9 Б сынып

Көшерхан Аружан

Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу

Секция: математика

Ғылыми жобаның жетекшісі

№58 жалпы орта мектебінің Ісанатты

математика пәнінің мұғалімі: Ақпанова А.Қ

Шымкент қаласы 2016-2017жыл

Мазмұны

1.Кіріспе ..........................................................................................4-5

Негізгі бөлім

1.1 Теңсіздіктерді шешу.......................................................6-14

1.2 Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу.......................................................................................... 15-17 2.Қорытынды....................................................................................18

3.Пайдаланылған әдебиеттер..........................................................19

Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі:

-Елбасы Н.Ә.Назарбаевтың «Қазақстан халқының әл-ауқатын арттыру мемлекеттік саясаттың басты мақсаты» атты Қазақстан халқына жолдауында «Білім беру саласының басты міндеті - 2010 жылға дейінгі білім беруді дамыту жөніндегі мемлекеттік бағдарламаны орындай отырып, осы саланы сапалы қызмет көрсету аясын кеңейту» деп атап көрсетті.

-"Математика – ғылымдардың патшасы" деп ұлы ойшылдар айтқандай, бұл ғылым өте терең біліктер мен үлкен ізденушілікті талап етеді. Бірақ бұл ғылым өзінің қызығушылығымен қызықтыра түсетін жұмбақ тәрізді. Қиын жұмбақтың шешуін табу адамды қандай қанағаттану сезіміне бөлесе, қиын есептің шешуін тапқандығы, адамның сезімдері одан асып түспесе, кем болмайды.

Математика тарихына көз жүгірте отырып, оның ғалымдардың бос қиялының жемісі емес, тікелей өмірдің қажетілігінен туындаған ғылым екеніне көзің жете түседі.

Адамзат баласы пайда болғаннан бері үнемі теңсіздік үшін күресте өмір сүріп келеді. Осы күрестің арқасында ғасырлар бойы өмірде өзгерістер,ғылымда алға деген өрлеу пайда болып жатыр. Бір сөзбен “теңсіздік” -өмірді өзгеріске ұшырататын құбылыс деп айтуымызға болады. Осы теңсіздікке қарсы тұру үшін біз дұрыс шешім қабылдауымыз қажет. Яғни математикалық теңсіздіктер шешу қоғам дамуымен үндесіп жатыр. Теңсіздікті шеше отырып, біз өзіміздің мақсаттарымызды анықтап, жоспарларымызды орындаймыз...Теңсіздіктің шешімі белгілі бір аралық болғандықтан, кез келген заңдылық белгілі бір ортада ғана орындалады. Бұл шындық - өмірдің талабы.

-Интервалдар әдісі — бұл  f (x) > 0 и f (x) < 0 түрінде берілген теңсіздіктерді шешу алгоритмі. Латын тілінде -- intervallum -- аралық,үзіліс деген мағынаны білдіреді. Ал ағылшын тілінде- interval-үзіліс дегенді білдіреді.

Сонымен, интервал ұғымы бірнеше рет қайталанылатын қимылдарға тән; қимылдың жүзеге асуына, бір қимылдың келесі бір қимылды атқарып жатқанда үзіліп қалып, қайтадан жалғасуы, қайталануы, яғни іс-әрекеттің циклді түрде өту барысы интервал ұғымымен тығыз байланыста қаралады.
интервалдар әдісімен шешу алгоритмі :

Теңсіздіктің сол жағын нөлге теңестіреміз

Функцияның нөлдерін табамыз

Түбірлерін сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз

Түбір тақ рет қайталанса таңбаларды кезекпен,жұп рет болғанда екі жағындағы таңбаларды бірдей етіп аламыз

Интервалдың біреуінде функцияның таңбасын анықтап, оны интервалға қоямыз

Таңбасы теңсіздік таңбасына сәйкес интервалды жауап ретінде аламыз

(Егер f (x) > 0 болса «+», егер f (x) < 0 болса «−»таңбасы бар аралық)

  -Мен өз жобамда «теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешуде» таңба аралықты табудың оңай тәсілін қарастырдым.

Өзектілігі:

-Қазіргі кезде тест жүйесінде математикадан есептерді жылдам есептеу қажет екендігі сөзсіз. Сондықтан теңсіздіктерді шешкенде тез есептеудің тиімді тәсілін ұсынып отырмын.

