Ғылыми жұмыс. Проективті жазықтықтағы квадрикалар

«Нұр-Сұлтан қаласы

Бейімбет Майлин атындағы №52 мектеп-гимназиясы» коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Тақырыбы: «Проективті жазықтықтағы квадрикалар»

Секция:Ғылыми-техникалық

Орындаған:9«А» сынып оқушылары: Альшер Айдана, Оспан Айнұр

Жетекшісі: математика пәнінің мұғалімі Турманбай Асел Азимханқызы

Нұр-Сұлтан,2021

МАЗМҰНЫ

Абстракт

Зерттеу жұмысының мақсаты: Проективті геометрияны, соның ішінде проективті квадрикаларды зерттеу. Теорияның ерекшелігін математикалық жолымен есептеу.
Зерттеу жұмысының гипотезасы: Оқу әрекетінде геометрияның бір саласы проективті геометриядағы квадрикаларды геометрия ғылымының есептер жүйесінде қолдану арқылы математиканы жан-жақты оқып үйренудің тиімділігі артады.
Зерттеу кезеңдері:

• Ізденімпаздыққа жетелей отырып, оқушылардың танымдық құзіреттілігін қалыптастыру,

• шығармашылық қабілеті дамыған тұлға дайындау.

• Проективті квадрикалар теориясының есептерінің математика курсында алатын орнын анықтау.

• Тақырыпқа сәйкес есептерді іріктеу және оларды шешу әдістерін қарастыру.

• Қосымша мағлұмат қарастыру.

Зерттеу жұмыс 1 жылға арналған. Келесі кезеңдерден тұрады:

1.Тақырыпты таңдау және ғылыми жобаның мақсаты мен міндеттерін анықтау.

2. Мұрағаттағы ақпаратпен жұмыс жасау.

3.Кітапхана материалдарын жинақтау және талдау.

4.Ізденіс жұмысты қорытындылау.

Зерттеу әдісі ретінде деректерді жинақтау, талдау және синтездеу әдістері пайдаланылды.

Зерттеудің жаңалығы :

Проективті геометрияның, соның ішінде проективті жазықтықтағы квадрикалардың теориялық ғана емес практикалық маңызын қалыптастырады.

Күтілетін нәтиже: Осы жобада анықталған зерттеулер мен жинақтар математика пәнінен қосымша сабақтарда кеңінен қолданылса, логикалық ой-өрістері кеңінен дамыған, шыдамдылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиеленген тұлға қалыптасады.

КІРІСПЕ

Қазіргі заман – математика ғылымдарының өте кең, жан – жақты тараған кезеңі, сондықтан бұл кезең барлық адамзаттан кең көлемдегі математикалық білімді қажет етеді.

Геометрия ең ежелгі ғылымдардың бірі. Ол бірнеше мың жылдар бойы дамып келеді. Геометрия қалыптастыру процесін – яғни қатаң логикалық жолмен дәлелденген геометриялық теориялар жүйесіне дейінгі даму кезеңін ежелгі грек ғалымы Евдема (б.з.б. IV ғасыр) былай деп сипаттайды: «Геометрияны мысырлықтар ойлап тапқан және ол жер өлшеу барысында пайда болған. Бұл өлшеу жұмыстарын жүргізу Ніл өзені тасып, жер учаскелерінің шекараларын шайып кетіп отырғандығынан қажет болған. Бұл ғылым басқа ғылымдар сияқты адамзаттың іс – тәжірбиесінің мұқтаждығынан пайда болғандығы таңдаларлық жай емес. Әрбір пайда болған ғылым жетілмеген түрінен жетілген түріне жетеді. Алғашқыда сезім қабілеттері арқылы пайда болып, біртіндеп талқыға салынатын пәнге айналады.»

Геометрия математика ғылымының негізгі бөлімдерінің бірі. Оның өзге ғылымдардан ерекшелігі: логикалық құрылымы, бейнелілігі, қолданбалы бағыттылығы. Күнделікті өмірдің қажеттілігінен туындаған ерекше икемді, ыңғайлы, универсалды ғылым. Геометрия ғылымының өмірдегі қолданысы өте көп.Геометрия математиканың аса маңызды бір бөлігі, геометрияны қарастырмайынша математика өз маңызында бола алмайды, себебі осы заманғы жаратылыстану ғылымымен техниканың дамуы осы геометрия ғылымының оларға қалай қолданылғанына тікелей тәуелді.

