ІІ ретті және ІІІ ретті аныктауыштар. Екі және үш белгісізі бар теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешу

№ 4 Тақырыбы: ІІ ретті және ІІІ ретті аныктауыштар. Екі және үш белгісізі бар
теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешу
Атыханов Талғат Атыханұлы
(асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)
Оң жақ бағандағы
тапсырмаларды
құрастырушы
мұғалімдердің есіне:

«Көпір» (жеке
жұмыс)
тапсырмалары
өткен тақырыптар
бойынша жаңа
сабақты
меңгеруге негіз
болатын қайталау
тапсырмалары

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен
тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу
дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке
тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді).
Сұрақтаға жауап бер.
1. Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу дегеніміз не?
ax+b=c, түріндегі теңдеулерді бір белгісізі бар немесе бір айнымалысы бар теңдеулер деп
атайды .
2. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу дегеніміз не?
ax+bу=c, түріндегі теңдеулерді екі белгісізі бар немесе екі айнымалысы бар теңдеулер
деп атайды .
3. Сызықтық теңдеу дегеніміз не?
Сызықтық теңдеу – белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және
белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу. Мысалы, а1х1 + а2х2 +…+ аnхn = b
(1)түріндегі теңдеу n белгісізі (аі≤0, і=1, 2, …, n) бар сызықтық теңдеуге жатады. Егер (1)
теңдеудегі аi=0 (і=2, 3, …, n) болып, бірақ
болса, онда ол
немесе ах = b
(а1 = а) түріндегі бір белгісізі бар сызықтық теңдеуге айналады.
4. Сызықтық теңдеулер жүйесі дегеніміз не?
Берілген айнымалыларға қатысты бірнеше сызықтық теңдеулер жиынтығы Сызықтық
теңдеулер жүйесін құрады:
{

5. Сызықтық теңдеулер жүйесін қандай тәсілдермен шешеді?
Қосу, орын ауыстыру, графиктік тәсілдер арқылы шешеді.
ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай
жасау:
а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын
өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша
марапатталады
1-қадам (топтық жұмыс)
Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің біреуінің әрбір шешімі екінші жүйенің де шешімі
- теория бойынша «Білу»
болса, онда бұл теңдеулер жүйелері тең мағыналы деп аталады.
критерийінің
Егер сызықтық теңдеулердің екі жүйесінің әрбіреуі екіншісінің салдары болса, онда бұл
индикаторлары:
тендеулер жүйелері тең мағыналы болады. Сонымен қатар сызықтық теңдеулердің екі
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?
жүйесінің біреуінің шешімдер жиынын екіншісінің барлық шешімдер жиынымен беттесе,
қандай? қалай?нені?
онда осы екі жүйе тең мағыналы болады.
қашан?не істеді сияқты
сұрақтарға жауап беретін
толық ақпарат іріктеліну
керек)
2-қадам (топтық жұмыс) теория бойынша «Түсіну»
критерийінің
индикаторлары:
(неге? неліктен? себебі?
не үшін?сұрақтары
оқушының жоғарыда
берген жауаптарына
оларды тереңдету үшін
қойылады)

Екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеу жүйесін қарастырайық

a11x  a12 y  b1

a21x  a22 y  b2

(1.1)

Белгісіздерді анықтау үшін бірінші теңдеуді
көбейтіп, ал екінші теңдеуді
көбейтіп екі теңдеуді қосып белгісіз х–ті табамыз.
( a11a22  a12a21) x  b1a22  b2 a12
Осындай операцияны жасап белгісіз у–ті анықтаймыз:
( a11a22  a12a21) y  b a22  b a21
2

1

Соңғы екі теңдеулерден х және у айнымалыларды анықтаймыз:

x

b1a22  b2 a12
a11a22  a12a21

y

a11b2  b1a21
a11a22  a12a21

(1.2) формулаларда пайда болған

(1.2)

a11a22  a12a21 , b 2 a22  b 1a21 ,

өрнектерді 2– ші ретті анықтауыштар деп атайды.

a11b2  b1a21

3-қадам-(топтық жұмыс)
теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторлары:
1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз деген
тапсырмалар болу керек.
Немесе 1-3 тапсырмаларды
Венн диаграммасы
арқылы қамтуға болады.