Теңсіздіктің сол жағындағы көпмүшеліктің түбірлерін тауып алған соң, ол түбірлерді сан осінде ретімен белгілеп, аралықтарға бөледі. Сол аралықтардың таңбасын анықтауда мына төмендегі ережеге сүйенуге болады.Яғни, теңсіздіктің сол жағы кез-келген көпмүше немесе рационал бөлшек түрінде берілсе осы ережені есте ұстаса жеткілікті.

Ереже: Егер рационал теңсіздіктің n-жоғары дәрежесі,а-жоғары дәрежелі айнымалының коэффициенті болса.

1-жағдай. n-жұп сан а>0 болса, бірінші аралықтан бастаймыз, таңбасын оң етіп аламыз, ал a<0 болса теріс таңба қоямыз.

2-жағдай. n-тақ сан а>0 болса, соңғы аралықтан бастаймыз, таңбасын оң етіп аламыз, ал a<0 болса теріс таңба қоямыз.

Зерттеудің мақсаты:«Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу» тақырыбымен толық танысып оның қазіргі кездегі тиімді қолданысын зерттеу.

Зерттеудің міндеті:

-теңсіздіктерді шеше білу алгоритмін қалыптастыру;

-теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешуге дағдыландыру;

-таңба аралықтарын оңай, әрі жылдам табуға дағдыландыру;

-материалды игеру деңгейін қалыптастыру;

Болжам: Егер теңсіздіктің сол жағы кез-келген көпмүше немесе рационал бөлшек түрінде берілсе, осы жобадағы әдісті көп қолданса, оқушының есеп шығаруда шапшаңдығы арта түсер еді.

Зерттеудің жаңалығы: Интервалдар әдісімен шешуде аралықтар таңбасын

тез анықтау тәсілін ұсыну.

1.1 Теңсіздіктерді шешу

Теңсіздіктерді теңдеулер сияқты шешеміз, тек бір айымашылығы – жауабында. Яғни, теңдеулердің жауабы нақты сандар болса, теңсіздіктердің жауабы сандар аралығы болады.

Квадрат теңсіздіктерді шешу

а) x²+x-6>0 ;   б) -x²+8x-16<0; в) x²+4x+20<0

   

1.f(x)=0, х=-3;2

жауабы: ( - ∞, - 3 )   (2 , +∞ )
 
б )  -x²+8x-16<0; / -1

 
х₁ = х ₂ =4.
Жауабы: ( - ; 4 )   ( 4 ; 

в )   

мұнда D   0 .  

жауабы: х  . 

№2 Теңсіздікті шеш:

(x − 2)(x + 7) < 0

1қадам: теңсіздікті теңдеумен ауыстырып, оны шығарамыз. Яғни, теңсіздіктің сол жағын нөлге теңестіреміз:

(x − 2)(x + 7) = 0

2-қадам: Функцияның нөлдерін табамыз

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Екі түбірді алдық. 3-ші қадамға көшеміз: табылған түбірлерді сан осінде белгілеп,интервалдарға бөлеміз:

4-қадам: Түбір тақ рет қайталанғандықтан таңбаларды кезекпен қойылады:

Енді берілген теңсіздікке көшеміз:

(x − 2)(x + 7) < 0

Сонымен, функция нөлден кем болу керек. сондықтан, бізді минус белгісі бар аралық қызықтырады: (−7; 2). Міне осы аралық жауабы болады.

Жауабы: (−7; 2). 

№3 Теңсіздікті шеш:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

1-қадам: Теңсіздіктің сол жағын нөлге теңестіреміз.

(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0;

2-қадам: Функцияның нөлдерін табамыз
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

3-ші қадамға көшеміз: табылған түбірлерді сан осінде белгілеп,интервалдарға бөлеміз:

4-қадам: Интервалдың біреуінде функцияның таңбасын анықтап, оны интервалға қоямыз.мысалы, (-9;1) аралығындағы x = 0 ді алайық

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 0;
f (0) = (0 + 9)(0 − 3)( 1−0) = (+)·( -) · (+) = (− )

«минус» таңбасын (-9;1) аралығына қоямыз, қалған таңбаларды ретімен қоямыз.

Берілген теңсіздікке көшейік:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Мұнда, f (x) < 0, сондықтан « минус» аралықты жауабы ретінде аламыз:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

№4Теңсіздікті шеш:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

а)  , 

, 

,

,  .

