Материалдар / ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС Тақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы» 5В060100-«Математика» мамандығы бойынша
Материалға шағымдану
Назар аударыңыз. Бұл материалды сайт қолданушысы жариялаған. Егер материал сіздің авторлық құқығыңызды бұзса, осында жазыңыз. Біз ең жылдам уақытта материалды сайттан өшіреміз
Шағым жылдам қаралу үшін барынша толық ақпарат жіберіңіз
Сіздің сұранысыңыз сәтті жіберілді!
Жақын арада сайт әкімшілігі сізбен хабарласады
2023-2024 оқу жылына арналған
қысқа мерзімді сабақ жоспарларын
жүктеп алғыңыз келеді ма?
ҚР Білім және Ғылым министірлігінің стандартымен 2022-2023 оқу жылына арналған 472-бұйрыққа сай жасалған
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС Тақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы» 5В060100-«Математика» мамандығы бойынша
Материал туралы қысқаша түсінік
5В060100-«Математика» мамандығы бойынша білім алып жатырған студенттерге таптырмасматериал, Дайын дипомдық жұмыс ұсынып отырмын.
Авторы:
Автор материалды ақылы түрде жариялады.
Сатылымнан түскен қаражат авторға автоматты түрде аударылады. Толығырақ
Сатылымнан түскен қаражат авторға автоматты түрде аударылады. Толығырақ
04 Қаңтар 2018
927
0 рет жүктелген
Бүгін алсаңыз
25% жеңілдік
беріледі
беріледі
770 тг 578 тг
Тегін турнир Мұғалімдер мен Тәрбиешілерге
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!
Дипломдар мен сертификаттарды алып үлгеріңіз!
Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады
Материалдың толық нұсқасын
жүктеп алып көруге болады
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті Физика, математика және ақпараттық технологиялар факультеті Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасы
Қорғауға жіберілді (жіберілмеді).
___________________________________ кафедрасының меңгерушісі____________________(Аты-жөні) қолы«____»________________ 2016ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы»5В060100-«Математика» мамандығы бойынша
Орындаған: Бақтығали Жаннат НұрлыбекқызыҒылыми жетекшісі: Толеуова Р.У техника ғылымдарының кандидаты
Атырау 2016МазмұныКІРІСПЕ....................................................................................................................1НЕГІЗГІ БӨЛІМ....................................................................................................1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру..............................................................1.1 Жаңа сандарды құру............................................................................................1.2 Жаңа сандарды анықтау әдістері......................................................................1.3 Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы..............................1.3.1 Көбейту кестесі................................................................................................1.4 Жаңа алгебраны алу әдістері.............................................................................1.4.1 Жалпыланған екі еселеу әдісі.......................................................................... 1.4.2 Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісі.......................................................1.4.3 Гиперквадратты сандар..................................................................................1.4.4 Кэли – Диксонның екі еселеу әдісі................................................................1.5 Бикватерниондар алгебрасы..............................................................................1.6 Гиперболалық кватерниондар алгебрасы..........................................................1.7 Дуалді кватерниондар алгебрасы.......................................................................1.8 Дуалді гиперболалық кватерниондар алгебрасы..............................................1.9 Дуальді бикватерниондар алгебрасы.................................................................2 Кватерниондар мен бикватерниондардың қолданылулары...............................2.1 Кватерниондардың кейбір қолданулары...........................................................2.2 Бір айнымалы кватерниондық қарапайым функциялар..................................2.2.1 Кватернионды логарифмді функция құрылымы...........................................2.3 Кватернионның физикалық қолданулары.........................................................2.4 Кватернионды сызықтық дифференциалдық теңдеу....................................... 2.5 Бір айнымалы бикватерниондық функциялар..................................................2.6 Бикватерниондардың кейбір қолданулары.......................................................2.7 Бикватернионның манипулятор кинематикасы есебін шешудегі қолданысы .................................................................................................................2.8 Бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы.......................................2.9 Минковский кеңістігіндегі Лоренц түрлендірулері.......................................2.10 М кеңістігіндегі бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы........ 2.11 және кеңістіктерінің құрылымы.................................................................... ҚОРЫТЫНДЫ........................................................................................................ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ...................................................
