Түркістан облысы, Ордабасы ауданы Бәйтерек жалпы орта мектебі

Тасполатова Ханзада Жакепкелдиевна

Математика пәнінен функционалдық сауаттылықты

арттыру тапсырмалар жинағы

Авторлық бағдарламасы

10 – 11 сынып

Түркістан

2022

Түркістан облысы, Ордабасы ауданы Бәйтерек жалпы орта мектебі

Тасполатова Ханзада Жакепкелдиевна

Математика пәнінен функционалдық сауаттылықты

арттыру тапсырмалар жинағы

Авторлық бағдарламасы

10 – 11 сынып

Түркістан

2022

Авторлық бағдарлама Түркістан облысы әдістемелік орталығының Сараптамалық кеңесі шешімімен (хаттама № ) ұсынылды.

Автор:

Тасполатова Ханзада Жакепкелдиевна – Бәйтерек жалпы орта мектебінің

математика пәні мұғалімі

Пікір жазғандар:

– М.Әуезов атындағы ОҚМУ-нің физика – математика

ғылымдарының кондидаты, доцент

– ОҚМПИ –нің физика және математика кафедрасының, доценті

– Түркістан облыстық білім бөлімінің математика пәнінің әдіскері

Бұл авторлық бағдарламада мектеп оқушыларына арналған математикалық функционалдық сауаттылығын арттыруға және ұсынылатын тапсырмаларды жан жақты талдау мен дәлелдемелер жасату арқылы танымдық шеңбердерін жетілдіру мақсатында бағытталған. Жалпы орта білім беретін мектептердің жоғары сынып оқушыларына және математика пән мұғалімдеріне ұсынылады.

Түсінік хат

Оқушылардың функционалдық сауаттылығын дамытудың жалпы бағдары Қазақстан Республикасында білім беруді дамытудың 2011-2020 жылдарға арналған Мемлекеттік  Бағдарламасында және оқушылардың функционалдық сауаттылығын дамыту жөніндегі 2012-2016 жылдарға арналған ұлттық жоспарында анық көрсетілген.  Ондағы басты мақсат–жалпы білім беретін мектептерде Қазақстан Республикасының зияткерлік, дене және рухани тұрғысынан дамыған азаматын қалыптастыру, оның физикалық құбылмалы әлемде әлеуметтік бейімделуін қамтамасыз ететін білім алудағы қажеттіліктерін қанағаттандыру. Бұл үлкен жауапкершілік артатын үлкен мақсат. Оны шешу үшін ең алдымен оқыту мазмұны жаңартылып, ол әрбір оқушының жеке басының қасиеттері мен қабілеттерін дамытып, шығармашылығын ұштайтындай болып ұйымдастырылуы қажет.Қойылған міндеттерді шешу үшін оқушылардың интеллектуалды және шығармашылық мүмкіндіктерін дамыту және дарынды балалардың дамуы үшін мүмкін жағдайлар жасау қажет.Ал талапқа сай математикалық білім берудің басты шарты математикалық мәдениеттің деңгейін көтеру болып табылады.

Функционалдық сауаттылық - тұлғаның нақты мәдени ортада өмір сүру қызметін іске асыру үшін қажетті және әлеуметтік қатынаста ойдағыдай қызмет етуін қамтамасыз ететін білімі, ептілігі, дағдылары.

Математикалық сауаттылық функционалдық сауаттылықтың бір тармағы болып табылады. Сауаттылық қызметі – алған білім,білік,дағдысын күнделікті іс – әрекетте пайдалану біліктілігі.

Бағдарламада оқушылар меңгеруге тиісті білім,білік,дағды мөлшері көрсетіледі.Бұл білім мөлшері оқушының жалпы білім беретін орта мектепке міндетті түрде барлық оқушы алатын білім мөлшеріне енеді.

Бағдарламаның мақсаты:

• Оқушылардың математика пәні бойынша сауаттылығын арттыру, математикалық қабілетін анықтау және дамыту;

• Бағдарламалық материалды терең игеруіне, өз білімін кеңейтуге ықпал жасау;

• Стандартты емес,логикалық,күрделі есептерді шығару дағдыларын дамыту;

• Дұрыс негізделген математикалық пайымдаулар айту;

• Есептерді шығарудың тиімді тәсілдерін табу, орындау, өзін-өзі тексеру, өмірмен байланыстыру;

• Математикалық білімді өмірлік жағдаяттарда кездесетін түрлі мәселелерді шешуде еркін қолдану.

• Шынайы дүниедегі статистикалық заңдылықтар мен оларды зерттеудің түрлі әдістері, ықтималдық сипаты бар қорытындылар мен болжамдардың ерекшеліктері туралы түсінік алу;

• Мәселелерді тани білу:әртүрлі формада берілген сандық ақпараттарды оқу, талдау, түсіндіріп беру;

• Бұл мәселелерді математика тілінде құрастыру;

• Бұл мәселелерді математикалық айғақтар мен әдістерді қолдана отырып шешу;

• Қойылған мәселелерді есепке ала отырып нәтижелерді түсіндіру;

• Ауызша, жазбаша, аспаптық есеп шығару үшін тәжірибелік дағдыларды қалыптастыру

• Дәлелдемелі пайымдау жүргізу, талқылауға қатысу және логикалық негізделген қорытындылар жасау;

Бағдарламаның міндеттері:

• Оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттыру мақсатында ізденіс жасау арқылы зерттеушілік қабілетінің дамуына ықпал жасау;

• Практикалық мазмұнды есептерді шешудің әр түрлі тәсілдерін қолданып шешу,есептеу мәдениетін дамыту;

• Теориялық білімдерін іс жүзінде қолдануға, есеп шығару тәсілдері мен әдістерін меңгерулеріне көмектесу;

• Қажетті, нақты тақырыптар бойынша математикалық білімдерін тереңдетіп, толықтыру;

• Есте сақтау қабілетін арттыру мақсатында нақты іс тәжірибені қолдану;

• Күрделі есептерді шешуде қиындықтарды жеңе білуге және күрделі түрден қарапайым түрге келтіру әдісін үйренуге тәрбиелеу.

Бағдарламаның өзектілігі:

• Математиканың әлемдегі рөлін анықтау және түсіну;

• Оқу материалдарын жүйелі ұйымдастыру;

• Дұрыс негізделген математикалық пайымдаулар айту;

• Оқушылардың математикалық сауаттылығының қалыптасуы, даму деңгейлерімен сипатталады;

• Еске түсіру (білу)

• Байланыстарды орнату (қолдану)

• Пайымдау (ойлау)

• Диаграмма, графиктер, статистикалық сипаттағы ақпараттарды, сандық мәліметтерді танып білу, талдау;

Күтілетін нәтиже:

Математикалық сауаттылығы артады;

Мәтіндік тапсырмаларды шығара алады;

Деңгейлік тасырмаларды орындайды;

«Математикалық сауаттылық – негізгі математикалық білім » курсының

күнтізбелік - тақырыптық жоспары 10 – 11 - сыныптар.

Аптасына - 1 сағат. Барлығы - 34 сағат.

№	Тақырып атаулары	Сағат саны			Мерзімі
		Барлығы	Практика	Бақылау
1	Логикалық есептер	13
1.1	Сандар тізбегі		1		05.09
1.2	Дәреженің соңғы цифрын анықтау		2		12,19.09
1.3	Сиқырлы фигуралар		1		26.09
1.4	Сандар және оның қасиеттері		2		04.10
1.5	Геометриялық есептер		2		11.10 18.10
1.6	Күнтізбелік, уақытқа байланысты есептер		1		24.10
1.7	Сәйкестендірулер мен салыстырулар байланысты есептер		1		08.11
1.8	Диаграмма,график және кестелер байланысты есептер		1		15.11
1.9	Кітап бетін нөмерлеуге байланысты есептер		1		22.11
1.10	Өзбетімен шығаруға арналған есептер			1	29.11
2	Пропорция және процент	5			06.12 13.12 20.12 27.12
2.1	Санның пайызын, пайызы бойынша санды табу Санның бөлігін,		4

	бөлігі бойынша санды табу
2.2	Өзбетімен шығаруға арналған есептер			1
3	Мәтінді есептер	10
3.1	Бірлескен жұмыс	5
3.2	Қозғалысқа байланысты есептер	4
3.4	Өзбетімен шығаруға арналған есептер			1
4	Рубик текшесі	6
4.1	Текшеге берілген есептер	1
4.2	Текшені құрастыру	1
4.3	Текшенің жазбасы	1
4.4	Ойын сүйегі	1
4.5	Кеңістікте ойлау	1
4.7	Өзбетімен шығаруға арналған есептер			1

Оқу жоспары

1 – бөлім. Логикалық есептер (10 сағат)

Логикалық  есептерді  ойлап  шығарудағы  мақсат – логикалық  жаттығуларды  орындау  білім алушының  ақыл-ойын, қиялын, ой ұшқырлығын  дамытудың ең  ұтымды  тәсіл.

Логикалық  есептерді ойлап шығарудың  әдіс-тәсілдері  оқушының  ақыл ойын тәртіпке келтіреді. Логикалық ойлауға үйретеді. Әсіресе, логикалық  есептерді  шығару – баланың  ой-өрісін дамытатын негізгі құрал.

Логика термині гректің «logos» – «сана», «ой», «ұғым» деген мағынаны білдіреді. 

Логика философияның нормативті саласы, ойлаудағы сәйкестік критерийіне, ой тұжырымдау ұстанымдарына қатысты. Логика соңғы нәтижемен емес тек пайымдау процесімен ғана айналысады.

Логикалық ойлау тек бейнелік ойлаудың негізінде қалыптасады және бала ойлауы дамуының жоғарғы сатысы болып табылады. Бұл сатыға жету – ұзақ және күрделі процесс, толыққанды логикалық ойлауды дамыту ақыл-ой қызметінің белсенділігін талап етіп қоймайды, сонымен қатар заттар мен құбылыстардың жалпы және жекелеген белгілері туралы негізгі білімі болуын қажет етеді.

Оқыту есептерін шешу барысында, психологияда белгілі ойлаудың жалпы белгілерін нақтылағанда, мынадай ой икемділіктерін сипаттауға болады:

а) есептерді шешудің бір тәсілінен екінші тәсіліне тез өте алу, есептің бірнеше шешімін табу іскерліктері;

ә) шығарылған есептердің негізінде құрылған жаңа есептерді шешудің тәсілдерін қайта құрастыру;

б) есептерді шешудің дәстүрлі емес тәсілдерін таба білу, стандарт емес есептерді шешу тәсілдерін таба білу іскерліктері.

Логикалық білім мен дағдыларды қалыптастыруға барлық сабақтардың үлесі бар, олардың ішінде математика сабағының ара салмағы үлкен. Логика дұрыс ойлаудың заңдары мен жүйелі де дәлелді түрде пайымдауға қойылатын талаптар туралы ғылым. Анықтама, дәлелдеме, пайымдау, жіктеу - саралау сияқты және тағы басқа логикалық амалдарды әрбір оқушы өзінің ойлау қызметінде қолданып отырады.

2 – бөлім. Пропорция және процент (5 сағат)

Пропорция (латын тілінде пропортіо— ара қатынас, аралық өлшем), математикада — а, б, ц, д төрт шаманың екі қатынасы арасындағы теңдік: Мұндағы а, б, ц, д шамалары поэтика мүшелері, а мен д — П-ның шеткі мүшелері, ал б мен ц — ортаңғы мүшелері деп аталады. П-ның негізгі қасиеті: П-ның ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісі оның шеткі мүшелерінің көбейтіндісіне тең (бц=ад). Бұл қасиет П-ның дұрыстығын тексеру үшін және оның бір мүшесін қалғандары арқылы өрнектегенде пайдаланылады. Яғни, берілген қатынаста бөлу және бөлшек сандарын ауызша қосуға, азайтуға арналған есептерді меңгерту. Пропорция, кері пропорция шамаларға берілген есептермен оларды шығару жолдары.

Пайыз (латын тілінен percentum «жүзге; жүзден») – жүзден бір бөлік; «%» белгісімен белгіленеді; бір нәрсенің бүтінге қатысты үлесін көрсету үшін қолданылады. Мысалы, 500 кг-ның 17% -ы әрқайсысы 5 кг-нан 17 дана, яғни 85 кг дегенді білдіреді. 500 кг-ның 1% 5 кг-ға тең болғандықтан 500 кг-ның 200% 1000 кг болатыны да ақиқат, ал 5 × 200 = 1000

Проценттерді жай немесе ондық бөлшек түрінде беруге болады, сондықтан санның пайызын әртүрлі тәсілдермен табуға, шешімін әртүрлі тәсілдермен жазуға болады. Санды 100-ге бөлу арқылы пайызды қалай есептеуге болады. Бұл сізге 1% сандық эквивалентті береді. Әрі қарай не болатыны сіздің мақсатыңызға байланысты.

3 – бөлім Мәтінді есептер (10 сағат )

Мәтіндік есептер дегеніміз-аты айтып тұрғандай, мәтін арқылы берілген, теңдеу құруға негізделген есептер болып табылады. Мұны кейде мәселе есептер, кейде сөздік есептер деп те атайды. Бұл есептердің ішінде біраз басқатырғыштары да бар. Өзінің алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді үш түрге (классификация) бөлуге болады:

1) танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады

2)машықтану есептері: бұлар арқылы орнықты білім дағдылары қалыптасады

3)шығармашылық мақсаттағы есептер: ойлауды қажет ететін дамыту есептері. Мәтін есептерді шығару кез- келген есепті шығара білуге үйретеді: а) есеп мазмұнын талдай отырып, ондағы белгілі және белгісізді ажырата

білуге үйретеді;

б) берілген мәліметтер мен белгісіздің арасындағы байланысты тағайындай

білуге үйретеді;

в) есептің шығару жоспарын құру;

г) есептегі белігілі мен белгісіз арасындағы байланысты теңдеу, теңдік арқылы

математика тіліне аудару;

д) сәйкес амалдарды орындау (сәйкес теңдеулерді шешу) есептің сұрағына

жауап қайтару;

е) есептің дұрыстығын тексеру.

Мектепте кездесетін осындай есептердің төрт түрін атап айтуға болады:

1) төртінші пропорционалды табуға арналған есептер;

2) пропорционал бөлуге арналған есептер;

3) екі айырма арқылы санды табуға арналған есептер;

4) санның бөлігін және керісінше санды табуға арналған есептер.

Жалпы мәтінді есептерді көбінесе арифметикалық және алгебралық тәсілмен шығарады: - арифметикалық тәсіл – бұл жағдайда барлық логикалық операциялар нақты сандар арасында арифметикалық амалдарды қолдана алу білімін пайдаланылып негізгі тұжырымға сүйенеді. алгебралық тәсіл – мұнда есеп теңдеу құру арқылы шығарылады. Арифметикалық тәсіл есепті талқылай білуге, өз ойын анық және нақты айта білуге үйретеді. Ал алгебралық тәсілде есеп математика тіліне аударылып, оның математикалық моделі жасалады.

