×
Сертификат тегін алу үшін
Материал тегін жариялау
ҚР БАҚ(СМИ) тіркеу №9512
Сайт бойынша барлық сұрақтарды 8 (771) 234-55-99 (Ватсап) осы номерге жазуға болады

Мақала: ПЛАНИМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСЫ

Автор:Джумабаева Анар Бибитовна
Бағыты: Геометрия
Бөлімі: Мақала
Сыныбы: 8 сынып
Жарияланған уақыты: 2019-05-13

50-ден астам пәндер бойынша материалдарды тегін жүктеп, сабақ барысында қолдануға болады

Материал туралы қысқаша түсінік

ПЛАНИМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСЫн ашып көрсетеді , оқушыларға мұғалімдерге пайдалы

ПЛАНИМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДЕ КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІНІҢ ҚОЛДАНЫСЫ

Білім туралы Заңда мектептің міндеті тек оқушыларға білімнің жиынтығын беру ғана емес, оқушылардың өз бетінше білім алуына, өзіндік білім алудың тәсілдеріне үйрету де болып табылатындығы жайлы айтылған.Қазіргі таңда мектеп математика курсында комбинаторикаға деген қызығушылық біршама артып отыр. Оқушылардың комбинаторикалық түсінігін қалыптастыру және ойлау қабілетін арттыру математиканы оқытудың негізгі мақсаттарының бірі болып табылады. Комбинаториканың - қазіргі таңда физикада, информатикада, химияда, экономикада қолданылуы біршама зерттелген, алайда математиканың өз салалары ішіндегі қолданыстары туралы көп айтылмайды. Әдетте комбинаторика элементтері жайлы сөз қозғалса, алгебралық мазмұнды тапсырма айтылатыны рас. Алайда комбинаторика элементтерінің геометриялық есептерді де шешуде маңызы зор. Сондықтан мектеп оқушыларына комбинаторика элементтері (алмастыру, теру, орналастыру) туралы жалпы түсінік беріп қоймай, комбинаторика элементтерін пайдаланып геометриялық мазмұндағы әртүрлі есептер жүйесін шешуге мүмкіндік беру керек. Осылайша математика салаларының арасындағы пәнішілік байланысты жүзеге асыруға да мүмкіншілік болады. Сонымен қатар геометрия есептерін шешуде комбинаторика элементтері және статистикалық түрде берілген ақпараттармен жұмыс істеуге, геометриялық кескіндерді салуда ықтималдық бағалаудың қаншалықты маңызды екендігі нақты мысалдар арқылы қолданулары жүзеге асырылады.1 Жазықтықтағы нүктелер мен түзулерге берілген есептер. Жазықтықтағы нүктелер мен түзулердің өзара орналасуы жөніндегі геометрияның алғашқы аксиомаларының бірі – жазықтықтың кез келген екі нүктесі арқылы бір ғана түзу жүргізуге болатындығы жөніндегі аксиома. Оқушыларға күрделілігі артып отыратын төмендегідей тапсырмалар беруге болады.Жазықтықта берілген нүктелердің саны өзгергенде, осы нүктелер жұбы арқылы өтетін түзулер санының өзгерісін анықтау.
Нүктелер саны 3; түзулер саны 3 Нүктелер саны 4; түзулер саны 6Нүктелер саны 5; түзулер саны 10 Нүктелер саны 6; түзулер саны 15
Нәтижелер кестесі:
Нүктелер саныТүзулер саныТәуелділігі
1.33
2.46
3.510
4.615

