Неопределённый и определённый интегралы

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИКА.

(Специальность: 140102 «Теплоснабжение и теплотехническое оборудование»)

СТРУКТУРА УРОКА

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент

Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Откройте тетради, запишите дату и тему занятия. Занятие № 20. Тема: Обобщающее  занятие по теме «Неопределённый и определённый интегралы». Отметим отсутствующих.

2. Мотивация учебной деятельности (Обострить внимание на значимость этой темы, связь её с теплотехникой и другими дисциплинами.)

Определённый интеграл имеет большое практическое  применение. С его помощью можно вычислять объёмы и площади поверхностей геометрических тел, длину кривой линии, площади плоских фигур, важные физические величины (работу, силу, теплоту и др.).

Как вы думаете, какое из высказываний, которые вы видите на экране,  более всего подходит к теме нашего занятия?

«Недостаточно только получить знания, надо их систематизировать и найти им достойное приложение». Гёте И. (Немецкий поэт и мыслитель18 века.)

«Не в количестве знаний заключается образование, но в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь.» Дистервег А. (Немецкий педагог и политик 19 века.)

«Повторение – мать учения». (Русская народная пословица.)

- Кто бы из вас и выбрал 1 высказывание?                      Почему?

- Кто бы из вас и выбрал 2 высказывание?                      Почему?

- Кто бы из вас и выбрал 3 высказывание?                      Почему?

1-й студент: Мне понравилась пословица. Я считаю, что одной из целей занятия должно быть повторение пройденного материала.

2-й студент: Мне больше понравилось второе высказывание И.Гёте. Я считаю, что нам нужно кроме повторения ещё всё разложить по полочкам, т.е. систематизировать знания и умения.

3-й студент: А я считаю, что все три высказывания подходят к теме нашего занятия, и мы должны сегодня повторять, систематизировать и применять знания на практике.

Вы выбрали все три? И правильно! Значит целью нашего занятия будет: Повторение, систематизация и применение  знаний по теме «Неопределённый и определённый интегралы».

Как и в какой последовательности, мы будем достигать эти цели? Что раньше мы будем делать? Писать тест или повторять теорию? Проверять домашнюю работу или выполнять самостоятельную работу? Проводить самоанализ или решать типовые задачи?

Студенты формулируют последовательность действий по достижению целей:

проверим домашнюю работу, повторим теоретический материал, будем решать типовые задачи, напишем тест, проведём самоанализ

Сегодня  оценка будет складываться из вашей работы в течении всего занятия.

На столах у вас лежит ЛИСТ САМООЦЕНКИ. Подпишите эти листы Ф.И.О.

3. Актуализация опорных знаний, проверка домашнего задания:

Кто желает оформить на доске своё решение домашних задач? Два студента на доске готовят демонстрацию домашних примеров. Пока ребята готовятся у доски проводится фронтальный опрос. (Вопросы и правильные ответы последовательно высвечиваются на экране в виде слайдов)

1) Что называется первообразной?

2) Что называется неопределённым интегралом?

3) Как обозначается, читается  неопределённый интеграл?

4) Что такое интегрирование?

5) Сформулировать 1 свойство неопределённого интеграла.

6) Сформулировать 2 свойство неопределённого интеграла.

7) Сформулировать 3 свойство неопределённого интеграла.

8) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

9) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

10) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы   

11) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы  

12) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

13) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

14) Перечислить основные методы интегрирования

15) Как обозначается (читается) определённый интеграл

16) Геометрический смысл определённого интеграла

17) Основные свойства определённого интеграла

18) Дописать на доске формулу Ньютона – Лейбница 

Слово предоставляем студентам у доски. Выступают студенты с домашними примерами, проверяются их решения, демонстрируются правильные решение на экране, каждый сравнивает своё решение с решением на экране и выставляет  самооценку.

Задача № 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = -х + 8; у =  ; у =2. Построим графики указанных функций в одной системе координат  

Найдем  пределы интегрирования -абсциссы точек пересечения графиков А,В,С. Для этого решим уравнение:  -х + 8 =   т.е  Х_{В =} 4.    = 2   т.е Х_А=0;  -х + 8=2    т.е Х_С=6.  Площадь искомого  АВС равна сумме площадей   АВD  и  ВСD. Площади каждого из последних равны разности двух  соответствующих  определённых интегралов.

S_ABD=   = 4(кв.ед).

S_BСD=  = 2(кв.ед).

S_АBС =S_BСD+S_BСD=4+2=6 (кв.ед.).                  Ответ: 6 кв.ед.

Задача № 2   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х²+1;  у = - х²+4х +1.

Построим графики указанных функций в одной системе координат

Найдем  пределы интегрирования - абсциссы точек пересечения графиков А  и В. Для этого решим уравнение:  х²+1= - х²+4х +1   2х²-4х =0     х(х-2)=0   или х=2. Площадь искомой фигуры равна разности двух определённых интегралов на промежутке [0;2].     S=   =    =

= ( +8) = 2  (кв.ед.)              Ответ: 2   кв.единиц.