4– бөлім Рубик текшесі

Рубик текшесі (маж. Bűvös kocka – сиқырлы текше) — логикалық басқатырғыш ойын құралы ретінде пайдаланылады. Бүгінге дейін әлемде 360 миллионнан аса данасы сатылған. Екі түрлі өлшемдері кеӊ тараған 56 мм, 55.5 мм - соӊғысы жарыстарға ыӊғайлырақ.

Рубик текшесінің алты жағында тоғыз кішкентай текшелер өзара байланыстырылып орналасқан. Әр кішкентай текше алты түстің біріне боялған. Ойын мақсаты — Рубик текшесінің әр жағын бір түсті қалпына келтіру. Сол үшін Рубик текшесінің жылжытылатын бөлшектерін бұрып, әр түрлі түзбелерді жасау керек. Рубик текшесімен 43 252 003 274 489 860 000 түзбе жасалуы мүмкін.

Басқатырғыш текшені мажар сәулетшісі Ерно Рубик (маж. Rubik Ernő) 1974 жылы ойлап шығарған. Бірақ Мажарстаннан тыс жерде (дүние жүзінде) жұрт Рубик текшесі туралы алты жылдан кейін, 1980 ж. білген.

Бұл кезден соң оның белгілігі төмендер емес. Бұны миллиондарша сатылуы ғана емес, текшені құрастыруы бойынша әлем чемпионатының пайда болуы анық көрсетеді. Бұл салада қазіргі чемпион – 2018 жылғы Red Bull Rubic's Cube чемпионатында 4,95 секундта жинаған 22-жастағы аустралиялық Феликс Земдегс. 

Рубик текшесі бойынша алғашқы Әлем чемпионаты 1982 жылы Мажарстанда өткен. Лас-Вегаста өтетін әлем чемпионатында 17 жасар Феликс Земдекс Рубиктің әлемдегі ең жақсы жинаушы болған. 2014 жылдың 29 маусымында Феликс 5,33 секундта кубик Рубикті жинады, бірақ бұл жинау жарыстарда есептелмейді.

1. ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

1. Сандар тізбегі

19, 5, 28, 373, 290, 11 - сандар тізбегі.

Тізбектің қандай элементтерден құралғанын түсіндіре алсақ, тізбек құрастыруға болады.

Мысалы, « Тізбек өсу ретімен жазылған барлық біртаңбалы жұп сандардан тұрады» - 0, 2, 4, 6, 8.

Сандардан тұратын тізбекті ажырату үшін тізбек қандай заңдылықпен, яғни қандай ережемен құрастырылғанын анықтау керек.

Мысалы, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... тізбегі өсу ретімен жазылған және 4 санына бөлінетін натурал сандардан тұрады.

Мысалы, «85»=6425, «92»=814, «31»=91, «17»=149 болса «37»=?

Шешуі:

Мұнда қарапайым ереже: сандар құралғңан әрбір цифрдың квадраты алынады.

85=8²5²=6425 92=9²2²=814 31=3²1²=91

17=1²7²=149 37=3²7²=949

Жауабы: «37» = 949

Мысалы, сандар қатары қандай да бір заңдылықпен берілген. Сұрақ белгісінің орнына қандай сан жазылуы керек?

14 (625) 11; 12 (196) 2; 10 (?) 5

Шешуі: (14+11)² = 25²= 625 (10+5)²=15²=225

(12+2)² = 14²= 196

Жауабы:

Мысалы, 8 санының оң жағына сол жағына да өзінен басқа бір санды жаздық. Шыққан сан 6-ға бөлінеді. Біз қандай сан жаздық?

Шешуі:

*8* : 6 =282 : 6

Жауабы: 2

Мысалы, «?» белгісінің орнына қандай санды қою керек

Сандар тізбегі бөліміне есептер шығару.

№1 2,3,5,8,12,17,?

Шешуі: 2,3,5,8,12,17,?

Сандар тізбегі келесі санды табу үшін, сандарды өсу ретімен қосу.

2 +1 =3, 3 +2 =5, 5 +3 =8, 8+ 4 =12, 12 + 5 =17, 17 + 6 =23.

Жауабы: 23

№2 15,12,13,10,11,8,?

Шешуі: 15,12,13,10,11,8,?

Алдымен 3- ті азайтсақ, келесі сан шығады, ал келесі санды алу үшін үшінші тұрған санға 1-ді қоссақ, келесі сан шығады. Осы рет қайталанып отырады.

15 – 3 =12 , 12 + 1 = 13 , 13 -3 =10, 10 + 1 = 11, 11 -3 = 8, 8 +1 =9.

Жауабы: 9

№3 3,5,10,12,24,26,?

Шешуі: 3,5,10,12,24,26,?

Келесі санды табу үшін, бірінші санға 2-ні қосып, келесі санға 2-ні көбейтіп, келесі санды тауып отырады.

3 + 2 =5, 5 • 2 =10, 10 +2 = 12, 12 • 2 =24, 24 + 2 =26 , 26 • 2 =52…

Жауабы: 52

№ 4 12,16,14,18,16,20,?

Шешуі: 12,16,14,18,16,20,?

Келесі санды табу үшін, бірінші санға 4-ті қосып, шыққан саннан 2- ні азайтып отырсақ, келесі сан шығады

12 + 4 =16, 16 - 2 =14, 14 +4 = 18, 18 - 2 =16, 16 + 4 =20 , 20 - 2 =18.

Жауабы: 18

№ 5 36,38,34,42,26,?,22,20,?

Шешуі: 36,38,34,42,26,?,22,20,?

Келесі санды табу үшін, алдымен 2 –ні қосып, 4-ті азайтып, 8-ді қосып, 16- на азайтамыз. Сонда келесі санға 32-ні қосамыз. Яғни, әр қадам сайын шыққан нәтижені екі есе арттырып отырамыз.

36 + 2 =38, 38 - 4 =34, 34 +8 = 42, 42 - 16 =26 , 26 +32 =58 , ...

Жауабы: 58 және 2 .

№6	28,37,34,41,39,44,?,46	Жауабы: 43
№7	24,12,48,16,80,20,120,?,168	Жауабы: 24

№8	60,120,60,180,90,360,180,900,?	Жауабы: 450
№9	5,15,13,52,48,240,?	Жауабы: 234
№ 10	1,2,6,24,120,?	Жауабы: 720
№11

«13»=3, «22»=4, «35»=15, «43»=12 болса «191»=?

Шешуі:

1 • 3 =3 , 2•2=4, 3 • 5 =15, 4 • 3 =12, 1•9•1 = 9

Жауабы: 9

№12

«25»=425, «32»=94, «91»=811, «78»=4964 болса «43»=?

Шешуі:

25 = 2²5² = 425, 32=3³2² = 94, 91 = 9²1² = 811, 78 = 7²8² =4964, 43 = 4²3² =163.

Жауабы: 163

№13

«2»=25, «3»=125, «4»=625 болса «5»=?

Шешуі:

5² =25, 5³ = 125, 5⁴ = 625, 5⁵ = 3125

Жауабы: 3125

№14

1(27)2, 2(64)2, 2(?)3

Шешуі:

(1+2)³ = 3³= 27 (2+3)²=5³=125

(2+2)³ = 4³= 64

Жауабы: 125

№15

17(76)21, 12(68)22, 8(?)33

Шешуі:

17 + 21 = 38, 38 • 2 = 76 8 + 33 = 41 , 41 •2 = 82

12 + 22 = 34, 34 • 2= 68

Жауабы: 82

№ 16

51(36)45, 62(49)55, 75(?)63

Шешуі:

51 - 45 = 6, 6² = 36 75 - 63 = 12 , 12² = 144

62 - 55 = 7, 7² = 49

Жауабы: 144

№17

23(40)35, 17(48)24, 42(?)63

Шешуі:

2+3 = 5, 3+5 = 8, 5 • 8= 40 4+2 =6 , 6+3 = 9, 6•4 =54

1+7 =8, 2+4 = 6, 8 • 6 = 48

Жауабы: 54.

Сандар тізбегі белгілі бір заңдылыққа бағынады. Қате берілген санды тап.

1. 4,7,13, 25, 51, 97, 193

2. 120, 115, 105, 90, 70, 50 , 15

3. 8, 24, 10, 36, 18, 54, 27

Төменде сандар ерекше бір заңдылыққа бағынады. Ерекше санды табыңыз.

1. 1425, 5135, 3564, 2549, 2781

2. 14728, 16832, 12622, 10520, 18916

3. Квадраттың тор көздеріне натурал сандар әр жолдағы , әр бағандағы , әр диагональдардағы сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп жазылған. Кейбір сандар өшіріліп тасталды. Х-тің орнына қандай сан жазылған?

Х
	6	4
3		5

2. аn	1	2	3	4	5	6	7	8
   2	2	4	8	6	..2	..4	…8	…6
   3	3	9	..7	..1	…3	…9	…7	…1
   4	4	..6	…4	…6	….4	….6	….4	….6
   7	7	..9	…3	…1	….7	….9	….3	…..1
   8	8	..4	…2	…6	….8	….4	…..2	……6
   9	9	..1	…9	….1	…..9	……..1	……9	……1

   
   

   Дәреженің соңғы цифрын анықтау Дәреженің соңғы цифрын анықтау кестесі

Кестені қалай қолданамыз?

Мысалы, "2023-тің 543-ші дәрежесі қандай цифрмен аяқталады?" деген есеп келсе, не істейміз?

2023-тің соңғы цифрі 3. Яғни, сол жақтан 3-ті аламыз.

543-ті 4-ке бөлеміз. 543=4x135+3. Яғни, 3 қалдық, жоғарыдан 3-ті аламыз. Сәйкес жол мен бағанның қиылысуы 7-ні береді.

Кестеге қарап тағы не түсінуге болады?

0, 1, 5, 6 цифрлерімен аяқталатын сандардың кез-келген натурал дәрежесі тура сол цифрмен аяқталады.

4, 9 цифрлерімен аяқталатын сандардың натурал дәрежелерінің соңғы цифрі дәреже көрсеткішінің тақ не жұп болғандығымен анықталады.

Мысалы, 27¹⁷санының соңғы цифрын анықтайық

7-нің дәрежелеріне мән береміз, төрт цифр қайталанады. Дәреже көрсеткіші 17-ні 4-ке бөлеміз, сонда 2 қалдық қалады. Демек 7² =49

Жауабы:9

Мысалы, 94¹⁸+76⁶+65⁶ қосындысы қандай санмен аяқталады. Шешуі: 94⁶ саны 6 цифрымен аяқталады, себебі 18:4=4(қалдық2); 76⁶саны 6 санымен аяқталады, себебі 6-ның дәрежелері тек 6-мен. 65⁶саны 5цифры, себебі 5тің

дәрежелері тек 5-пен аяқталады. Олай болса әрбір дәреже қосылғыштың соңғы цифрларын қосайық, сонда 6+6+5=17

Жауабы:7

Дәреженің соңғы цифрын анықтау бөліміне есептер шығару.

№1. 17¹⁷ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады.

7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401.

7 –нің 5-ші дәрежесі 7 – мен аяқталады. Соңғы цифры дәреже көрсеткішті 4- ке бөлгендегі қалдыққа байланысты, жоғарыдағы кестедегідей қалдық 1 болса, дәреже 7 – мен, қалдық 2 болса, дәреже 9-бен, қалдық 3 болса, дәреже 3-пен, қалдық 0болса, дәреже 1-мен аяқталады. Демек, берілген санның соңғы цифр 7.

Жауабы: 7.

№2. 2 ²⁵ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады.

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 =32.

Берілген санның соңғы цифр 2.

Жауабы: 2

№3. 3¹⁰ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Кез келген санның 0 дәрежесі 1-ге тең екенін ескереміз. Берілген санның соңғы цифр 1.

Жауабы: 1

№4. 9¹⁹⁹⁴ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 1.

Жауабы: 1

№5. 2018²⁰¹⁸ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 6.

Жауабы: 6

№6 . 8²⁰⁰³ саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

Шешуі: Санның дәрежесі сол санның соңғы цифрының дәрежесі қандай цифрмен аяқталса, сол цифрмен аяқталады. Берілген санның соңғы цифр 2.

Жауабы: 2

№ 7. Мына қосынды 94⁶ + 76⁶ + 51⁶ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларының қосындысына тең болады. 4 – тің 6 –шы дәрежесі 6 мен аяқталады. 6- ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталады. 1-дің кез келген дәрежесі 1-мен аяқталады. 6+6+1=13. Бұл өрнектің соңғы цифр 3.

Жауабы: 3

№ 8. Мына қосынды 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларының қосындысына тең болады. 1-дің кез келген дәрежесі 1-мен аяқталады, 2 – нің 12 –ші дәрежесі 6 - мен аяқталады. 3- тің 13- ші дәрежесі 3-пен аяқталады. . 1 + 6+3=10. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.

Жауабы: 0

№ 9. Мына қосынды 2005⁶ + 2006⁶ + 2007⁶ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларының қосындысына тең болады. 5- тің кез келген дәрежесі 5 -пен аяқталады, 6 -ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталатынын ескерсек, 7- нің 6- шы дәрежесі 9-бен аяқталады. 5 + 6+9=20. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.

Жауабы: 0

№10 . Мына қосынды 555¹ + 55³ + 5² қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларының қосындысына тең болады. 5- тің кез келген дәрежесі 5 -пен аяқталады, 6 - ның кез келген дәрежесі 6-мен аяқталатынын ескерсек, 7- нің 6- шы дәрежесі 9-бен аяқталады. 5 + 6+9=20. Бұл өрнектің соңғы цифр 0.

Жауабы: 0

№ 11. Мына қосынды 19⁷⁹ − 18⁷⁹ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Айырманың соңғы цифры азайғыш пен азайтқыштың соңғы цифрларының айырымына тең болады. Бұл өрнектің соңғы цифр 7.

Жауабы: 7

3. Сиқырлы фигуралар.

Берілген есептер қандайда бір фигуралармен беріледі. Есептерді қасиеттеріне сүйене отырып шешеді.

Мысалы,

Бірінші фигурадағы заңдылыққа назар аударамыз. 7 +6 =13, 13 • 2 = 26

Дәл сол сияқты екінші фигурадағы заңдылық, 12 +13 =27, 27 • 2 = 54.

Ендеше, 2+ 6 = 8, 8 • 2 = 16, К = 8, L = 2. K + 2L = 8 +2•2 = 12.

Жауабы: 12.

Мысалы,

Заңыдылықты тауып алаымыз, 6 + 5+ 9 = 20,

С + 9 + 4 = 20, С= 7, В + 5 + 9 = 20, В = 6 , А + 6 +7= 20 , А = 7.

D + 6 + 7 = 20 , D = 7. Ендеше, А + В + D = 7 + 6 + 7 = 20.

Жауабы: 20

Мысалы, сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.

Төртбұрыш ішіндегі сан – үшбұрыш қабырғаларындағы сандар қосындысының квадратына тең.

3+4+5 = 12, 12 ² = 144, 2+3+4 = 9, 9² = 81, 1+3+2=6, 6² =36.

Жауаыбы: 2

Біздің көбіміз "домино" ойынымен таныспыз. Бұл ойынды екі шаршыдан тұратын тастармен ойнайды. Әрбір тастың бір шаршысында 0-ден 6-ға дейін нүктелер болады.

1953 жылы АҚШ математик-инженері, Оңтүстік Калифорния университетінің профессоры Соломон Голомб математикалық «полимино» ойынын ойлап тапқан. Кейін ресей бағдарламалаушысы Алексей Пажитнов осы ойын негізінде әйгілі «Тетрис» атты компьютерлік ойынын құраған.

Соломон Голомб ойлап тапқан полимино ойынының мағынасы мынадай: Полимино – бұл белгілі шаршылар санының бір объектіге бірігуінен құралған геометриялық фигура. Полимино ойынына негізделген көптеген логикалық басқатырғыш есептер бар.

Біз полиминоның бірнеше мысалдарын көрсетейік:

Мономино Домино Тримино Тетромино Пентомино Гексомино

Мұндағы мономино тек бір ғана шаршы, ал доминоны тек бір ғана түрде құрай аламыз. Тура осылайша троминоны екі түрде құрап бере аламыз:

Сиқырлы фигуралар бөліміне есептер шығару.

-		=
+	2	=
•	3	=	15
+		-		= ?

№1. Сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қой.

Шешуі: Үшінші теңдіктен шеңбер 15: 3=5 шығады, екінші теңдіктен квадрат 5-2=3, ал біріншіден үшбұрыш екі квадратқа тең екенін көреміз. 2•3=6.

Ендеше, + - = 6+3-5= 4.

Жауабы: 4.

8	5	3	2
13	7
18	13	5
28	16

№2. Бос ұяшыққа сай келетін сандарды анықтаңыз.

Шешуі: Кестегі әрбір жолдағы ұяшықтар сандар арасындағы байланысты тапсақ, үшінші бағандағы сан сәйкес жолдың бірінші және екінші жол

бағанындағы сандар айырмасы, ал төртінші бағандағы 2 саны 5 пен 3- тің айырмасы, онда екінші жол сандары: 13-7=6, 7- 6 = 1.

Үшінші жол сандары: 13-5 = 8.

Төртінші жол сандары: 28 – 16 =12, 16- 12 =4

Жауабы: 6, 1, 8, 12, 4.

№3 Заңдылықты анықтап, сұрақ белгісінің орнына тиісті санды қойыңыз.

2 3 4

Шешуі: Шеңбердің ішіндегі сан – ұшбұрыш қабырғаларының сандарының қосындысының кубына тең: (1+2+3)³ = 6³ = 216

(2+3+4)³ = 9³ =729, онда ( 3+4+5)³ =7083.

Жауабы: 7083

№4. Квадраттың торларына натурал сандар әр жолдағы, әр бағандағы және әр диагональдағы сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп жазылған. Кейбір сандар өшіріліп тасталды. х-тің орнына қандай сан

тік үштік троминоны алайық және оған бір шаршыны әр түрлі жолдармен

қосайық:

Сонымен, әзірше біз әр түрлі 3 тетрамино алдық.

Бұдан басқа жолдармен тік триминоға шаршы қосатын болсақ, онда осы үшеуінің біреуі қайталанған болып табылады.

Енді бұрыштық триминоны алайық та, оған бір шаршы қосу жолдарын қарастырайық. Бұл арқылы біз тағы да төрт тетромино ала алады екенбіз:

Бірақ та, бұлардың екіншісі мен төртіншісі бізде алдында табылған екеулерін қайталап тұр. Сондықтан біз жаңа 2 тетромино алдық деп есептейміз. Нәтижесінде барлығы бес тетромино тауып көрсете алдық:

Жауабы:

№7. Суретте берілген фигураларды пентамино фигураларымен құрап беріңдер. Әр есепте неше шешімнен бар?

Жауабы:

Торкөз дәптерде фигураларды кесуге берілетін есептер.

Бізге шаршы торларға бөлінген фигураны қандай да бір шартпен бөліктерге бөлу сұралады.

№8. Берілген фигураны торлардың шекаралары бойымен теңдей: а) екі бөлікке; ә) үш бөлікке бөлуді орындаңдар.

Жауабы: а) ә)

№9. Суретте бейнеленген фигураны торлардың сызықтары бойларымен теңдей етіп екі бөлікке бөліңдер. Бөліктердің әрбірінде бір дөңгелектен болатын болсын.

Жауабы:

№10. Ортасы тесік, өлшемі 5×5 шаршыны теңдей екі бөлікке бөлудің екі әдісін көрсетіңдер. Шаршы тең екіге бөліп кесуді түрлі әдістермен орындалды деп санауға болады, егер де шаршыны бір әдіспен кесудегі алынған фигуралар мен екінші кесудегі алынған фигуралар бір-бірінен формалары бойынша да, бөліктерінің өлшемдері бойынша да ерекшеленетін болса.Жауабы:

4. Сандар және оның қасиеттері

Сандардың қасиеттеріне сүйене отырып, қандайда бір заңдылықтарды анықтауға арналған есептер.

Мысалы, 5...4...6...3 сандарының арасына «+», «•», «-« амалдары бір рет қана қолданылып қойылды. Өрнектің нәтижесі болмайтын санды тап.

Шешуі: Берілген амалдардың орындарын ауыстырып, өрнекті есептейміз:

1) 5+4 *6-3=26 2) 5+4 -6*3= -9, 3) 5-4 *6+3=-16, 4) 5-4+6*3=19

5) 5*4 +6 -3=23 6) 5*4 -6+3=17.

Алынған нәтижелерді жауаптарымен салыстырғанда жауабындағы 21 саны есептеуде жоқ.

Жауабы: 21

Мысалы, математиканы жақсы көретін Әсет алғашқы 202 жай сандарды көбейтті. Көбейтінді неше нөлмен аяқталады?

Шешуі: 5 пен 2-ні көбейткенде соңғы цифры 0 болады, сондықтан көбейткіштерді көбейткенде көбейтіндінің соңындағы 0-дер саны көбейткіштерді жай көбейткіштерге жіктегендегі 5 және 2 цифрының санына тең болады. Жай сандар арасында 5 және 2 бар. Бір ғана 5 және 2 бар, онда көбейтінді 1 нөлмен аяқталады.

Жауабы: 1 нөл

Мысалы, ребустағы әріптердің орнына тиісті цифрларды тауып, Ғ+Е-D өрнегінің мәнін тап.

1.4. Сандар және оның қасиеттері бөліміне есептер шығару

№1. 13957* саны 3-ке қалдықсыз бөлінуі үшін жұлдызшаның орынына қоюға болатын цифрлардың қосындысын тап.

Шешуі: Сан 3-ке бөлінуі үшін, цифрларының қосындысы 3-ке бөлінуі керек. Цифрларының қосындысын табайық: 1+3+9+5+7+ * =25+*. 25+2=27 саны 3-ке бөлінеді. 25+5=30 саны 3-ке бөлінеді. 25+8=33 саны 3-

ке бөлінеді. 2, 5, 8 цифрларын * орнына қойғанда сан 25+2=27 саны 3-ке

бөлінеді. 2+ 5+ 8= 15.

Жауаыбы: 15.

№2. 1249007* жұлдызшаның орнына қандай цифрды қойғанда пайда болған сан 9-ға қалдықсыз бөлінетін болады?

Шешуі: Сан 9-ға бөлінуі үшін қосындысы 9-ға бөлінуі керек.

Цифрларының қосындысын табайық: 1+2+4+9+0+0+7+*=23+*. 23+4=27 саны 9-ға бөлінеді. *=4

Жауабы: 4.

№3. 140835* саны 12-ге қалдықсыз бөлінуі үшін жұлдызшаның орнына қоюға болатын цифрлардың қосындысын тап.

Шешуі: Сан 12-ге бөлінуі үшін 4-ге де, 3-ке де бөлінуі керек. Сан 3-ке бөлінуі үшін, цифрларының қосындысы 3-ке бөлінуі керек. Сан 4-ке бөлінуі үшін соңғы екі цифры нөлдер немесе соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінуі керек. Санның соңғы екі цифрынан құралған сан 5* . Бұл екі таңбалы сан 4-ке бөлінуі үшін * не 2, не 6 болуы керек. Цифрларының қосындысын табайық: 1+4+0+8+3+5+* = 21+* . 21+2=23 саны 3-ке бөлінбейді.

Жауабы: 6

№4. Үш таңбалы сан 4-ке аяқталады. Егер осы санның соңғы цифры санның басына ауыстырылса, онда пайда болған сан алғашқы саннан 180-ге кем болады. Үш таңбалы санды тап .

Шешуі: Үш таңбалы сан ав4 түрінде болсын. Сонда соңғы цифыыыырыды басына ауыстырғанда, 4ав. Теңдеу құрамыз:

ав4- 4ав=180, 100а +10в+4 – 400 -10а –в = 180, 90а +9в=576, 10а+в=64, ав =

64. Ізделінді сан: 64.

Жауабы: 64.

№5. 1,2,3,4,5,6 және 9 цифрларынан, бірі екіншісінен 5 есе үлкен болатындай екі үш таңбалы сан құрастыр. Осы екі санның қосындысын тап.

Шешуі. Цифрлардың арасында үш жұп, үш тақ сан бар. Есеп шарты бойынша бір үштаңбалы санды 5-ке көбейткенде екінші үш таңбалы санды алуымыз керек. 5-ті жұп санға көбейтсек, соңғы цифры 0, бізде 0 жоқ. Онда тақ санды 5-ке көбейтеміз. Екінші санның үшінші цифры 5, ал бірінші санның үшінші цифры 9 болсын, бірінші санның бірінші цифры 1 болу керек, санды 5-ке көбейткенде үш таңбалы сан болуы үшін, екінші цифры 2 болады. 129*5=645, 129+645=774.

Жауабы: 774.

№6. Кітаптің бетңн нөмерлеу үшін 157 цифр қолданылған болса, кітап неше беттен тұрады?

Шешуі: Кітаптың бетін нөмерлеуге N цифр қолданылса, 9 < N ≤ 189

болса, онда кітап беттерінің саны n : n = ^?−9 + 9 не n = ^?+9 формуласымен

1.4. Геометриялық мағанадағы есептер

Геометриялық есептерге оқушылардың оқу бағдарламасына сәйкес фигураның ауданы, периметріне байланысты және қабырғаларына байланысты, санның қасиетін негізге ала отырылып есептер берілгеді.

Мысалы, суреттегі үйдің жоспарын пайдаланып, осы үйдің жалпы ауданын анықтаңыз.

Ұзындығы : 3,5 + 2 + 4 =9.5. Ені 3+5=8 м. Одан аудан ұзындығы мен енінің көбейтіндісіне тең. S = 9,5 * 8 = 76 м².

Жауабы: 76 м².

Мысалы, әткеншекте ұзындығы 340 см иінінде қыз отыр, ал ұзындығы 170 см иінінде ұл отыр. Егер ұл 0,8 м көтерілсе, онда қыз неше метрге төмен түседі.

Шешуі:

Иіннің ұзындығы мен көтерілу биіктігі тура пропорционал шамалар,

Геометриялық мағанадағы есептерді шығару.

№ 1. Сұрақ белгісінің орнында бола алатын санды табыңыз.

Шешуі: а = 5, с =2, в = 3 , авс – (а+в+с) = 5*2*3 – (5+2+3)= 30 – 10 = 20

Жауабы: 20

№ 2 Суреттегі берілгендер бойынша сұрақтың орнына қойылатын санды табыңыз.

Шешуі: Бірінші суретте жазыыңқы бұрыш. Жазыңқы бұрыш 180 ⁰ – қа тең. 180⁰ * 0,2 = 36⁰.Екінші суретте тік бұрыш, ол 90⁰. Ендеше оның 50% -ы 90⁰ :2 = 45 ⁰.

Жауабы: 45 ⁰.

№3. Ұзындығы 63 м сымның бірнеше метрі қиылып алынды. Сымның қиылып алынған бөлігі, оның қалған бөлігінің жартысынан 3 есе кем. Сымның қиылып алынған бөлігінің ұзындығын анықтаңыз.

Шешуі: Бір жақ бөлігі 9 есе артық екіншісіне, ендеше барлығы 10

№ 5. Сымнан қабырғасы 16 см тең қабырғалы үшбұрыш құрастырылды. Егер осы сымды жазып, одан квадрат жасаса, онда оның ауданын табыңыз.

Шешуі:

Р_үшб. = 16 • 3 = 48 см, 48 : 4 = 12 см

S _кв = 12 ² = 144 см ²

Жауабы: 144 см ²

№ 6.

Көпбұрыш тәрізді алаңның периметрі 112 м, Көпбұрыштың барлық қабырғалары тең, барлық бұрыштары тік болса, оның ауданы неше м² болатынын табыңыз.

Шешуі: Р = 7 • 4 рет • х , 28 х = 112 , х = 4 м. Кішкентай шаршының ауданы S = x ² = 4² = 16 м².

1-4 фигуралар 4 кішкентай шаршылардан тұрады, олардың жалпы ауданы

S = 4 • 4 • 16 = 256 м². 5 – фигура – қабырғасы 4 • 3 = 12 м тең шаршы,

оның ауданы S = 12² = 144 S_көпб = 256 + 144 = 400

Жауабы: 400 м²

№ 7. Суреттегі фигураның боялған бөлігінің ауданы бойынша шаршының қабырғасын тап.

Шешуі: Шаршының ауданы S_кв = 9•4=36 S_кв = а² = а• а=6 • 6 , а = 6 .

Жауабы: 6 см.

6. Күнтізбелік есептер

Алғаш рет әлем бойынша уақытты бір жүйеге келтіріп, сағат бойынша жүруге дағдыланған бұл ежелгі Египет еді. Олар Күннің жүру қозғалысы бойынша уақытты анықтайтын күн сағатты шығарды. Бұл біздің заманымызға дейінгі 1500 жылдар. Сол уақыттан бері сағаттың айналу бағыты өзгермеді: солдан оңға қарай.

Мақсаты: Оқушылардың күнтізбе есептерін шығару дағдылары дамды.

Негізгі мақсаты:

-Логикалық ойлау қабілеттері дамиды;

-Пәнге қызығушылықтары дамиды.

Мысалы, Үсен айтады, мен алдыңғы күні 10 жаста болдым, ал келесі жылы мен 13-ке толамын. Ондай болу мүмкін бе?

Жауабы: Үсен 1 қантарда айтқан, оның туған күні 31 желтоқсанда және ол 11 жасқа келді. Келесі жылы ол 13 жасқа келеді, себебі осы жылы ол 12 жасқа келеді.

Мысалы, қантар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20- сы аптаның қандай күні болды?

Жауабы: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.

Мысалы, Қайсібір айда үш жұма жұп күндер болады. Осы айдың 4-і аптаның қай күні болады?

