Оқушымен жұмыс Кездейсоқ оқиға және ықтималдық

Кездейсоқ оқиға және ықтималдық

Күнделікті өмірде орындалатын да, орындалмайтын да оқиғалар жиі кездеседі. Таңертең тұрып терезеден далаға қарасақ, далада күн ашық болуы да, бұлтты болуы да, жаңбыр жаууы да, қар жаууы да мүмкін. Бұлардың бәрінің орындалу мүмкіндіктері тең. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Және олар кездейсоқ оқиға болып табылады. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі де – кездейсоқ оқиға. Сонымен, кездейсоқ оқиға деп белгілі бір тұрақты жағдайда орындалуы мүмкін немесе орындалмауы мүмкін оқиғаны айтады.
Мысал 1: Асықты лақтырып ойнағанда, ол асықтың бүк жағы жоғары қарап немесе шік жағы жоғары қарап, әлде болмаса, тәйкі жағы немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі мүмкін. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі кездейсоқ оқиға болып табылады.

Біз қадағалап отырған нәтиже қанша рет шығатындығын анықтау үшін бірнеше рет бір-біріне тәуелсіз тәжірибелер жүргізіледі. Тәжірибе деп нәтижесін байқауға болатын объектіні түсінеміз. Мысалы: емтихан тапсыру, мылтықтан оқ ату, ойын тасын лақтыру, т.б.

Негізі тәжірибеге дейін бізге қолайлы оқиғаның орындалатынын, не болмаса орындалмайтынын анықтау мүмкін емес, оны тек тәжірибе соңында ғана көреміз. Біз ықтималдықтар теориясында кездейсоқ тәжірибеге қатысты барлық оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар дейміз және кездейсоқ оқиға болып мына оқиғалар саналады:

1. жалған — ешқашан орындалуы мүмкін емес оқиға,

2. айқын — әрбір тәжірибе барысында орындалатын оқиға.

Мысал 2: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:

А= жұмыртқаның пісуі ;

В= жұмыртқаның піспеуі ;

С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы

А, В оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға.

Мысал 3: Немесе ойын тасын (біртекті куб) тастағанда, ол алты жағына түсуі мүмкін. Егер оларды 1, 2, 3, 4, 5, 6 деп белгілесек, 7 түсуі жалған, осы алты жағының бірі түсуі айқын оқиғалар.

Ал жұп ұпайдың түсуі, түспеуі кездейсоқ оқиға, өйткені оның яғни 2, 4, 6 жағының түсуін алдын-ала болжай алмаймыз. Ол нәтижеге байланысты. Нәтиже дегеніміз, кездейсоқ тәжірибені аяқтайтын және бір-бірін өзара жоққа шығаратын нұсқалардың бірі.

Мысалы 4:

1. Тиынды лақтырғанда — екі нәтиже: елтаңба және цифр жағының түсуі

2. Ойын тасын лақтырғанда — 6 нәтиже: 1, 2, 3, 4, 5, 6 жағының түсуі

Оқиғаның ықтималдығы әрқашан оң сан болады немесе нөлге тең болады. Ол 1-ден артық бола алмайды, себебі ықтималдық анықталатын бөлшектің алымы бөлімінен үлкен сан бола алмайды (себебі қолайлы оқиғалар саны барлық оқиғалар санынан артпайды).
Ықтималдықты кездейсоқтықтың сипаттамасы деп қарастырамыз. А оқиғасының ықтималдығын Р(А) деп белгілейік, онда оқиға қандай болса да,
.
Оқиғаның орындалуы айқын болған сайын ықтималдық 1-ге, ал оқиғаның орындалу мүмкіндігі азайған сайын немесе жалған ықтималдық 0-ге жақындайды.
1.2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