Кіріспе
Математиканың басқа ғылымдардың әртүрлі салаларындағы қолданылуында комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың, қазіргі кезде бұлардың жалпыламасы болып табылатын полисандардың қолданылатындығы белгілі. Гиперболалық, параболалық сандардың геометриялық қасиеттері кеңінен қарастырылғанымен [5,12], олардың алгебралық қасиеттеріне арналған зерттеулер көп кездеспейді. Сондықтан нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуінен шығатын жалпыланған сандардың, нақты сандар өрісінің алгебралық қасиеттеріне жақын келетін алгебралық құрылымдарды зерттеу өзекті болып табылады. Сан ұғымы математикадағы ең маңызды зерттеу объектісі болып табылады. Сандық жиындарды ретімен орналастырып, осы алгебралық кеңеюлерді құрудағы алгебралық структураларды ретімен қарастыралық. Бұларды сәйкесінше натурал, бүтін, рационал, нақты, комплекс, сандық жиындар деп атау қабылданған.Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары нәтижесі натурал сан болады, яғни алгебра құрайды. Қосу және көбейту амалдары терімділік, орын ауыстырымдылық және үлестірімділік заңдылықтарына бағынады. Сондықтан бұл жүйе натурал сандардың коммутативті жартылай сақинасы деп аталады. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай етіп, кеңейту нәтижесінде бүтін сандардың жиыны шығады. Сонда, алгебрасы коммутативті сақина құрайды. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай кеңейтудің нәтижесінде рационал сандардың жиыны шығады. алгебрасы коммутативті өріс құрайды . Рационал сандар өрісі барлық сандық өрістердің қиылысуында жататын ең кіші сандық өріс болады. Рационал сандар өрісіне шексіз периодсыз ондық бөлшектерді қосу арқылы, нақты сандардың өрісін аламыз. Бұл өріс мектепте қарастырылатын сандық жиындардың ең үлкені болып табылады. Нақты сандар өрісін теңдеуінің шешімі болатындай етіп кеңейтудің нәтижесінде комплекс сандардың өрісі шықты. Жалпы математикадағы табиғаты сан болатын бұл ең үлкен өріс. Сондықтан комплекс сандар өрісінің ішкі өрістерін сандық өрістер деп атайды.Дискрминантың нөл, оң және теріс сан болуына байланысты, нақты сандар жиынының кеңейтілуі математикада сәйкесінше параболалық, гиперболалық және эллипстік сандар жиыны деп атау қабылданған [8]. дипломдық жұмыста пайда болған жаңа сандар жиынында, оның элементтерін қалайша қосуға және көбейтуге болады, мұнда шыққан алгебралардың құрамы қандай деген сұрақтарға жауап іздейміз. Енді осы алгебралардың қалай пайда болатынына тоқталайық:
; (0.1)
теңдеуін түрлендірейік, яғни толық квадратқа келтірейік.
. (0.2)
(0.2) теңдіктің оң жағын (дискриминант) деп алсақ, онда Енді осы санының мүмкін болатын үш жағдайын қарастыралық: 1) – теріс сан болсын, сонда нақты сан табылып, Бұны (0.2) теңдікке қойып, мынаны аламыз: немесе .Енді белгілеуін енгізсек, онда болатындығы шығады. Бұл жағдайда белгілі комплекс сан ұғымына келеміз. Комплекс сандарды кейбір әдебиеттерде эллипстік сандар деп те атайды [8]. 2) D – нөлге тең болсын, онда болатынын аламыз. белгілеуін енгізсек, онда дискриминант түріне келеді. Осы шартты қанағаттандыратын санын дуалдық немесе параболалық сандар деп атайды. 3) D – оң сан болсын, сонда нақты сан табылып, және (0.2) теңдігінен мынаны аламыз: . белгілеуін енгізсек, онда . Бұл шартты қанағаттандыратын сандарды қосарланған немесе гиперболалық сан деп атаймы3.Қосарланған және дуалді сандарды алудың математикадағы әртүрлі бағыттарға тоқталалық.Бірінші бағыт келтірілген () квадрат теңдеуінің түбірлерінің бар болуын зерттеуге байланысты, дәстүрлі көз-қарас [5,12]. Теңдеуінің дискриминанты теріс, оң және нөл болуына байланысты түрлендірулердің нәтижесінде , теңдіктерінің шығатындығын жоғарыда көрсеттік.Екінші бағыт өрісті таза алгебралық кеңейтудің Грассман – Клиффорд және Кэли-Диксон процесін [5,17] қолдану арқылы комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың , , жиындарын ашық түрде алып, оның элементтеріне қосу және көбейту амалдарын дәстүрлі түрде анықтайды.Үшінші бағыт қолданбалы математикада [8] кеңінен қолданылатын жазық векторлар ұғымын пайдаланып жалпыланған сандарды алу. Жазық векторларының көбейтіндісі:
жазықтықтан шықпауы үшін деп аламыз. Сонда
.