Шешуі: Бір айда жұма күндер бестен көп емес бірақ, төрттен кем емес. Тақ және жұп күндерге келетін жұма аптада жеті күн болғандықтан кезекпен келіп отырады. Біздің жағдайда, төрт жұма болмады, себебі, жұп күнге келетін жұма екеу. Ендеше бес жұма күн және олардың үшеуі бірінші, үшінші және бесіншісі жұп күнге келеді. Бірінші жұма күн айдың 2-сінен ерте 30- нан кеш болуы болуы мүмкін емес. Ендеше, екі жұп жұма болса, ол айдың 2-сі жұма болса, 4- і жексенбі болады.

Жауабы: жексенбі.

Мысалы, кейбір айда үш бейсенбі жұп күндері болады. Осы айдың 26- шы жұлдызы аптаның қай күніне сәйкес келеді ?

Бұл есептің де шешілу тәсілі жоғарыдағыдай әдіспен шешіледі.

1. Бүгін жексенбі. 45 күннен кейін аптаның қай күні болады?

Шешуі: Заңдылыққа сүйене отырып, бір айда неше күн барын есептей отырып, 45 күннен кейін аптаның қай күні болатыны табылады.

45 = 7*6 + 3 = 42+3

7	1	2	3	4	5	6
Жс	Дс	Се	Ср	Бс	Жм	Сн
42	43	44	45

Жауабы: Сәрсенбі болады.

Күнтізбелік есептерді шығару.

1. 2012 жылы ақпан айында 29 күн болды. Мұндай құбылыс 4 жылда бір рет болатыны белгілі. 2001 жыл мен 2065 жыл аралығында осындай қанша жыл болады?

Шешуі: 2001 бұндай жыл болмайды. 2008-4=2004. Жылдардың жалпы санын табамыз: 2065-2004=61, осы жылдар санын 4-ке бөлеміз. Неше рет төрттен алатынымызды анықтаймыз . 61/4=15 қалдықпен бөлінеді, бірақ біз 2065 ден азайтқанда 2004 жылды санамаймыз, сондықтан 15+1=16.

Жауабы: 16.

2. Сағат тәулік сайын 6 минутқа қалып қояды. Неше тәуліктен кейін сағат дәл уақытты көрсетеді?

Шешуі: Сағаттың стрелкасы нақты уақытты 12 сағатқа қалғанда көрсетеді.

12 сағат = 12*60 = 720 минут.

Егер бір тәулікте 6 мин. Қалып отырса, онда 720/6 = 120 тәулік.

Егер сағат ай- күн көрсетпейтін электронды сағат болса, онда сағат 24 сағатқа қалу керек. Бұл 120*2 = 240 тәулікте болады.

Егер сағат ай-күнді көрсетсе, онда олар ешқашан уақытты дұрыс көрсетпейді. Яғни минутқа емес, онда күнге қалатын болады.

Жауабы: 240 тәулікте ( егер электрондық сағат болса, күнге қалатын болады)

3. Сағат тәулік сайын 3 минутқа қалып қояды. Неше тәуліктен кейін сағат дәл уақытты көрсетеді.

Шешуі: Сағаттың стрелкасы нақты уақытты 12 сағатқа қалғанда көрсетеді.

12 сағат = 12*60 = 720 минут.

Егер бір тәулікте 3 мин. Қалып отырса, онда 720/3 = 240 тәулік.

Егер сағат ай- күн көрсетпейтін электронды сағат болса, онда сағат 24 сағатқа қалу керек. Бұл 240*2 = 480 тәулікте болады.

Егер сағат ай-күнді көрсетсе, онда олар ешқашан уақытты дұрыс көрсетпейді. Яғни минутқа емес, онда күнге қалатын болады.

Жауабы: 480 тәулікте ( егер электрондық сағат болса, күнге қалатын болады)

4. Сәуір айында үш жұма тақ күндерге сәйкес келетін болса, сәуірдің 25-і аптаның қай күніне сәйкес келеді?

Шешуі: Сәуірде 30 күн бар. 1- ші сәуір жұма болса, онда жұма күндері 1, 8, 15, 22, 29 сәуір болады.Үш жұма тақ күндері. 25-сәуір аптаның дүйсенбісі болады.

Жауабы: сәуірдің 25-і дүйсенбі.

5. Саяхатшы моторлы қайықпен дүйсенбі күні сағат 12-де өз саяхатын бастады да, 100 сағат саяхаттап қайта оралды. Саяхатшының қайтып келген күнін және уақытын анықтаңыз.

Шешуі: Бір тәулікте 24 сағат бар, 100 сағат 4 тәулік және 4 сағат, онда саяхатшы дүйсенбі +4 тәулік, демек жұма күні, 12+4=16 сағатта.

Жауабы: 16 сағатта.

6. Егер бүгін сәрсенбі болса, 340 күн бұрын қандай күн болған?

Шешуі: 340 – ты 7-ге бөлеміз, сонда 340: 7=48 ( қалдық 4) , қалдық 4- ке тең. Онда сәрсенбіден кейін төртінші күн, немесе сәрсенбінің алдындағы 3 күн бұрыңғы күн, жексенбі болады.

Жауабы: жексенбі .

7. Осы жылы Қанаттың туған күні қандай да бір аптаның сейсенбі күніне келіп тұр. Ал Мараттың туған туған күні Қанаттың туған күнінен кейін 52- ші күн болса, Мараттың туған күні аптаның қай күніне келетінін анықтаңыз.

Шешуі: Бір аптада 7 күн бар, 52-ні 7-ге бөліп, қалдығын табамыз. 52:7=7 (3 қалдық), онда Қанаттың туған күні аптадағы Мараттың туған күнінен кейінгі 3-ші күн. Демек, жұма.

Жауабы: Жұма

. 8. Қантар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20-сы аптаның қандай күні болды?

Шешуі: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.

Жауабы: Жексенбі

6. Сәйкестендірулер мен салыстырулар

Мақсаты: Оқушылардың сәйкестендіру мен салыстыруларға байланысты есептерді шығару дағдылары дамиды. Логикалық ойлау қабілеттері дамып, пәнге қызығушылықтары артады.

Бұл бөлімде есептер нақты бір логикалық амалдарға қатысты беріледі.

Мысалы, х – беске бөлгенде бөліндісі жай сан болатын ең үлкен оң екі таңбалы санның цифрларынң қосындысы

А бағаны	В бағаны
х	95

Шешуі: х саны 95-ке тең, себебі оны 5-ке бөлгенде бөліндісі 19 – жай сан. 95 санының цифрларының қосындысы

А= 9+5=14. В – А = 95 – 14 = 81. Бұдан А = В -81

Жауабы: А = В -81

Мысалы,

А	В
20 санының бөлгіштерінің саны	20 санының 130 санынан кіші еселіктерінің саны

Шешуі: 20 санының бөлгіштері: 1, 2, 4,5,10,20. Бөлгіштер саны А=6. 20

санының 130 дан кіші еселіктері : 20, 40, 60, 80, 100, 120. Еселіктер саны В =6. Онда А = В

Жауабы: А = В

Мысалы, Әсем пойыздың басынан есептегенде жетінші вагонға отырды. Мадина пойыздың соңынан есептегенде жетінші вагонға отырды. Сонда қыздар бір вагонда болды. Пойызда неше вагон бар?

Шешуі: Вагондардың саны 13. Өйткені, пойыздың басынан санағанда, 7 вагонға дейін 6 вагон, соңынан санағанда 6 вагон және оған олар кездескен

1 вагонды қосамыз. Сонда 13 вагон.

Жауабы: 13 вагон.

7. Сәйкестендірулер мен салыстырулар тақырыбына есептер шығару.

1. Сымды 18 бірдей бөлікке бөлді. Егер сымды 12 бірдей бөлікке бөлетін болса, онда бөліктің ұзындығы 8 см-ге артады. Сымның ұзындығын анықтаңыз.

Шешуі:

L - сымның жалпы ұзындығы;

L_жалпы = 18х, сонымен қатар, L_жалпы=(х + 8)*12 теңестірсек; 18 х= (х + 8)*12, 18х=12х + 96, 6х= 96, х= 16 см.

Сымның жалпы ұзынды 18*26=288 см, тексерейік, 16 + 8=24; 24*12=288см.

Жауабы: 288см.

2. Егер m станок тапсырманы p сағатта орындай алатын болса, онда сол тапсырманы m+2 станок қанша сағатта орындай алады?

Шешуі:

Бір жұмысшы жұмыстың кейбір бөлігін бір сағатта орындасын. Онда ол р сағатта р · х уақытта орындайды. Бірақ, m жұмысшы бір уақытта жұмыс істеген соң ( жұмыс өнімділігі бірдей деп пайымдалады), p*m*x. Мұның бәрі болсын, яғни, қандай да бір жұмысты орындау керек.

Егер m жұмысшының орынына (m+2) жұмысшы жұмыс істейтін болса, онда олар сол жұмысты бір сағатта істейді, яғни p1*(m+2)*x.

Келесі теңдеуді аламыз . p1*(m+2)*x = p*m*x, бұдан,

? ∙ ?

Жауабы: 9.

3. 5-ке бөлінетін үш таңбалы сан нешеу?

Шешуі: Барлық үш таңбалы сандар 999-99=900. Үш таңбалы санның соңындағы сандардың теңдігі принципін енгіземіз яғни бөлінгіштік қасиеті. Бізде 10 цифр. Ендеше, 900:10=90 бір нақты санға аяқталады 0 және 5 ке аяқталатын сандар 90*2=180.

Жауабы: 180.

3. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.

Шешуі: екенін ескерсек, фигурада, сондай 8 бөлшек. Ендеше, 8 · 7 = 56.

Жауабы: 56.

3. Көкшетау сөзіне төмендегі жауаптардың қойсысы сәйкес келеді? 28426037; 58134629; 03736948; 19541376; 37364850

Шешуі: Сөздегі әріптердің санына және олардың орналасы тәртібіне назар аударамыз. Сандардың орналасуымен, ретіне қарасақ, бірінші және үшінші цифр бірдей болады. Сөзде 8 әріп. Онда цифрлардың да саны 8.

37364850.

Жауабы: 37364850

5. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз.

Шешуі:

Бірінші және екінші бағаннан 6 : 2 + 3 = 5, 9 : 3 + 4 =7, олай болса,

21 : 3 + 2 = 9 .

Жауабы: 9.

5. Шеңбердегі сандардың жазылу заңдылығын анықтап, 3х+у тің мәнін табыңыз?

Шешуі:

Шеңбердегі секторларда жазылған сандардың орналасу заңдылықтарын анықтаймыз. Бұл заңдылықтан, қарама – қарсы секторлардағы сандардың 3 ⁴ = 81, 4⁴ =256, у⁴ = 16, у = 2.

х + у = 625, х + 2 = 625, х = 623 заңдылықтары анықталды. Олай болса, 3х+у = 3 · 623 + 2 = 1869 + 2 = 1871.

Жауабы: 1871.

5. Төменде берілген фигуралар тізбегіндегі 24-ші орында қандай фигура тұрғанын анықтаңыз

Шешуі: Фигуралардың орналасқан реті бойынша заңдылықтарды анықтаймыз. Яғни нешінші орналасқан фигудан кейін, фигуралардың орналасу ретінің қайталанатыны. Біздің жағдайда, 5 түрлі фигура, олар 6-шы орыннан бастап сол орналасуды сақтап, қайталанады. Осы рет сақталып, олар 4 рет қайталанып, 5 рет қайталанғанда 24-ші орында,

фигура орналасқан.

Жауабы:

5. Толқын және оның ата-анасы, бәрі бір күнде, 1 қаңтар күні туылған. 2015 жылдың қаңтарында Толқын анасынан 6 есе кіші болды, ал 2016 жылдың қаңтарында әкесінен 6 есе кіші болды. Әкесі анасынан неше жас үлкен екенін анықтаңыз

Шешуі: t,m,p t+1,m+1,p+1

׀ ׀

2015 2016

6t=m , 6(t+1)=p+1, 6t+6=p+1, m+6=p+1, p=m+5

Жауабы:5

5. Астана қаласына қыдырып келген Әмір төмендегі кестені пайдаланып, екі күнге автомобильді жалға алу үшін ең тиімдісін (арзанын) есептеп алды. Егер Әмір күніне 100 км жүрген болса, онда қанша ақша төлегенін анықтаңыз

Автомобиль тұтынатын жанармай	1 л жанармайдың бағасы (теңгемен)	Әр 100 километрге жұмсалатын жанармай (литрмен)	1 тәулікке жалға алу бағасы (теңгемен)
Дизель	108	5	19500
Бензин	125	11	18500
Газ	55	16	19000

Шешуі:

5*108+19500=540+19500=20040, 11*125+18500=137+18500=19875

16*55+19000=19880, 19875*2=39750

Жауабы: 39750

5. Марат және Жанат кітап сатып алғылары келді. Маратқа 70 теңге керек, ал Жанатқа - 10 теңге керек.Олар кітапты бірігіп сатып алмақшы болды, бірақ ақшаларын қосқанда да жетпеді. Кітаптың бағасы бүтін сан болса, оның бағасын табыңыз.

Шешуі: 1.K=m+70 2.m+70=k, K=j+10 m<0,

m+j<k, 2k=m+j+80<k+80, 70≤k<80

Жауабы:70

7. Диаграмма,график және кестелер байланысты есептер

Диаграмма дегеніміз – кестедегі мәліметтің графикалық түрде көрсетілуі. Олай болса, диагармма немесе график бойынша берілген есептерді

шығаруда, алдымен заңдылықтарын анықтап алған жөн.Кез келген есепте, математикалық заңдылық жасырылғанын ескерген жөн.

Мысалы, кестеде әр жылдардағы Шкода және Шевролет автомобильдерінің бағаларының графигі берілген. Тік осьте көліктің бағасы, көлденең осьте жылдар көрсетілген. Жыл бойы екі автомобильдің де бағалары 4000000-нан кем емес болған жылдарды көрсетіңіз.

Шешуі: Берілген графиктергі мәліметтерді салыстыра отырып, жыл бойы екі автомобильдің де бағалары 4000000-нан кем емес болған жылдарды анықтауға болады. Ол екеуіде 2009ж.

Жауабы: 2009ж.

Мысалы, ойыншықтар дүкеніндегі әр түрлі үстел үстіндегі ойын түрлерінің бағалары келесі 14-кестесінде көрсетілген.

Ойыншық түрлері	А	В	С	D	E	F	G
Бағалары (теңге)	1130	1500	1030	920	850	4100	3250

1-сұрақ. Бағасы 1500 теңгеден аспайтын ойыншық түрлері санын табыңдар. 2-сұрақ. Әкесі кішкентай қызына екі әр түрлі ойындар сатып алды, оған ол 2500 теңгеден кем ақша жұмсады. Мұнда сауданың нұсқалары санын табыңдар.

Шешуі:

1. Сұрақтарға жауап бері үшін кестедегі мәліметтерге сүйенеміз.

