вектор

Кіріспе

Бұл нұсқаулықта жоғарғы сынып оқушыларының ҰБТ-ға дайындығы барысында «Вектор» тарауына берілген есептерді, уақытты үнемдей отырып дұрыс жауапқа қол жеткізуге болатындығына жол ашады. Мәселен ол дайындығы осал оқушылар, немесе тұрақсыз дайындалатын оқушыларға әркез қалайда қиындықтар кездесе береді. Жалпы математика пәні үнемі дайындықты талап етеді әрі ұдайы ойлану арқылы логиканың дамуына ықпал етеді. Ешқандай есеп ойлаусыз немесе логикасыз орыдалмайды. Ендеше қандайда бір дайындық бастау үшін жүйелі түрде кіріскен дұрыс.

Вектор

Есептерде кездесетін мысалдарға шолу жасайық. Кез келген векторлар (x;y) немесе (x;y;z) түрінде беріледі. Сондай-ақ есеп шартына сәйкес векторлар түрінде де беріледі.

Демек бізге (-2;2;1) және (4;3;0) векторлары берілсін. ҰБТ-да берілген есептерде суретін салудың қажеті шамалы. Сондықтан векторларға амалдар қолдануды қарастырйық.

1. + =(-2+4; 2+3; 1+0)=(2;5;1)

Бұл амалда сәйкес координаталарын қосамыз.

2. - =(-2-4; 2-3; 1-0)=(-6;-1;1)

Бұл амалда сәйкес координаталарын азайтамыз.

3. 3 +2 =(-2*3; 2*3; 1*3)+(4*2; 3*2; 0*2)=(-6; 6; 3)+(8; 6; 0)=(-6+8; 6+6; 3+0 )=(2; 12; 3)

Бұл амалда яғни векторларды санға көбейтуде ең әуелі координаталарын сол санға көбейтіп аламыз да сәйкес координаталарын қосамыз.

4. * =(-2*4 + 2*3 + 1*0)=(-8+6+0)=-2

Бұл амалда сәйкес координаталарын көбейтіп қосамыз.

5. = = =3 Бұл амалда координаталарын жеке-жеке квадраттап қосамыз да қосындыдан түбір табамыз.

6. = = =5 Бұл амалда координаталарын жеке-жеке квадраттап қосамыз да қосындыдан түбір табамыз.

Векторларға берілген тапсырмалардың барлығы жоғарыдағы көрсетілген амалдарға негізделіп беріледі немесе осы амалдарды талапкер еркін меңгерсе есеп шығаруда мүмкіндігі жоғары болады. Ендеше осы амалдарды кеңінен қолданатындай мыалдар қарастырайық:

1-мысал:

(3; 1; 1) және (-2; 0; 2) векторларының координаталары бойынша 2 +3 векторларының координаталарын табыңдар.

Шығарылуы: бұл есепті мысалға негіздеп орындаймыз.

2 +3 =(3*2; 1*2; 1*2)+(-2*3; 0*3; 2*3)=(6; 2; 2)+(-6; 0; 6)=(6-6; 2+0; 2+6 )=(0; 2; 8)

2-мысал:

А(-3; 2; -1), В(2; -1; -3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2) нүктелері берілсе, -ны табыңыз.

Шығарылуы: бұл есепті шығау үшін ең әуелі және есептеп табамыз. Ол үшін берілген вектордың соңғы әріптеріне сәйкес координатадан бастапқы әріптің координаталарын азайтамыз.

3-мысал:

(2; k; -1) және (3; -1; 2k) векторларының скаляр көбейтіндісі 5-ке тең болатын k-ның мәнін табыңыздар

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін жоғарыдағы үлгіні еске ала отырып,есептесек

* =(2*3 +(-1)* k + (-1)*2k)=(6- k-2k)=6-3k теңдеуін аламыз. Осы теңдеуді есептің шартында берілген векторлардың скаляр көбейтіндісі 5-ке теңестірсек, 6-3k=5 теңдеуін аламыз. Есептің нәтижесіне жету үшін осы теңдеуді шешсек жеткілікті. Нәтиже немесе жауабы:

4-мысал:

(-1; 1; 1) және (0; 2; -2) векторлары берілген. векторының координаталарын табыңдар.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін жақшаны ашып бірдей векторларды біріктіреміз, яғни өрнекті ықшамдаймыз, нәтижесінде өрнегін немесе теңдеуін аламыз.

Нәтижесінде жауабын аламыз

5-мысал:

(-2; -3; -4) және (1; 2; 3) векторлары берілген. + және - векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыздар.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін мына шартты орындауымыз керек ( + )*( - ). Ол үшін жоғарыдағы үлгіні еске ала отырып,есептесек ( + )*( - )=(3+5+7)=15 болатынын анықтау қиын емес.

6-мысал:

векторларының арасындағы бұрыш 60⁰-қа тең болса осы векторлардың скаляр көбейтіндісін табыңыздар.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін оқулықтағы форммуласын еске аламыз да, есепті шығарып нәтижесіне тез қол жеткіземіз.

7-мысал:

векторларының арасындағы бұрыш 45⁰-қа тең болса, -ны табыңдар.

Шығарылуы: бұл есептің шығарылу жолы 6-мысалда қолданған формулаға негізделген, бірақ біз есепті шығаруда ең алдымен -ны анықтаймыз, ол үшін координаталарын квадраттап қосындыдан түбір табамыз

, осы табылған мәнді формуласына қойып есептесек нәтижесін аламыз яғни бұл есептің жауабы.

8-мысал:

Егер А(0; 0), В(2; 2) және С(5; -1) нүктелері берілсе -ны табыңыздар.

Шығарылуы: бұл есептің шығарылу жолы 2-мысалда қолданған амалдарды еске түсіреді немесе ең алдымен жеке-жеке -ны есептеп алуға тура келеді.

нәтиже 0-ге тең болса екі вектордың арасындағы бұрыш 90⁰-қа тең деген тұжырымға келеміз

9-мысал:

Егер А(-2; 0), В(2; 2) және С(4; -2), Д(0; -4) нүктелері берілген. болса векторының ұзындығын тап.

Шығарылуы: бұл есептің шығарылу жолы 8-мысалдағы амалдарды қайталайды. Яғни ең алдымен өрнектегі берілген векторларын жеке-жеке есептеуге тура келеді. Сондай-ақ есептің шартының бізден -ны есептеу керектігін сұрағанын түсінсек болды. Ендеше есептесек деген мәнді аламыз, есептің шартына сәйкес есептеп жауапқа жетеміз.

10-мысал:

Егер (4; 3) және (1; 7) векторлары берілген болса олардың арасындағы бұрыштың шамасын анықтаңдар.

Шығарылуы: бұл есептің шығарылу жолы 7-мысалдағы формуласынан түріндегі формуланы алсақ бізге , үлгілердегідей есептеулерді жекелеп есептегн дұрыс

тең болатынына көз жеткіземіз. Есеп шарты бойынша косинустың сәйкес мәні арқылы бұрыштың шамасын анықтасақ . Бұл біз үшін есептің жауабы болады.

11-мысал:

Егер (2; 1; 0) және (3; 2; 4) векторлары берілген болса векторлардың арасындағы бұрышының косинусын есептеп табыңдар.

Шығарылуы: бұл есептің шығарылу жолы 10-мысалдың шығрылу жолымен сәкес келеді.

саны есептің жауабы болады.

12-мысал:

Егер және координаттық векторлар болса векторының ұзындығын тап.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін есеп шартындағы «координаттық векторлар» деген сөз тіркесіне мән берсек ол «бірлік вектор» дегенді білдіретінін еске ала отырып тапсырманы орындаймыз. Ендеше ол векторларды 1-ге тең деп алып тапсырмага кіріссек, есеп шартындағы мынадай түрге өзгереді , енді тапсырма шарты бойынша вектордың ұзындығын табу үшін үлгілерді еске түсірсек деп есептеп нәтижеге жетеміз.

13-мысал:

Егер (3; -4; 5) векторын бірлік векторға жіктеңіздер.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін берілген векторды «бірлік вектор»-ге жіктейміз деп ұғынып, уақыт үнемдеу арқылы, берілген координаталарға -ларды тіркеп жазасақ болғаны.

=

14-мысал:

Егер (- 3) векторымен бағыттас бірлік вектордың координатасын табыңдар.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін бізге бағыттас вектор деген ұғымды еске түсіріп суретін елестетсек

Бірлік векторға қатысты мынадай формуланы еске алсақ: есептің жауабына тез қол жеткіземіз. Бірақ ең алдымен үлгілерді еске түсірсек

екенін есептеп, формулаға қойып есептесек:

( ) бұл есептің жауабы

15-мысал:

(-3; 4; 5) векторына қарама-қарсы векторды анықта.

Шығарылуы: бұл есепті шығару үшін берілген вектордың координаталарын қарама-қарсы санмен алмастырамыз: (3; -4; -5).

16-мысал:

Егер және олардың арасындағы бұрышы 60⁰ болса, векторының ұзындығын тап.

Шығарылуы:ендеше үлгілерді қосындымен алмастырып есептесек жеткілікті.