Урок математики 11 класс на тему: Основные сведения о дифференциальных уравнениях

Раздел:

Дифференциальные уравнения

ФИО педагога

Дата:

Класс:

Количество присутствующих:

Количество отсутствующих:

Тема урока

Основные сведения о дифференциальных уравнениях

Цели обучения в соответствии
с учебной программой

11.4.1.22. Знать основные понятия о дифференциальных уравнениях

Цели урока

Учащиеся будут:

распознавать дифференциальные уравнения;

формулировать определение дифференциального уравнения;

формулировать определение решения дифференциального уравнения;

называть основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями;

показывать умение находить производные функций при решении заданий.

Этап урока/ Время

Действия педагога

Действия ученика

Оценивание

Ресурсы

Начало урока

10 мин

1. Организационный момент.

Приветствует учащихся

Перед началом работы проверяет отсутствующих и готовность класса и учащихся к уроку, желаю  успеха.

Диктант на повторение

Сообщает тему урока и совместно с учащимися определяет цели урока и цели обучения

.

Приветствуют учителя

Принимают участие в постановке темы (цели) урока. Осмысливают поставленную цель

Презентация

Презентация.

Середина урока

25 мин

Вступительное слово учителя. Немного из истории.

По словам выдающегося математика В. И. Арнольда, «Дифференциальные уравнения — одно из основных орудий математического естествознания. Изобрел их Исаак Ньютон (1642‒1727). Задачи, по существу приводящие к дифференциальным уравнениям, появлялись и до Ньютона. Однако решать их умели лишь такие гении, как президент французской Академии наук X. Гюйгенс (1629‒1695) и учитель Ньютона, математик и богослов, проповедник английского короля И. Барроу (1630‒1677). После Ньютона их решают любые студенты и даже школьники».

I Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Сошлюсь еще раз на В. И. Арнольда, который писал, «Чтобы изучить какой-либо процесс, нужно прежде всего уметь описывать множество всевозможных состояний этого процесса». Так вот, дифференциальные уравнения позволяют описывать множество всевозможных состояний различных процессов. Поскольку производная есть скорость изменения функции, то дифференциальные уравнения связывают между собой какую-либо величину и скорость ее изменения. Можно показать, что

• закон изменения массы радиоактивного вещества в зависимости от времени (радиоактивный распад) описывается дифференциальным уравнением , где m(t) ― масса радиоактивного вещества в момент времени t, ― коэффициент пропорциональности;

• закон изменения температуры физического тела в зависимости от времени описывается дифференциальным уравнением , где T(t) ― температура тела в момент времени t, ― температура воздуха (среды), k ― коэффициент пропорциональности;

• закон размножения бактерий описывается уравнением , где m(t) ― масса бактерий в момент времени t, ― коэффициент пропорциональности;

• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением , где P(h) ― атмосферное давление воздуха на высоте h, ― коэффициент пропорциональности.

II Основные обозначения

― обозначения производной 1-го, 2-го, 3-го, 4-го, …, n-го порядка;

, если независимая переменная x;

, если независимая переменная t.

III Основные понятия

III.1 Основные понятия

Приведем примеры дифференциальных уравнений:

Попытайтесь дать определение дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее

• искомую функцию одной или нескольких переменных,

• эти переменные и

• производные различных порядков данной функции.

Что называется корнем уравнения? (Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее его в верное равенство).

Что будет, по-вашему, решением дифференциального уравнения?

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в верное тождество.

График этой функции называется интегральной кривой данного уравнения.

Что значит «решить уравнение»? (Решить уравнение ― это значит найти все его корни или доказать, что их нет).

Решить дифференциальное уравнение ― это значит найти его решения или доказать, что их нет.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В противном случае ― дифференциальным уравнением в частных производных.

Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения, которые мы рассматривали выше в качестве примеров дифференциальных уравнений, являются обыкновенными Почему?

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

III.2 Решение упражнений

III.2.1 Определение порядка дифференциального уравнения, искомой функции и независимой переменной.

Работа по учебнику №№

Выполняют задание

Учащиеся записывают в тетрадь равносильные переходы и замечание.

Учащиеся в парах обменяются работами и проверят их.

Дескрипторы оценивания:

• указан порядок уравнения;

• указана функция;

• указана независимая переменная.

Презентация

Конец урока

5 мин

IV. Рефлексия.

Отметьте знаком «»:

Подведем итоги урока. Ответьте на следующие вопросы:

Сегодня на уроке я научился…

Сегодня на уроке мне понравилось…

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил…

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

V. Задание на дом:

Уравнение

Порядок уравнения

Искомая функция

Независимая переменная