4. Обобщение и систематизация знаний (решение задач)

Приступаем к решению типовых задач. (Студенты заранее должны приготовить типовые примеры). 

А) Метод непосредственного интегрирования. (Вызывают двух студентов для решения интегралов этим методом).

Задача 1: Вычислить интеграл  .

Задача 2: Вычислить интеграл    

Б) Метод замены переменной. (Вызывают двух студентов для решения интегралов этим методом).  Задача 3:  Вычислить интеграл       

Задача 4:  Вычислить интеграл       

В) Кто приготовил примеры вычисления интеграла по частям и определённого  интеграла? (Вызывают двух студентов для решения этих примеров)

Задача 5 Вычислить интеграл       .    Напоминается, что метод интегрирования по  частям основан на формуле:   

Задача 6 Вычислить определённый интеграл      

Напоминается, что определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Те ребята, которые выходили к доске, выставляют баллы за свои решения в лист самооценки

5. Применение знаний и умений, в новой ситуации

Определённый интеграл имеет большое практическое применение (с его помощью можно вычислять объёмы и площади поверхностей геометрических тел, важные физические величины, такие как работу, силу, теплоту и др.). Мы рассмотрим применение определённых интегралов на примере  вычисления площади плоской  фигуры неправильной формы, где другими способами, точно её вычислить очень сложно. Выполняется небольшая самостоятельная работа (студенты в парах решают задачу №7).

Задача 7: Вычислить площадь земельного участка ограниченного участком параболы

у = - х²+4х и отрезком прямой у = х.

В конце самостоятельной работы на экране демонстрируется правильное решение.

Решение:   Построим графики указанных функций в одной системе координат.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков.  Для этого решим уравнение - х² +4х=х    -х² +4х -х=0    - х² +3х=0     х(3-х)=0     х=0 или х=3. Площадь искомой фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, а значит разности двух определённых интегралов на промежутке [0;3].    S=   |  = (-9+27/2) -0 =9/2 = 4,5 (кв.ед).

Кто правильно решил задачу №7, проставляет самооценку.

6. Пояснение домашнего задания.

Прежде, чем переходить к тестированию, запишите домашнее задание (оно расположено на ваших столах)  и посмотрите краткие пояснения к ней на экране.

Задача № 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

У= - х²+8х -5,  у =  х² -2х +3.

Задача №2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями: у =  , у = 0, х = 1, х = 9.

7. Тестирование

И для закрепления того, что мы с вами прошли, выполним тест по вариантам №1 и №2. Переверните листы самооценки, обнаружите тест. В каждом вопросе выберите правильный ответ и  закрасьте ручкой соответствующие кружочки на рисунке. Верхний ряд кружков соответствует ответу «а», средний – «б», нижний – «в». Первый столбец слева соответствует первому вопросу теста и т.д. Затем соедините кружки линией. Поднимите свои работы, и мы увидим улыбки, которые получились на рисунке.

    - Забавная рожица для ответов на вопросы теста.

Вариант № 1

1 Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:    

а)                 б)    в) 

2 Вопрос. Интегрирование – это действие обратное

а) вычитанию                 б) дифференцированию                      в) сложению

3 Вопрос. Чему равен интеграл        

а)  = 5cosx +c                  б)= 2cosx +c                                           в) = -10cosx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы 

а)                                       б)                        в)  

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл    равен:    а) 8    б) 100   в) -20

Вариант №2

1Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:

             а)               б)    в) 

2 Вопрос. Правильность интегрирования можно проверить:

а) сложением                   б) дифференцированием                      в) вычитанием

3 Вопрос. Чему равен интеграл 

а)  = 5sinx +c                     б)= 2sinx +c                                           в) = 8sinx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы   =

а)                                       б)                          в)  cosx + c

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл     равен:  а) 1       б) 10   в) -30

Если ответы верные, то получается улыбка, как показано на рисунке.

П осчитайте количество верных ответов и заполните листы самооценки. Поставьте оценку за урок!

8. Рефлексия

Ваши впечатления  о занятии

а) Довольны ли вы своими баллами и своей самооценкой?

б) Понравилась ли вам такая форма проведения занятия?

в) Какой этап занятия более всего понравился?

г) Кто из ваших товарищей был на уроке самым активным?

д) Чей ответ больше всего понравился?

Список используемой литературы:

1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике для студентов СПО.-М.:Дрофа, 2009.

2. Григорьев В.П. Ю.А.Дубинский. Элементы высшей математики. -М.: АСАDEMA,2008.

3. Электронный ресурс – режим доступа: http://knowledge.allbest.ru/mathematics

Расскажите друзьям: