалды оператор.

Анықтама: үшін шартын қанағаттандыратын Фурье жалпыланған түрлендіруі жалпыланған бикватернионы деп аталады, мұндағы – кеңістігінде қасиеттері орындалатын Фурье классикалық түрлендіруі:

Аналогиялық түрде жалпыланған функция теориясындағы сияқты егер бикватернион дәйекті және классикалық Фурье түрлендіруі бар болса, ол жалпыланған болады.

Қорытынды

Дипломдық жұмыста қазіргі заманғы ғылымның әртүрлі саласындағы зерттеулерге байланысты пайда болған жаңа сандарды қарастыру негізінде шығатын алгебраның бір математикалық моделі зерттелді. Қойылған мақсаттармен міндеттерге байланысты зерттеулердің нәтижесінде мыналар алынды.

Біріншіден, жаңа сандарды құру мәселесі қарастырылып, олардың математикалық моделдері құрылды. Сонымен қатар жаңа алгебраны құрудың екі еселеу әдістеріне, оның ішінде Грассман Клиффордтың және Кэлли Диксонның әдістерінің қолданылуы қарастырылды.

Екіншіден, екі еселеу процесінің көмегімен алынатын жаңа алгебралардың, оның ішінде бикватерниондардың, дуалді кватерниондардың, қоскватерниондардың, дуалді қоскватерниондардың және дуалді бикватерниондардың алгебралық қасиеттері мен құрылымдары зерттеліп, олардың математикалық моделдері құрылды.

Үшіншіден,бикватерниондардың негізінде құрылған дифференциалдық алгебраның құрылымы зерттелді және оның Минковский кеңістігіндегі Лоренц түрлендірулерімен байланысы көрсетілді. Минковский кеңістігіндегі бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасының құрылымы зерттелді.

Қазіргі кезде кванттық физиканың оның ішінде кванттық өрісті зерттеуде жалпыланған сандар (полисандар, гиперсандар) алгебрасының тиімді қолданылып жүргені осындай зерттеулерге арналған арнайы ақпараттық құралдың (Гиперкомплексные числа в геометрии и физике) ашылуынан байқауға болады.

Дипломдық жұмыста қазақ тілінде жалпыланған сандардың алгебрасының құрылымын және олардың қолданылу аясын зерттеуге арналған алғашқы зерттеулердің бірі болғандықтан, бұл жұмыс студенттер мен жас ғалымдарға ой салып, осы саланы әрі қарай дамытуға себепші болады деп ойлаймын.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1 Абиров А.Қ., Орынбасарова Г.Т. Параболалық сандар алгебрасының

құрылымы. // «Қазіргі білім беру ауқымындағы физика-математика

ғылымдарының ролі» атты халықаралық ғылыми-теориялық

конференцияның материалдар жинағы. Атырау 2005. 12 – 15 б.

2 Абиров А.Қ., Орынбасарова Г.Т. Жазық сандардың бір математикалық

моделінің құрылымы // Материалы III международный научно-

методической конференции «Математическое моделирование и

информационные технологии в образовании и науке» т.I., Алматы 2005.

8–12 б.

3 Ван дер Варден Б.Л. Алгебра М.:Наука, 1976. 648 б.

4 Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца,

близкие к ассоциативным. М., Наука, 1978. 431 б.

5 И.Л.Кантор, А.С.Солодовников, Гиперкомплексные числа М., Наука 1973

6 А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М., 1977

7 Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел. М,. 1979

8 Лаврентьев М.А, Шабат Б.В., «Проблемы гидродинамики и их

математические модели» М., «Наука», 1977.

9 Сапарова А.С. Параболалық сандар құрылымы // «Педагогика және шетел

тілдерін оқыту әдістемесі: бүгінгі ахуал, ертеңге сараптама»,

халықаралық ғылыми практикалық конференциасының жинағы.2т.

Атырау 2010. 183–187б.

10 Сапарова А.С. Эллипстік төртінші ретті алгебралар құрылымы // «Х.

Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті жарты

ғасырдан аса уақыт аймақтық білім мен ғылымға қызмет көрсету» жоғары

оқу орнының 60 жылдық мерейтойына арналған халықаралық ғылыми

практикалық конференциясының жинағы. 2 т.,Атырау 2010. 271 – 275 б.

11 Сапарова А.С. Дуалді – гиперболалық төртінші ретті алгебралар

құрылымы // «Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік

университеті жарты ғасырдан аса уақыт аймақтық білім мен ғылымға

қызмет көрсету» жоғары оқу орнының 60 жылдық мерейтойына арналған

халықаралық ғылыми практикалық конференциясының жинағы.2

т.Атырау2010.291–295 б.

12 Яглом М.И. Комплексные числа М.,1963.