Параметрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу /жалғасы/

К.К.Есмуханова –БҚО,Ақжайық ауданы,Тайпақ орта жалпы білім беретін мектебі,жоғарғы санатты математика пәні мұғалімі

«Параметрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу»

Параметрі бар иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

Иррационал теңдеулерді шешудің негізгі тәсілі-анықталу облысын ескере отырып,радикалдан құтылу. Кейбір жағдайларда иррационал теңдеудің ерекшеліктерін пайдалынып басқа дәстүрлі емес шешімдерін табуға болады.

,теңдеуді екі рет квадраттап,сегізінші дәрежелі көпмүшелік теңдеуге келтіруге болады,бірақ ондай теңдеуді шешу қиындық туғызады. Сондықтан дәрежені төмендету тәсілін қолдансақ.Ол үшін анықталу облысын табайық:

Анықталу облысының ұштарындағы сандарды тексеріп көрсек, теңдеудің шешімі,ал

теңдеуді қанағаттандырмайды.

1-тәсіл: толық квадратты қолдану = Бұдан немесе Бірінші теңдеуден

Екінші теңдеуден немесе 4x немесе

немесе .Бұл сан теңдеудің анықталу облысына тиісті. Жауабы:

2-тәсіл: тригонометриялық

3-тәсіл:дәрежесін төмендету

4-тәсіл: күрделі радикалдар формуласын қолдану

5-тәсіл: параметр енгізу

=a алмастыруын енгіземіз,

Соңғы теңдеуден

1+2x

2. а-ның қандай мәнінде теңдеуінің неше түбірі бар?

Анықталу облысы:

x-1=

1.D<0

2.D=0

3.D>0

Жауабы: 1) бір ғана түбірі бар 2) екі түбірі бар

Теңдеуді шеш:

Шешуі: мұндай теңдеулерді шешу үшін теңдеуін геометриялық тәсілмен шешуді қарастырайық. Координаталық жазықтықта АВ=5 болатын екі нүкте

A( берілсін. AC= болсын ,мұнда C(x;0 ) нүктесі. Біздің мақсатымыз х-ті табу. Екі нүктенің арақашықтығының формуласы бойынша

Нақтылық үшін

болсын,онда AB= теңдігі орындалуы үшін

болуы қажет. Сонымен, A(

І тәсіл: Координаталық жазықтықта A( ,C(x;0)

AB= ,яғни

AX=X

Олай болса, OX=OK-KX=2 - немесе координаталық

тәсілмен тапсақ:

Жауабы:

ІІ тәсіл: AC және OC=x болсын х-ті табу керек

Косинустар теоремасы бойынша АОС үшбұрышынан:

ВОС үшбұрышынан: яғни )AO=

OB= .Олай болса, AO+BO=AB теңдігінен келесі теңдеуді аламыз

Осы теңдеуді шешейік: Мұндағы a,b,c>0,a,b,c тек болғанда ғана теңдеудің шешімі болады. Синустар теоремасы бойынша

мұндағы .Ал мәндерін теңдеуге қойсақ :

болғанда , x= Сонымен теңдеудің жалпы шешімі: x=

Егер дербес жағдайда a=3,b=4 болса, онда берілген алғашқы теңдеуді аламыз. Бұдан теңдеудің шешімін бірден алуға болады. X= =

=34 теңдеуінің а,в параметрінің қандай бүтін оң мәндерінде бір түбірі болады.

Шешуі: Пифагор үштіктерінің формуласын пайдаланамыз. Ол үшін c=34–ті жай көбейткіштерге жіктейміз.34=2(

-18-

Осыдан,c= ендеше, Сонда , Жауабы: a=16,b=30 және a=30,b=16 болса,теңдеудің түбірі болады.

Берілетін тапсырмалар:

=65

=с

3. =13

4. =25

5. =с

6. =-7

Параметрі бар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

1. теңсіздігі барлық нақты х үшін орындалатындай а нақты сандары табыла ма?

Шешуі:

теңсіздік түріне келеді ,мұнда яғни

f(t)= тармағы жоғары қараған парабола теріс мәнін қабылдауы керек: Шешімі жоқ

Жауабы: барлық кез келген х үшін теңсіздік орындалатындай а мәні табылмайды.

2. Қандай нақты а мәні үшін -( теңдеуінің шешімі бар болады?

Шешуі: sinx=t болсын,|sinx| болғандықтан, онда берілген теңдеу түріне келеді, ал түбірлері [-1;1] кесіндісіне қатысты орналасуы әртүрлі болуы мүмкін. үшмүшелігінің графигі тармағы жоғары қараған парабола және шешімі бар болу үшін D= болады. a) -1< болсын ,онда

шешімі :

b) -1< болсын ,онда

шешімі :

г) түбірлері [-1;1] кесіндісіне тиісті болсын,онда

шешімі: -1

d)

шешімдерін біріктірсек. Жауабы:

3. Қандай нақты р үшін теңдеуінің шешімі бар болады?

Шешімі: |sinx| болғандықтан sinx=t, |t| алмастыруын орындайық: Теңдеулердің түбірлері [-1;1] кесіндісіне қатысты орналасулары әртүрлі болуы мүмкін.

a) тармағы жоғары қараған параболаның түбірлері (-1;1) аралығында жатуы мүмкін,бұдан есеп шартын қанағаттандыратын шарттарды жазайық: шешімі:-1

Б)үлкен түбір ғана (-1;1) аралығында болуы мүмкін,ендеше шешімі:1 < p < 2

В) тек кіші түбірі ғана (-1;1) аралығында жатуы мүмкін,ендеше келесі шарттар орындалады.

шешімі:-2 < p < -1

Г)үшмүшеліктің бір түбірі +1 немесе -1 –ге тең болуы мүмкін. Болады,егер f(1)=0 ,яғни егер p=2 немесе p=-1 болса. Егер p=1 немесе p=-2 болса,онда =-1 Бұл төрт р мәндері есеп шартын қанағаттандырады.

Жауабы:

Өз бетімен орындауға: кесіндісінде дәл үш түбірі болатындай Ж; q=0;q=2;q=

Параметрі бар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

1. теңдеуді шеш:

Дәрежені төмендету формуласын қолданамыз:

болса,

1. 2a-1=0

3.

4. a=1

5.a>1

Жауабы: a>1 болса,шешімі жоқ

y=sinx жаңа айнымалы енгізсек,

болады,a=1

2.D=0

a<0 егер a<0 немесе a>5 болса,теңдеудің шешімі жоқ

болса,теңдеудің екі шешімі бар келесі теңсіздіктер дұрыс болады:

Шындығында a=0 болса, a>0 >a-1

Егер a=0 болса,онда sinx=y теңдеуі sinx=-1 ,x=

Енді

соңғы жүйелерден

теңдеуінің ғана шешімі болады,ол.x=

болған жағдайда.

Егер 4<a онда теңдеудің шешімі жоқ.

Жауабы: ; 2) ,x=

1. a<0; a>4 болса,теңдеудің шешімі жоқ

3. cos(a+x)= теңдеуін шеш

Теңдеудің екі жағын cosx көбейтсек, cosx*cos(a+x)=cosa теңдеу аламыз.

қиылыспайды

: 1) 2)

-22-

4.теңдеулер жүйесін шеш:

1. теңсіздігін шеш: tgx+ctgx

,

жағдайларын қарастырамыз.

2)a>0 болғандықтан жағдайларын қарастырамыз:a)0<a<2 b)a=2 c)a>2

0<a<2

a>2

3) a<0 a=-2 жағдайларын қарастырамыз. a< - 2 a<0

Қорытындды:

Сонымен ,y=sin2x болғанда, алатынымыз: 1)егер a<-2 болса,онда ,одан

2) егер -2 a< 2 болса,онда ,одан 2

3) егер a=2 болса,онда ,одан

4) егер a>2 болса,онда ,одан

Жауабы:1) егер a<-2 болса,онда

-23-

2) егер -2 a< 2 болса,онда ; 3) егер a=2 болса,онда ;4) егер a>2 болса,

Қосымша берілетін тапсырмалар:

тапсырмалар	жауабы
cos2x-os4x=a*sinx	a<-2,a>2 ; 2
sin(x-a)=sinx+sina	a
12sinx+4	a<-8,a>8 -8
sin(x+a)+sinx=cos	a= a
(a-1)cosx+(a+1)sinx=2a	a<0,a>1 0
sin(x+a)+cos(x+a)=sin(x-a)+cos(x-a)	a= a
1+	a-рационал болса, а-иррационал болса, 0
=a

	a=- a= -
tgx+tga+1=ygx*tga	a= -a-
sin3x=a*sinx	a=-1 a=3 -1<a<3
	a= a>
cosx-	a<0 a=0 - a>0 arccos

1.a< ; 2. 3.a>

Параметрі бар көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

1.а-ның қандай мәнінде теңдеуінің бір түбірі болады?

Жауабы:

2.а-ның қандай мәндерінде теңcіздігі кех келген х үшін орындалады?

Шешуі:

Жауабы:

3.

Шешуі:

)=0,D=1,

Жауабы: a<0,

теңдеуін шеш

Шешуі: 1.

Дискриминанты D

1.a>0 болсын. Онда ,егер болса,x= , ал, егер болса,онда x=

2. a<0 болсын.Онда ,егер болса, x= ал егер болса,онда шешімі болмайды. Сонымен ,a>0 болса,онда болса,онда шешімі жоқ; a<0 болса,онда x= |a|

Параметрі бар логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

1.

Белгілеу енгізсек:u=lg cosx

1.D=

3.D>0

cosx=

lg cos x

Lg cosx =-1+ шешім жоқ

1) егер

2)

3)егер -2<a<1 шешім жоқ

2.

1-ші теңдеуге қойып,түрлендірсек: siny=

siny>0

cosx<

егер a<0,a

Қорытынды:

болғанда ,жүйенің шешімі болады.

cosx+ cosx+

. Егер болса,онда соңғы теңсіздік барлық х-тер үшін орындалады.Сонымен ,берілген есеп келесі шарттармен эквивалентті:

Осыдан, } Демек,a

а-ның барлық нақты мәндері үшін шеш:

−ге тең болатын ерекше жағдайларды қарастырайық:

1. .Онда Осыдан x=0. Бірақ x=0 анықталу облысына жатпайды.

Сондықтан ,егер болса,онда теңдеудің шешімі x=1.

1. . Бұл жағдайда логарифмдердің коэффициенттері 0-ден өзге және оң болады. x болғанда 0<2x- және болатынын көру қиын емес.Егер 2x- болса,онда x=1.Бірақ бұл жағдайда теңдік орындалмайды. Сондықтан 0<2x- және нда және Сонымен,бұл жағдайда теңдік орындалмайды.

Демек,егер a= болса,онда теңдеудің шешімі x=1,ал егер болса,шешімі жоқ.

5.теңдеулер жүйесінің шешімі болатын а-ның барлық мәндерін тап:

	a<3,a>
	-1<a

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

1. В.Карасев ,и др. Решение задач с параметрами

2. М.Л.Галицкий и др.Сборник задач по алгебре,8-9 кл. М.2006

3. Л.И.Звавич ,А.Р.Рязановский Алгебра.Задачник.8 кл М.2004

4. Б.И.Александров и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.МГУ.1957 г.

5. В.Н.Литвиненко,А.Г.Мордкович «Практикум по элементарной математике Алгебра.Тригонометрия»,Москва «Просвещение»,1991

6. «Репетитор» , «ИФМ», «Математика және Физика» ғылыми-әдістемелік журналы