Бір күндері боларсың келіншегім.

Барбара Оакли

Думай как математик. Как
решать любые задачи
быстрее и эффективнее
Текст предоставлен правообладателем
http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=15561452
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее
и эффективнее / Барбара Оакли: Альпина Паблишер; Москва;
2015
ISBN 978-5-9614-3080-6

Аннотация

Принято считать, что математики – это люди,
наделенные
недюжинными
интеллектуальными
способностями, которые необходимо развивать с самого
детства. И большинству точность и логичность
математического мышления недоступна. Барбара Оакли,
доктор наук, в этой книге доказывает, что каждый может
изменить способ своего мышления и овладеть приемами,
которые используют все специалисты по точным наукам.
Она призывает читателей тренировать свой мозг
и подтверждает на конкретных примерах, что каждый
может изменить способ своего мышления и овладеть
приемами, которые явно или неявно используют все

специалисты по точным и естественным наукам. Прочитав
эту книгу, вы научитесь: эффективно решать задачи
из любой области знаний; освоите метод интерливинга
(чередование разных типов задач); научитесь «сжимать»
ключевые идеи так, чтобы их было удобнее удержать
в памяти, и узнаете о возможностях своего мозга очень
много нового!

Содержание
Предисловие
Практичная и вдохновляющая книга
Обращение к читателю
1. Откройте дверь
2. Легкость – лучший подход
Мышление сфокусированное
и мышление рассеянное
Сфокусированное состояние – тесный
пинбол-автомат
Почему математика бывает более
сложна для восприятия
Рассеянное состояние – просторный
пинбол-автомат
Почему существует два состояния
мышления?
Прокрастинация как прелюдия
Обобщение
Проверьте свои знания
3. Учиться – значит творить
Переключение со сфокусированного
на рассеянное мышление
Креативность как плод использования
и расширения способностей

13
16
18
21
34
38
42
49
53
56
63
65
66
71
72
77

Переключение режимов для усвоения
материала
Не пытайтесь угнаться за отличниками
Избегайте установки
Что делать, если вы в тупике
Рабочая память и долговременная
память. Общие сведения
О важности сна при обучении
Обобщение
Проверьте свои знания
4. Порции информации и иллюзия
компетентности
Что происходит, когда вы фокусируете
внимание?
Что такое «порция информации»?
Трудности Соломона
Основные способы формирования
порций информации
Иллюзия компетентности и важность
вспоминания
Практика – путь к надежным знаниям
Повторяйте материал не за учебным
столом: о пользе прогулок
Интерливинг (чередование разных типов
задач) – или избыточное обучение?
Обобщение

79
84
86
92
95
100
102
104
109
111
116
119
129
141
149
152
159

Проверьте свои знания
5. Как не поддаться прокрастинации
Прокрастинация и дискомфорт
Как прокрастинирует мозг
Обобщение
Проверьте свои знания
6. Зомби вокруг нас
Как поставить привычки (зомби) себе
на службу
Сосредоточьтесь на процессе,
а не на «продукте»
Разделите работу на малые отрезки,
затем занимайтесь интенсивно,
но короткими периодами
Обобщение
Проверьте свои знания
7. Порции информации или ступор
Как сформировать действенную порцию
информации
Тупик: когда знания вдруг дают сбой
Соберитесь с силами,
или Как упорядочить материал
Постоянно экзаменуйте самих себя:
экзамен – ценный опыт обучения
Обобщение
Проверьте свои знания

161
167
170
173
178
179
184
188
196
198
205
207
213
215
224
225
227
230
231

8. Способы, советы и хитрости
Самоэкспериментирование – ключ
к самосовершенствованию
Заговор против зомби: ежедневникпланировщик как личная книга
лабораторных наблюдений
Советы по технологии: лучшие
приложения и программы для обучения
Обобщение
Проверьте свои знания
9. Зомби-прокрастинации, окончание
Плюсы и минусы нещадной работы
в «зоне повышенного риска»
Мудрое ожидание
Часто задаваемые вопросы
о прокрастинации
Обобщение
Проверьте свои знания
10. Совершенствование памяти
Помните ли вы, где находится кухонный
стол? Зрительно-пространственная
память
О важности запоминания зрительных
образов
«Дворец памяти»
Обобщение

237
241
245
257
259
261
266
267
271
275
281
283
285
290
292
295
302

Проверьте свои знания
11. Еще несколько советов по запоминанию
Придумайте яркую визуальную
метафору или аналогию
Интервальные повторения как средство
уложить знания в памяти
Группируйте явления по смыслу
Сочиняйте истории
Мышечная память
Истинная мышечная память
Приемы запоминания помогают быстрее
овладеть знаниями
Обобщение
Проверьте свои знания
12. Учимся ценить свой талант
Вперед к интуитивному пониманию
Незачем завидовать гениям
Обобщение
Проверьте свои знания
13. Формируем мозг
Изменить образ мыслей – изменить
жизнь
Новая жизнь порций информации
Обобщение
Проверьте свои знания
14. Развитие внутреннего зрения через

303
309
309
314
320
323
325
327
328
331
333
334
334
338
345
346
351
354
357
361
362
364

уравнения-стихи
Научитесь писать стихи об уравнениях
Упрощайте и одушевляйте изучаемое
Перенос – применение изученного
к новым контекстам
Обобщение
Проверьте свои знания
15. Мы в ответе за собственные знания
Ценность самообучения
Цените хороших преподавателей
Еще одна причина для самостоятельных
занятий – нестандартные тесты
Берегитесь «интеллектуальных
снайперов»
Обобщение
Проверьте свои знания
16. Как избежать излишней уверенности
Избегайте чрезмерной уверенности
Польза от совместных мозговых
штурмов
Обобщение
Проверьте свои знания
17. Экзамены и тесты
Метод «сначала сложное, затем
простое»
Экзаменационное волнение и как с ним

364
371
378
382
383
384
384
391
394
395
399
400
406
411
414
421
423
427
434
440

бороться
Тесты и экзамены – последнее
напутствие
Обобщение
Проверьте свои знания
18. Раскройте свой потенциал
Послесловие
Литература
Благодарности
Иллюстрации
Комментарии

444
445
447
452
467
471
500
506

Барбара Оакли
Думай как математик.
Как решать любые задачи
быстрее и эффективнее
Переводчик И. Майгурова
Научный редактор Е. Лошкарева
Редактор Л. Рыклина
Руководитель проекта А. Деркач
Корректоры Е. Аксёнова, М. Смирнова
Компьютерная верстка М. Поташкин
Дизайн обложки М. Минакова

© Barbara Oakley, 2014
This edition published by arrangement with the Jeremy
P. Tarcher, a member of Penguin Group (USA) LLC,
a Penguin Random House Company
© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина Паблишер», 2015
Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги

не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав
законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет
(ст. 146 УК РФ).

***
Посвящается доктору Ричарду Фелдеру,
чей талант и страсть способствовали
благотворным переменам в обучении
математике, а также естественным,
инженерным и техническим наукам по всему
миру. Мои собственные успехи, как и успехи
десятков тысяч других преподавателей,
произрастают на плодородной почве его
подхода к обучению.

Предисловие
Путеводитель по миру знаний
Ваш мозг обладает потрясающими способностями,
только к нему не приложено руководство по эксплуатации. Такое руководство вы найдете в книге «Думай
как математик». Новичок вы или эксперт, вам откроются новые пути совершенствования навыков и методов усвоения знаний – прежде всего тех, что связаны
с математикой и естественными науками.
Анри Пуанкаре, математик, живший во второй половине XIX – начале XX века, однажды рассказал, как он решил сложную математическую задачу,
над которой безуспешно трудился несколько недель.
Ученый взял отпуск. И когда на юге Франции он садился в автобус, ответ неожиданно пришел сам собой,
всплыв из той части мозга, которая продолжала работать над задачей даже во время отдыха. Пуанкаре
знал, что готовое решение уже найдено, хотя и не записывал деталей до возвращения в Париж.
То, что сработало для Пуанкаре, сработает и в вашем случае – утверждает автор этой книги Барбара Оакли. Как это ни удивительно, мозг может трудиться над задачей, даже когда вы спите и ничего