Геометриялық есептерді шешу белгілі ереже сияқты өзінің көрнекілігімен алынған нәтижелерінің түсініктілігі арқылы ерекшеленеді.

Геометрияның адамзат дамуында алатын орнының ерекше екендігі белгілі. Ал оның өте әсем де шексіз терең ғылым екендігін екінің бірі біле бермейді. Сол себептен де математиканың негізгі бөлімі геометрияны зерттеуді жөн көрдік. Ал, біздің қызығушылығымыз, геометрияның бір саласы проектівті геометрияға, соның ішінде проективті жазықтықтағы квадрикаларға түсіп отыр.

Проективтік геометрия XVII бейнелеу өнері мен архитектірлік сызудан пайда болған. Параллель түзулер қиылысатын меншікті емес нүктелер туралы француз архитекторы Жерар Дезарг пен неміс астрономы Иоганн Кеплер тәуелсіз тапқан. Тіпті Дезарг меншікті нүктелерден тұратын түзу бар болуы мүмкін деген ұсыныс айтқан.

XIX ғасырдың аяғында Феликс Клейн проективті геометрияда Мебиус, Август Фердинант, Плюкер, Юлиус, Фейербах және Карл Вильгельм енгізген біртекті координаталарды қолдануды ұсынды.

Проективті геометрия фигуралардың проективтік қасиеттерін зерттейтін геометрияның бөлімі. Евклидтік геометриядан айырмашылығы мұнда параллельдік, перпендикулярлық және кескінді мен бұрыштар теңдігі деген ұғымдарды пайдаланылмайды және жазықтықтағы кез – келген түзулердің ортақ нүктесі бар делінеді. Проективтік геометрия Евклидтік геометрияны толықтырады, яғни параллель түзулері бар көптеген қиындатылған есептердің әдемі және қарапайым шешімдерін ұсынады.

Квадрика проективтік геометрияның бір бөлімі болып табылады.

Зерттеудің мақсаты: Проективтік геометрия ұғымын түсіне отырып, зерттеу, мысалдарын қарастыру. Теорияда алған білімдерін практикада жүзеге асыру.

Зерттеу тақырыбының өзектілігі: Проективтік геометрияға арналған есептер адам өміріндегі маңыздылығынан туындайды. Сонымен қатар бұл тақырыптың өзектілігі проективтік квадрикаға арналған есептердің біздің күнделікті өмірдегі шешілуі тиіс мәселелерге ұқсастығымен түсіндіріледі.

Зерттеу әдістері:

• Зерттеу бағыты бойынша ғылыми-әдістемелік, педагогикалық әдебиеттерді талдау;

• Мектептің жұмыс бағдарламаларын, талдау;

Зерттеу обьектісі: мектепте проективтік квадрикалар тақырыбында есептер шешудің әдіс-тәсілдерін, олардың қасиеттерін, олардың қолданылуын және шешілу жолдарын зерттеу болып табылады.

Зерттеудің пайымы: геометрия пәнін меңгеруде қажетті кеңістікті көру, геометриялық фигураларды кескіндей білу қабілетін дамытады.

Ғылыми жаңалығы: Проективті геометрияның, соның ішінде проективті жазықтықтағы квадрикалардың теориялық ғана емес практикалық маңызын қалыптастырады.

Жұмыстың құрылымы:

Ғылыми жұмыс кіріспеден, негізгі тараудан, қорытындыдан, қосымшадан және әдебиеттер тізімінен тұрады.

Негізгі тарауда проективтік геометрияның қашан, қалай пайда болғаны, кәдімгі евклид геометриясынан айырмашылығы жайлы нақты баяндалған және проективтік жазықтықтағы квадриканың анықтамасы, оның теңдеуін канондық түрге келтіру, квадриканың классификациясы қарастырылған.

Қосымша осыларға байланысты біршама есептер шығарылған.

