«Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері» ғылыми жоба

Тақырыбы:

«Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері»

/ғылыми жоба/

Жoбa aвтoры:

Жoбa жeтeкшiсi:

2 021 ж

Мaзмұны

I.

IV. Қолданылған әдебиеттер...........................................................................................................20

Кіріспе

Бiлiм өркениеттiлiктiң әрi өлшемi, әрі тетiгi болып табылатындықтан кез келген мемлекеттiң рухани жәнe әлеумeттiк дәрeжeсi бiлiм дeңгeйiнe бaйлaнысты бaғaлaнaды. 
Жaн-жaқты үйлeсiмдi, өркeниeттi eлдiң ұрпaғын тәрбиeлeп шығу бүгiнгi мeктeптiң aлдынa қойылғaн мaқсaттaрдың бiрi. Бұл мaқсaт әрбiр ортa мeктeп мұғaлiмiнeн бүгiнгi зaмaн тaлaбынa сaй oқыту әдiстeмeсiн күннeн күнгe жeтiлдiрe түсуiн тaлaп eтeдi. Осы тaлaптың орындaлуы ортa мeктeп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор. 
Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. 
«Квадрат теңдеулер» мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, т.с.с. мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі. 
Зерттеу барысында мектеп оқушыларына «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының түрлі тәсілдерін таныстыруға мүмкіндік бар екендігін анықтадым. Зерттеу барысында «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының 10 түрлі әдісімен таныстым. Ол тәсілдерге алда жеке – жеке тоқталамын. 

Бұл жобаны қорғаудағы басты мақсат: квадрат теңдеулерді шешудің әдістерін үйрене отырып, есептеуді ойша шешіп, есеп нәтижесін табуды жылдамдату және тез есептеу әдістері арқылы болашақта математика ғылымының дамуына өз үлесімді қосу болып табылады. Сондай-ақ бұл жоба арқылы әр оқырманның математикалық қызығушылығын дамытып, өмірге деген ой толғанысын тудыру және білімін шыңдай түсу саналады.

1.Квадрат теңдеудің даму тарихы

2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д   II мыңжылдықта Ежелгі Вавилонда шығара білген. Ежелгі  Греция математиктері  квадрат теңдеулерді   геометриялық тәсілмен шешкен. Mысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі қатынастарға бөлу арқылы шешкен.   
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бірнеше рет  «қайтадан ашылған». Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан (шамамен 598 жылы). Ортаазия ғалымы әл-Хорезми (9 ғасырда) өзінің «Китаб аль-джебр валь-мукабала» трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен.

2.Ертедегі Диофaнттың eсeбi.

Есеп. Екi санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.

Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.

Алдыңғы есепке қайта оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.

Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:

5х² -8х+13=13

5х² -8х=0

х(5х-8)=0 5x-8=0 5x=8 x=

Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2= + 2= , екіншісінікі 2х-3=2* -3= -3=

Квадраттың аудандары: ( )² = , ( )² =

Бұл сандардың қосындысы + = =13 болады, яғни есепті қанағаттандырады.

Міне Диофант осылайша квадраттың қабырғаларын және оның ауданын табудың жолын көрсетті.

Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы.

Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен, әл-Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.

Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне келтіріп, сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық тәсілдері келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты белгілер кітапта атымен жоқ болғандықтан, «әл-Хорезмидің алгебрасы толығымен сөзбен сипаттау арқылы баяндалған. Гректің «Арифметикасында» немесе Браһмагуптаның еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем қолданылмаған. Тіпті сандар арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен сөздер ретінде жазылған!». Сондықтан теңдеулер сөзбен «шаршы» деп (яғни бүгіндері “x²” деп), «түбір» деп (бүгін оны “x” деп) және «сандар» деп (мысалы, «отыз үш», «алты» деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп отырды. Бүгінгі күннің шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax² = bx) 
2) квадраттар санға тең (ax² = c) 
3) түбірлер санға тең (bx = c) 
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax² + bx = c) 
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax² + c = bx) 
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax²) 

Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) («толықтыру») амалы: теріс шаманы теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шамаға өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x² = 40x – 4x²” теңдеуі «әл-жәбр» амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x² = 40x” Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) («теңдестіру») дегеніміз – теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу: “x² + 5 = 40x + 4x²” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x²“. Осы ережені қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты) теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған.

1-тәсіл. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу тәсілі

х² + 10х - 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .

Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Демек, теңдеуді былай жазуға болады: 

(х + 12)(х - 2) = 0

х + 12= 0; х - 2 = 0

х = - 12   х = 0+2

х = 2

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2 және х = - 12  сандары х² + 10х - 24 = 0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады.

2-тәсіл. Толық квадратқа келтіру тәсілі

Мысалы: х²+6х -7=0 теңдеуін шешейік.

Сол  жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х² + 6х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:  

х² + 6х = х² + 2• х • 3.

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 3-тің  екі  еселенгені. Толық квадрат алу үшін 3²-ын қосу керек. Сонда   

х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)².

Енді теңдеудің сол жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 3² -ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:         

х² + 6х - 7 = х² + 2• х • 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:     

(х + 3)² - 16 =0, - 16 санын тең боладының оң жағына қарсы таңбамен көшіреміз, сонда (х + 3)² = 16.

х + 3= 4 және х + 3=-4 екі теңдеу аламыз

Бұдан , х + 3 - 4 = 0, х-1=0, х₁ = 1, немесе х + 3 = -4, немесе х= -4-3 х₂ = -7.

Міне осылай теңдеудің түбірлерін анықтаймыз.

3-тәсіл. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу тәсілі

А)ах² + bх + с = 0, а ≠ 0

теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х² + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4ac = 7²