Сызбаға сүйенбей ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын n нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді? Тұжырымдама.n нүктелер жұбы арқылы өтетін түзулер санын формуласы арқылы есептеуге болады.Тұжырымдаманың дәлелдеуі.A1, …, Ann нүктенің ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды дейік. Осындай нүктелерді салу үшін оларды шеңбердің бойынан белгілеп алу жеткілікті.A1 нүктесі мен қалған нүктелер арқылы қанша түзу өтетінін анықтап алайық. Қалған нүктелердің саны (n – 1)-ге тең, және олардың әрқайсысы мен A1 нүктесі арқылы бір ғана түзу өтетін болғандықтан, ізделініп отырған түзулердің саны (n – 1) болады. Осы A1 нүктесі жөніндегі пайымдаулар кез келген нүкте үшін де орынды болатынын айта кетейік. Барлық нүктелердің саны n және олардың әрқайсысы арқылы (n – 1) түзу өтетіндіктен, есептелген түзулердің саны n(n – 1) болады. Әрине, оқушылар бере алатын бұл жауап толығымен дұрыс болып табылмайды. Мысалы, n = 3 кезінде n(n – 1) = 6 болады, ал түзулердің саны шын мәнісінде 3-ке тең. Оқушылардың өздері біз жоғарыда көрсеткен есептеуде әрбір түзудің екі реттен саналғанын байқағаны жөн, сол себепті де берілген n нүктенің әртүрлі жұптары арқылы өтетін түзулердің саны -ге тең болады. Табылған түзулер санының формуласы үлкен маңызға ие, мұнан былайғы уақытта да әртүрлі комбинаторлық есептерді шығарғанда кездесетін болады. Әрбір түзу екі нүкте арқылы бірмәнді анықталатын болғандықтан, біз негізінен n элементтен қанша әртүрлі жұп құруға болатынын анықтадық. Бұл ретте олардың қандай элемент екендігі маңызды емес. Осындай жұптардың саны n элементтен тұратын, 2 элементтен алынған қайталанбайтын терулерсаны() деп аталады да, түрінде белгіленеді. Мысалы, егер сыныпта 20 оқушы болса, онда осы сынып оқушыларынан құруға болатын әртүрлі жұптардың саны = 190 болады. 1. Бір түзудің бойында жатпайтын жеті нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?Шешуі: Жауабы: 21.2. Ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 12 нүктенің әртүрлі жұптары арқылы барлығы қанша түзу өтеді?Шешуі: Жауабы: 45.

n түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?
1. 2.Түзулер саны 3; нүктелер саны3Түзулер саны4;нүктелер саны 6
  • 4.
Түзулер саны5;нүктелер саны10 Түзулер саны6; нүктелер саны15
Шешімі. Жұптасқан қиылысулардың мүмкін болатын ең көп санын алуымыз үшін, әрбір түзу басқа барлық түзулермен қиылысатын болуы қажет. Сонымен қатар, бұл кезде ешқандай үш түзу бір нүктеде қиылыспайды. 1-суретте жұптасқан қиылысуларды тұрғызудың тәсілі көрсетілген. Бұл жағдайда әрбір түзу қалған түзулермен (m– 1) рет қиылысып өтеді. Барлығы mтүзу және әр түзуде(m – 1) нүкте болғандықтан, олардың барлық саны m(m – 1) болады. Әр нүкте екі реттен есептелгендіктен, қиылысу нүктелерінің саныҚысқаша былай пайымдауға да болады. Шындығында, қиылысу нүктелерінің санын анықтау үшін, берілген mтүзуден құрастыруға болатын барлық түзулер жұптарының санын есептеу жеткілікті. 3. Төрт түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?Шешуі: 4.Бес түзудің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?Шешуі: Бірінші тапсырманың тұжырымдалуы мен шығарылуы екінші тапсырмаға ұқсас екендігіне назар аударған жөн. Осы тапсырмалардың тұжырымдамасын қайта пайымдап шықсақ. Ешқандай үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын, n нүктенің әртүрлі жұптары арқылы өтетін түзулердің саны -ге тең. Ешқандай үш түзуі бір нүктеде қиылыспайтын,m жұптасып қиылысқан түзулердіңқиылысу нүктелерінің саны-ге тең. Көріп тұрғанымыздай, бірінші тұжырымдамада «түзу» сөзін «нүкте» сөзімен, ал «нүкте»-ні «түзу» сөзімен алмастырып, және түзудің екі нүкте арқылы өтуін екі түзудің бір нүктеде қиылысуымен ауыстыратын болсақ, онда дәл екінші тұжырымдаманы аламыз. Бұл да осы тұжырымдамалардың дәлелдеуіне жатады. Жоғарыда айтылған ауыстырулар арқылы бірінен екіншісі шығады. Осындай аналогия нүктелер мен түзулердің екіжақтылық қасиеті деп аталады. 2 Шеңберлергеберілгенесептер.Жазықтықтағытүзулердіңорнынашеңберлердіқарастыраотырып, олардыңқиылысунүктелерініңсанынанықтауымызғаболады. №3 тапсырмаn шеңбердің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?Осындай шеңберлерді тұрғызу тәсілін көрсетіңіз. Шешімі. Жұптасқан қиылысулардың мүмкін болатын ең көп санын алуымыз үшін, әрбір шеңбер қалған шеңберлердің барлығымен қиылысатын болуы қажет. Сонымен қатар, бұл кезде ешқандай үш шеңбер бір нүктеде қиылыспауы керек. Мысалы, төмендегі суретте жұптасып қиылысатын бес шеңбер бейнеленген.Бұл жағдайда әрбір шеңбер басқа шеңберлермен 2(n – 1) рет қиылысады. Жұптасқанқиылысунүктелерінің саны 2 + 4 + 6 +…+ 2(n – 1) = n(n – 1) болады. Кезкелгенn > 1 үшінжұптасыпқиылысатынnшеңбер бар екенінекөзжеткізуқиынемес.5. Екі шеңбердің барлығы қанша қиылысу нүктесі бола алады?Шешуі: 6. Үш шеңбердің барлығы қанша жұптасқан қиылысуы бола алады?
Шешуі:


№4 тапсырмаЕшқандай үш түзуі бір нүктеде қиылыспайтын, өзара жұптасып қиылысқан n шеңбер жазықтықтықты қанша бөлікке бөледі?Шешімі.Берілген шеңберлерге жаңа щеңбер қосқанда, жазықтық бөліктерінің қаншаға артып отыратынын анықтайық. Бұл бөлік сандарының артуы жазықтықтың қандай да бір бөліктерінің жаңа түзу арқылы кішірек бөліктерге бөлінетіндіктен орын алады. Осылайша, егер біздің өзара қиылысатын екі шеңберіміз болған болса, онда үшінші шеңберді қосқаннан соң, жазықтықтың барлық төрт бөлігі екіге бөлінеді де, бөліктердің жалпы саны 8=4+4 болады. Төртінші шеңбер қосылғанда, жазықтықтың алты бөлігі екі бөлікке бөлінеді де, пайда болған бөліктердің жалпы саны 14 = 8 + 6 болады. Жаңа шеңбер арқылы екі бөлікке бөлінген, жазықтық бөліктерінің саны сол шеңбердің алдыңғы шеңберлермен қиылысу нүктелері арқылы бөлінген доғалардың санына тең екендігін айта кетейік. Жаңа шеңбердің әрбір доғасы жазықтықтың сәйкес бөлігін екі бөлікке бөліп тұр. n-ші шеңбер (n – 1) шеңбермен қиылысатын болғандықтан, ол 2(n – 1) доғаға бөлінеді, сондықтан жазықтық бөліктерінің саны 2(n – 1)-ге артады. Осылайша, n шеңбердің жазықтықты бөлетін бөліктерінің жалпы саны мынаған тең:4 + 4 + 6 + … + 2(n – 1) = 2(2 + 2 + 3 + … + (n – 1) = n(n – 1) + 2.
7.Өзара қиылыстатын екі шеңбер жазықтықтықты қанша бөлікке бөледі?Оқушылар дәптерлеріне екі қиылысатын шеңбер салып, жазықтық бөліктерінің саны 4-ке тең екендігін анықтайды.Жауабы:4.№8.Өзара жұптасып қиылысқан, бір нүктеде қиылыспайтын үш шеңбержазықтықты қанша бөлікке бөледі?Шешуі: №9.Өзара жұптасып қиылысқан, ешқандай үшеуі бір нүктеде қиылыспайтын төрт шеңбер жазықтықтықты қанша бөлікке бөледі?Шешуі: 3 Көпбұрыштардың қасиеттерін оқытудағы комбинаторика қолданылулары. Көпбұрыштар мен олардың жалпы қасиеттерін оқыту барысында оқушыларға мынадай комбинаторлық есептерді беруге болады [87],[88],[89]. №5 тапсырмаn-бұрыштың қанша диагоналі бар?Шешімі.n-бұрыштың қандай да бір төбесін белгілеп алайық. Диагональ деп көпбұрыштың көршілес емес төбелерін қосатын кесіндіні айтатынын ескере отырып, берілген төбе арқылы (n – 3) диагональ өтетіндігін аламыз. Барлық төбелердің саны n болғандықтан, олардың әрқайсысы арқылы (n – 3) диагональ өтеді, бұдан диагональдардың жалпы саны 10 Төртбұрыштың қанша диагоналі бар?Шешуі: 11. Бесбұрыштың қанша диагоналі бар?Шешуі: 12.Алтыбұрыштың қанша диагоналі бар?Шешуі:








Жоғарыда келтірілген есептер әдетте үйірмелер мен факультатив сабақтарда қолданылады. Сондай-ақ олар математикадан жарыстар мен сыныптан тыс жұмыстарда берілетін есептерге жатады. Мұндай есептер оқушылардың геометриялық түсініктерін қалыптастырып, тәжірибелік дағдыларын дамытуда үлкен көмек көрсетеді, геометрияны оқытуда қызығушылықты арттырады [90],[91],[92].







  • 85 Шыныбеков Ә. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Атамұра, 2012.
  • 86 Қайдасов Ж., Досмағанбетова Г., Абдиев А. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Мектеп, 2012.
  • 87 Шыныбеков Ә. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 8-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Атамұра,2012.
  • 88 Қайдасов Ж., Хабарова Г., Абдиев А.Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 8-сынып оқушыларына арналған оқулық.– Алматы: Мектеп, 2012.
  • 89 Бекбоев И., Абдиев А., Қайдасов Ж., Хабарова Г. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-сынып оқушыларына арналған оқулық. – Алматы: Мектеп,2009.
  • 110 Меңліқожаева С.Қ. Комбинаторика элементтері және оны ықтималдар теориясында қолдану. Қызылорда:ҚМУ, 2002. – 60 б
  • 2 Қазақстан Республикасының Заңы «Білім туралы».-Алматы: ЖШС «Издательство «Норма-К», 2010.-52б. «Білім туралы» Қазақстан Республикасының заңына өзгерістер мен толықтырулар енгізу туралы. Егемен Қазақстан. 29 қазан, 2011жыл.
  • 15 Кабехова Л.М. Методика построения единого кура "Начала теории
  • вероятностей с элементами комбинаторики» для 9 класса средней школы:
  • Автореф. дис. канд. пед. наук. Ленинград. 1971.-21 с.
  • 16 Дограшвили А.Я. Формирование у учащихся умений и навыков 
  • решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математике в 
  • восьмилетней школе: Автореф. дис. канд. пед. наук. -Тбилиси. 1976.-30 с.
  • 29 Варга Т. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность.- М.: Педагогика, 1978. - 111 с.
  • Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. / авт.-состав. В.Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. – Волгоград: Учитель, 2006. – 428с.
  • http://yunc.org/КОМБИНАТОРИКА
  • Задачи.http://www.smekalka.pp.ru/math_combination.html





















50-ден астам пәндер бойынша материалдарды тегін жүктеп, сабақ барысында қолдануға болады

Сертификатты жеке кабинеттегі жетістіктерім бөлімінен жүктеп алуға болады

Материалды сайттан тегін жүктеу

Материал ұнаса парақшаңызға сақтап қойыңыз!

Өз пікіріңізді қалдыру үшін тіркелу қажет.