КІРІСПЕ

Бұл дипломдық жобамда көтерген тақырыбым – суперпозиция амалы бойынша керіленетін көпмүшелер болды. Әрине математика ғылымының кез келген саласы, бөлімі өз бетінше қиын. Алайда мен дәп осы тақырыпта ғылыми еңбек жазуым бұл тақырыптың қазіргі таңда маңызы барын көрсетеді. Алғаш бұл тақырыпта орыс ғалымдары жаңалықтарымен бөліскен болса, қазіргі таңда еліміздің көптеген ғалымдары бұл тақырыпты қозғауда. Бұл тақыоыптың ерекшелігі жасалатын амалдардың барлығы тек көпмүшеліктерге байланысты болады. Осылайша дипломдық жұмысым толығымен көпмүшеліктерге амалдар қолданумен және оларды сан түрлі жолмен мейілінше шығарылым түрлерінің көп болатынын көрсету және соның ішінде суперпозиция амалын нақтылап көрсетіп ашып беру болмақ. Қарастыратын көпмүшеліктеріміз рационал сандар өрісінде алгебра болатындығы жәнеде коммутативті сақинада орындалатындығын тексеру. Бастапқыда көпмүшеліктердің суперпозиция амалы бойынша керіленетіні көрсетіледі. Ал ол үшін көпмүшелік туындысы керіленген жағдайда ғана өзіде суперпозиция амалы бойынша керіленетіні, сондай-ақ оның шығарылу алгоритімі толығымен көрсетіледі.

Дегенмен бұл тақырып оңай қарастырыла қоймайды. Өйткені бұл тақырыптың қиындығы дәрежелік көпмүшелер мен Якобиан проблемасы болады. Ал Якобиан проблеммасы характеристикасы нөлден үлкен болған өрістерде бұл қиындық шешімін таппайды. Ал егерде характеристикасы нөл болған кездегі, өріс үстіндегі бір өлшемді болатын Якобиан проблемасынның шешімін табу оңай болады. Бұл кезде тек сызықты көпмүшеліктер, яғыни бірінші дәрежелі көпмүшелер қарастырылады. Осындай жағдайға келмесе, яғыни көп айнымалы болған жағдайда бұл проблемма шешілмейтін болады жәнеде суперозиция амалы бойынша келтірілмейді.

Осы дипломдық жұмыстың негізгі нәтижесі осы проблеманың шешілімін тексеріп көру болмақ. Осы тақырып бойынша зеріттеуім негізінде көрсеткенім. Бұл проблемманың шешімі Келлер көпмүшелерінен құралған полиномиалды бейнелеу иньетивті болған жағдайда ғана Якобиан қиындығы шешімін табатындығы. Омен қоса Якобиан проблемасы шешімін табу үшін негізгі өріс алгебралық тұйық болуы керек екен. Дипломдық жобамның негізінде көпмүшеліктерді суперпозиция амалы бойынша керіленетіндігін нақты түрде көрсеттім. Осылайша кіріспе негізгі қорытынды бойынша анықталды.

1. Көпмүшелер. Көпмүшелер сақинасы

Көпмүшеліктер теориясы – Жиындарға арналған ғылым түрі. Жиындардың әуелгі қиындығы шексіз жиындарды санды түрте салыстыру болды. Бұндай жағдайдың шешімін әлемге әйгілі неміс ғалымы Г.Кантор 1870 жылдары ойлап тапты. Бұл жағдайда қарастырғаны жиындарды санды түрде салыстыру үшін, ол жиындардың өзара бір мәндес сәйкестік қасиетінің болуы арқылы. Ол бойынша K жиынының барлық элементтері M жиынының белгілі бір элементіне сәйкес қойылса және M жиынының барлық элементтері K жиынының тек бір элементіне сәйкес қойылса, онда бұндай жағдайда екі жиынның өзара бір мәнді сәйкестігі болады. Бұл дәлел екі шексіз жиынның арасында өзара бір мәнді сәйкестік болатынын көрсетіп берді. Екі шексіз жиында өзара бір мәнді сәйкестік болған жағдайда, жиындар өзара эквивалентті, яғыни сан жағынан тең. Болмаса тең қуатты деп аталады. Сондай-ақ шексіз жиындардың да тең қуатты болмайтындай жағдайлар бар. K жиынының ешбір элементі M жиынының бір элементіне сәйкес келмеуі мүмкін. Сәйксінше екінші жағдай M жиынының ешбір элементі K жиынының қандайда бір элементіне сәйкес келмеуі мүмкін. Бұндай жағдайда екі шексіз жиын тең қуатты бола алмайды.

Көпмүшеліктер қуатының тең болу мағынасы жиындардың тең қуатты болмау мағынасымен табылады. Көпмүшеліктер бойынша белгілі бір N жиынын қарастырсақ, ендеше сол N жиынының ішкі көпмүшеліктерінің қуаты, N жиынының қуатынан үлкен болады. Натурал сандар жиынын саналымды жиын деп есептейміз, ал саналымды жиын шексіз жиындардың ең кішісі болады. Көпмүшеліктер теориясында көпмүшеліктер мынадай түрлер бойынша анықталады.

1.1 Бір айнымалы көпмүшеліктер.

Бір айнымалы көпмүшеден бұрын бір мүше анықтамасына көңіл аударсақ. Бір мүше математикада көптеген түрде берілуі мүмкін, бірақ ол амалдар соңынан беретін нәтижесі бір мүшені құрайды. Мысалға ол көбейтінді түрінде берілуі мүмкін немесе дәреже, түбір тағыда басқа түрлерде берілуі мүмкін.

Ал бір айнымалы көпмүше, аты айтып тұрғандай бір деген ұғыммен келтіріледі. Яғыни келтірілген көпмүшелігіміз, бір айнымалы болуы үшін оның белгісіздер саны біреу болуы қажетті және жеткілікті болып табылады.

Ал бір мүшелердің қосындылары көпмүше ұғымын береді.Оны математикалық түрде былай көрсетеміз:

Q(x) = + +…+ + +

Бұл жердегі тұрақты коэффиценттер, ал - белгісіз айнымалы деп аталады. Көпмүшеліктердің ең үлкен коэффиценті бірге тең болатын болса, онда оны унитарлы болмаса келтірілген деп атаймыз. Дәрежесі ең үлкен айнымалы алдында тұрған коэффицент бас коэффицент деп аталады.

Көпмүшеліктерді нөл болмайтын мүшелеріне байланысты келесідей атаймыз. Екі нөлдік емес мүшесі болса оны екі мүшелік, ал үш нөлге тең емес мүшелігі болса онда оны үш мүшелік деп атаймыз.

Бір айнымалы көпмүшеліктерге қолданылатын амалдар біз қолданып отырған тақырыпқа негізделген суперпозиция тәсілінеде сәйкес келеді. Яғыни қолдануымызға болады.

Мысал ретінде математикада бір айнымалы көпмүшелерге келтірілген есептер өте көп.

Бір мүшеден тұрса: Q(x) = 2 Екі мүшеден тұрса: Q(x) = 2 Көпмүше: Q(x) = 2

Осындай мысалдар арқылы бір айнымалы көпмүшелерге белгілі талаптар қоя аламыз.

Келесі бөлімде көпмүшелердің суперпозиция амалына қатысын зеріттейтін боламыз.

1.2 Көп айнымалы көпмүшелер.

Көп айнымалы көпмүшелер тақырыбын суперпозиция тақырыбына қосуымыз бұл қажетті шарт. Жоғарғы тақырыпта яғын бір айнымалы көпмүшелер тақырыбында бір айнымалы көпмүшенің қолданысын қарастырмадық, өйткені бір айнымалы көпмүшелер көптеген амалдарға қайшы келмейді және біз көтерген тақырып суперпозиция тақырыбына қолдануымызға болады. Алайда кез келген дәрежедегі, кез келген түрдегі көпмүшелер суперпозиция амалына келе бермейді. Суперпозиция амалында керілену ұғымы негізгі ұғым болып табылады. Сондықтан бұл амалды қолдануымыз үшін алдымен қарастырып отырған көпмүшелігіміз керіленедіме, Q рационал сандар өрісінде алгебра құрайдыма соны анықтап алуымыз керек. Осы шарттардан сызықты көпмүше қанағаттандырады. Алайда дәрежелі көпмүшелер, көп айнымалы көпмүшелер бұл амалға келе бермейді.

Көп айнымалы көпмүшеліктер аты айтып тұрғандай, айнымалы мүшелерін мысалға деп алатын болсақ, онда сол -тен өзгеде айнымалылар болуы қажетті және жеткілікті. Оны мынадай түрде алуымызға болады. Бұл екі айнымалы көпмүшелік түрінде:

Q(x,y) = + +…+ + +

Бұл жердегі - бас коэффицент болады. Ал қалған мүшелері бірінші, екінші және тағыда солайынан мүшеліктерге бөлінеді. - бос мүше болады, ондағы және айнымалыларының дәрежесі нөлге тең болғандықтан көп жағдайда матемаиткада оны белгілемейді. Көп айнымалы көпмүшеліктерге формуладағыдай екі айнымалы көп мүшелікке мысал келтірсек.

Q(x,y) = 3 + +

Ендігі кезекте бұл көпмүшелікті керіленуі үшін туындысын аламыз. Бір Айнымалыда туынды алмағанбыз, өйткені ол жерде айнымалысы бірге тең болғасын қарапайым жүйемен туындыланады және керіленеді. Ал екі және оданда көп айнымалысы бар көпмүшеліктерде міндетті түрде туындылап тексеруіміз қажетті болады.

Осындай түрде туынды алғаннан кейін көпмүшенің керіленуі немесе керіленбейтіндігіне көз жеткізе аламыз. Көптеген ғалымдардың еңбектерінде келтірілген мысалдардан екі айнымалыдан үлкен, яғыни көп айнымалы көпмүшелердің туындылау процессі аса жеңіл(оңай) болмайтындығын түсінуге болады.

Q( ) =

Көрсетілген формула жалпы түрдегі көп айнымалы көпмүшелердің қосындысын көрсетіп береді. Осы тақырыптағы қарастыратын негізгі мәселеміз, осы көп мүше және көп айнымалы көпмүше болды. Қандай нәтижеде біз көп айнымалы көп мүшеден туындылау арқылы керілей аламыз. Егерде керіленген жағдайда оны бірден суперпозиция амалына қоя аламызба соны білуіміз керек. Жоғарыда көрсетілгендей көпмүшелеріміз туындыланып және оның туындысы керіленуге болатын болса яғыни болса, онда өрісте қарастырамыз. Рационал сандар өрісінде алгебра болама соны қарастырамыз. Соңғы амал суперпозиуия амалы болады.

Мысалдар.

көпмүшелерінің көбейтінді, айырым және қосынды түрде жазу керек.

1.3 Сызықты тәуелді көпмүшелер

Көпмүшелердің сызықты тәуелділігінен бұрын қозғалатын тақырып ол көпмүшлердің алгебралық тәуелділігі болады. Бізге бұрыннан белгілі дәлелденгенде, егерде көпмүшенің Якобианы нөлден өзге болар болса, онда қарастырған көпмүшеміз алгебралық тәуелсіз деп аталады. Ал келесі тақырып көпмүшелердің сызықты тәуелділігі. Қарапайым түрде, егерде бір айнымылы көпмүшелер сызықты тәуелді болуы үшін олардың дәрежелері бірдей болғаны шарат. Мысалға бір айнымалы екі көпмүше сызықты тәуелді болуы үшін, олардың дәрежелері бірдей және коэффиценттері пропорционал болуы қажет. Осы сызықты тәуелділікті көбейтінді түрде дәлелдесек.

[ ] = (1)

Бұл жердегі , айтылған көпмүшелер туындылары. Жоғарыда айтқанымыздай көрсетілген (1) формула сызықты тәуелді болуы екуінің көбейтінділері нөлді көрсетуі жеткілікті.

Теорема 1. көпмүшелері сызықты тәуелді болуы үшін олардың дәрежелері бірдей біртекті және Якобианы нөлдік болса болғаны. екі айнымалы екі көпмүшені сызықты тәуелділікке зерттесек. Ол үшін алдымен теорема 1 дәлелдеуіміз шарт.

Қажетті және жеткіліктілік бойынша.

1. Екі көпмүше сызықты тәуелді болатын болса, онда олардың Якобиандарыда сызықты тәуелді болуы керек. Осыдан олардың Якобиандары да нөлдік көпмүше болатындығы шығады.

2. Енді олардың Якобианы нөлдік деп қарастырамыз.

болатын болса, келесідей

теңдік аламыз. Бұл жердегі тең.

Якобианды есептесек:

) .

Бұл жердегі ,

Бұдан кейін = 0 болады да, екі айнымалы көпмүшелер сызықты тәуелді екені шығады.

Келесі жағдай көпмүшелердің біртекті болмауы, жаңағы қарастырғанымыздай екі көпмүшеліктің дәрежелері бірдей бірақ біртекті болмайтыдай болса, онда ол көпмүшеліктердің Якобиандарының нөл болуы жеткіліксіз.

1)

2)

Бұл екі көпмүшелік сызықты тәуелсіз болады.

Бірақ көп айнымалы ретінде дұры.

Теорема 2. көпмүшелерінің Якобиан матрицасы нильпотентті болса, онда бұл көпмүше сызықты тәуелді.

Теорема екі айнымалы көпмүшелік үшін орындалғанымен, көп айнымалы көпмүшеліктерге орындалмайды. Ол жалпы жағдай болады, оған теорема 3 қолданылады.

Теорема 3. көпмүшелер дәрежелері бірдей, k - айнымалы біртекті, Якоби матрицасы нөлдік болса, онда көпмүшелер сызықты тәуелді болады.

Ал егерде k – айнымалы біртекті емес, қалған қасиеттері орындалып тұған жағдайда көпмүшелік сызықты тәуелсіз болады.

Бұл тақырыптың суперпозиция амалы бойынша қолданылуы өте маңызды. Суперпозиция амалымен шығарылған көпмүшеліктер міндетті түрде сызықты тәуелді болуы шарт. Яғыни амалдың соңынан сызықты тәуелділікке тексеру арқылы табуымызға болады.

Келесі бөлімдегі тақырып дірежелік көпмүшелік болады. Бұл тақырыптыңда дәрежелің көпмүшелікке қатысты шығарылатыны белгілі, сондықтан көрсетілген тақырыптар бір-бірімен байланысты болып табылады. Кейде жалпы түрде шықпай қалатын жағдайларда болады.

1.4 Көпмүшелер дәрежесі

Жоғарыдағы бөлімдердің тақырыптық жұмысқа қатыстылығы осы көпмүшеліктің дәрежесіне тікелей байланысты. Яғын суперпозиция амалы арқылы көпмүшені керілегенде жалпы жағдайдағы көпмүшеліктер алынбайды. Жалпы анықтама көпмүшеліктердің дәрежесі деп көпмүшеліктер құрамындағы ең үлкен бірмүшелікті айтады. Бос мүше дәрежесі қаралмайды. Көпмүшеліктерді зерттеудегі негізгі құрал - дәреже индукциясы.

Бас мүше және бас коэффицент.

көпмүшелер сақинасынан бір айнымалы берілсін. Жалпы жүйе бойынша осыдан , бұл жердегі Егерде бұл жерде коэффиценті нөлге тең болмаса, онда - бас мүше