 2– ші ретті анықтауыштардың жолдар мен бағандар саны қанша?
2– ші ретті анықтауыштардың жолдар мен бағандар саны екеу.
 Олай болса 3– ші ретті анықтауыштардың жолдар мен бағандар саны қанша?
3– ші ретті анықтауыштардың жолдар мен бағандар саны үшеу.
Екінші ретті анықтауышты келесі символ (белгі) мен белгілейді:



a11

a12

a 21

a 22

 a11a 22  a12 a 21

(1.3)

a11. , a12 , a21, a22 анықтауыштың элементтері. а11 және а22 бас диагональді құрайды , а12
және а21 – қосымша диагональдың элементтері.

a11
Үшінші ретті анықтауыш келесі түрде жазылады:

a12

a13

a 21 a 22

a 23

a31

a33

a32

a11,a22,a33 элементтер бас диагоналін құрайды, ал а13 а22 а32 элементтері қосымша
диагоналін құрайды
a11 a12
  a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a 23 
a 33

 a11a 22 a 33  a12 a 23 a 31  a13 a 21a 32  a13 a 22 a 31  a11a 23 a 32  a12 a 21a 33 (1.5)
формуласымен анықталған санды үшінші ретті анықтауыш деп aтайды.
Осы анықтауыштың мүшелерін табу үшін схемалық суретін келтірейік.

|

|

|

|

(+)
(-)
Осы схема бойынша есептелген анықтауыштың бірінші үш мүшесі өз таңбасымен
алынады, ал келесі үш мүшесі теріс таңбалы болады. Бұл есептеу үшінші ретті
анықтауышты есептеудің үшбұрыш әдісі деп аталады.
Сарриус әдісі. Үшінші ретті анықтауышқа оң жағына әуелі бірінші бағанды, содан
екінші бағанды тіркеп жазамыз

|

4-қадам-(топтық жұмыс)
теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені,
тірек сызбаны немесе
сөзжұмбақты толтыр,
немесе өзің құрастыр тағы
с.с. басқа түрдегі
тапсырмалар оқушының
жоғарыдағы «тақырыптың
басты идеясына» жазған
жауабына қойылады

|

– – –
+
+
+
Содан кейін тұтас сызықпен көрсетілген элементтерін көбейтіп өз ара қосамыз және өз
таңбаларымен аламыз, ал үзік сызықтармен көрсетілген элементтерін көбейтіп өзара
қосып теріс таңбамен аламыз. Содан кейін осыдан шыққан екі санды сәйкес
таңбаларымен өзара қосып анықтауышты есептейміз. Бұл ереже Сарриус ережесі деп
аталады.
Егер анықтауыштарды :



a11

a12

a21 a22

x =

b1

a12

b2

a 22

 y = a11 b1

a 21 b2
белгілесек онда (1.2) формулалары келесі түрге келтіріледі:
х=

x


у=

y


(1.4)

Айнымалылардың алдында тұрған коэффициентерінен құрылған
анықтауышын
жүйенің бас анықтауышы деп атайды. Ал
анықтауышы бас анықтауыштың бірінші
бағандағы элементтерін жүйенің бос мүшелерімен алмастырылып құралады, ал
–
екінші бағанның элементтерін бос мүшелерден құралған бағанмен алмастырады. (1.4)
формуларын Крамер формуласы деп атайды.
Теңдеулер жүйесінің шешімін табу үшін бірнеше тәсілдер қолданылады.

a11 x  a12 y  a13 z  b1 ,

a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2 ,
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
жүйесінің анықтауышы нөлге тең болмаған жағдайда бір ғана шешуі болады.
) , онда үш белгісізі бар теңдеулер
Егер жүйенің ∆ анықтауышы нөлге тең болмаса (
жүйесінің шешімі
Крамер формуласы деп аталады.
Оқулықпен жұмыс (5 минут): төмендегі «Қолдану» және оқушының тақырып мазмұнына «Баға беруі» тәсілдеріне сәйкес, яғни рефлексия
жасауға, эссе жазуға арналған, практика жүзінде бекіту тапсырмалары орындалады . Нәтижесі ауызша марапатталады.
5-қадам - (топтық жұмыс)
практикада бекіту.
Практика жүзінде
«Қолдану» критерийіне
сәйкес оқулықпен жұмыс
жүргізу барысында тек
қарапайым
тапсырмалармен бекіту
жүргізіледі. Дайын
формулалар арқылы
есептер шығару
орындалады

4 x  y  5 теңдеулер жүйесін шешейік.
3x  2 y  12

Мысал: 

Бұл жағдайда a11  4, a21  3, a12  1, a 22  2, b1  5, b2  12. Жүйенің
анықтауышы нөлге тең емес. Сондықтан,
4 5
5 1
3 12
12  2  10  12  22
48  15
33
y


 3.
x


 2;
4 1
 8  3  11
4 1
83
 11
3 2
3 2
Сонымен, жауабы: 2;3 . Жүйені шешіңіз:

2 x  3 y  4

 x y 5

Шешімі: Бас анықтауышын есептейміз:

23

=

11

=2∙(–1) – ( –3)∙1= –2+3=1

 x және  y анықтауыштарын есептейміз:
2 4
43
=4·(–1) –5·(–3)=11,
=10–4=6
y =
1 5
5 1
(1.4) формуласын қолданып, белгісіз х және у анықтаймыз:

x =
x

x
 11;


y

y


 6.

2
Анықтауышты есептеңдер: 1
0

1

3

2

1

1

1

Мұнда а11=2, а12=–1, а13=3, а21=1, а22=2, а23=–1, а31=0, а32=1, а33=1. Сонда (1.5)
формула бойынша
2 1

3

1

2

 1  2  2  1   1   1  0  3  1  1  3  2  0   1  1  1  2   1  1  10

0

1

1

2

4

1

Мысал: 1

5

3

1

1

1

анықтауышты есептеңдер.

Сарриус әдісін қолданамыз:

2 4 1 2 4

1  5 3 1  5  2   5  1   4  3   1  1  1   1  1   5  1  2  3   1   4  1  1  8
1 1 1 1 1
 2x  3y  z  2
Мысал: 
 x  5 y  4 z  5
4 x  y  3 z  4


2

3

1

х   5

5

 4  2  5  (3)  (5) 11  (3)  (4)  (4)  (4)  5 1 

4

1

3

 (4)  2  1  (3)  (5)  (3)  30  5  48  20  8  45  10

2

2

1

у  1

5

 4  2  (5)  (3)  1  (4)  1  2  (4)  4 

4

4

3

 1  (5)  4  (4)  (4)  2  2  1  (3)  12
2 3
2
z  1
5
 5  2  5  (4)  1  1  2  (3)  (5)  4  4  5  2 
4
1
4
 (5)  1  2  1  (3)  (4)  40  2  60  40  10  12  20

x
6-қадам (топтық жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің?
деген тапсырмалар оқушыға
жоғарыда алған білімін
(теория бойынша) және
біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі
жағдаяттарды шешуге
бағытталып қойылады

y  12
x  10

6

 5 x=5, y 

2

2

y6 z 

z  20

 10

2

z=10

Егер сызықтық теңдеулер жүйесінде:
болса, онда жүйенің бір ғана шешімі бар болады;
болса, онда жүйенің шешімі жоқ болады;
болса, онда жүйенің шешімдерінің саны шексіз болады.

ІІІ кезең (кері байланыс – бағалау кезеңі): Жеке жұмыс. Жоғарыда меңгерген мазмұнды үш деңгейге іріктеп (әр деңгейдің білімділік,
біліктілік, яғни құзыреттілік деңгейін анықтайтын тапсырмалар) оларды біртіндеп орындату арқылы балл жинату барысында оқушының
құзіреттілік деңгейін анықтап, әділ бағалау жүзеге асырылады. Бұл тапсырмаларды оқушылар сабақтың соңына дейін қалған 30 минуттың 25
минутында орындайды + 5 минут қортынды жасалады.
Қалған тапсырмаларлы үйде аяқтап келеді. Қортынды балл саны дәстүрлі бағаға айналдырылып, келесі сабақтың басында сынып
журналына қойылады, мониторингке тіркеледі.

І деңгей (5 балл)
1-қадам – (жеке жұмыс)
теория бойынша «Білу»
критерийінің
индикаторларына сәйкес
(тақырып мазмұны
бойынша кім?не?қандай?
қалай? нені? қашан?не
істеді сияқты сұрақтарға
жауап беретін толық
ақпараттар іріктелініп ІІ
кезеңдегіге қарағанда
керісінше қойылады)

Практикасы:
«ҚОЛДАНУ»
(ІІ кезеңдегіге қарапайым
тапсырмалар үлгісіндегі
тапсырмалар орындалады)

Сұрақтарға жауап беріңдер:
{

{
{
{

сызықтық теңдеулер жүйелері тең мағыналы ма?
|

|

|

|

|

|

|

|

|
|

|
|

Қандай теңдеулер жүйелерін тең мағыналы деп атаймыз?
Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің біреуінің әрбір шешімі екінші жүйенің де шешімі
болса, онда бұл теңдеулер жүйелері тең мағыналы деп аталады.
Егер сызықтық теңдеулердің екі жүйесінің әрбіреуі екіншісінің салдары болса, онда бұл
тендеулер жүйелері тең мағыналы болады. Сонымен қатар сызықтық теңдеулердің екі
жүйесінің біреуінің шешімдер жиынын екіншісінің барлық шешімдер жиынымен беттесе,
онда осы екі жүйе тең мағыналы болады.

№22 16 x 2 
№ 24 |

3x

4

 2 1

 0 № 23

3x

1

x4 x2

6

|

1-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген
білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл =
«сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере
алмаса.

ІІ деңгей (5 балл + 4 балл = 9 балл)

1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Түсіну»
критерийінің
индикаторларына (неге?
неліктен? себебі? не
үшін?) сәйкес
сұрақтар оқушының
жоғарыда берген
жауаптарына оларды
тереңдету үшін қойылады.

Екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеу жүйесін қарастырайық: {
Белгісіздерді анықтау үшін бірінші теңдеуді
ге көбейтіп, ал екінші теңдеуді
көбейтіп екі теңдеуді қосып белгісіз х–ті табамыз.
(

Сонда {

)

Осындай операцияны жасап белгісіз у–ті анықтаймыз:
(

{

)

Соңғы екі теңдеулерден х және у айнымалыларды анықтаймыз:
( )
( )
( )
2-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Талдау» критерийінің
индикаторларына сәйкес

(1.Салыстыр,
2. Айырмашылығы
неде?
3. Ұқсастығы неде?
4.Тақырыптың басты
идеясын жаз) деген
тапсырмалар болу
керек. Немесе 1-3
тапсырмаларды Венн
диаграммасы арқылы
қамтуға болады.
3-қадам (жеке жұмыс):
Практика жүзінде
«ҚОЛДАНУ»
критерийіне сәйкес
(ІІ кезеңдегіге 5-қадам
қарапайым тапсырмалар
үлгісіндегі
тапсырмалардың
өзгертілген жағдайдағы
нұсқасы орындалады)

|

Сонда формулаларда пайда болған
|
|

|
|

|

өрнектерді 2– ші ретті анықтауыштар деп атайды,

сонда Крамер формуласы :

a11

a12

a13

a 21 a 22

a 23 түрде жазылған анықтауышты үшінші ретті анықтауыш деп атайды.

a31

a33

a32

бас диагоналін a11,a22,a33 элементтері құрайды, ал қосымша диагоналін а13 а22 а32
элементтері құрайды
Теңсіздіктерді шешіңдер.

№ 25 1
2

x5
x

0

№26

3

x

6

36

1

0

№ 27. 3

4

х

2
7

2  х7

х2

5

2-аралық нәтиже:
Бірінші деңгейде қалыптасқан құзіреттілік (білім, біліктілік) деңгейінің сапалық өлшемі (бірінші аралық
өлшемі): – «дұрыс», «толық» деген білім сапасының түрлерімен сипатталады (Ю.К.Бабанский). Оқушының
бұл алғашқы қадам нәтижесінің сандық өлшемі – бес балл = «сынақтан өтті» = «қанағаттандырарлық» білім
деңгейінің өлшемі = «3» журналға қойылады, егер келесі деңгей тапсырмаларын меңгере алмаса.
1-қадам (жеке жұмыс) теория бойынша
«Жинақтау»
критерийінің қорытынды
шығаруға бағытталған
индикаторлары:
Қорытынды шығар,
анықтама бер, мазмұнды
жүйеле, кестені, тірек
сызбаны, сөзжұмбақты
толтыр немесе өзің
құрастыр тағы с.с. басқа
түрдегі тапсырмалар
оқушының жоғарыдағы
«тақырыптың басты
идеясына» жазған
жауабына қойылады.
ІІ-кезең, 4-қадамда
«жинақтауға» берілген
тапсырма басқа формада
беріліп, баланың білім
деңгейі бағаланады.

ІІІ деңгей (9 балл + 3 балл = 12 балл)
Айнымалылардың алдында тұрған коэффициентерінен құрылған

Ал ал

– екінші

бағанның элементтерін бос мүшелерден құралған бағанмен алмастырады. (1.4)
формуларын Крамер формуласы деп атайды.
|

|–

анықтауышын жүйенің бас анықтауышы деп атайды.

– анықтауышы бас анықтауыштың бірінші бағандағы элементтерін жүйенің бос
мүшелерімен алмастырылып құралады:

|

|

– анықтауышы бас анықтауыштың екінші бағандағы элементтерін жүйенің бос
мүшелерімен алмастырылып құралады:

|

|

Үш белгісізі бар теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешу алгоритмін жаз.
 Бас анықтаушты табамыз.
 Егер бас анықтауыш нолге тең болмаса (
) , онда ,
және
анықтауштарын табамыз.
Крамер формуласын пайдаланып теңдеудің шешімін табамыз:

2-қадам (жеке жұмыс):
«Баға беру» (Сен қалай
ойлайсың? Не істер едің? деген
тапсырмалар оқушыға жоғарыда
алған білімін (теория бойынша)
және біліктілігін (практикасы
бойынша) өмірдегі жағдаяттарды
шешуге қолдана алу дәрежесі
бағаланады.

 x  6 y  17
№ 28 
5 x  6 y  13
2 x  3 y  z  4
№ 30.  x  y  2 z  5

5 x  y  z  14


x  2 y  5
№29. 
 x  7 y  13
3x  y  3z  1
№ 31. 7 x  2 y  7 z  1
5 x  y  5 z  1


3-нәтиже:
Үшінші деңгейдің нәтижесі (түбегейлі көзделген нәтиже): алғашқы екі деңгейде жинаған 9 баллға + 3 балл =12
балл = «5» журналға қойылады. Оқушының білім сапасы білім стандарты көлемінде «дұрыс», «толық»,
«әрекеттілік» пен «тереңділік»-ке «жүйелілік» пен «саналылық» қосылып, барлығының жиынтығы «берік» білім
болып саналады (Ю.К. Бабанский).