Жалпыланған сандардың әртүрлі ғылым салаларында кеңінен қолданылуы, дипломдық жұмыстың өзектілігін көрсетеді.Зерттеу мақсаты: бикватерниондар алгебрасын құру және оның қолданылу аясын қарастыру.Зерттеудің нысаны: табиғаты нақты сандарға ұқсас, қасиеттерінде өзгешелігі бар эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың екі еселенген кеңейтілуінен шығатын жиын. Зерттеудің пәні: жазық сандардың жиынының негізінде шығатын алгебралардың құрылымын зерттеу болып табылады. Зерттеудің міндеттері: а) жазық сандарды құру мәселесін қарастыру;комплекс кеңістіктегі квадраттық теңдеудің шешілуін қарастыру; ә) бикватерниондар алгебрасын құрып, оның алгебралық қасиеттерін тағайындау; б) кватерниондар мен бикватерниондардың қолдануларын көрсету. Зерттеудің деңгейі: гиперкомплекс сандарға байланысты ана тілді ақпарат құралдарында әдебиеттер мен мақалалар өте сирек кездесетіндіктен дипломдық жұмыстың деңгейі жоғары болып табылады. Зерттеудің дерек көздері: ақпарат құралдары, абстрактілі алгебра мен ғылыми әдебиеттер. Зерттеудің әдіснамалық және теориялық негіздері: университеттегі алгебра негіздері, геометрия, комплекс айнымалы функциялар курстарында баяндалған. Зерттеудің әдістері: алгебраны құрудағы Грассман – Клиффорд және Кэлли – Диксон әдісін қолдану. Зерттеудің жаңашылдығы және практикалық маңыздылығы: зерттеу нысандарын жүйелі түрде қарастырып, осы нысандардағы алгебралық құрылымдардың толық зерттелуі, оның ана тілді математикалық әдебиеттерде кездеспейтіндігімен құнды болады. Зерттеудің практикалық базасы: физикалық дүниетанымдағы жоғарғы ретті гиперкомплекс сандарға келтірілетін табиғи құбылыстардың қолданбалы есептері. Диплом жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 64 беттен тұрады.
1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру
Бұл бөлімде нақты сандар өрісін кеңейтуден алынатын жаңа сандардың математикалық моделі құрылып, жаңа алгебралардың құрылымы қарастырылады.
1.1 Жаңа сандарды құру
Нақты сандардың жалпылауы болып табылатын кез–келген гиперкомплекс сандар, жорамал бірліктердің сызықты комбинациясы ретінде анықталады:
,
мұндағы – нақты сандар өрісі, – гиперкомплекс санның тәуелсіз жорамал бірліктері және
Мұндай алгебралар дәрежелер үшін ассоциативтілік қасиетке ие болады. Базисі болатын жазықтықтағы элементтерді көбейту мына түрде жүргізіледі
Жорамал бірліктің квадратын есептеуде басқа бір жорамал бірлік қатысса, онда бұл қасиет бұзылады. Бұл жағдайда гиперкомплекс сандар класын анықтау біршама кеңейеді. Жорамал бірліктің квадратынан түбір табудың мәніне байланысты гиперкомплекс сандар мына кластарға жіктеледі: комплекс (немесе эллипстік), қосарланған (немесе гиперболалық), дуалды (немесе параболалық) және осылардың жиынтығына байланысты аралас деп аталады. Гиперкомплекс сандардың ішіндегі қазіргі кезде жиі практикада қолданылатыны әрі маңыздылары екі өлшемді комплекс сандар, төрт өлшемді кватерниондар және сегіз өлшемді октавалар болып табылады. Басқа гиперкомплекс сандардың практикалық қолданыста болмауының себебі, олардың қарапайым геометриялық интерпретациясының табылмауы, ассоциативтік және коммутативтік қасиеттердің орындалмауы, нақты және комплекс сандардағы сияқты оларда нөлдің бөлгішінің болуы. Жалпы гиперкомплекс сандар үшін, қандай ма бір кеңістіктің нүктелері сәйкес қойылуы керек. Дегенмен, өлшемі екіден үлкен евклидтік және псевдоевклидтік кеңістіктер гиперкомплекс сандарға сәйкесті кеңістіктер бола алмайды. Бұдан гиперкомплекс сандарға сәйкесті геометриялық интерпретацияның жоқ болады деген ұйғарым шықпайды. 1.2. Жаңа сандарды анықтау әдістері
G құрама санын анықтаудың ең қарапайым, әрі табиғи әдісі – кез-келген векторлық кеңістігін құрама санға дейін толықтыру болып табылады. Бұл үшін қажетті элементтер сол векторлар мен нақты сандар болады. Құрама санды анықтау үшін вектор мен нақты санды біріктіріп мына құрылымға келеміз:
Бұл анықтама құрама сандардың элементтері векторларға тағы бір компонента, нақты координата а (немесе ) қосылғандығын көрсетеді. Құрама сандарды көбейту үшін арнайы көбейту кестесі қолданылады. Гиперкомплекс сандар үшін бұл көбейту кестесінің ерекшелігі толық болу үшін әрбір жол және бағанда осы векторлық кеңістіктің барлық базистік элементтерінің бар болуында. Сонымен бірге осы жиынның базистік элеметтері үшін коммутативті, ассоциативті, дистрибутивті және т.б. қасиеттері орындалатындай көбейту амалы анықталуы керек. Қазіргі заманғы құрама сандардың берілуінде коммутативті, кейбір жағдайларда ассоциативті қасиет болмауы мүмкін, бірақ барлық жағдайда альтернативті (соның ішінде бір жақты – сол және оң ), икемділік(немесе орталық) ассоциативтілік немесе ең болмағанда дәрежелі ассоциативтілік қасиеттердің бірі бар болады. Кейбір сирек жағдайларда гиперкомплексті сандар бөлу амалы бірмәнді орындалатын алгебра құрайды, керісінше жағдайда нолдің бөлгіштері бар болады. Гиперкомплекс сандар алгебрасының ішінде бірмәнді бөлу амалын енгізуге болатын немесе нөлдің бөлгіштерінсіз алгебраларға Фробениус (және Гурвиц) теоремасы бойынша – нақты сандар, комплекс сандар, кватерниондар және октавалар жатқызылады. Қарапайым гиперкомплекс сандарға комплексі, қосарланған және дуальді сандар жатады. Комплекс сандарды жазықтықтағы нүктелер ретінде қарастырған сияқты, гиперкомплекс сандарды көпөлшемді кеңістіктегі нүктелер ретінде қарастыруға болады. Қосуға қатысты гиперкомплекс сандар векторлық кеңістік құрайды, ал гиперкомплекс сандарды көбейту осы кеңістіктің күрделі түрлендіруі: бұл шеңберлік және гиперболалық бұрулар, кеңістіктің ығысуы немесе тұрақты коэффициентті деформациясы болады.Бұл кеңейтулердегі комплекс сандардан басқаларының еш қайсысы өріс құрамайды. Кейбір гиперкомплекс сандар дене (коммутативті емес сақина) құрайды.
1.3. Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы
Гиперкомплекс сандарды нақты сандар өрісінің негізінде аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Бір өлшемді нақты сандарды және екі өлшемді комплекс сандарды, Клиффордтық сандарды аксиоматикалық анықтауға болатындығы белгілі. Сонымен қатар кватерниондарды және басқада атаулы гиперкомплекс сандарды аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Қалған гиепркомплекс сандарды бір нақты және бірнеше жорамал базистік элементтердің векторлық кеңістігі ретінде анықтауға болады.
1.3.1. Көбейту кестесі
Гиперкомплекс сандарды алудың негізгі әдісінің бірі – көбейту кестесі. Көбейту кестесінің негізгі формасы Кэли кестесі деп аталады. Көбейту амалының коммутативтілігі туралы мәселе көбейту кестесін тексеру арқылы шешіледі, бұл жағдайда кесте бас диагоналға қарағанда симметриялы болады. Көбейту кестесінің коммутативті немесе антикоммутативті болуына байланысты, сәйкес алгебрада коммутативті немесе антикоммутативті болады. Алгебраның ассоциативтілігі туралы мәселеге жауап беруді көбейту кестесі арқылы жүргізу біршама қиындық туғызады. Көбейту кестесі бірмәнді ассоциативтілік болған жағдайда ғана толық жауап беру мүмкін. Жорамал бірліктердің үштігі үшін тек қана сол немесе оң жақ ассоциативтілік орындалса, онда қарастырып отырған алгебра бұл қасиеттердің ешқайсысына ие болмауы мүмкін. Дәрежелі ассоциативтілік кез-келген көбейту кестесіне тән қасиет, олай болса кез-келген гиперкомплекс сандар алгебрасында осы қасиет орындалады. Бірақ, альтернативтілік, икемділік қасиеттерді барлық алгебраларға көшіруге болмайды. Дәлелдеу үшін оң-альтернативті келесі өрнекті алайық. Сонда
Мұндағы – айырмашылығы базистік бірлігінде болатын біркомпонентті гиперкомплекс сандар; анықтамаға сай компоненттері бойынша көбейту альтернативті болады деп аламыз. Өрнектің сол жақ жақшасы анықтауымыз бойынша альтернативті. Ал барлық өрнек альтернативті болу үшін екінші жақшада альтернативті болуы керек, бірақ онда әртүрлі үш санның көбейтіндісі тұр. Барлық өрнек альтернативті болу үшін көбейту кестесі жорамал компоненталарды көбейту ассоциативті немесе антикоммутативті болуы қажетті. Ассоциативтіліктен альтернативтілік, ал антикоммутативтіліктен екінші жақшаның нөлге теңдігі шығады. Қарсы жағдайда көбейту кестесінің альтернативтілігінен, бұл қасиет алгебраға көшпейді.Кестенің дистрибутивтілігі векторлық алгебраның дистрибутивтілігін қамтамасыз етеді. Мысалға кватерниондардағы көб
Қорғауға жіберілді (жіберілмеді).
___________________________________ кафедрасының меңгерушісі____________________(Аты-жөні) қолы«____»________________ 2016ж.
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТақырыбы: «Бикватерниондар алгебрасының кейбір қолданылуы»5В060100-«Математика» мамандығы бойынша
Орындаған: Бақтығали Жаннат НұрлыбекқызыҒылыми жетекшісі: Толеуова Р.У техника ғылымдарының кандидаты
Атырау 2016МазмұныКІРІСПЕ....................................................................................................................1НЕГІЗГІ БӨЛІМ....................................................................................................1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру..............................................................1.1 Жаңа сандарды құру............................................................................................1.2 Жаңа сандарды анықтау әдістері......................................................................1.3 Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы..............................1.3.1 Көбейту кестесі................................................................................................1.4 Жаңа алгебраны алу әдістері.............................................................................1.4.1 Жалпыланған екі еселеу әдісі.......................................................................... 1.4.2 Грассман-Клиффордтың екі еселеу әдісі.......................................................1.4.3 Гиперквадратты сандар..................................................................................1.4.4 Кэли – Диксонның екі еселеу әдісі................................................................1.5 Бикватерниондар алгебрасы..............................................................................1.6 Гиперболалық кватерниондар алгебрасы..........................................................1.7 Дуалді кватерниондар алгебрасы.......................................................................1.8 Дуалді гиперболалық кватерниондар алгебрасы..............................................1.9 Дуальді бикватерниондар алгебрасы.................................................................2 Кватерниондар мен бикватерниондардың қолданылулары...............................2.1 Кватерниондардың кейбір қолданулары...........................................................2.2 Бір айнымалы кватерниондық қарапайым функциялар..................................2.2.1 Кватернионды логарифмді функция құрылымы...........................................2.3 Кватернионның физикалық қолданулары.........................................................2.4 Кватернионды сызықтық дифференциалдық теңдеу....................................... 2.5 Бір айнымалы бикватерниондық функциялар..................................................2.6 Бикватерниондардың кейбір қолданулары.......................................................2.7 Бикватернионның манипулятор кинематикасы есебін шешудегі қолданысы .................................................................................................................2.8 Бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы.......................................2.9 Минковский кеңістігіндегі Лоренц түрлендірулері.......................................2.10 М кеңістігіндегі бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасы........ 2.11 және кеңістіктерінің құрылымы.................................................................... ҚОРЫТЫНДЫ........................................................................................................ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ...................................................
Кіріспе
Математиканың басқа ғылымдардың әртүрлі салаларындағы қолданылуында комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың, қазіргі кезде бұлардың жалпыламасы болып табылатын полисандардың қолданылатындығы белгілі. Гиперболалық, параболалық сандардың геометриялық қасиеттері кеңінен қарастырылғанымен [5,12], олардың алгебралық қасиеттеріне арналған зерттеулер көп кездеспейді. Сондықтан нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуінен шығатын жалпыланған сандардың, нақты сандар өрісінің алгебралық қасиеттеріне жақын келетін алгебралық құрылымдарды зерттеу өзекті болып табылады. Сан ұғымы математикадағы ең маңызды зерттеу объектісі болып табылады. Сандық жиындарды ретімен орналастырып, осы алгебралық кеңеюлерді құрудағы алгебралық структураларды ретімен қарастыралық. Бұларды сәйкесінше натурал, бүтін, рационал, нақты, комплекс, сандық жиындар деп атау қабылданған.Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары нәтижесі натурал сан болады, яғни алгебра құрайды. Қосу және көбейту амалдары терімділік, орын ауыстырымдылық және үлестірімділік заңдылықтарына бағынады. Сондықтан бұл жүйе натурал сандардың коммутативті жартылай сақинасы деп аталады. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай етіп, кеңейту нәтижесінде бүтін сандардың жиыны шығады. Сонда, алгебрасы коммутативті сақина құрайды. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай кеңейтудің нәтижесінде рационал сандардың жиыны шығады. алгебрасы коммутативті өріс құрайды . Рационал сандар өрісі барлық сандық өрістердің қиылысуында жататын ең кіші сандық өріс болады. Рационал сандар өрісіне шексіз периодсыз ондық бөлшектерді қосу арқылы, нақты сандардың өрісін аламыз. Бұл өріс мектепте қарастырылатын сандық жиындардың ең үлкені болып табылады. Нақты сандар өрісін теңдеуінің шешімі болатындай етіп кеңейтудің нәтижесінде комплекс сандардың өрісі шықты. Жалпы математикадағы табиғаты сан болатын бұл ең үлкен өріс. Сондықтан комплекс сандар өрісінің ішкі өрістерін сандық өрістер деп атайды.Дискрминантың нөл, оң және теріс сан болуына байланысты, нақты сандар жиынының кеңейтілуі математикада сәйкесінше параболалық, гиперболалық және эллипстік сандар жиыны деп атау қабылданған [8]. дипломдық жұмыста пайда болған жаңа сандар жиынында, оның элементтерін қалайша қосуға және көбейтуге болады, мұнда шыққан алгебралардың құрамы қандай деген сұрақтарға жауап іздейміз. Енді осы алгебралардың қалай пайда болатынына тоқталайық:
; (0.1)
теңдеуін түрлендірейік, яғни толық квадратқа келтірейік.