Сонымен, біз кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы сол оқиғаны құрайтын нәтижелер ықтималдығынан шығады деп қарастырдық. Егер осы нәтиженің ақырғы саны мен олардың ықтималдықтары белгілі болса, онда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын сол оқиғаға кіретін нәтижелер ықтималдығының қосындысы ретінде қарастыруға болады:
Мысал 1:
А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ;
В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ;
С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ;
Р(С) = Р(2) + Р(3) + Р(5)
Жауабын табу үшін әрбір нәтиженің ықтималдығын анықтау керек. Бұл оңай емес. Бірақ ойынтасы үшін, бәрі айқын, яғни барлық нәтиже бір және жалғыз ықтималдыққа ие: ; Неге біз оған сенімдіміз? Себебі, ол — ойынтасының симметриясына байланысты. Ойынтасының әрбір алты жағының қалған бес жағынан еш артықтығы жоқ. Бұдан біз тәжірибенің 6 нәтижесінің бірдей ықтималдығы болатынын анықтаймыз. Дәл осыны тиын лақтыру барысындағы екі нәтижеге байланысты айтуға болады, яғни ықтималдығы: ;
Мұндай нәтижелер — теңмүмкіндікті нәтижелер. Ақырғы саны бар теңмүмкіндікті нәтижелерден тұратын тәжірибе үшін кез келген кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын есептеудің қарапайым шартынан ықтималдықтың классикалық анықтамасы немесе Лаплас формуласы деп аталатын формуланы қорытып шығаруға болады:

Мысал 2:

Ойынтасын лақтырғандағы нәтижелер санын еске түсірейік:

А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ;

В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ;

С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ;

Тәжірибеде теңмүмкіндікті нәтижелер саны n=6. Қолайлы нәтижелер саны:

mA=3, mB=2, mC=3,

; ; ;
(Даламбер қатесі):

Екі бірдей тиынды лақтырайық. Олардың бірдей жағының түсу ықтималдығы қандай?

(Даламбер шешімі): Тәжірибенің үш теңмүмкіндікті нәтижесі бар:

1. екеуі де елтаңба жағымен түседі

2. екеуі де цифр жағымен түседі

3. тиынның біреуі елтаңба, біреуі цифр жағымен түседі

Бұл жерден бізге қолайлы нәтиже саны — 2, сондықтан ізделінген ықтималдық .

Дұрыс шешімі: Тәжірибенің төрт теңмүмкіндікті нәтижелері бар:

1. Бірінші тиын елтаңба жағымен, екіншісі де елтаңба жағымен түседі

2. Бірінші тиын цифр жағымен, екіншісі де цифр жағымен түседі
3. Бірінші тиын елтаңба, екінші тиын цифр жағымен түседі
4. Бірінші тиын цифр жағымен, екінші тиын елтаңба жағымен түседі
Бұл жерден бізге қолайлы оқиға саны — екі, сондықтан ізделінген ықтималдық -ге тең.
Осындай қателіктер жібермес үшін тағы да қызықты бір мысал қарастырайық:
Мысал 3: Қорапта 2 ақ, 2 қара шар бар. Одан 2 шарды қатар алсақ, екеуінің де бір түсті болып шығу ықтималдығы қандай?
Шешімі. Тәжірибедегі мүмкін нәтижелер:

1. 2 ақ шар шығу

2. 2 қара шар шығу

3. бір ақ, бір қара шар шығу.

Қолайлы нәтижелер саны — екі, бұдан:

n=3, m=2, .

1.3. Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.

Алдыңғы тақырыпта біз тәжірибенің ақырлы санға тең теңмүмкіндікті нәтижелер бойынша оқиғаның ықтималдығын анықтадық.

Ал егер нәтижелер саны ақырсыз болса не істейміз? Мұндай жағдай кейбір геометриялық есептеулерде кездеседі.

Мысал 1: Әлемнің географиялық картасында (мысалға көзімізді жұмып) кездейсоқ нүктені көрсетейік. Бұл нүктенің Қазақстан жері болып шығу ықтималдығы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшін Қазақстан әлем картасының қанша бөлігін алатынын білу қажет. Яғни картаның барлық ауданының Қазақстан қанша бөлігін алатынын білу қажет. Бұл аудандардың қатынасы ізделінді ықтималдықты береді.