Жауабы: (-∞;1,5)U(2;+∞)

2)  /-1

Шешуі:

10х² -9х<0
10х² -9х=0
х(10х-9)=0
,  .
(0;0,9)
Жауабы: (0; 0,9).

3)  ,
шешуі: ,
  

Жауабы:  .

4)  ,

Шешуі:

,  .
Жауабы:  .

5)  .

Жауабы:  .

6)  .

Жауабы:  .

7)  .

Жауабы:  .

8) (х-1)(х+3)х² ≤ 0

(х-1)(х+3)х² =0

Шешуі: х₁=1 х₂=-3 х₃=х₄ = 0

Жауабы: [-3;1]

Мысалы.

>0.

мұндай бөлшек-рационал теңсіздікті шешу үшін:

1. (х+1)(х-1)=0 ,бүтін рационал теңдеуге келтіреміз

2. Түбірлерін табамыз x+1=0 және x-1≠0

х=-1 және x≠1

3. Сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз.

4. Таңба аралықтарын табамыз

5. Теңсіздік белгісіне байланысты «+» аралықты жауап ретінде аламыз

Жауабы: x ∈ (1; +∞) ∪ (-∞; -1)

№2. Теңсіздікті шешіңдер:

Шешуі:

Жауабы:

(-∞;-6)U[2/3;8]

№3. Теңсіздікті шешіңдер:

Шешуі. 

      және .

Теңдеудің түбірлерін табамыз:

Біріншіден      екіншіден      

Сонымен, берілген теңсіздікті мына аралық қанағаттандырады: 

Жауабы: 

№ 6 Теңсіздікті шешіңдер:

   1) 2) 3)

шешуі. 1)

1)бүтін рационал теңдеуге келтіреміз:

(х² -2х-3)(х-2)² =0

2)Түбірлерін табамыз:

х₁=-1 х₂ =3 х₃ =х₄ ≠2

3) сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз:

- + + -

-1 2 3

4) берілген теңсіздікті қанағаттандыратын таңба аралықты жауабы етіп аламыз:

(-∞;-1] U [3; +∞)

Жауабы: (-∞;-1] U [3; +∞)

2 )

Шешуі: 1)бүтін рационал теңдеуге келтіреміз:

(х³ -4х)(х-1) =0

2)Түбірлерін табамыз:

х₁=0 х₂ =2 х₃ =-2 х₄ ≠1

3) сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз:

+ - + - +

-2 0 1 2

(-∞;-2] U [0; 1) U[2; +∞)

Жауабы: (-∞;-2] U [0; 1) U[2; +∞)

3 )

Шешуі: 1)бүтін рационал теңдеуге келтіреміз:

(х+4)3х =0

2)Түбірлерін табамыз:

х₁=-4 х₂ ≠0

3) сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз:

+ - +

-4 0

(-∞;-4) U (0;+∞)

Жауабы: (-∞;-4) U (0;+∞)

№ 7.Теңсіздіктің бүтін теріс шешімдерін табыңдар:

  1) 2)

1)

Шешуі: 1)бүтін рационал теңдеуге келтіреміз:

(х² +х)(х²-3) =0

2) түбірлерін табамыз:

Бірінші жақшадан : х₁=-1 х₂ = 0

Е кінші жақшадан

+ - + - +

-1 0

Т еңсіздіктің шешімі:

Осы жиыннан бүтін теріс шешімдерін аламыз:

Яғни -1 саны

Жауабы: -1

2 )

Шешуі: 1) бүтін рационал теңдеуге келтіреміз:

(х² -х-2)х² =0

2) түбірлерін табамыз:

Бірінші жақшадан : х₁=-1 х₂ = 2

Екінші жақшадан: х₃ =х₄ ≠0

+ - - +

0 2

Т еңсіздіктің шешімі:

Осы жиыннан бүтін теріс шешімдерін аламыз:

Мұнда бүтін теріс шешімдері жоқ

Жауабы: бүтін теріс шешімдері жоқ

1.2 Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу

№ 1 Теңсіздікті шеш:

1) 2)

1. Шешуі:

көбейткіштерге жіктеп

n - үшін өрнектің алымы мен бөлімінің дәрежелерінің қосындысын,

а- үшін бөлшектің алымы мен бөліміндегі айнымалылардың коэффициенттерінің көбейтіндісін аламыз.