не ощущаете. Однако такое происходит, только если перед сном вы сосредотачиваетесь на попытках
найти решение. Тогда поутру вы можете проснуться
со свежими мыслями в голове, и они помогут вам решить задачу. Упорные усилия перед тем, как отправиться в отпуск или заснуть, важны для приведения
мозга в нужное состояние, иначе он будет работать
над чем-нибудь другим. В этом отношении математика и естественные науки не уникальны: с той же активностью, с какой мозг пытается найти решение математической или естественно-научной задачи, он будет искать и выход из ситуации, связанной со сложными взаимоотношениями, если в последнее время
вы много о них думали.
В этой потрясающей и своевременной книге, рисующей обучение как приключение, а не как тяжелый
труд, вы найдете много советов и приемов, помогающих эффективно усваивать материал. Вы увидите,
какие уловки приводят к самообману, и сможете оценить, действительно ли знаете материал; вы познакомитесь со способами фокусироваться на упражнениях или делать между ними нужные перерывы; научитесь «сжимать» ключевые идеи так, чтобы их было удобнее удержать в памяти. Освоение простых
практических советов, описанных здесь, поможет вам
учиться более эффективно и избежать огорчений.

Этот прекрасный путеводитель по миру знаний обогатит ваши учебные занятия и всю вашу жизнь.
Терренс Сейновски,
исследований Солка

Институт

биологических

Практичная
и вдохновляющая книга
Эта книга может полностью изменить ваше восприятие и понимание процесса обучения. Вы узнаете
о самых простых, самых эффективных и самых действенных методиках обучения, известных ученым.
И вы с удовольствием ими овладеете.
Удивительно, как много людей пользуется неэффективными и бесполезными стратегиями при получении знаний. Например, в нашей лаборатории мы
провели опрос среди студентов о том, каким образом они усваивают материал. Оказалось, что чаще
всего используется метод повторного чтения – простого многократного перечитывания книг или лекций.
Мы наряду с другими исследователями выяснили,
что этот пассивный и поверхностный способ часто
приносит мало пользы, – и называем его «бесполезным трудом»: студенты занимаются в поте лица,
но эти усилия ни к чему не приводят.
Мы прибегаем к пассивному перечитыванию не потому, что глупы или ленивы, а потому, что становимся пленниками когнитивной иллюзии. Когда мы снова и снова читаем один и тот же материал, он стано-

вится знакомым и лучше воспринимается, а это значит, что мозгу легче его обрабатывать. И нам кажется,
что эта легкость восприятия и есть знак того, что мы
тщательно выучили материал, хотя на самом деле это
не так.
Книга расскажет об иллюзиях усвоения, а также
о том, как не стать жертвой своих ложных представлений. Она вооружит вас новыми действенными приемами, такими как методика вспоминания, и в результате ваши немалые усилия по заучиванию материала принесут более весомые плоды. Эта прикладная
и одновременно вдохновляющая книга покажет, почему одни способы действеннее других.
Мы стоим на пороге открытий, которые позволят
нам лучше усваивать материал. В этом новом мире
откровений книга «Думай как математик» – ваш незаменимый проводник и спутник.
Джеффри Карпик, ассоциированный
психологии в Университете Пердью

профессор

Обращение к читателю
Люди, профессионально работающие в области
математики и естественных наук, зачастую тратят
целые годы на поиски эффективных методов усвоения материала. Найти такие методы – это здорово! Это значит, что обряд инициации, необходимый
для вступления в загадочное сообщество адептов математических и естественных наук, пройден!
Я написала эту книгу с целью изложить в ней эти
простые приемы так, чтобы вы могли немедленно начать ими пользоваться. То, на что у экспертов ушли
годы, теперь доступно и вам.
Эти подходы применимы на любом уровне владения математикой и естественными науками: с их
помощью вы можете изменить и свое мышление,
и всю жизнь. Если вы уже эксперт, взгляд в глубь
мыслительных процессов подскажет вам, как усовершенствовать процесс усвоения материала: как лучше
подготовиться к тестам или как плодотворнее использовать время при выполнении домашних заданий. Если математика вам не дается, вы найдете здесь целые залежи структурированных практических приемов, которые выведут вас на нужный путь. Если вы
хоть когда-нибудь хотели в чем-то совершенствовать-