Бағасы 1500 теңгеден аспайтын ойыншық түрлері саны - 5 олар, А, В, С, D, E.

2. Бағасы 2500 теңгеден кем тұратын ойыншықтардын нұсқасын таңдаймыз.

А мен С, 1130 + 1030 = 2160, А мен D, 1130 + 920 = 2050,

А мен E, 1130 + 850 = 1980, B мен D, 1500 + 920 = 2450,

B мен E, 1500 + 850 = 2350.

Жауабы: 1) 5 олар, А, В, С, D, E.

2) А мен С , А мен D , А мен E, B мен D, B мен E.

Мысалы, А пунктінен В пункітне шыққан жаяу адамның қозғалысы бейнеленген график берілген. Жаяу адам сағатына неше километр жүрді?

Шешуі: Графикте 15 минутта 1 км жүретінін байқаймыз, онда 60 минутта немесе 1 сағатта 4 км жүреді.

Жауабы: 4 км

Мысалы, халықаралық жарыста спортшылардың спортты 4 түрі бойынша жетістіктері 2:3:2:5 қатынасындай. Көрсеткіштердің қатынасын тура көрсететін диаграмманы ұсынылған диаграмманы таңдаңыз.

Шешуі: Қатынастардың қосындысы 2+3+2+5=12. Екеуі теңдей бөлінген. Диаграммаларға мұқият қарасақ, сәйкес келетін 3-ші диаграмма. 1) –де бір спорт түрінде жартысынан көбі сәйкес келіп тұр. Олай болмайды, себе қатынаста 6- дан үлкен сан жоқ 2) –де және 4)-те төрт түрлі бөлікке бөлінген.

Жауабы: 3 – диаграмма.

8. Диаграмма,график және кестелер байланысты есептер шығару

№1. Суретте уақытқа тәуелді екі азық - түлік дүкеніндегі сатып алушылардың саны көрсетілген. Екі дүкенде қосындысы ең үлкен болатын қанша сатып алуыш болды?

Шешуі: Тігінен сатып алушылар, екі тор көз 50- ге тең, ал бір тор көз 50 : 2=25- ке тең. График бойынша ең көп сатып алушылар екі дүкенде де сағат 18-де болған. 1-ші дүкенде 150, ал 2-ші дүкенде 175. Онда қосындысы 150 + 175 = 325.

Жауабы: 325

№2. Суретте уақытқа тәуелді екі азық - түлік дүкеніндегі сатып алушылардың саны көрсетілген. Қандай уақытта дүкендерде ең көп сатып алушылар болды? Осы уақыттағы сатып алушылардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: Тігінен сатып алушылар , бір тор көз 20- ға тең. График бойынша ең көп сатып алушылар екі дүкенде де сағат 18-де болған, 1-ші дүкенде 120, 2-ші дүкенде 140. Онда қосындысы 120+140=260.

Жауабы: 260.

№3. Жұманның дене температурасы сағат 6-дан 20-ға дейін көрсетілгендей өзгерген. Сағат 12-ден 16-ға дейін аралықтағы ең үлкен температураны көрсетіңіз.

Шешуі: Тігінен температура, көлденеңінен уақыт. График бойынша сағат 12-ден 16-ға дейін аралықтағы ең үлкен температураны табу үшін осы аралықтағы графиктің максимумын табамыз, ол 37^оС.

Жауабы : 37^оС.

№4. Суретте үш тәулік бойғы ауа температурасының өзгерісі берілген. Суретте 21 маусым күнгі еі үлкен және ең кіші температураның айырмасын табыңдар.

Шешуі: Тігінен температура, көлденеғңнен уақыт. 21 маусым күнгі уақыт пен температураны сәйкестендіреміз. Графикте осы күнгі ең кіші температура 7^оС, ал ең үлкен иемпература 25^оС. Олардың айырмасы 25^оС - 7^оС = 18^оС.

Жауабы: 18^оС.

№5. Графикте үш тәуліктегі Аққұм елді мекеніндегі ауа температурасының қалай өзгеретіні көрсетілген. Осы үш тәулікте ауа температурасының ең үлкен және ең кіші мәндерінің айырымын тап.

Шешуі: Тігінен температура, көлденеңінен тәулік. Үш тәуліктегі ең кіші температура -1^оС, ал ең үлкен температура 2^оС . Олардың айырмасы

2^оС – ( -1^оС ) = 3^О С

Жауабы: 3^ОС

№ 6. Диаграммада радиоға төрт сағаттық бағдарламаға тыңдаушылардың жіберген хабарламалары берілген. Бірінші және төртінші сағатта жіберген хабарламалар қосындысы екінші және үшінші сағаттағы хабарламалар қосындысынан қанша кем?

Шешуі: Тігінен хабарламалар саны, 1тор көз 10 хабарлама, ал көлденеңінен уақыт. Бірінші және төртінші сағатта 50 + 30 = 80, екінші және үшінші сағатта 60+70=130 хабарлама жіберілді. 1-ші және 4-ші сағатта жіберілген хабарламалар 2-ші және 3-ші сағаттағы хабарламалардан 130 -80 = 50 хабарлама аз.

Жауабы: 50 хабарлама аз.

№ 7. Қандай да бір төрт заттың бағасы 200 тг, 600 тг, 300 тг, 500 тг. Заттардың бағаларының қатынасын көрсететін диаграмманы көрсет.

Шешуі: Заттардың бағаларының қатынасын табайық. 200 : 600 : 300 : 500 = 2:6:3:5. Қатынастардың қосындысы 2+ 6+3+5 = 16. 2+ 6=3+5, онда 2; 6 және 3: 5 –ке сәйкес келетін заттар дөңгелек диаграмманы теңдей бөледі.

1) және 3) болмайтыны бірден көрінеді. 4) –те болмайды. Себебі, 3 пен 6- ға сәйкес бөліктер дұрыс емес. Сәйкес келетін диаграмма 2).

Жауабы: 2).

№8 Мұғалім оқушылардың бақылау жұмысының қорытындысын шығарды, нәтижесін диаграммамен кескіндеді. Егер оқушылардың саны 76 болса, төмендегі ұйғарымдардың қайсысы жалған:

1. Оқушылардың төрттен бірінен азы «5» бағасын алды.

2. Бақылау жұмысына оқушылардың төрттен бірінен көбі қатыспады.

3. «4» бағасын шамамен оқушылардың сегізден бірі алды.

4. «3» бағасын шамамен 30 оқушы алды.

Шешуі:

1. Ақиқат, себебі «5» бағасын алған оқушылар дөңгелектің төрттен бірінен аз.

2. Ақиқат емес, себебі, қатыспаған оқушылардың төрттен бірінен аз.

3. Ақиқат емес, себебі, «4» бағасын шамамен оқушылардың сегізден бірінен көбі алды.

4. Ақиқат, себебі, оқушылардың жартысы 76 : 2=38, «3» бағасын алғандар 38- ге жетпейді, бірақ шамамен 30 оқушыдай болады.

Жауабы:

2. Ақиқат емес, себебі, қатыспаған оқушылардың төрттен бірінен аз.

3. Ақиқат емес, себебі, «4» бағасын шамамен оқушылардың сегізден бірінен көбі алды.

№9. Диаграммада мектеп оқушыларының үйірмелерге қатысуы берілген.

Мектепте 1200 оқушы және әрбір оқушы бір үйірмеге қатысады. Төмендегі ұйғарымдардың қайсы жалған ?

1. Оқушылардың төрттен бірі математика және шахмат үйірмелеріне қатысады.

2. Драма және би үйірмесіне 200-дей оқушы қатысады.

3. 900 көп оқушы хор үйірмесіне қатысады.

4. Би үйірмесіне қатысатындар драма үйірмесіне қатысатындардан аз.

Шешуі:

1. Ақиқат, себебі оқушылардың төрттен бірі математика және шахмат ұйірмелеріне қатысады, олар бірге дөңгелектің төрттен бірі.

2. Жалған, себебі драма және би үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің төрттен бірінен көп, яғни 300 - ден көп.

3. Жалған, себеі хор үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің жартысынан аз, демек 600- ден аз.

4. Ақиқат, себебі би үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің төрттен бірінен аз, ал драма үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің төрттен бірі.

Жауабы:

2. Жалған, себебі драма және би үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің төрттен бірінен көп, яғни 300 - ден көп.

3. Жалған, себеі хор үйірмесіне қатысатындар дөңгелектің жартысынан аз, демек 600- ден аз.

8. Кітап беттерін нөмерлеуге арналған есептер

Берілген есептердің шарты бойынша, қандайда бір заңдылыққа сүйене отырып, шығарылатын есептер.

Мысалы, кітаптың бірінші беті 185, ал соңғы нөмері осы цифрлардан , бірақ басқа ретпен тұратын сан болатын бөлігі түсіп қалған. Түсіп қалған бөлігінде неше бет бар?

Шешуі:

Егер кітаптың түсіп қалған бөлігінің бірінші беті тақ сан болса ,онда соңғы беті 185-тен үлкен жұп сан болады. Демек, түскен бөліктің соңғы беті 518 болады. Түскен беттердің саны : 518 – 185 + 1= 334.

Жауабы: 334.

Мысалы, бір газеттің жалпы бетінің саны 48 және оның ішіндешілердің барлығы тек екі беттік қағаздар. Осы газеттен әрбір екі беттігін алып ашып қарағанда, беттік нөмерлерінің қосындысы қандай да бір тақ санды береді. Ол қандай сан?

Шешуі: Бірінші беті мен соңғы беті сәйкес келеді,немесе 1,2,3,...,23,24 беттеріне сәйкес келетін беттер 48,47,46,...,26,25. Сонда кез келген екі беттігінің нөмерлерінің қосындысы;

1+48 = 2 + 47 = … = 23 + 26 = 24 + 25 =49.

Жауабы: 49.

Мысалы, кітаптың бетін нөмерлеу үшін 157 цифр қолданылыған болса,кітап неше беттен тұрады ?

Шешуі: Кітап беттерін нөмірлеуге N цифр қолданылса , 9 < N ≤ 189болса,

Шешуі: Кітап беттерін нөмірлеуге N цифр қолданылса , 855 < N ≤ 2889

болса, онда кітап беттерінің саны n: n = ^?−189 +99 немесе n = ^?+108

3 3

формуласымен табылады.

N=157. n = ^855+108 = ⁹⁶³ = 321.

3 3

Жауабы: 321.

№ 2. Кітаптың бетін нөмірлеу үшін 3017 цифр қолданылыған болса, кітап неше беттен тұрады?

Шешуі: Кітап беттерін нөмірлеуге N цифр қолданылса , 2889<N≤39990

болса, онда кітап беттерінің саны n: n= ^?−2889 + 999 не n = ^?+1107

4 3

формуласымен табылады.

N=3017. n = ^3017+1107 = ⁴¹²⁴ = 1031.

4 ₄

Жауабы: 1031

№ 3. Кітапта 87 бет бар.Барлық беттерді белгілеп шығу үшін неше цифр қолданылады ?

Шешуі: Кітап беттерінің саны n – үш таңбалы сан болса, онда кітап беттерін нөмірлеуге керекті цифрлар саны N N=2n-9 формуласымен табылады. n = 87 . N = 2 · 87 – 9 = 165.

Жауабы: 165.

№ 4. Кітапта 612 бет бар.Барлық беттерді белгілеп шығу үшін неше цифр қолданылады ?

Шешуі: Кітап беттерінің саны n – үш таңбалы сан болса, онда кітап беттерін нөмірлеуге керекті цифрлар саны N N=2n-9 формуласымен табылады. n = 612 . N = 3 · 612 – 108= 1728.

Жауабы: 1728.

№ 5. Кітапта 1108 бет бар.Барлық беттерді белгілеп шығу үшін неше цифр қолданылады ?

Шешуі: Кітап беттерінің саны n – үш таңбалы сан болса, онда кітап беттерін нөмірлеуге керекті цифрлар саны N N=2n-9 формуласымен табылады. n = 612 . N = 4 · 1108 – 1107 = 4432 – 1107 = 3325.

Жауабы: 3325.

9. Өзбетімен шығаруға арналған есептер.

1. Жылдың қанша айында 5 жұма бар?

Жауабы: 5 ай, егер 1 қантар жұма болса.

2. Жылдың неше айында 30 күн бар?

Жауабы: ақпан айынан басқа барлық айларда

3. Петя айтады, мен алдыңғы күні 10 жаста болдым, ал келесі жылы мен 13-ке толамын. Ондай болу мүмкін бе?

Жауабы: Петя 1 қантарда айтқан, оның туған күні 31 желтоқсанда және ол 11 жасқа келді. Келесі жылы ол 13 жасқа келеді, себебі осы жылы ол 12 жасқа келеді.

4. Қантар айында 4 жұма және 4 дүйсенбі болды. Осы айдың 20-сы аптаның қандай күні болды?

Жауабы: Айдың бірінші күні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.

5. Анасы 47 жаста, ал оның ұлдарының жастары сәйкесінше 10, 12 және15 жаста. Қашан ұлдардың жастарының қосындысы анасының жасына тең болады?

Жауабы: Анасының жасына қуып жету үшін балаларға 10:2 = 5 жыл қажет.)

6. 2 жыл бұрын ағасының жасы нешеде болса, қарындасының жасы сонша есе ағасынан кіші болды. Қарындасы неше жаста?

Жауабы: 2 жыл бұрын қарындасы 1 жаста болған, ал қазіргі уақытта оның жасы 3 жаста.

7. Әкесі 36 жаста, ал ұлы 7 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы ұлының жасынан екі есе артық болады?

Жауабы: Ұлы 29 жасқа кіші әкесінен, 22 жылдан кейін ұлы 29 жасқа келеді. Онда әкесінің жасы 36+22=58 жаста жәнеде ұлының жасынан екі есе артық.

8. Екі жыл бұрын ағасының жасы қарындасының жасынан екі есе артық болды, ал 8 жыл бұрын 5 есе артық. Ағасы неше жаста және қарындасы неше жаста?

Жауабы: Ағасы 18 жаста, қарындасы 10 жаста)

9. 1998 жылы тұған адамның жасы , туған жылдың цифрларының қосындысына тең. Ол неше жаста?

Жауабы: 18 жаста.

10. Қандай сағат тәулігінде екі рет қана дұрыс уақыт көрсетеді?

Жауабы: Тұрған сағат.

11. Анасы мен қызының қосылған жасы –28. Анасы қызынан 22 жасқа үлкен. Қызы неше жаста?

Жауабы: 3 жаста.

12. Тәулігінді неше рет сағаттың сағаттық және минуттік тілі бұрыш жасайды? Жауабы: 44.

13. Жанұяда 6 бала. Бесеуінің жастары кішісінен сәйкесінше 2,6,8,12 және 14 жасқа үлкен. Әр баланың жасы – жай сан. Кішісі неше жаста?

Жауабы: 5 жаста.

14. 2⁹ + 2⁹⁹ саны 100-ге бөлінетінің дәлелдеңдер.