Берілген бір шектелген облысты деп белгбелгілейік. Егер облысының кез келген нүктесіне түсу теңмүмкін болса, онда кездейсоқ нүктенің берілген А жиынына түсу ықтималдығы аудандардың қатынасына тең болады:

,
мұндағы Р — ықтималдық, S – аудан. Бұл ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.
Мысал 2: Жазықтықта шеңбер және шеңбер ішінде үшбұрыш берілсін. Шеңбер ішінен бір нүкте алайық. Онда нүктенің үшбұрышта жату ықтималдығын қалай анықтаймыз?
Егер шеңбер ауданы ауданның n бөлігін құраса, ал үшбұрыш ауданы m бөлігін құраса, онда






Мысал 3: Дәптерге салынған бұрышты транспортирмен өлшегенде, оның 900 –тық бұрыштың өлшемінде жату ықтималдығы қандай?
Шешімі:
m=900 –тық бұрыштың өлшемінде жатуы
n=1800 –тық бұрыштық өлшемі

2. Ықтималдықтың қасиеттері.
2.1. Кері оқиға және оның ықтималдығы. Эйлер диаграммасы.
Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелерінің жиынын деп белгілеп, біз әрбір элементер нәтижені осы жиынның элементі ретінде , ал әрбір кездейсоқ оқиғаны осы жиынның ішкі жиыны деп қарастырдық.
Оқиғаны бұлай қарастырғаннан кейін, оларға біріктіру, қиылыстыру, толықтыру операцияларын қолдану қажетті. Толықтырудан бастайық.
Ескерту: Аталмыш жиындардың барлығы жиынынң ішкі жиындары.
Анықтама (жиындар үшін): Егер жиыны жиынының А жиынына кірмейтін элементтерінен құралса, онда жиыны А жиынының толықтауышы деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): Егер А оқиғасы орындалмағанда оқиғасы орындалса, онда оқиғасы А оқиғасының кері оқиғасы деп аталады.
Анықтамалар екі түрде берілгенімен, мағынасы жағынан бірдей екенін көруге болады.

Мысал 1: Сатып алынған төрт лотерея билеттерін ойнатқандағы кездейсоқ оқиғалар ретін қарастырайық:

А= номері бірінші билеттің ұтуы

В= 3 тен кем билет ұтуы ;
Онда бұларға кері оқиға:

= номері бірінші билеттің ұтпауы ;

= үшке тең немесе үштен артық билеттің ұту ;

Мысал 2: оқиғасына кері оқиға - «тақ ұпай түсуін» білдіреді.

Кері оқиғаның ықтималдығы формуласымен есептеледі.

Мысал 3: Екі ойын тасын лақтырғанда, екеуінде де әртүрлі ұпай саны түсу ықтималдығын табу керек:

А= ойынтастарында әртүрлі ұпай сандарының түсуі ;

= ойынтастарында бірдей ұпай сандарының түсуі ;

немесе
= (1:1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6) ;
Бұдан
және .
Осы және алдыда қарастырылатын бөлімдердегі оқиғалардың қатынастарын арнайы суреттердің көмегімен бейнелеу өте ыңғайлы. Мұндай бейнелеудің Эйлер диаграммасы атын алған түрін қолдансақ, онда әр оқиға дөңгелек немесе басқа да әртүрлі фигуралар түрінде бейнеленеді. Және барлық оқиғалар бір төртбұрыштың, яғни тәжірибенің барлық нәтижелерінің жиынының ішінде болуы қажет:












2.2. Оқиғалардың бірігуі және қиылысуы.
Анықтама (жиындар үшін): А және В жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын С жиыны осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың бірігуі деп аталады.
Оқиғалардың бірігуі:
Эйлер диаграммасында оны


бейнелейді.
Мысал 1: Асық лақтырып ойнағанда пайда болатын кездейсоқ оқиғалар ретін қарастырайық:
1) А= бүк жағы түсуі ;
В= шік жағы түсу ;
А В= бүк жағы түсуі; шік жағы түсуі ;
2) А= алшы жағы түсуі; бүк жағының түспеуі ;
В= тәйке жағы түсуі; бүк жағы түспеуі, ;
А В= алшы жағы түсуі; тәйке жағы түсуі; бүк жағының түспеуі ;
Анықтама (жиындар үшін): А және В жиындарының барлық ортақ элементтерінен тұратын С жиыны осы екі жиынның қиылысуы (кейде көбейтіндісі) деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғалары қатар орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың қиылысуы деп аталады.
Оқиғалардың қиылысуы:
Эйлер диаграммасында оны



бейнелейді.
Мысал 2: Алғашқы мысалды қарастырайық.
1) А= бүк жағы түсуі ;
В= шік жағы түсуі ;
А В=
2) А= алшы жағы түсуі; бүк жағының түспеуі;
В= тәйке жағы түсуі; бүк жағы түспеуі;
А В=бүк жағының түспеуі;
Ескерту: Математикада Ø белгісі – бірде бір элементі жоқ, бос жиын дегенді білдіреді.