ся, эта книга будет вам отличным подспорьем.
Книга предназначена для студентов, любящих
искусство и языки, но ненавидящих математику.
Она также полезна учащимся, которые уже отлично
справляются с естественными, техническими и экономическими науками и математикой, но не прочь
разнообразить арсенал средств обучения. Книга пригодится и родителям, дети которых отстают в математике или, наоборот, пытаются подняться к вершинам математического знания. Она поможет и измученному офисному работнику, который не справился с важным сертификационным экзаменом, и ночной продавщице супермаркета, которая мечтает быть
медсестрой или даже врачом. Она для все более растущей армии людей, получающих образование дома.
Она для школьных учителей и вузовских преподавателей – не только в сфере математики, естественных и технических наук, но и в области педагогики,
психологии и бизнеса. Она для пенсионеров, у которых наконец-то появилось время осваивать, например, информатику или тонкости кулинарного искусства. Она предназначена для тех читателей всех возрастов, которые любят знать понемногу обо всем.
Иными словами, эта книга для вас. Получайте удовольствие!
Барбара

Оакли,

доктор

наук,

инженер-

консультант,
член
совета
Американского
института
медицинского
и
биологического
машиностроения,
вице-президент
Общества
технического машиностроения для медицины
и биологии Института инженеров электротехники
и электроники

1. Откройте дверь
Каковы ваши шансы обнаружить в своем холодильнике зомби, удобно устроившегося на полке и вяжущего носки? У меня – эмоциональной, чувствительной и склонной к изучению иностранных языков барышни – были примерно такие же шансы стать преподавателем технических наук.
Математику и естественные дисциплины я терпеть
не могла. Я вечно проваливала экзамены по всем точным наукам, а изучать тригонометрию – причем облегченный курс – я начала только в 26 лет.
В детстве я даже не умела определять время по циферблату. С чего вдруг маленькая стрелка указывает
на часы? Ведь час важнее минут, и указывать час –
дело для большой стрелки! Я вечно путалась, сколько
времени: десять минут одиннадцатого или без десяти два? Хуже был только телевизор. Я даже не знала,
как он включается (дистанционных пультов в те годы
еще не было)! Так что смотреть его я могла только
в компании сестры или брата, которые умели не только включать телевизор, но и найти нужную передачу.
Вот и отлично.
Неумение обращаться с техникой и провалы на экзаменах по математике убеждали меня в том,

что с мозгами у меня не очень. По крайней мере в этих
областях. Я тогда не понимала, насколько мои представления о себе как о персоне, неспособной иметь
дело с техникой, математикой и естественными науками, влияли на мое будущее. Главной проблемой
была математика, цифры и уравнения стали для меня
чем-то вроде смертельных болезней – их хотелось избегать любой ценой. Я и не знала, что сосредоточиться на математике проще простого: для этого существуют несложные мыслительные приемы, полезные
не только для тех, кто слаб в математике, но и для тех,
кто в ней уже силен. Я не понимала, что мой тип мышления традиционен для людей, считающих, что математика и точные науки – не для них. Сейчас я вижу,
что мои проблемы коренились в различии двух взглядов на мир. Тогда я знала только один способ учиться
и в результате оставалась глуха к музыке математики.

Я в десятилетнем возрасте (сентябрь 1996-го) с барашком по кличке Граф. Я любила животных, обожала читать и мечтать. Математика и естественные науки меня не интересовали.
Фото предоставлено автором
Математика бывает ласковой матерью. Она логично и величаво поднимается от сложения к вычитанию,
умножению и делению, затем взмывает к небесам математических красот. Однако бывает и злобной мачехой, которая не прощает ни малейшего сбоя в этой
логичной последовательности – а ведь сбиться и пропустить шаг так легко! Семейные сложности, усталый
учитель, некстати затянувшаяся болезнь – даже неделя-другая, если она пришлась на ключевой период,
может выбить вас из игры навсегда.
Или, как было в моем случае, все может решить простое отсутствие интереса либо уверенность
в недостатке способностей.
В седьмом классе нашу семью постигло несчастье.
Отец потерял работу из-за серьезной травмы позвоночника, и мы переехали жить в захудалый район,
где в школе преподавал математику брюзга, часами заставлявший учеников механически складывать
и умножать в духоту и зной. При этом он ничего
не объяснял. Казалось, ему нравилось видеть, как мы

страдаем.
К тому времени я не просто считала математику
бесполезной – я ее ненавидела. А что касалось естественных наук… да их ничего и не касалось. Во время
первого же химического опыта учитель дал мне и моей соседке по парте совсем не те вещества, что получил весь класс, а потом высмеял нас за попытку подогнать ответ под результаты, полученные другими учениками. Когда мои родители, искренне озабоченные
моей неуспеваемостью, посоветовали мне попросить
учителя о дополнительных занятиях в учебное время,
я решила, что мне лучше знать, что делать. Математика и естественные науки бесполезны, а непререкаемые Демиурги Школьной Программы вознамерились
их в меня воткнуть насильно. Победить я могла только одним – отказом понимать материал и яростным
проваливанием всех экзаменов. Противостоять такой
стратегии мои противники были не в состоянии.
У меня, правда, были и другие интересы. Я любила
историю и общественные науки, с удовольствием изучала культуру и особенно языки. За счет этих предметов средний балл держался на приемлемом уровне.
Сразу после школы я записалась в армию – там мне
собирались платить за то, чтобы я выучила иностранный язык. Я изучала русский (выбранный мной ни с того ни с сего) так успешно, что Служба вневойсковой

подготовки офицеров запаса (ROTC) стала платить
мне стипендию. Затем я перешла в Вашингтонский
университет в Сиэтле, где получила степень бакалавра по славянским языкам и литературе с отличием.
Русский язык лился из меня легко, как теплая патока: произношение было настолько хорошим, что меня
порой принимали за русскую. Времени на совершенствование навыков я не жалела: чем лучше я владела языком, тем больше мне нравилось им заниматься, а чем больше я занималась, тем больше времени этому посвящала. Успехи только укрепляли желание практиковаться дальше, и это приводило к новым
успехам.
Однако через некоторое время случилось неожиданное: меня произвели в офицеры, теперь я была вторым лейтенантом войск связи США. Передо
мной вдруг замаячила необходимость стать экспертом по телеграфной, телефонной и радиосвязи. Представляете? Я – уверенный в себе специалист по филологии, строящий судьбу собственными руками, –
оказалась выброшена в новый для меня мир техники
и технологий, в котором была пень пнем.
Вот так поворот!
После курса по электронике, в основе которого лежала математика (по успеваемости я была последней
в группе), меня с моими шаткими знаниями отправили

в Западную Германию командиром отделения связистов. Там я увидела, что технически грамотные офицеры и рядовые здесь нарасхват: к ним обращались
за помощью в первую очередь: именно от них зависело успешное выполнение поставленных задач.
Поразмыслив о своей карьере, я поняла, что раньше следовала внутренним привычным пристрастиям,
не оставляя места для новых, и в результате незаметно для себя оказалась в тупике. Если я останусь в армии, из-за технической беспомощности всегда буду специалистом второго сорта. Если же уйти
из армии – что мне делать с дипломом по славянским языкам и литературе? Мест, где требуется знание русского языка, не так уж много, я неизбежно окажусь в миллионной толпе таких же обладателей степени бакалавра, годных лишь для малоквалифицированной секретарской работы. Пурист, возможно, заявил бы, что с моими учебными и служебными достижениями я могла претендовать и на более заметную
работу, однако такой пурист вряд ли знает, как жесток
порой рынок трудоустройства.
К счастью, был еще один нестандартный выход.
Мне, как военнослужащей, закон гарантировал деньги на дальнейшее обучение после службы в армии.
Что, если использовать эту сумму на немыслимый
эксперимент – на изменение самой себя? Сумею ли я

перестроить свое сознание и из математикофоба превратиться в математикофила? Из технофоба в техногения?
Я прежде не слышала о подобных перерождениях, тем более в случаях такой запущенной фобии,
как у меня. Математика и я – более несовместимых
вещей я себе не представляла. Однако на примере
сослуживцев видела, какую пользу может принести
такая перемена.
Это стало для меня вызовом, неудержимым соблазном.
И я решила перестроить свое сознание.
Мне приходилось нелегко. Первые семестры меня
то и дело переполняли страх и отчаяние, словно я
шла на ощупь с завязанными глазами. Мои более молодые сокурсники казались мне прирожденными математиками, которым легко открывалось нужное решение, я же то и дело натыкалась на глухие стены.
Однако со временем стало приходить понимание.
Выяснилось, что часть предыдущих проблем коренилась в неверном подходе – как если бы я пыталась поднять бревно, на котором сама же и стою.
Я начала замечать полезные мелочи, помогающие
не только заучивать материал, но и вовремя останавливаться. Я поняла, что освоение одних техник
может стать полезнейшим инструментом овладения

другими. Я также научилась не браться за заучивание больших объемов информации, а оставлять себе время попрактиковаться, даже если при этом мои
одногруппники заканчивали обучение раньше меня
(я в каждом семестре проходила меньше предметов,
чем они).
По мере того как я училась учиться математике
и естественным наукам, дело шло все легче. К моему
удивлению, повторялась ситуация с изучением языков: чем лучше я разбиралась в предмете, тем больше мне нравилось им заниматься. Бывшая «королева
математиков-слабаков» заработала степень бакалавра по электротехнике, затем магистра по компьютерной и электротехнике, а напоследок докторскую степень по системотехнике, требовавшую обширных знаний по термодинамике, электромагнитным явлениям,
акустике и физической химии. Чем выше я поднималась, тем лучше были оценки, и к докторской степени
я продвигалась как на крыльях, блистая отличными
баллами. (Впрочем, возможно, не совсем на крыльях.
Хорошие оценки требовали труда, но то, над чем приходилось трудиться, было мне понятно.)
Теперь, став преподавателем технических наук,
я заинтересовалась процессами, происходящими
в мозге человека. Мой интерес естественным образом возник из того факта, что именно инженерные тех-

нологии лежат в основе медицинских исследований,
позволяющих заглянуть внутрь мозга. Теперь мне гораздо понятнее, как и почему я смогла изменить свое
сознание. И я гораздо яснее вижу, как помочь вам –
именно вам – учиться более эффективно, без тех
трудностей и препятствий, что выпали на мою долю[1]. А поскольку моя исследовательская деятельность включает в себя изыскания в области технических, социальных и гуманитарных наук, то я хорошо
знакома с творческими процессами, на которых основаны не только литература и искусство, но и математика и естествознание.
Если вы (пока еще) не считаете себя от природы одаренными в математике и естественных науках,
вас может удивить тот факт, что мозг создан для выполнения сложных расчетов. Именно такие расчеты позволяют нам ловить мяч, раскачиваться на стуле, объезжать на машине дорожные ямы. Мы производим непростые вычисления и решаем головоломные уравнения бессознательно, не отдавая себе отчета в том, что решение нам известно задолго до того,
как мы придем к нему долгим путем[2]. На самом деле чутье и способности к математике и естественным
наукам есть у каждого. Нужно лишь освоить терминологию и соответствующую культуру.
В процессе создания этой книги я общалась с сот-

нями людей – лучшими в мире преподавателями математики, физики, химии, биологии и инженерных наук, а также преподавателями педагогики, психологии,
нейробиологии и таких дисциплин, как бизнес и здравоохранение. Я поражалась тому, насколько часто эти
специалисты мирового класса использовали при изучении своих наук ровно те же методы, которые описываются в этой книге. Этим же приемам они пытались научить и своих студентов, однако поскольку такие методики порой кажутся нелогичными и даже иррациональными, то преподавателям не всегда удавалось убедить студентов ими пользоваться. Более того, некоторые из этих способов передачи и получения
знаний часто высмеиваются учителями из числа заурядных, поэтому знаменитые преподаватели доверяли мне свои секреты довольно сдержанно, не зная,
что множество других их коллег того же масштаба
применяют те же приемы. Эти советы лучших профессоров мира теперь, собранные воедино, представлены и вам для изучения и применения на практике. Методы, описанные в этой книге, особо ценны для случаев, когда вам нужно получить и хорошо усвоить глубокие знания за ограниченное время.
Вам также будут полезны советы людей, которые,
как и вы, учатся и по собственному опыту знают все
возможные трудности и ограничения.

Помните: это издание – для тех, кто уже овладел
математикой, и для тех, кто боится к ней подступиться. Я написала ее для того, чтобы облегчить вам изучение математики и естественных наук, независимо
от вашей былой успеваемости и от вашего мнения
о собственной пригодности к обучению. Из моей книги вы узнаете о мыслительных процессах и о том,
как ваш мозг усваивает новые знания, а также о том,
как он порой убеждает вас, будто вы чему-то учитесь,
хотя на самом деле никакого обучения не происходит.
Книга также содержит множество упражнений по развитию навыков обучения, которые вы можете применить к вашим текущим занятиям.
Если вы уже поднаторели в математике и естественных науках, эти советы помогут вам совершенствоваться, принесут радость, разовьют творческий подход и придадут изящества вашим уравнениям.
Если вы попросту уверены в том, что не имеете способностей к математике и естественным наукам, эта книга может вас переубедить. Вы, возможно, этому не поверите, но все же получите надежду. Когда вы попробуете применить на практике советы, приведенные здесь, вы с удивлением обнаружите
в себе перемены, которые откроют вам путь к новым
увлечениям.

Эта книга поможет вам добиваться лучших результатов и подходить к делу творчески – не только в математике, но и во всем, чем вы занимаетесь.
А теперь к делу!

2. Легкость – лучший подход
Почему излишняя
старательность
может быть вредна
Если вы хотите проникнуть в некоторые важнейшие тайны изучения математики и естественных наук,
взгляните на эту фотографию.
Мужчина справа – легендарный шахматный гроссмейстер Гарри Каспаров. Мальчик слева – 13-летний
Магнус Карлсен. Карлсен только что отошел от шахматной доски в разгаре партии в быстрые шахматы –
игры, не предусматривающей длительного обдумывания ходов и стратегии. Это примерно как решить вдруг
сделать заднее сальто, идя по канату над Ниагарским
водопадом.
Да, Карлсен выбивал противника из колеи, и Каспаров, вместо того чтобы разгромить дерзкого мальчишку, сыграл вничью. Однако гениальный Карлсен,
который впоследствии стал самым молодым шахматистом, добившимся наивысшего шахматного рейтинга, не просто вел интеллектуальное сражение
со старшим противником. Понимание общего подхо-

да Карлсена может дать нам ключ к процессам, происходящим в мозгу, когда человек изучает математику и естественные науки. Прежде чем рассматривать
то, как Карлсен противостоял Каспарову, нам нужно
остановиться на нескольких важных принципах человеческого мышления (а к Карлсену мы еще вернемся,
не сомневайтесь!).
В этой главе мы коснемся некоторых основных тем
нашей книги, поэтому не удивляйтесь тому, что вам
придется переключать восприятие с одного предмета
на другой. Способность переключать внимание – сначала ухватывать деталь изучаемой общей картины,
а потом возвращаться к предмету для полного понимания происходящего – сама по себе составляет один
из главных предметов этой книги.

Тринадцатилетний Магнус Карлсен (слева) и легендарный Гарри Каспаров на турнире по быстрым шахматам в Рейкьявике, 2004 г. На лице Каспарова проступает явное недовольство
ВАША ПОПЫТКА!
Настройте свой «мыслительный насос»
Когда вы впервые начинаете просматривать
главу учебника по математике или естественным
наукам, полезно пробежать глазами весь раздел,

составляя себе общую картину: взглянуть
не только на схемы, диаграммы и фотографии,
но и на заголовки разделов, выводы и даже
на вопросы в конце текста (если они есть).
На первый взгляд такой подход кажется
нелогичным – вы ведь еще не читали главу! –
однако он помогает настроить «мыслительный
насос». Попробуйте прямо сейчас проглядеть
всю главу и вопросы в конце.
Вы удивитесь тому, насколько минутадругая, потраченная на такое предварительное
просматривание
новой
главы,
помогает
упорядочить мысли. Таким способом еще
до того, как начать внимательное ознакомление
с текстом, вы создаете незаметные нейронные
зацепки для восприятия, которые облегчат вам
усвоение материала.

Мышление сфокусированное
и мышление рассеянное
С самого начала XXI века нейробиология уверенными шагами продвигается к пониманию двух
типов систем, попеременно используемых мозгом.
Это системы, ответственные за состояние повышенного внимания и за более расслабленное состояние
покоя[3]. Мыслительные режимы, относящиеся к таким состояниям, мы будем называть соответственно
«сфокусированным мышлением» и «рассеянным
мышлением»; и то и другое очень важно при обучении[4]. В повседневной жизни ваше состояние часто
меняется и вы пребываете либо в одном, либо в другом мыслительном режиме, а не совмещаете оба сразу. В рассеянном состоянии мозг способен незаметно,
в качестве фонового процесса, обдумывать то, на чем
вы в данный момент не сосредоточены [5]. А иногда вы
можете переключаться в рассеянный режим на короткий миг.
Сфокусированное мышление крайне важно
для изучения математики и естественных наук.
Оно предполагает прямое обращение к решаемой задаче и использует рациональный, последовательный

и аналитический подход. Такой тип мышления ассоциируется со способностью сосредотачиваться, связанной с префронтальным участком коры головного мозга (находящимся непосредственно за лобной
костью)[6]. Стоит вам обратить на что-то внимание –
и готово: сфокусированное мышление включилось,
как четкий всепроникающий свет от ручного фонарика.

Префронтальный участок коры головного мозга на-

ходится за лобной костью
Рассеянное мышление тоже важно для изучения
математики и естественных наук. Оно дает нам возможность испытывать внезапные озарения и находить неожиданные решения, когда мы бьемся над какой-нибудь задачкой. Также оно ассоциируется с широким ракурсом и способностью видеть всю картину целиком. Рассеянное мышление значит, что вы
ослабляете внимание и мысли бродят как им захочется. Такое расслабление позволяет различным участкам мозга возвращать догадки и озарения в активную зону. В отличие от сфокусированного мышления
рассеянное мышление почти не связано с конкретными участками мозга – оно как бы «рассеяно» по всему мозгу[7]. Озарения и догадки, приходящие в таком
состоянии, часто берут начало в предварительных
размышлениях, случающихся при сфокусированном
мышлении. (Рассеянному мышлению, чтобы делать
кирпичи, нужна глина!)
Изучение нового материала сопровождается «мигающими» нейронными процессами в разных участках мозга и передачей данных от полушария к полушарию[8]. Это значит, что думать и учиться – процесс
более сложный, чем обычное переключение со сфокусированного на рассеянное мышление и обратно.

К счастью, нам не нужно вдаваться в тонкости физиологических механизмов. Мы применим другой подход.

Сфокусированное состояние –
тесный пинбол-автомат
Для лучшего понимания сфокусированных и рассеянных мыслительных процессов мы немного поиграем в пинбол (метафоры – мощное средство для изучения математики и естественных наук). В старой игре вы отводите пружинный рычажок и он вбрасывает
на поле шарик, который потом беспорядочно мечется
между круглыми резиновыми буферами.

Этот зомби со счастливым лицом – игрок в мыслительный пинбол
Взгляните на следующую иллюстрацию. Когда вы
сосредотачиваете внимание на проблеме, ваше сознание поворачивает мыслительный рычажок и высвобождает мысль. Бац – и мысль выскакивает на поле, мечась от буфера к буферу, как в пинбольной игре
в голове слева. Это сфокусированное мышление.
Посмотрите, как близко друг к другу расположены
буфера при сфокусированном мышлении. А при рассеянном мышлении (справа) резиновые буфера расположены не так плотно. (Если вы хотите продолжить
эту метафору дальше, считайте каждый буфер пучком нейронов.)
Буфера, кучно поставленные при сфокусированном мышлении, означают, что вам легче обдумывать
конкретную мысль. Сфокусированный режим в основном используется для сосредоточения на пунктах, которые уже тесно связаны в вашем сознании (часто потому, что понятия, лежащие в их основе, вам знакомы и понятны). Если пристальнее взглянуть на верхнюю часть рисунка, относящегося к сфокусированному мышлению, мы увидим более широкую, «хорошо протоптанную» часть линии: она показывает,
как мысль проходит по уже изведанным путям. Напри-

мер, сфокусированный режим используется для перемножения чисел – если вы, конечно, уже знаете
правила умножения. При изучении иностранного языка сфокусированный режим и