Жауабы: 2⁹ + 2⁹⁹ = 2⁹(2⁹⁰ + 1) = 2⁹(1024⁹ + 1). Бірінші көбейткіш 4-ке бөлінеді, ал екінші 1024+1=1025 болғандықтан 25-ке бөлінеді сондықтан 2⁹ + 2⁹⁹ өрнегі де 100-ге бөлінеді.

15. Цифрлары әр түрлі болатын және 2,5,9,11-ге бөлінетін ең үлкен төрт таңбалы санды табыңдар.

Жауабы: 8910.

2. ПРОЦЕНТ ЖӘНЕ ПРОПОРЦИЯ

Мақсаты: Процент және пропорцияға берілген есептерді шығаруға жетелей отырып, математикалық сауаттылық есептерін шығару.

Мысалы, медицина орталығындағы 800 дәрігердің 45%-ы жоғары санатты. Медицина орталығында неше жоғары санатты дәрігер жұмыс жасайды?

Шешуі:

45% = 0,45. 800 · 0,45 =.

Жауабы: 360 - жоғары санатты дәрігерлер

Мысалы, медицина орталығында 800 дәрігердің 344-і жоғарғы санаттағы дәрігер. Медицина орталығындағы дәрігерлердің неше проценті жоғарғы санаттағы дәрігер?

№1. Айдар банкке депозитке 80 000 теңге жылдық 12% үстемемен ақша салды. Екі жылдан кейін депозитте Айдардың қанша ақшасы болады?

Шешуі: Екі аяқ киім жеңілдіксіз 50 000 тг. Онда 20% жеңілдікпен төлем сомасы: 50000 * 0,8 =40 000 тг.

Жауабы: 40 000 тг.

№6. Телефон үшін абоненттік төлем ай сайын 1100 тг. Келесі жылы ол 15%-ке көтеріледі. Келесі жылы абоненттік төлем үшін қанша теңге төлейді?

Шешуі: 1100 теңгенің 15%-ын тауып, 1100-ге қосамыз немесе 1100- ді 15-ке көбейтеміз.

1100*0,15+1100 = 165 + 1100 = 1265 тг.

Жауабы: 1265 тг.

№7. Темір жол билеті ересек адамдар үшін 2500 тг. Оқушы үшін билет бағасы ересек адамның билет бағасының 50%-і. Топ 15 оқушыдан және 3 ересек адамнан тұрады. Барлық топтағы адамдардың билеті қанша тұрады?

Шешуі: Оқушы үшін билет бағасы ересек адам билеті бағасының жартысына тең: 2500: 2=1250 тг. Онда топтың билеті

15*1250+3*2500=18 750 + 7 500= 26 250 тг тұрады.

Жауабы: 26 250 тг

№8. Дүкенде жаппай сатылымға дейін костюм 10200 тг. болды.

Алдымен костюм 25% -ке, содан кейін тағыда 10%-ке арзандады. Костюм бағасы неше теңге болады?

Шешуі: Арзандағаннан кейін алдыңғы бағаның қанша проценті қалғанын тауып, оны ондық ондық бөлшек түрінлде жазып, заттың алдыңғы бағасына көбейтеміз.

100 – 25 = 75% = 0,75. 100 – 10 = 90% =0.9. Онда 10 200 * 0.75 *0.9= 6885 тг.

Жауабы: 6885 тг.

№9. Дүкенде телефон бағасы 25 000 тг болды. Телефон дүкенде алдымен 10%-ке, содан кейiн тағыда 25%-ке қымбаттады. Телефон бағасы неше теңге болды?

Шешуі: Қымбаттағаннан кейін алдыңғы бағаның қанша проценті болғанын тауып, оны ондық ондық бөлшек түрінде жазып, заттың алдыңғы бағасына көбейтеміз.

100 + 10 = 110% = 1,1. 100 +25 = 125% =1,25. Онда 25 000 * 1.1 *1.25=34375

тг. төлейді.

Жауабы: 34375 тг.

№10. Цирк қойылымының бағасы билеті 3500 тг, мектеп оқушысына 30% жеңілдік. 3 ересек және 10 оқушыға неше теңге төлейді?

Шешуі: Оқушы үшін билет бағасы: 3500 * 0.7 = 2450 тг.Онда циркке 3*3500 +10*2450 = 10 500 + 24 500 = 35 000 тг төлейді.

Жауабы: 35 000 тг.

№11. Заттың ескі бағасы жаңа бағасының 80%-і . Заттың жаңа бағасының ескі бағасына қатынасын тап.

Шешуі: Заттың жаңа бағасы х болсын, онда ескі бағасы 0.8х .

Заттың жаңа бағасының ескі бағасына қатынасы: х: 0.8х = 1 : 0.8 = 1.25

Жауабы: 1.25

№12. Соңғы жылы физика пәнін таңдаған оқушылар саны екі есе артты. Соңғы жылы физика пәнін таңдаған оқушыларсаны неше процентке артты?

Шешуі: Физика таңдаған оқушылар саны х болса, соңғы жылы 2х болды. Айырмасы х-ке тең, демек оқушылар саны 100%-ға артты.

Жауабы: 100% - ға артты.

№ 13. Ауылдың 60 000 түрғыны бар. Олардың түрғыны бар.

Олардың 30%-і жасөспірімдер мен жеткіншектер. Ересектердің 80%- і жұмыс істейді. Неше ересек адам жұмыс істемейді?

Шешуі: Ауылдың 100 -30 =70% тұрғыны ересектер. Ересектердің

100 – 80 = 20% жұмыс істемейді. 60 000 *0,7*0,2 =8400 ересек адам жұмыс істемейді.

Жауабы: 8400

№14. Дүкен «Математика» оқулығын жаппай сатылымнан біреуін 400 тг-ден алады және 30% үстеме қосып сатады. 2000 теңгеге осы дүкеннен ең көп дегенде неше «Математика» оқулығын сатып алуға болады?

Шешуі: 30% үстеме қосқандағы кітап бағасы 400 *1,3 = 520 тг. 2000 теңгеге осы дүкеннен ең көп дегенде 2000 : 520 = 3 ( қалдық 440 тг )

«Математика» оқулығын сатып алуға болады.

Жауабы: 3.

№15. Пойызға билет 2000 тг. тұрады. Билет 15%-ке қымбаттағаннан кейін 9800 теңгеге ең көп дегенде неше билет сатып алуға болады?

Шешуі: 15% -ке қымбаттағаннан кейін билет бағасы 2000 * 1,15

=2300 тг. 9800 теңгеге ең көп дегенде 9800: 2300 = 4 ( қалдық 600 тг) билет сатып алуға болады.

Жауабы: 4

№16. Жазда куртка бағасы 8000 тг.ал қыста 10 000 тг. Куртканың қыстағы бағасы жаздағы бағасынан неше процентке қымбат ?

Шешуі: Куртканың қыстағы бағасы жаздағы бағасынан 10 000 – 8000=2000 теңгеге қымбат, ол 8000 теңгенің 25%-ы.

Жауабы: 25%

№17. Заттың жаңа бағасы ескі бағасын 25% -ке көтергеннен алынады.

Заттың ескі бағасының жаңа бағасына қатынасын табыңыз.

Шешуі: Заттың ескі бағасы х болсын. Онда жаңа бағасы 1,25х болады. х:1,25х = 0,8 .

Жауабы: 0,8

№18. Кішкентай дүкендегі балмұздақ бағасы 150 тг. Негізінде оның бағасы 195 тг. Балмұздақты өз бағасымен сату үшін қазіргі бағасын неше пайызға көтеру керек?

Шешуі: Балмұздақты өз бағасымен сату үшін, оны 195 – 150 = 45

№20. Куртка бағасы 10 000 тг. Сатылымда Әсел оны бағасының 40%- 32іне алды. Сонда Әсел қаншща теңге үнемдеді?

Шешуі: Әсел куртканы алғанда оның бағасының 100 -40 = 60 % -ын яғни 10 000 * 0,6 = 6000 теңгені үнемдеді.

Жауабы: 6000 тг

№21. Зейнеткер «Метро», «Арзан», «Магнум» дүкендерінің бірінен сауда жасамақшы болды. Заттардың бағасы және сату шарты төменде көрсетілген.

Дүкендер	1 кг ет бағасы, тг	1 л сүт бағасы, тг	1 кг балық бағасы, тг
«Метро»	1800	240	750
«Арзан»	1750	270	700
«Магнум»	1775	250	560

«Арзан» да етке да етке 3%, «Метро» да балыққа 10%, «Магнум» да сүтке 10% жеңілдік бар. 4 кг ет, 6 л сүт, 2 кг балық қайсы дүкенде арзан және қанда тұрады?

Шешуі: Алатын заттардың бағасын әрбір дүкен үшін есептеп, қосындысын табамыз.

Дүкендер	1 кг ет бағасы, тг	1 л сүт бағасы, тг	1 кг балық бағасы, тг	Барлыгы тенге
«Метро»	1800*4=7200	240*6=1440	750*2*0,9=1350	9990
«Арзан»	1750*4*0,97=6790	270*6=1620	700*2=1400	9810
«Магнум»	1775*4=7100	250*6*0,9=1350	560*2=1120	9570

Жауабы: «Магнум» дүкенінде арзан , 9570 тг.

№22. Диаграммада әртүрлі көкөністердің жерге себілген және өніп шыққан дәндерінің саны туралы мәлімет берілген .

Қай көкөністің өніп шығу проценті ең үлкен екенін анықта.

Шешуі:

Кесте құрайық:

Көкөніс	Себілген дән саны	Өнген дән саны	Өніп шығу проценті
Қыраққабат	120	90	90 120 ∙ 100 = 75%
Қызанақ	150	120	120 150 ∙ 100 = 80%
Қияр	100	77	77 100 ∙ 100 = 77%
Бұрыш	80	60	60 80 ∙ 100 = 75%
Сәбіз	110	77	77 110 ∙ 100 = 70%

Өніп шығу проценті ең үлкен көкөніс – қызанақ.

Жауабы: Қызанақ

№23.Квадрат қабырғасын неше пайызға кеміткенде оның ауданы 36%-ға кемиді?

Шешуі: Квадраттың бастапқы ауданының 100 – 36 = 64 %-і қалған.

0,64 = (0,8)², онда қабырғасы 1-0.8 = 0.2 = 20%- ке кеміген.

Жауабы: 20%

№24. 30% -ы 60 санының 90%- ын құрайтын санды табыңыз.

Шешуі: 60 сананын 90%-ы 60*0,9=54 болады. 30% -ы 54-ке тен.

Санда табу үшін 54 –і 0,3 –ке бөлеміз. 54: 0,3 = 180.

Жауабы: 180

2. . Өзбетімен шығаруға арналған есептер.

   1. Қарбыздың 98%-і су. 5 кг қарбызда қанша су бар? Жауабы: 4,9 кг

   2. Әсеттің массасы 35 кг. Адам массасының 65%-і су. Әсеттің денесінде неше кг су бар?

Жауабы: 22,75 кг

3. Тік төртбұрыштың ұзындығы 15 дм, ауданы 90дм². Оның ені ұзындығының неше проценті?

Жауабы: 40%.

4. Бұйымның бағасы 12%-ке арзағанда, 440 теңге болды. Бұйымның алғашқы бағасы неше теңге болған?

Жауабы: 500

5. Атай жинақ кассасына жылына 10%-тік өсіммен мың теңге ақша салды. Атайдың ақшасы 1 жылдан соң қанша теңге болады?

Жауабы: 40,04 мың теңге

6. Алманың бағасы қаңтар айының барысында 30%-ке, ал ақпан айының барысында 20%-ке көтерілді. Осы екі айдың ішінде баға қанша процентке көтерілді?

Жауабы: 56%

7. Фирма жарнама агенттеріне заказ құнының 5%-ін төлейді. 200 теңге табу үшін, заказдың құны қанша болу керек?

8. Фотоаппараттың бағасы бір айдың ішінде бірінші 18%-ке, одан кейін 20%- ке төмендеді, соңында 1640 теңге болды. Фотоаппараттың бастапқы бағасын табыңыз:

Жауабы: 2500 теңге

9. Жұмысшы еңбек ақысын орындағын нормасы бойынша алады. Айдың аяғында нормасын 20%-ке асырса орындағаны үшін 8400 теңге алды. Оған осы айда қосымша есептелген ақшасын табыңыз. Жауабы: 1400 теңге

Жауабы: 1400 теңге

10. Банк өзінің салымшыларына салымның жылдық өсуін 4%-ке арттырмақ. Егер адам банкке 1200 теңге салса, онда бір жылдан кейін алатын ақшасын табыңыз.

Жауабы: 1248 теңге

11. Май заводы күніне 50ц сүт қабылдап, оның 59%-ін май дайындайтын цехқа жібереді. Онда қабылданған сүттің 16%-індей май алынады. Завод күніне неше центнер май дайындайтынын табыңыз.

Жауабы: 47,2 ц

12. Машина бір қала мен екінші қаланың арасын 3 күн жүрді. Ол бірінші күні 52,8км/сағ жылдамдықпен 4 сағатта барлық жүругі тиісті жолдың 12%-ін, екінші күні қалған жолдың 60%-ін жүрді. Машина үшінші күні қанша жол жүруге тиісті екенін табыңыз.

Жауабы: 619,52 км

13. Қоймада 100 кг жидек бар еді. Тексере келгенде жидек құрамының 99%-і су екен. Біраз уақыт өткеннен кейін жидектегі су мөлшері 98%-ке дейін азайды. Сонда қалған жидек массасының қанша екенін табыңыз.

Жауабы: 50 кг

14. Тауардың бағасын алдымен 20%-ке, ал содан кейін жаңа бағасын тағы да 25%-ке кемітті. Тауардың бастапқы бағасын барлығы неше процент кеміткен?

Жауабы: 40%

15. Кітапханада ағылшын, француз және неміс тілінде кітаптар бар. Ағылшын тіліндегі кітаптар шет тіліндегі кітаптардың 40%-ін, француз тіліндегілер ағылшын тіліндегінің 75% құрайды, ал қалған 210 кітап-неміс тіліндегілер. Кітапханада шет тілінде қанша кітап бар?

Жауабы: 700

16. Тік төртбұрыштың ені оның ұзындығының 75%-ін құрайды. Осы тік төртбұрыштың ауданы 48м² болса, оның периметрін табыңыз.

Жауабы: 28 м

17. 1 кг май 80 теңге тұратын, ал бір жылдан кейін 360 теңге болды. Май қанша процентке қымбаттады?

Жауабы: 350%

18. 14 т капуста магазинге әкелінді. Барлық капустаның 30%-і сатылды. Магазинде қанша капуста қалды?

Жауабы: 9,8 т

19. Ракета бір сағаттың ішінде жанармайдың 15%-ін жағады. Егер ракета ұшырылғаннан бір сағаттан соң онда 170 тонна жанармай қалса, жанармайдың бастапқы шамасы қандай болғаны?

Жауабы: 200 т

20. Товар 1386 мың теңгеге сатылғанда 10% пайда алынды. Товардың өзіндік құнын анықтаңыз.

Жауабы: 1260 мың теңге

21. 56 санының 25% табыңыз. Жауабы: 14

22. 55 санының 20% табыңыз. Жауабы: 11

23. 45 санының 30% табыңыз. Жауабы: 13,5

24. 65 санының 40% табыңыз. Жауабы: 26

25. Бүлдіргеннің 6% құмшекер болады. 27 кг бүлдіргеннің неше құмшекер болады.

Жауабы: 1,26

26. 200 санының 5%-ін табыңыз. Жауабы: 10

27. 900 санының 12%-ін табыңыз. Жауабы: 108

3. МӘТІНДІ ЕСЕПТЕР

Жылдамдық –уақыт- қашықтық шамалары арасындағы байланыстарды анықтау басқа пропорционал шамалар арасындағы байланыстарды анықтау әдістемесімен жүргізіледі. Осы жұмыстың нәтижесінде балалар мынадай байланыстарды ұғынулары тиіс: егер қашықтық пен жүрілген уақыт белгісі болса, онда жылдамдықты бөлу амалы бойынша табуға болады; егер жылдамдық пен жүрілген уақыт белгілі болса, онда қашықтықты көбейту амалымен табуға болады; егер қашықтық пен жылдамдық белгілі болса,онда жүрілген уақытты бөлу амалымен табуға болады.

Қозғалысқа берілген мәліметтер.

Жылдамдық - уақыт бірлігінде жүріп өтілген қашықтық.

Қозғалыс жылдамдығын табу үшін, қашықтықты уақытқа бөлу керек.

^ = S : t

Қашықтықты табу үшін, қозғалыс жылдамдығын уақытқа көбейту керек.

S =  * t

Уақытты табу үшін, қашықтықты қозғалыс жылдамдығына бөлу керек.

t = S :

 ^{- жылдамдық, бірлік өлшемдері: км/сағ, м/сек, м/мин, км/сек} t – уақыт, бірлік өлшемдері: сағ, мин, сек

S – қашықтық, бірлік өлшемдері: км, м, см, мм.

1. Бірінен бірі қарама-қарсы екі жаққа бағытталған қозғалыс:

Бірінен бірі қарама-қарсы екі жаққа бағытталған қозғалыс кезінде қашықтау жылдамдығы жылдамдықтардың қосындысына тең.

-

-көліктердің бірінен-бірі қашықтау жылдамдығы

^{ 1}= км/сағ t_{кезд =}? сағ ^{ 2}= км/сағ

S= км

2. Бір-біріне қарама-қарсы бағыттағы қозғалыс:

Бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалу кезінде жақындау жылдамдығы жылдамдықтардың қосындысына тең болады.

- көліктердің бір-біріне жақындау жылдамдығы.

₂ = км/сағ

3. Артынан қуып жету қозғалысы.

- екі дененің бір-біріне жақындау

жылдамдығы.

^tкезд =? сағ

 ₁= м/мин  ₂= м/мин

Есте сақта!

Өнімділік. Уақыт. Жұмыс.

А- жұмыс (орындалған өнімнің саны)

^ -өнімділік (уақыт бірлігінде істелген жұмыс) t – уақыт (барлық жұмыс орындалған уақыт).

1. А=^ * t

   Жұмысты табу үшін, өнімділікті уақытқа көбейту керек.

2. Өнімділікті табу үшін, жұмысты уақытқа бөлу керек.

^ = А : t

3. t = А : ^

   Уақытты табу үшін, жұмысты өнімділікке бөлу керек.

Есте сақта!

Шығымдылық. Аудан. Өнім.

Шығымдылық дегеніміз – уадан бірлігінен жиналып алынған өнімнің саны. m –шығымдылық (ц/га, кг/м²)

S- егістің ауданы (га,км)

M- осы ауданнан жиналған барлық өнім (ц,кг)

1. Шығымдылықты табу үшін, осы ауданнан жиналған барлық өнімді егістіктің ауданына бөлу керек.

m = М: S

2. Егістің ауданын табу үшін, осы ауданнан жиналған барлық өнімін шығымдылыққа бөлу керек.

S = М: m

3. М = m* S

   Осы ауданнан жиналған барлық өнімді табу үшін, шығымдылықты егістің ауданына көбейту керек.

Есте сақта!

Мөлшер. Бұйым. Материал.

Бірлесіп атқарған жұмыстың уақытын табу үшін жұмысты (орындалған өнімнің саны) бірлескен өнімділікке бөлу керек.

m=M:S -шығымдылық (6ц/га) S=M:m - егістің ауданы (100га)

M=m*S -осы ауданнан жиналған барлық өнім (центнер)

А:t - жұмыс өнімділік (бөлшек/сағ)

t = A: - жұмыс уақыт (сағ)

A= *t - жұмыстың барлық көлемі (бөлшек)

Қозғалысқа байланысты есептер шығару.

№1. Вертолеттің v жылдамдығы автомобильдікінен 85 км/сағ артық. Олардың жылдамдықтарының қатынасы 35:18 қатынасындай. Вертолеттің және автомобильдің жылдамдықтары қандай?

2. 38:1=38 (км/сағ)-екінші теплоходтың жылдамдығы_{ 2}

3. Егер біріншісі 1 сағатта 40км, ал екіншісі 1 сағатта 38 км жол жүретін болса, онда екеуі 1 сағатта: 40+38=78 км жол жүреді.

Жауабы: 78 км

№4 . Екі қаладан бір уақытта автобус және автокөлік бір-біріне қарама- қарсы бағытта жолға шықты. Автокөліктің жылдамдығы 70км/сағ, ал автобустың жылдамдығы 60 км/сағ. Егер екі қаланың арасы 260 км болса, онда олар неше сағаттан кейін кездеседі?

Қарама-қарсы бағыт

_ж=70 км/сағ, _авт=60 км/сағ, S=260 км, t_кез=? сағ. кездеседі.

Шешуі:

1. ^{70+60=130 (км/сағ) – екеуінің жақындау жылдамдығы} 

2. 260:130 =2 (сағ) кейін екі автокөлік кездеседі t_кез

Жауабы: 2сағ.

№5. Арасы 30 км екі аулдан бір уақытта бірінен-бірі қарама-қарсы бағытта екі шаңғышы екі жаққа жолға шықты. Бірінші шаңғышының жылдамдығы 15 км/сағ, ал екінші шаңғышының жылдамдығы 18 км/сағ. 2 сағаттан кейін шаңғышылар бір-бірінен қандай қашықтықта болады?

₂=18 км/сағ, ₁=15 км/сағ, S=30 км, t₁=t₂=2сағ.

S - ?

Шешуі.

1. 30+18= 48 (км/сағ) – екі шаңғышылардың бірінен-бірі қашықтау жылдамдығы

2. 48*2=96 (км) – екі шаңғышылардың бірінен-бірі арақашықтығы S

Жауабы: 96 км.

№6. Ұзындығы 120 метр бассейннің екі басынан бірдей уақытта бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі жүзгіш жүзіп шықты. Егер біріншісі 20 м/мин, ал екіншісі 30 м/мин жылдамдықпен жүзетін болса, онда 2 минуттан кейін жүзгіштердің бір-бірінен арақашықтығы қандай болады?

S=120 км, ₁=20 км/мин, ₂=30 км/мин t₁=t₂=2мин

S - ?

Шешуі:

1. 20+30=50 (м/мин) – бір-біріне жақындау жылдамдық

2. 50*2=100 (км) – екеуі жүрген жолдың ұзындығы S

3. 120-100=20(м)–бір-бірінен 2 минуттан кейін арақашықтың.

Жауабы: 20 м

№7. Екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі пойыз шығып 6 сағаттан кейін кездесті. Бірінші пойыздың жылдамдығы 66 км/сағ, ал екінші пойыздың жылдамдығы 95 км/сағ. Төменде берілген өрнектердің нені білдіретінін түсіндір.

1) 95+66 2) 95-66 3) 66*6 4) 95*6 5) (66+95)*6

66км/сағ

₂ = 95км/сағ

1. 95+66-бір-біріне жақындау жылдамдығы

2. 95-66- екінші пойыздың жылдамдығы біріншісінен қанша артық

3. 66*6-бірінші пойыздың жүрген жолы(жүріп өткен қашықтық)

4. 95*6 - екінші пойыз жүрген жолы

5. (66+95)*6 -екеуінің жүрген жолы (қалалар арасындығы арақашықтық)

№ 8. а) Автобус 6 сағатта 300 км жол жүрді. Егер машинаның жылдамдығы автобустың жылдамдығынан 10 км/сағ артық болса, онда машина осы уақытта қандай арақашықтықты жүріп өтер еді?

S_авт = 300км, t_авт=6 сағ, 6сағатта – 300 км

а)

S_жеңіл - ? км

Шешуі:

1. 300:6=50 (км/сағ) – автобустың жылдамдығы

2. 50+10=60(км/сағ) – машинаның жылдамдығы

3. 60*6=360(км) – машинаның жүрген жолы S_жеңіл

Жауабы: 360км

№9. Сал өзен бойымен 3000 м қашықтықты жүзіп өтті. Егер өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ болса, онда салдың жүзіп өтуіне қанша уақыт кетті?

S_сал= 3000м – S_{өзенмен,}  өзен = 3км/сағ ^tөзенмен ^{- ? сағ}

Шешуі:

1. 3000м=3км-салдың өзен бойымен жүрген жолы

2. 3:3=1 (сағ) - салдың жүзіп өтуіне кеткен уақыт t_сал

Жауабы: 1 сағ.

№10. Автокөлік бір жол бөлігін 60 км/сағ жылдамдықпен жүріп өткеннен кейін, әлі жүрілмеген 120 км жол қалды. Егер автокөліктің жүріп өткен барлық жолы 300 км қашықтықты құрайтын болса, онда автокөлік бұл жол бөлігіне қанша уақыт жұмсаған?

 авто= 60км/сағ -жүрді

қалды – 120 км жол

S_барл = 300км - ? сағ жұмсаған

Шешуі.

300-120=180 (км) – автокөліктің жүрген жолы S_авт 180:60=3 (сағ) –автокөлік жұмсаған уақыты

Жауабы: 3 сағ жұмсады.

№11. Бірінші пойыз 3750 км қашықтықты 15 сағатта, ал екіншісі 5880 км қашықтықты 21 сағатта жүріп өтті. Қай пойыздың жылдамдығы артық және қанша артық?

S₁= 3750км, t₁=15 сағ, S₂=5880 км, t₂=21сағ қай жылдамдық артық , ? артық.

Шешуі.

3750:15=250км/сағ – , 5880:21=280(км/сағ) –

280-250=30(км/сағ) –

Жауабы: 30 км/сағ артық

№. Бір жылқы мен екі сиырға күн сайын 34 кг шөп беріледі, ал екі жылқы мен бір сиырға 35 кг шөп беріледі. Күн сайын бір жылқыға қанша кг және бір жылқыға қанша кг шөп беріледі?

Шешуі: 1 жылқы – х кг

1 сиыр – у кг

6. Өзен бойындағы екі қаланың ара қашықтығы 80 км. Теплоход бір қаладан екіншісіне барып қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 20 км/сағ

7. Моторлы қайық ағыс бойымен 18 км және ағысқа қарсы 14 км жүрді, осы жолдың барлығына ол 3 сағ 15 мин жұмсады. Қайықтың меншікті жылдамдығы 10 км/сағ. Ағыстың жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 2 км/сағ

8. А пунктінен өзен ағысымен сал жіберілгеннен кейін 5 сағ 20 минут өткен соң салдың соңынан моторлы қайық шығып, 20 км жүзгеннен кейін салды қуып жетеді. Егер моторлы қайық салдан 12 км/сағ жылдам жүретін болса, салдың жылдамдығы неге тең?

Жауабы: 3 км/сағ

9. Моторлы қайық өзен ағысымен 28 км жүзіп барып, бөгелместен кері қайтты. Барып қайтуға 7 сағат уақыт кетеді. Өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ екендігі белгілі. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 9 км/сағ

10. Моторлы қайық ағыспен 12 км, ағысқа қарсы 12 км жүрді. Ағысқа қарсы жүрген жолына ағыспен жүрген жолынан 1 сағат артық уақыт жіберген. Қайықтың тұнық судағы жылдамдығы 9 км/сағ болса, ағыс жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 3 км/сағ

11. Шаңғышының 30 км-лік ара қашықтықты жүріп өтуі тиіс еді. Жүруді белгіленген уақытынан 3 мин кешірек бастаған шаңғышы жоспарланған 1 км/сағ артық жылдамдықпен жүгіріп отырып, белгіленген жерге дер кезінде келіп жетті. Шаңғышы қандай жылдамдықпен жүгірді.

Жауабы: 25 км/сағ

12. Өзен ағысымен катер 3 сағ, ағысқа қарсы 4,5 са, жол жүоді.катер жылдамдығы 25 км/сағ болса, онда өзен ағысының жылдамдығы қандай?

Жауабы: 5 км/сағ

13. Катер өзен ағысымен 75 км және ағысқа қарсы 75 км жүрді. Катер барлық жолға тынық суда 80 км жүретін уақыттан 2 есе артық жұмсады. Егер ағынның жылдамдығы 5 км/сағ болса, катердің жылдамдығы неге тең?

Жауабы: 20 км/сағ

14. Катер арасы 96 км А-дан Б-ға өзен ағысы бойынша және керісінше жүзуге 14 сағ уақыт жіберді. Бір мезгілде катермен бірге А-дан сал шықты. Катер қайтар жолда А-дан 24 км қашықтықта салды кезіктірді. Катердің тынық судағы жылдамдығын және су ағысының жылдамдығын табу керек.

Жауабы: 14 км/сағ, 2 км/сағ

15. Өзен бойындағы екі қаланың ара қашықтығы 80 км. Теплоход бір қаладан екіншісіне барып, қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсайды. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз. Жауабы: 20 км/сағ .

16. Мотоциклші 5 сағатта велосипедшының 4 сағатта жүрген жолын 259 км артық жүреді. 10 сағатта велосипедші мотоциклшінің 2 сағатта жүретін жолынан 56 км артық жүрді. Велосипедшінің жылдамдығы қандай?

Жауабы: 19 км/сағ

17. А және В пунктерінен бір мезгілде бір-біріне қарсы мотоциклші мен велосипедші шықты. Олар В пунктінен 4 км қашықтықта кездесті. Ал мотоциклші В пунктіне жеткен кезде велосипедші А пункітінен 15 км қашықтықта еді. А және В пунктерінің ара қашықтығын табыңыз.

Жауабы: 20 км

18. Екі мотоциклші бір мезгілде бір-біріне қарсы А мен В пунктерінен шыққан. Олардың ара қашықтығы 600 км. Бірінші мотоциклші 250 км жер жүргенде екіншісі 200 км жүреді. Бірінші мотоциклші В-ға екіншінің А-ға жеткен уақытынан 3 сағ бұрын жетеді. Олар бір қалыпты қозғалады деп есептеп, мотоциклшілердің қозғалыс жылдамдықтарын табыңыз.

Жауабы: 40 км/сағ, 50 км/сағ

19. Бір мезгілде А-дан В-ға және В-дан А-ға қарай бір-біріне қарама-қарсы екі автокөлік шықты. Екеуі кездескеннен кейін әлі де олардың біреуіне 2 сағаттық,

20. Екі желаяқ араларына 2 минут интервал тастап, бірінен соң бірі жүгіріп кетті. Старт берілген нүктеден 1 км қашықтықта екіншіні қуып жетті де, 5 км қашықтыққа жүгіріп барып, кері қайтты. Осы жолда ол бірінші желаяқпен кездесті. Бұл кездесу бірінші желаяққа старт берілген уақыттан 20 минуттан кейін болған еді. Екінші желаяқтың жылдамдығын табыңыз.

Жауабы: 20 км/сағ.

Жұмысқа байланысты өзіндіктерімен шығаруға арналған мәселе есептер

1. Егер екі насос бірге жұмыс істесе ыдысты 4 сағатта суға толтырады. Егер әрқайсысы жеке-жеке жұмыс істесе, 1-ші насос ыдысты 2-ге қарағанда 6 сағ аз уақытта толтырады. 1-ші насос жеке жұмыс істегенде ыдысты қанша сағатта суға толтырады?

Жауабы: 6 сағ

2. Екі жұмысшы бірлесе жұмыс істеп 7 күнде жұмыстың 75% атқарды. Олар жұмысты 10 күнде бітіргенімен 2-ші жұмысшы соңғы 2 күн жұмысқа шықпаған болса, әрқайсысы осы жұмысты жеке-жеке орындағанда қанаш уақытта бітіреді?

Жауабы: 14; 28

3. Екі кран бірлесе жұмыс жасай отырып, баржадағы жүкті 6 сағатта түсіріп болды. Егер олардың біреуі екіншісіне қарағанда жүкті 5 сағат ерте түсіретін болса, онда олардың әрқайсысы жүкті неше сағатта түсіріп болар еді? Жауабы: 10 сағ; 15 сағ

4. Екі бригада орындықтар жасады, сонда бірінші бригада 65 орындық, ал екінші бригада 66 орындық жасады. Бірінші бригада бір күнде екіншіден екі орындық артық, бірақ одан бір күн кем жұмыс жасады. Екі бригада бірлесе отырып, бір күнде қанша орындық жасады?

Жауабы: 24

5. Бірінші жұмысшы жұмысты 10 күнде бітіреді, ал екінші жұмысшы сол жұмысты 15 күнде бітіре алады. Екеуі бірлесіп, осы жұмысты неше күнде бітіреді?

Жауабы: 6

6. Екі құбыр бассейінді 7,5 сағатта толтырады. Бірінші құбыр жеке өзі бассейінді екінші құбырға қарағанда 8 сағат бұрын толтыра алады. Бірінші құбыр жеке өзі бассейінді неше сағатта толтырады?

Жауабы: 12 сағ

7. Бір жылқы мен екі сиырға күн сайын 34 кг шөп беріледі, ал екі жылқы мен бір сиырға 35 кг шөп беріледі. Күн сайын бір жылқыға қанша кг және бір сиырға қанша кг шөп беріледі?

Жауабы: 12 кг; 11 кг

8. Трактор бригадасы егістік жерді жоспар бойынша 14 күнде жыртып болуы керек еді. Бригада күн сайын жоспардағыдан 5 га артық жыртқандықтан, жер жыртуды екі күн бұрын аяқтады. Егістік жердің ауданын табыңыз. Жауабы: 420 га

9. Токарь және оның шәкірті бір кезекте 65 деталь жасап шығарды. Егер токарь жоспардан 10%, ал шәкірті - 20% артық жасайтын болса, онда олар 74 деталь жасап шығарады. Жоспар бойынша бір кезекте токарь және оның шәкірті қанша деталь жасап шығарады?

Жауабы: 40; 25

15. Токарь 3 күн жұмыс істеп, 208 деталь дайындады. Бірінші күні ол нормасын орындап, екінші күні нормадын 15% асыра орындады, ал үшінші күні екінші күнге қарағанда 10 детальға артық дайындады. Токарь әр күн сайын қанша детальдан дайындап еді?

Жауабы: 60; 69; 79

16. Ағаш дайындай жұмысына үш бригада қатысты. Бірінші бригада барлық жұмысшылардың 36% бөлігі, ал екінші бригада біріншіге қарағанда 72 адам артық болды. Қалған 124 жұмысшы үшінші бригадада еді. Үш бригадада барлығы неше жұмысшы бар?

Жауабы: 700

17. Құрамындағы никельдің мөлшері 5% және 40% болатын болаттың екі түрлі сорты бар. Құрамындағы никельдің мөлшері 30% болатын 140 т болат алу үшін екі сорттың әрқайсысының неше тоннадан алу керек?

Жауабы: 40 т; 100 т

18. Екі қапта 140 кг ұн бар. Егер бірінші қаптан 12,5% ұнды екіншісіне ауыстырып салса, онда екі қаптағы ұн бірдей болады. Әр қапта қанша кг ұн бар? Жауабы: 80 кг; 60 кг

19. Ағаш кесушілер бригадасы үш күнде 184 куб.метр отын дайындады. Бригада бірінші күні жоспарлағаннан 14 куб.метр артық, ал екінші күні 2 куб.метр кем отын дайындады. Үшінші күні бригада жоспарды 16 куб.метр асыра орындады. Бригада жоспар бойынша күніне неше куб.метр отын дайындауға тиіс.

Жауабы: 52 куб.метр

20. Құс фермасында қаздар үйрекке қарағанда 2 есе көп. Біраз уақыттан кейін қаздар саны 20%-ке, ал үйрек саны 30%-ке өсті. Сонда қаздар мен үйректер саны барлығы 8400-ге өскені анықталды. Құс фермасында қаздардың және үйректердің саны өскеннен кейін қанша болды?

Жауабы: 28800 қаз; 15600 үйрек

РУБИК ТЕКШЕСІ

Рубик текшесі (маж.Bűvös kocka — сиқырлы текше) — логикалық басқатырғыш ойын құралы ретінде пайдаланылады.

Рубик текшесі (көбіне «кубик-рубик» ретінде танымал) – 1974 жылы венгриялық мүсінші және архитектура оқытушысы Эрне Рубиктың ойлап тапқан (1975 жылы патенттеген) механикалық бас қатырғышы.

Эрне Рубик Будапешт технология және экономика университетінің құрылыс-архитектуралық факультетін бітіріп, 5 жыл бойы ғимараттарды жобалаумен айналысқан. Одан кейін ол Қолданбалы өнер академиясына оқытушы болып жұмыс кіреді. Сабақ беру барысында үш өлшемді кеңістікті үйрету өте қиын екеніне көзі жетіп, оны оңай түсіндірудің жолын іздеумен болады.

Рубик алғашында өз мақсатына қалай жетуді көп ойланды. Бір күні ол, Дунайдың жағасында отырып, толқындардың жұмыр тастарды ары бері қозғалтып, олардан көлемді геометриялық фигуралар жасайтындығына назар аударады. Бұл оған ой салып, үйіне асыға жетіп, бір жобаны ойластыра бастайды. Картон мен ағашты лақтырып тастап, пластмассаға тоқталады. Кіші

көлемдегі текшелер 3 ось бойынша айналуы үшін энтузиаст ішкі цилиндрлік механизм ойлап табады. Әртүрлі нұсқаларды қарастырған Рубик, өз жобасының сыртқы бейнесі үшін алты түсті қарапайым гамманы таңдайды. Рубик текшесін жинауды үйрену төмендегі сілтемелерге кіріп, үйренуге болады.

КУБТЫҢ ЖАЗБАСЫ

Кубтың жазбасы-1

Сол жақта қай кубтың жазбасы берілген?

Кубтың жазбасы-2

Қай кубтың жазбасы берілген?

Кубтың жазбасы-3

Кубтарының қайсысы берілген кубтың жазбасына сай?

Кубтың жазбасы-4

Сол жақта қай кубтың жазбасы берілген?

Кубтың жазбасы-5

Сол жақта қай кубтың жазбасы берілген?

Кубтың жазбасы-6

А, Б, В, Г және Д кубтарының қайсысы берілген кубтың жазбасына сай?

Кубтың жазбасы-7

Әр жағында суреті салынған төрт куб бар. Оның дұрыс жазбасын салындар.

ОЙЫН СҮЙЕГІ

Әртүрлі беттердегі сүйектерде теңестіру әрдайым бірдей ме, немесе басқа опциялар мүмкін бе?

Ұпайлардың орналасқан жері өзгермейді. Қарама-қарсы беттердегі нүктелердің сомасы әрқашан = 7 болады. Яғни бірдің қарсы жағында әрқашан алты, үшіншіге қарсы төрінші және т.б.

Ойын сүйектерімен жұмыс істеу математиканы оқытуда гуманитарлық бағыттылықты жүзеге асыру құралы ретінде қарастырылуы мүмкін.

Олар мыналарға үлес қосады: кеңістік қиялын дамыту; пәннің әртүрлі ұстанымдарында ақылдасу дағдыларын қалыптастыру; геометриялық фактілерді логикалық негізде оқыту; дизайн қабілеттерін дамыту, модельдеу; зерттеу дағдыларын дамыту.

№1. Сұрақ белгісінің орнында тұрған фигураны табыңдар?

№2. Көзге көрінбейтін жақтағы нүктелерінің жалпы саны қанша?

А)15 В)17 С)23 D)19 Е)21

№3. Дұрыс емес кубикты табыңдар.

КЕҢІСТІКТЕ ОЙЛАУ

№1. 5 х 5 х 5 өлшемімен берілген кубты толтыру үшін қанша кіші кубтар жетіспейді?

2. Кеңістікте 6 х 6 х 6 өлшемімен берілген кубтан қанша кіші кубтар алынған?

А) 70 В) 82 С) 216 D) 48 Е) 36

№3. Бөлме бұрышында бір-бірінің үстіне қойылған бірнеше жәшіктер бар.

Бұрышта неше жәшік тұр?

А) 15 В) 25 С) 31 D) 34 Е) 35

№4. Егер кубтың жазбасын құрастырса, төмендегі қай кубқа сай келеді?

№5. Егер кубтың жазбасын құрастырса, төмендегі қай кубқа сай келеді?

№6. Фигураның жоғарыдан қарағандағы түрін табыңдар.

№7. Қабырғасы 15 см кубқа қабырғасы 5 см неше куб қоюға болады?

КЕҢІСТІКТЕ БЛОКТЫ АЙНАЛДЫРУ

Бұл жерде блокты кеңістікте ойша айналдыра, бұра білу қабілеті сыналады.

Жоғары тұрған суретте блоктың моделі берілген. А, В, С, Д және Е нұсқасында да дәл жоғарыдағы модель бар, бірақ кеңістікте айналдырып, басқа жағынан көрсетілген. Сол модельді табу керек.

№1. Жеті қара түсті фигураның қайсысы қызыл түске сәйкес келеді?

.№2. Алты қара түсті фигураның қайсысы қызыл түске сәйкес келеді?

№3. Алты қара түсті фигураның қайсысы қызыл түске сәйкес келеді?

№4. Төмендегі модельдердің қайсысы берілген блоктың моделіне сәйкес келеді?

№5. Төмендегі модельдердің қайсысы берілген блоктың моделіне сәйкес келеді?

№6. Төмендегі модельдердің қайсысы берілген блоктың моделіне сәйкес ке

ЖАУАПТАРЫ

ТЕКШЕГЕ БЕРІЛГЕН ЕСЕПТЕР

1	2	3	4
А	В	D	С

КУБТЫ ҚҰРАСТЫРУ

Қандай кубты қою керек?

Куб-1	Куб-2	Куб-3
2	5	2

КУБТЫҢ ЖАЗБАСЫ

1	2	3	4	5	6	7
А	В	Е	ЕF	В	Г

Кубтың жазбасы №7

ОЙЫН СҮЙЕГІ

1	2
C	D

№3. Дұрыс емес кубикты табыңдар.

Жауабы: Мына жерде жеті нүктесі бар куб жасырынып тұр.

КЕҢІСТІКТЕ ОЙЛАУ

1	2	3	4	5	6	7
Ответ : 45 куб жетіспейді, жоғары	А Төменгі қабатта	Е	В	D	А	В

қатарда 16, екінші-12, үшінші-9, төртінші- 6,бесінші-2

түгелі, екінші-3, үшінші- 10, төртінші - 14, бесінші-19, алтыншы- 24 жетіспейді. Барлығы- 70

КЕҢІСТІКТЕ БЛОКТЫ АЙНАЛДЫРУ

1	2	3	4	5	6
АЕF	BDE	BF	AD	D	A

Қолданылған әдебиеттер:

Мұғалімдер үшін:

1. Жанасбаева Ұ.Б « Математикалық сауаттылық», І, ІІ – бөлім.

2. Математикадан дидактикалық ойындар мен қызықты тапсырмалар.

3. Ш.Х. Құрманалина, Өміртаева Р.Қ Алматы «Атамұра» 1997ж.

4. «Қосымша есептер» Сәрсекеев А.С. Көкшетау 2001 ж.

5. Математикадан өзіндік, бақылау жұмыстары. Қ. Әубәкірқызы,

Ә. Наурызбайқызы, Алматы «Рауан» 1995 ж.

6. «Қызықты алгебра» Я.И.Перельман.

7.Цыпкин А. Г., Пинский А. И. «Справочное пособие по методам решения з

задач по математике». «Наука» 1987 г.

8.Готман Э. Г. «Стереометрические задачи и методы их решения».

МЦНМО 2006 г.

9.«Хочу быть умным» Чарльз Филлипс. Москва 2015.

10.«Математикалық сауаттылық» Ырысбек Мәуіт. Астана. 2017

11.«Логика» Н.Н. Амирова. Алматы. 2013

Оқушылар үшін :

1. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи

2. Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П.Забавная арифметика

3.Қаниева Г. Оқушының ойлау қабілетін дамыту / Г.Қаниева // Қазақстан мектебі.- 1991.-№ 5.- 3-10 бет.
4. Жүлдегерлік жүз есеп. Н. Нұрсұлтанов, Қ. Нақышбекова.Алматы, Таймас баспа үйі, 2009. 
5 Ертегі есептер. Н. Нұрсұлтанов. Алматы, Таймас баспа үйі,2008. 
6. Ойнайық та, ойлайық. Р. Кашенова. Поиграем, поговорим. Алматы, Ана тілі, 1996 
8. Математикадан өзіндік, бақылау жұмыстары. Қ. Әубәкірқызы,

Ә. Наурызбайқызы, Алматы «Рауан» 1995 ж.

9. С. Ерубаев «Қазақтың байырғы есептері».

10. «Математика және физика» журналдары.

11. «Логика сұрақтары» журнал.