2.3. Оқиғаларды Эйлер диаграммасында бейнелеуге мысалдар.







Оқиғалардың бірігуін және қиылысуын Эйлер диаграммасында осылай бейнеледік.
Енді келесі оқиғаларды бейнелейік.

А)





Ә)



Б)





А және Ә мысалдарында оқиғалардың қиылысуы бос. Оны оқиғалар тілінде сөйлетсек, олардың қиылысу болып бос жиын саналады.
В мысалында екі оқиғаның бірігуі бастапқы оқиғалардың біріне тең.
Тапсырма 1: Енді осындай оқиғаларды өздерін Эйлер диаграммасында бейнелеп көріңдер.

3. Ықтималдықтың ережелері және шартты ықтималдық.
3.1. Үйлесімсіз оқиғалар. Ықтималдықтың қосу ережесі.
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындалса, онда олар үйлесімді оқиғалар деп аталады.
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындала алмаса, онда олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.
Мысал 1: «Далада жаңбыр жауып тұр», «аспанда бір де бұлт жоқ» - үйлесімсіз оқиғалар.
Мысал 2: Айдын мен Марат шахмат ойнады. А- «Айдын жеңді», В – «Марат жеңілді» - үйлесімді оқиғалар.
Мысал 3: Келесі А және В оқиғалары үйлесімсіз:
а) тиынды лақтырғанда:
А=( елтаңба жағының түсуі);
В=( цифр жағының түсуі);
б) Жәшіктен екі алма алынды:
А=( екеуінің де қызыл болуы);
В=( екеуінің де көк болуы);
Ескерту: Үйлесімсіз оқиғалар жайлы айтқанда, олардың бір тәжірибе аясында қарастырылатынын ескерген жөн.
Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда немесе А, немесе В оқиғасы орындалады. Бұл деп отырғанымыз

Бұл теңдік үйлесімсіз оқиғаларға арналған ықтималдықтың қосу ережесі деп аталады. Ол кездейсоқ оқиғаның кез келген санына байланысты өзгереді:

m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,

, . .
Мысал 4: Бірінші жәшікте 12 түрлі-түсті шарлар, екінші жәшікте 10 түрлі-түсті шарлар бар. Кездейсоқ бір жәшіктен бір шар алынды. Дәл осылай шарды неше әдіспен таңдап алуға болады?
Бірінші жәшіктен шарды 12 әдіспен, екінші жәшіктен 10 әдіспен таңдап алуға болады. Демек, 12+10=22.
Ал егер А және в оқиғалары қиылысса, яғни үйлесімді болса ықтималдықтың қосу ережесі қандай болады? Онда мынадай күрделі ережені жазайық:

Дәлелдеуі оңай:
Р(А)+Р(В) қосындысы – А және В оқиғаларының элементтерін жекежеке есептеп қосқанға тең. Сондықтан бұл қосынды құрамына А В қиылысуына енетін элементтер саны екі рет еніп отыр: бір рет А құрамында, екінші рет В құрамында. Олай болса,
.
m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Айтылып өткен m+k оқиғасының ішінде А және В оқиғасына да қолайлы қарапайым оқиғалар бар болсын. Ал n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,

, . .
Мысал 5: Екі қылмыс жасаған адамдар ізделінуде. Екеуі бір-біріне тәуелсіз тәулік ішінде 0,5 ықтималдықпен ұсталынуы мүмкін. Тәулік ішінде ең болмағанда бір қылмыскердің ұсталу ықтималдығы қандай?
А – “ең болмағанда бір қылмыскер ұсталды”. Бұл оқиғаны қарапайым оқиғаларға бөлейік: В1 – бірінші қылмыскер ұсталды, ал В2 – екінші қылмыскер ұсталды. Онда, А=В1+В2, демек Р(А)=Р(В1+В2).
Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

3.2. Тәуелсіз оқиғалар. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтың көбейту ережесі.
Бір тәжірибеден туындайтын кез келген А және В оқиғаларын қарастырайық. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болды дейік. Онда В оқиғасы туралы не айтуға болады?
Мысал 1: А және В үйлесімсіз және тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болсын. Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалған жоқ.
Мысал 2: , тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы орындалсын. В оқиғасы туралы не айта аламыз? Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалды.
Мысал 3: Екі асық лақтырылсын. Пайда болатын оқиғалар:
А=( бірінші асықтың бүк жағы түседі);
В=( екінші асықтың шік жағы түседі);
А оқиғасының орындалғаны анық болса, В оқиғасы туралы не айтуға болады? Бұл жерде бірінші асықтың тәжірибесіндегі нәтиже екінші асықтың тәжірибесіндегі нәтижеге әсер ете алмайды. Демек, А және В оқиғалары бір-бірінен тәуелсіз.
Анықтама: Егер А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауы В оқиғасының орындалуына немесе орындалмауына әсер етпейтін болса, онда бұл А және В оқиғалары өзара тәуелсіз деп аталады.
Мысал 4: 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандар арасынан кез келген бір сан таңдап алынады. Пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:
А=( алынған сан 2-ге бөлінеді );
В=( алынған сан 3-ке бөлінеді);
Қарап тұрсақ, санның 2-ге бөлінгіштігінің 3-ке бөлінгіштігіне еш қатысы жоқ сияқты. Дегенменде, олар бір-біріне тәуелді.
Алдымен В оқиғасының ықтималдығын анықтайық. Барлық он сан ішінен 3-ке тек үш сан – 3, 6, 9 бөлінеді. Онда Р(В)= .
Алынған сан 2-ге бөлінеді дейік. Яғни А оқиғасы орындалды, бірақ алынған сан –белгісіз. Бұл алынған санның 3-ке бөліну ықтималдығы қандай? Алынған санның 2-ге бөлінетіндігін дәл білгендіктен, ол сан мына бес сандардың біреуі болуы мүмкін: 2, 4, 6, 8, 10. Бқл сандардың ішінен 3-ке тек 6 ғана бөлінеді.
Мұндай шарттардан соң, В оқиғасының ықтималдығы -ке тең.
< болғандықтан, В оқиғасының мүмкіндігі азайды.
Демек, бұл жерде А және В оқиғаларын тәуелсіз деп айтуға болмайды.
А және В оқиғаларының қиылысуын қарастырайық:
1) бірінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос болса, онда В орындалмайды.
2) екінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы барлық А-мен беттессе, онда В қатаң орындалады, себебі қалған нәтижелер В оқиғасына қолайлы.
3) төртінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос емес және беттеспесе, онда В оқиғасының ықтималдығын А В-ның нәтижелер санын А-ның нәтижелер санына қатынасы түрінде анықтаған дұрыс. Егер А оқиғасы орындалса, онда бұл ықтималдықты В оқиғасының шартты ықтималдығы деп атайды:

Егер В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауынан өзгермесе, яғни оның шартты ықтималдығы

болса, онда В оқиғасы А оқиғасынан тәуелсіз.
Бұл теңдікті шартты ықтималдық теңдігімен теңестірейік:
.
Бұл теңдік орындалса, оқиғалар тәуелсіз деп аталады. Ал соңғы теңдік ықтималдықтың көбейту ережесі деп аталады.
Мысал 5: Дидарда үйге кіру үшін 3 кілт бар. Қараңғыда ол есікке кілтті кездейсоқ әдіспен таңдап, аша бастайды. Әр есікті ашуға 5 секундтан уақыт кетеді. Оның 15 секундта барлық есіктерді ашу ықтималдығын табыңдар.
А – “барлық есіктердің ашылуы”. Бұны қарапайым оқиғаларға бөлейік. В – “бірінші есік ашылды“, С – “ екінші есік ашылды“, ал D – “ үшінші есік ашылды“. Онда А=ВСD, демек Р(А)=Р(ВСD).

. .
4. Комбинаторика және ықтималдықты есептеу.
4.1. Алмастыру және орналастыру. Факториал.
Комбинаторика сөзі латынның “combino” – біріктіремін дегенді білдіреді. Шыныменде кез келген комбинацияны әртүрлі әлементтерді бір-бірі