ПРОЕКТИВТІ ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ КВАДРИКАЛАР ЖӘНЕ ОНЫҢ КЛАССИФИКАЦИЯСЫ

1. Проективті геометрия туралы жалпы түсінік

Ертеде суретшілер горизонтта қиылысатын сызықтың көмегімен болашақты бейнелейді. Геометрия тарихының ең керемет кездерінің бірі француз математика әрі архитектор Ж.Дезарг (1593 – 1662) суретшілердің бұл ұсынысына математикалық мән беруді шешкеннен басталады. Ол жазықтықтың әдеттегі ақырлы нүктелеріне қосымша параллель түзулер қиылысатын ақырсыз қашық нүктелерді қосуды ұсыныс жасады. Ақырсыз қашық нүктелерді өзіндік емес нүкте немесе оның кәдімгі нүктелерден айыру үшін идеалды деп те атайды. Бірақ одан әрі Дезарг бұл өзгешелікті тез ұмыту керек, тек сол кезде қарастырылып отырған ақырсыз қашық нүктелерден пайда болады деген.

Жазықтықта қанша ақырсыз нүктелерді қосуымыз керек? Барлық параллель түзулерді бір ақырсыз қашық нүктелерде қиылысады деп санауымыз табиғи. Бұл нүктелер әр түрлі бағыттағы түзулерді бір ақырсыз қашық түзуге толықтығын аңғару маңызды. Ол суретшілердің суреттерінде горизонт сызығы ретінде қызмет етеді. Осының нәтижесінде шыққан жазықтық кеңейтілген немесе проективті жазықтық деп атайды.

Евклидтік геометрияда нүтелер және түзулердің өзара орналасуы екі тұжырым арқылы реттеледі: екі кез келген нүкте арқылы жалғыз түзу жүргізуге болады, ал кез келген екі түзу бір нүктеде қиылысады, не олар параллель. Кеңейтілген жазықтықта бұл тұжырымдар оңай, себебі кез келген екі түзу қиылысады, сонымен қатар параллель түзулердің әртүрлі қасиеттері қиылысатын түзудің тұжырымының жеке жағдайларына айналады. Мысалға екі нүкте берілсін: біреуі – ақырлы, ал екіншісі – ақырсыз қашық. Кез келген түзуін алайық (барлық параллель түзулер – да қиылысады). Онда және арқылы тек бір жалғыз түзу жүргізуге болады деген тұжырым- - да жатпайтын нүктесі арқылы оған параллель тек бір ғана, жалғыз түзу жүргізуге болады деген тұжырымға пара – пар. Басқа да осындай жағдайлардықарастырып, параллельдік қиылысудың жеке жағдайы ретінде санау өте ыңғайлы екеніне көз жеткізу қиын емес.

Жоғарыдағы талқылауымызда біз ақырлы және ақырсыз қашық нүктелерді бөліп отырдық. Бұл айырмашылықты жою үшін Дезарг келесідегідей талқылауды ұсынды: үшөлшемді кеңістіктегі әртүрлі жазықтықтар бір жазықтықтың бейнесі ретінде қабылданады, ал жазықтықтың суреттері орталық проекциялау көмегімен салыстырылады. Нақтырақ айтсақ, жазықтықты нүктесі бекітіледі. (1 сурет). Егер және нүктелері нүктесі арқылы өтетін түзудің бойында жатса, онда жазықтығындағы нүктесі жазықтығындағы нүктесі бір-біріне сәйкес болып табылады (әр түрлі «суретте» бір нүктемен бейнеленген). Сондықтан егер -да фигурасы бар болса, онда оның нүктелері нүктесі мен түзу арқылы қосылады, ал осы түзудің жазықтығымен қиылысуынан -ге сәйкес келетін жазықтығында фигурасы жиналады ( деп фигурасының нүктесінің -дағы орталық проекциясын айтамыз). Бұндай түрдегі фигуралардың түрлендіруін бейнелеуді құру кезінде пайда болған.

Пайда болған түрлендіруге көбірек назар салып қараңыз. мен нүктелерін қосатын түзу жазықтығына параллель болып, нәтижесінде жазықтығындағы нүктесі ешқандай нүктеге сәйкес болмайды. Дезарг ойлауды ұсынады: нүктесінің бейнесі- жазықтығындағы ақырсыз қашық нүкте (бейнесі «шексіздікке кеткен»). нүктесінен -ға параллель жазықтық өткізсек, -мен қиылысуынан жанағы айтқандарынан жазықтығына ақырсыз қашық түзу қою сәкес екені анық болатын 1 түзуі шығады. Ал, егер керісінше параллель нүктесі арқылы жазықтық жүргізсек, онда -мен қиылысуында жазықтығының ешқандай шектік нүктелерге проектілеу кезінде түзуі пайда болады, нүктелері ауысатын және -ге жазықтығының ақырсыз қашық нүктелер ауысу қабылдайтын. Сонымен Дезарг бойынша, проектілеу кезінде жазықтыққа бірдей фигуралар әртүрлі бейнеленеді. Көбінесе, түзу бір жазықтықта бізге ақырсыз қашық болып табылса, ал екінші жазықтықта сол түзу арқылы болып табылады. Сондықтан егер нүктелердің бір суретте жоғалып, екінші суретте пайда болмас үшін біз кеңейтілген проективті жазықтықты қарауымыз керек.

Бұл көзқарасқа мән берілу үшін бірдей объекттегі суреттерді қаншалықты айырмашылығы бар екенін анықтау керек. Орталық проектілеу кезінде искажема ондай көп емес екені анық, бірақ әртүрлі суреттерге қандай да болса да ортақ белгілер тиісті. Ең алдымен түзусызықтылық сақталады: түзулер түзулерге ауысады, қиылысатын түзулер қиылысатын түзулерге ауысады (параллельдік бұл оңаша жағдай). Кері жағдайда қарасақ, егер біз ақырсыз қашық элементтерді қарастырмасақ, қанша жеке жағдайларды алар едік.

Дезаргтың керемет тапқырлығы (қиылысатын нүктелер туралы) – мазмұнды геометриялық пікірдің бар болуында.

Төмендегі теорема оның атын алып жүр.

және үшбұрыштары үшін және , және , және , төбелерін қосатын түзулер нүктесі қиылыссын, онда сәйкес қабырғалардың қиылысуының ( және , және , және ) , , нүктелері бір түзу бойында жатады.

Бүгінгі күнге ең танымал, әрі ең әдемі Дезарг теоремасының дәлелі оның кеңістіктік нұсқаға ауысуымен байланысты. Басқа да түсіндірме мазмұндырақ. Себебі, теоремада тек орталық проекциялауды сақтайтын нүкте мен түзулердің өзара орналасуы айтылмағандықтан бір суреттегі теореманың дұрыстығынан оның екінші суретте дұрыстығы шығады. Басқаша айтқанда, орталық проекциялауды өте қарапайым жасауға болады. Мысалыға, , нүктесін ақырсыз қашық етсек (сәйкес қабырғалары параллель болады), онда үшбұрыштарды қолданып оңай дәлелденетін элементар түсінік айтамыз. Жалпы жағдай автоматты түрде шығады.

Проективті геометрияда үшбұрыш түсінігі анықтауды қажет ететінін байқауымыз керек. Дәлірек айтсақ, алдымен кесінді түсінігін анықтап алуымыз керек. Проективті түзуді өзінің ақырсыз қашық нүктесімен (тұйықталатын) және нүктелер жұбы түзу бойында екі кесіндіні анықтайды деп ойлауымыз керек ( Евклидтік көзқарас бойынша кесінді және оның толықтауышы ретінде сәулелер жұбы). Әрқашан анықтаманың дұрыстығын орталық проекциялау арқылы тексереміз. Егер , нүктелер , нүктелеріне ауысса және кесіндінің қандай да бір нүктесі проекциялау кезінде шексіздікке кетсе, проекциялау кезінде кесіндінің сыртына ауысады, яғни, шынында да проективті геометрияда кесінде және оның сыртын айыру мүмкін емес. Сәйкесінше проективті жазықтықта жатқан , , үш нүктесі (бір түзу бойында жатпайтын) 4 үшбұрышты анықтайды. Дезарг теоремасында бұл маңызды емес, себебі онда тек қабырғалары жататын төбелер мен түзулер қолданылады.

Біз проективті геометриядағы түзу мен нүктелердің өзара орналасуын қарастырдық. Ал басқа фигуралармен қалай болады? Мысалыға, шеңбер орталық проекциялауда шеңбер болып қалмаса да «бақылаусыз» бұрмаланбайды:ол әрқашан канондық қимаға бейнеленеді (эллипс, гипербола немес парабола). Проективті геометрия канондық қиманы зерттеу жолында жаңа дәуір ашты. Бірінші теоремалардың бірін осы бағытта 16 жасында Б.Паскаль (1623-1662) дәлелдеген: канондық қимаға іштей сызылған алтыбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының қиылысуынан пайда болған үш нүкте бір түзу бойында жатады (3-сурет).

Ж.Дезарг пен Б.Паскальдың керемет жұмыстары жарты ғасырға ұмытылады. Проективті геометрияның жаңа өмірі Г. Монжа (1746-1818) және оның шәкіртімен Ж.Понселе (1788-1867) жұмыстарынан басталады. Понселе эллипс неге төрт нүктеде, шеңбер тек екі нүктеде қиылысады деген сұраққа ойланып қалады. Ол шеңбер жағдайында екі нүктенің байқалмайтынын табады, себебі ол екі нүкте тек ақырсыз қашық нүкте емес, сонымен қатар жорамал. Сөйтіп геометрияда комплекс сандар пайда болады.

2. Проективті жазықтықтағы геометрия анықтамасы және оның теңдеуін канондық түрге келтіру.

Анықтама: Проективтік координаталары (1.1) теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынын екінші ретті сызық немесе квадрика деп атаймыз.

Біз квадрика теңдеуінің сол жақ бөлігі 2 дәрежелі біртекті көпмүше екенін көріп тұрмыз, яғни айнымалыларына қатысты квадраттық форма. Біртектілігіне байланысты (1.1) теңдеудің геометриялық мағынасы бар, ол кез-келген класстың пропорционалдық барлық үштікпен бір уақытта қанағаттандырылады (немесе керісінше қанағаттандырылмайды). Біртекті емес теңдеудің проективтік координатасына қатысты берілген класстан кейбір үштіктер оны қанағаттандыруы да, ал кейбіреулер қанағаттандырмауы да мүмкін болғандықтан геометриялық мағынасы болмауы мүмкін. Атап өтсек, түрлендіру формуласы сызықты және біртекті болғандықтан, онда бұл формула арқылы (1.1) теңдеуді басқа координаталар жүйесіне ауыстырсақ, біз теңдеудің сол жағын қайта квадраттық формаға келетінін көреміз. Олай болса, квадриканың анықтамасы координаталар жүйелеріне байланысты емес.

(1.2)

Квадриканың өзін белгілеген әріппен (1.2) матрицаны да белгілейік деп шарт қояйық. Бұл матрицаны квадриканың коэфициенттерінен құралған матрица немесе жай ғана квадриканың матрицасы деп атаймыз. Ол симметриялы, яғни мұндағы «Т» - транспонирленгеннің белгісі.

Егер квадриканың ағымды нүктесін және оның координаталарының бағанасын әрпімен белгілесек, онда квадриканың теңдеуін (1.1) мынадай матрицалық түрде жазуға болады:

(1.3)

(1.1) мен (1.3) теңдеулерінің тепе-теңдігін (1.3) теңдеуіндегі матрицалардың тікелей көбейтіндісі арқылы көз жеткізуге болады.

Квадрика теңдеуін канондық түрге келтіру. формула бойынша квадрика теңдеуін жаңа координаталарға ауысуды орындайық. Ол үшін (1.3) теңдеу формуласы бойынша ауыстыру жасаймыз. нәтижесінде теңдеуін аламыз, яғни матрицасы жаңа координаталармен мынадай:

(1.4)

770 ₸ - Сатып алу

Материал ұнаса әріптестеріңізбен бөлісіңіз

Ватсапта бөлісу Телеграммда бөлісу Фейсбукта бөлісу Сілтемені көшіру

Ресми байқаулар тізімі

Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!

Тізімді көру