. (0.2)
(0.2) теңдіктің оң жағын (дискриминант) деп алсақ, онда Енді осы санының мүмкін болатын үш жағдайын қарастыралық: 1) – теріс сан болсын, сонда нақты сан табылып, Бұны (0.2) теңдікке қойып, мынаны аламыз: немесе .Енді белгілеуін енгізсек, онда болатындығы шығады. Бұл жағдайда белгілі комплекс сан ұғымына келеміз. Комплекс сандарды кейбір әдебиеттерде эллипстік сандар деп те атайды [8]. 2) D – нөлге тең болсын, онда болатынын аламыз. белгілеуін енгізсек, онда дискриминант түріне келеді. Осы шартты қанағаттандыратын санын дуалдық немесе параболалық сандар деп атайды. 3) D – оң сан болсын, сонда нақты сан табылып, және (0.2) теңдігінен мынаны аламыз: . белгілеуін енгізсек, онда . Бұл шартты қанағаттандыратын сандарды қосарланған немесе гиперболалық сан деп атаймы3.Қосарланған және дуалді сандарды алудың математикадағы әртүрлі бағыттарға тоқталалық.Бірінші бағыт келтірілген () квадрат теңдеуінің түбірлерінің бар болуын зерттеуге байланысты, дәстүрлі көз-қарас [5,12]. Теңдеуінің дискриминанты теріс, оң және нөл болуына байланысты түрлендірулердің нәтижесінде , теңдіктерінің шығатындығын жоғарыда көрсеттік.Екінші бағыт өрісті таза алгебралық кеңейтудің Грассман – Клиффорд және Кэли-Диксон процесін [5,17] қолдану арқылы комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың , , жиындарын ашық түрде алып, оның элементтеріне қосу және көбейту амалдарын дәстүрлі түрде анықтайды.Үшінші бағыт қолданбалы математикада [8] кеңінен қолданылатын жазық векторлар ұғымын пайдаланып жалпыланған сандарды алу. Жазық векторларының көбейтіндісі:
жазықтықтан шықпауы үшін деп аламыз. Сонда
.
Жалпыланған сандардың әртүрлі ғылым салаларында кеңінен қолданылуы, дипломдық жұмыстың өзектілігін көрсетеді.Зерттеу мақсаты: бикватерниондар алгебрасын құру және оның қолданылу аясын қарастыру.Зерттеудің нысаны: табиғаты нақты сандарға ұқсас, қасиеттерінде өзгешелігі бар эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың екі еселенген кеңейтілуінен шығатын жиын. Зерттеудің пәні: жазық сандардың жиынының негізінде шығатын алгебралардың құрылымын зерттеу болып табылады. Зерттеудің міндеттері: а) жазық сандарды құру мәселесін қарастыру;комплекс кеңістіктегі квадраттық теңдеудің шешілуін қарастыру; ә) бикватерниондар алгебрасын құрып, оның алгебралық қасиеттерін тағайындау; б) кватерниондар мен бикватерниондардың қолдануларын көрсету. Зерттеудің деңгейі: гиперкомплекс сандарға байланысты ана тілді ақпарат құралдарында әдебиеттер мен мақалалар өте сирек кездесетіндіктен дипломдық жұмыстың деңгейі жоғары болып табылады. Зерттеудің дерек көздері: ақпарат құралдары, абстрактілі алгебра мен ғылыми әдебиеттер. Зерттеудің әдіснамалық және теориялық негіздері: университеттегі алгебра негіздері, геометрия, комплекс айнымалы функциялар курстарында баяндалған. Зерттеудің әдістері: алгебраны құрудағы Грассман – Клиффорд және Кэлли – Диксон әдісін қолдану. Зерттеудің жаңашылдығы және практикалық маңыздылығы: зерттеу нысандарын жүйелі түрде қарастырып, осы нысандардағы алгебралық құрылымдардың толық зерттелуі, оның ана тілді математикалық әдебиеттерде кездеспейтіндігімен құнды болады. Зерттеудің практикалық базасы: физикалық дүниетанымдағы жоғарғы ретті гиперкомплекс сандарға келтірілетін табиғи құбылыстардың қолданбалы есептері. Диплом жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 64 беттен тұрады.
1 Гиперкомплекс сандар алгебрасын құру
Бұл бөлімде нақты сандар өрісін кеңейтуден алынатын жаңа сандардың математикалық моделі құрылып, жаңа алгебралардың құрылымы қарастырылады.
1.1 Жаңа сандарды құру
Нақты сандардың жалпылауы болып табылатын кез–келген гиперкомплекс сандар, жорамал бірліктердің сызықты комбинациясы ретінде анықталады:
,
мұндағы – нақты сандар өрісі, – гиперкомплекс санның тәуелсіз жорамал бірліктері және
Мұндай алгебралар дәрежелер үшін ассоциативтілік қасиетке ие болады. Базисі болатын жазықтықтағы элементтерді көбейту мына түрде жүргізіледі
Жорамал бірліктің квадратын есептеуде басқа бір жорамал бірлік қатысса, онда бұл қасиет бұзылады. Бұл жағдайда гиперкомплекс сандар класын анықтау біршама кеңейеді. Жорамал бірліктің квадратынан түбір табудың мәніне байланысты гиперкомплекс сандар мына кластарға жіктеледі: комплекс (немесе эллипстік), қосарланған (немесе гиперболалық), дуалды (немесе параболалық) және осылардың жиынтығына байланысты аралас деп аталады. Гиперкомплекс сандардың ішіндегі қазіргі кезде жиі практикада қолданылатыны әрі маңыздылары екі өлшемді комплекс сандар, төрт өлшемді кватерниондар және сегіз өлшемді октавалар болып табылады. Басқа гиперкомплекс сандардың практикалық қолданыста болмауының себебі, олардың қарапайым геометриялық интерпретациясының табылмауы, ассоциативтік және коммутативтік қасиеттердің орындалмауы, нақты және комплекс сандардағы сияқты оларда нөлдің бөлгішінің болуы. Жалпы гиперкомплекс сандар үшін, қандай ма бір кеңістіктің нүктелері сәйкес қойылуы керек. Дегенмен, өлшемі екіден үлкен евклидтік және псевдоевклидтік кеңістіктер гиперкомплекс сандарға сәйкесті кеңістіктер бола алмайды. Бұдан гиперкомплекс сандарға сәйкесті геометриялық интерпретацияның жоқ болады деген ұйғарым шықпайды. 1.2. Жаңа сандарды анықтау әдістері
G құрама санын анықтаудың ең қарапайым, әрі табиғи әдісі – кез-келген векторлық кеңістігін құрама санға дейін толықтыру болып табылады. Бұл үшін қажетті элементтер сол векторлар мен нақты сандар болады. Құрама санды анықтау үшін вектор мен нақты санды біріктіріп мына құрылымға келеміз:
Бұл анықтама құрама сандардың элементтері векторларға тағы бір компонента, нақты координата а (немесе ) қосылғандығын көрсетеді. Құрама сандарды көбейту үшін арнайы көбейту кестесі қолданылады. Гиперкомплекс сандар үшін бұл көбейту кестесінің ерекшелігі толық болу үшін әрбір жол және бағанда осы векторлық кеңістіктің барлық базистік элементтерінің бар болуында. Сонымен бірге осы жиынның базистік элеметтері үшін коммутативті, ассоциативті, дистрибутивті және т.б. қасиеттері орындалатындай көбейту амалы анықталуы керек. Қазіргі заманғы құрама сандардың берілуінде коммутативті, кейбір жағдайларда ассоциативті қасиет болмауы мүмкін, бірақ барлық жағдайда альтернативті (соның ішінде бір жақты – сол және оң ), икемділік(немесе орталық) ассоциативтілік немесе ең болмағанда дәрежелі ассоциативтілік қасиеттердің бірі бар болады. Кейбір сирек жағдайларда гиперкомплексті сандар бөлу амалы бірмәнді орындалатын алгебра құрайды, керісінше жағдайда нолдің бөлгіштері бар болады. Гиперкомплекс сандар алгебрасының ішінде бірмәнді бөлу амалын енгізуге болатын немесе нөлдің бөлгіштерінсіз алгебраларға Фробениус (және Гурвиц) теоремасы бойынша – нақты сандар, комплекс сандар, кватерниондар және октавалар жатқызылады. Қарапайым гиперкомплекс сандарға комплексі, қосарланған және дуальді сандар жатады. Комплекс сандарды жазықтықтағы нүктелер ретінде қарастырған сияқты, гиперкомплекс сандарды көпөлшемді кеңістіктегі нүктелер ретінде қарастыруға болады. Қосуға қатысты гиперкомплекс сандар векторлық кеңістік құрайды, ал гиперкомплекс сандарды көбейту осы кеңістіктің күрделі түрлендіруі: бұл шеңберлік және гиперболалық бұрулар, кеңістіктің ығысуы немесе тұрақты коэффициентті деформациясы болады.Бұл кеңейтулердегі комплекс сандардан басқаларының еш қайсысы өріс құрамайды. Кейбір гиперкомплекс сандар дене (коммутативті емес сақина) құрайды.
1.3. Гиперкомплекс сандардың аксиоматикалық анықтамасы
Гиперкомплекс сандарды нақты сандар өрісінің негізінде аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Бір өлшемді нақты сандарды және екі өлшемді комплекс сандарды, Клиффордтық сандарды аксиоматикалық анықтауға болатындығы белгілі. Сонымен қатар кватерниондарды және басқада атаулы гиперкомплекс сандарды аксиоматикалық түрде анықтауға болады. Қалған гиепркомплекс сандарды бір нақты және бірнеше жорамал базистік элементтердің векторлық кеңістігі ретінде анықтауға болады.
1.3.1. Көбейту кестесі
Гиперкомплекс сандарды алудың негізгі әдісінің бірі – көбейту кестесі. Көбейту кестесінің негізгі формасы Кэли кестесі деп аталады. Көбейту амалының коммутативтілігі туралы мәселе көбейту кестесін тексеру арқылы шешіледі, бұл жағдайда кесте бас диагоналға қарағанда симметриялы болады. Көбейту кестесінің коммутативті немесе антикоммутативті болуына байланысты, сәйкес алгебрада коммутативті немесе антикоммутативті болады. Алгебраның ассоциативтілігі туралы мәселеге жауап беруді көбейту кестесі арқылы жүргізу біршама қиындық туғызады. Көбейту кестесі бірмәнді ассоциативтілік болған жағдайда ғана толық жауап беру мүмкін. Жорамал бірліктердің үштігі үшін тек қана сол немесе оң жақ ассоциативтілік орындалса, онда қарастырып отырған алгебра бұл қасиеттердің ешқайсысына ие болмауы мүмкін. Дәрежелі ассоциативтілік кез-келген көбейту кестесіне тән қасиет, олай болса кез-келген гиперкомплекс сандар алгебрасында осы қасиет орындалады. Бірақ, альтернативтілік, икемділік қасиеттерді барлық алгебраларға көшіруге болмайды. Дәлелдеу үшін оң-альтернативті келесі өрнекті алайық. Сонда
Мұндағы – айырмашылығы базистік бірлігінде болатын біркомпонентті гиперкомплекс сандар; анықтамаға сай компоненттері бойынша көбейту альтернативті болады деп аламыз. Өрнектің сол жақ жақшасы анықтауымыз бойынша альтернативті. Ал барлық өрнек альтернативті болу үшін екінші жақшада альтернативті болуы керек, бірақ онда әртүрлі үш санның көбейтіндісі тұр. Барлық өрнек альтернативті болу үшін көбейту кестесі жорамал компоненталарды көбейту ассоциативті немесе антикоммутативті болуы қажетті. Ассоциативтіліктен альтернативтілік, ал антикоммутативтіліктен екінші жақшаның нөлге теңдігі шығады. Қарсы жағдайда көбейту кестесінің альтернативтілігінен, бұл қасиет алгебраға көшпейді.Кестенің дистрибутивтілігі векторлық алгебраның дистрибутивтілігін қамтамасыз етеді. Мысалға кватерниондардағы көб
Материал ұнаса әріптестеріңізбен бөлісіңіз
Материал жариялап тегін сертификат алыңыз!
Бұл сертификат «Ustaz tilegi» Республикалық ғылыми – әдістемелік журналының желілік басылымына өз авторлық жұмысын жарияланғанын растайды. Журнал Қазақстан Республикасы Ақпарат және Қоғамдық даму министрлігінің №KZ09VPY00029937 куәлігін алған. Сондықтан аттестацияға жарамды
Материал іздеу
Сіз үшін 400 000 ұстаздардың еңбегі мен тәжірибесін біріктіріп, ең үлкен материалдар базасын жасадық. Төменде пәніңізді белгілеп, керек материалды алып сабағыңызға қолдана аласыз
Барлығы 663 959 материал жиналған
Ұқсас материалдар
Дайын ҚМЖ. Барлық пәндерден 2022-2023 оқу жылына, жаңа бұйрыққа сай жасалғанСертификатталған тренер жасаған
01.01.2023 17 863 13 694
ҚР Білім және Ғылым министірлігінің стандарты бойынша жасалған. 2022-2023 оқу жылына арналған
Барлық пәндер
Барлық материалдар
Барлық сыныптар
Іс-шаралар кестесі
Педагогтардың біліктілігін арттыру курстары