жоғарыда көрсетілген ереже бойынша n=7, а=-1<0

Түбірлерін табамыз:

Функцияның нөлдері: -1; 1; 3

үзіліс нүктелері:

х=1 жұп рет қайталанады

-2; -1; 0; 3; 5 түбірлері - тақ рет қайталанады

сан осінде белгілеп, интервалдарға бөлеміз:

+ - + - - - + -

-2 -1 0 1 3 5

Жауабы:

Шешуі:

нөлдері: -2; 1; 3; 4

Үзіліс нүктелері: 0; 3; 4; 5

n=35 a=1>0

-2; 3; 4- жұп рет қайталанады

- - + - - - +

-2 0 1 3 4 5

{-2}U(0;1)U {1}U (5;+∞)

Жауабы:{-2}U(0;1)U {1}U (5;+∞)

№ 4   1) 2) 

Шешуі:    Егер теңсіздік көпмүше түрінде берілсе:

n - үшін өрнектің алымы мен бөлімінің жоғары дәрежелерінің қосындысын,

а- үшін бөлшектің алымы мен бөліміндегі сол айнымалылардың коэффициенттерінің көбейтіндісін аламыз.

 Түбірлері: -3; -2; 1,5

n=3 а=2>0

- + - +

- 3 -2 1,5

Ж ауабы: (-∞;-3)U(-2;1,5]

2)

Шешуі:   

 Түбірлері: 2; 3; 5;7

n=4 а=1>0

+ - + - +

2 3 5 7

Жауабы:(-∞;2)U(3;5)U (7;+∞)

№ 5 1) (2-х)(3х+1)(2х-3)>0 2) (х⁴ -5х³ +6х² )(1-х²)≥0

шешуі.1) түбірлері: -1/3; 1,5 ; 2

n=3 a=-6<0

+ - + -

- 1/3 1,5 2

Жауабы: (-∞;-1/3)U(1,5; 2)

2. (х⁴ -5х³ +6х² )(1-х²)≥0

  Шешуі: х²(х-2)(х-3)(1-х)(1+х)≥0 түбірлері: -1;0;1;2;3

n=6 a=-1<0

- + + - + -

- 1 0 1 2 3

Жауабы:   [-1;1]U[2;3]

№ 6 1) х⁴ +8х³ +12х² ≥0 2) х⁴ -4х³ -7х² +22х+24>0

Шешуі: 1) х²(х+6)(х+2)≥0

т үбірлері: -6;-2;0 n=4 a=1>0

+ - + +

- 6 -2 0

Жауабы: (-∞;-6]U[-2;+∞)

2) -х⁴ +4х³ +7х² -22х-24<0 Шешуі: 1) (х+1)(х+2)(х-3)(х-4)>0

түбірлері: -2;-1;3;4 n=4 a=1>0

+ - + - +

-2 -1 3 4 Жауабы: (-∞;-2)U(-1;3)U(4;+∞)

Қорытынды

Мұндай типтегі есептер тесттік тапсырмаларда жиі кездеседі, себебі функцияның анықталу облысын, экстремум нүктелерін, өсу,кему аралықтарын табудың өзі теңсіздіктерді шешуге келіп тіреледі. Осы себепті менің жобамдағы әдіс оқушыға тапсырманы тез,әрі ауызша орындауға көп көмегін тигізеді деп ойлаймын.Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан- жақты тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық білімімді көтеру үшін оқушылардың әрқайсысының үлкен ізденісте жүруі шарт, сондықтан да ғылыми жобамды басқа оқушылар керегіне қолданады деп сенемін. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы- білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанымен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім- ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтанда да еліміздің президентті Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаевтың білім мен ғылымының дамуына баса назар аударуы, оның үнемі өз бақылауында ұстауы- соның айқын дәлелі.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. /Математика және физика/ №1, 2012.-10 бет

2. Интернет материалдары. http://www.uznateshe.ru/neravenstva-metodom-intervalov/

3. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8- сыныбына арналған оқулық/ А. Әбілқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жұмағұлова.- Алматы, 2008.

4.Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған математика/Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О., Алматы, 2006.-464бет

5.Задачи по математике. Алгебра.Справочные пособие/ Вавилов B.В., Мельников И.И.,Олехник С.Н., Пасиченко П.И.-М.: Наука. 1987-432с

6. Задачи по математике.Уравнения и неравенства. Справочные пособие/ Вавилов B.В., Мельников И.И.,Олехник С.Н., Пасиченко П.И.-М.: Наука.

1987-240с

7. Справочник по высшей математике / Выгодский М. Я. -М.: «Астрель», «АСТ», 2002