8-11 сынып олимпиада есептері жауаптарымен

Оқушылардың математика пәні бойынша Республикалық олимпиадасының аудандық этапы  2013-2014 жыл желтоқсан айы 18-19 жұлдызы

8 сынып  I-тур

1. a+b=1a+1b=6 қатынасын қанағаттандыратын a, b нақты сандар үшін  ab+ba өрнегінің мәнін табыңыз.

Шешуі: 36 = 6 * 6 = (a + b) ( 1a+1b ) = 1 + ab+ba+1 болғандықтан    ab+ba=34  болады.

2. 72013 дәрежесінің соңғы екі цифры неге тең.

Шешуі: 70=1,  71=7,  72=49,  73=343, 74=2401  болғандықтан,   2013=4*503+1                 түрінде жазып    

           72013=74*503+1=( 74)503*7=(2400+1)503*7=

=(2400503+…+503*2400+1)=...*100*7+7=...07 түрінде жазылады. Ендеше ең соңғы екі сан 0 мен 7 болады.

Жауабы: Соңғы екі сан ....07

3. Аралда 7 көк , 9 жасыл және 11 қызыл құбылғылар тұрады. Әртүрлі түстегі екі  құбылғы  кездескенде екеуі де үшінші түске өзгереді. Қандайда бір уақыттан кейін барлық  құбылғылар  бір түске боялуы мүмкін бе?  

Шешуі: Құбылғылардың көк, жасыл және жасыл түстерін сәйкесінше

к , ж ,  қ әріптерімен белгілейік. Ендеше есептің шарты бойынша

1) Егер  к+ж=қ болса, онда  7(к+ж)=7қ,  яғни  7к+7ж=7қ.

Барлығы  7қ+11қ=18қ (қызыл) құбылғы. Артық кездеспей  қалған  жасыл құбылғылар 9ж-7ж=2ж болады.

2) Егер ж+қ=к болса,  онда  9ж+9қ=9к.   Барлығы  9к+7к=16к   құбылғы  11қ-9қ=2қ. Бұл жолы кездесуден тыс қалған  2 қызыл құбылғы болады.

3) Егер к+қ=ж болса, онда  7к+7қ=7ж.  Барлығы

 7ж+11ж=18ж құбылғы.  11қ-7қ=4қ.  Бұл жағдайда кездеспеген 4 қызыл  құбылғы қалады.  Бір мезетте барлық құбылғылардың  түсі бірдей болу үшін  артық,  яғни кездесуден тыс қалатын құбылғылар  болмау керек.  Олай болса, бір мезетте  барлық құбылғылардың түсі бір түске  айналмайды.

жауабы: Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола алмайды.

8 сынып II-тур

1. 5-ке  және 9-ға бөлінетін, 1-ді және өзін қоса есептегенде дәл 10 бөлгішке ие болатын барлық натурал сандарды табу керек.

Шешуі: Ізделінді сан 5-ке де, 9-ға да бөлінсе және 5 пен 9 өзара жай болғандықтан, ол сан 45-ке бөлінуі тиіс. Ал 45=3*3*5 болғандықтан,ізделінді санда 1,3,5,9,15,45 –кем дегенде 6 бөлгіш бар. Егер ізделінді сан тағы да бір P ≠ 3.5 жай санына бөлінсе, онда ізделінді сан кем дегенде 12 бөлгіш болып кетеді. Ал бізге дәл 10 бөлгіш болуы керек. Сондықтан бізде екі  мүмкіндік қалады. Олар келесілер:    N=3*3*3*3*5   және  N=3*5*5*5*5. Екінші сан 9-ға бөлінбейді.

Жауабы: N=3∙3∙3∙3∙5=405

2. x2-8x+41+y2+6y+25=9 теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіздер.

Шешуі:  Түбір астындағы өрнектерден толық квадратты бөліп аламыз.

x2-8x+41+y2+6y+25=x2-8x+16+25+y2+6y+9+16=

=(x-4)2+25+(y+3)+16=9                          

Теңдік тек қана  x-4=0,   y+3=0 болғанда ғана орындалады. Ендеше  x=4,  y=-3.

3. АВС үшбұрышының  АD биіктігі  ВС қабырғасынан екі есе кіші.

А бұрышы доғал болуы мүмкін бе?

Шешуі:  АD биіктігінің А төбесі мен D табаны сәйкесінше А нүктесінен өтетін СВ-ға параллель түзу мен С және В нүктелерінен  өтетін түзуге тиісті болады. D нүктесі  ВС-нің ортасы болған жағдайды координаталар басы деп есептеп А нүктесін  −∞  тен   +∞ дейін өзгертеміз. Сонда А бұрышы 0-ден 90  ̊-дейін және 90  ̊-тан 0-ге дейін өзгереді. Ендеше А бұрышы доғал болуы мүмкін емес.

Жауабы:  А бұрышы доғал болуы мүмкін емес

9 сынып I-тур

1. АВСD квадраты берілген.АС және ВС кесінділерінде кесінділердің шетімен беттеспейтіндей етіп, сәйкесінше М және N нүктелері алынған. Егер MN=MD болғанда ∠ MDN бұрышының шамасы неге тең?

Шешуі: Дәл осы түрдегі сызбаның болуы мүмкін емес, себебі  MN=MD. Сондықтан сызбаны келесі түрде басқаша сызамыз. ∠CDN=β,  ∠NDM=α болсын. Онда ∠NDA=β болады да     ∠MDA=β-α болады. Олай болса ∠MBA= β-α  болады. Ендеше ∠NBM=∠MNB=90-β+α. Берілгені бойынша ∠DNM=∠NDM=α. Ендеше 90⁰+α-β=  ∠MNB=180-α-β болғандықтан  α=45° болады.

Жауабы: =∠MDN=α=45o  

2. Өзара жай  a,b (a>b) сандары  a3-b3(a-b)3=733  қатынасын қанағаттандыратын  a-b мәнін есептеңіздер.

Шешуі: a>b болғандықтан a-b=c>0  және  a=b+c болады.                                                a3=(b+c)3=b3+3b2c+3bc2+c3  қоя отырып  3b2c+3bc2+c3c3=733.        Осыдан          9b2c+9bc2=70c3=>c(70c2-9bc+9b2)=0.  c≠0=>70c2-9bc-9b2=0

болады.  c1,2=9b±81b2+4*9*70b22*70=9b±3*17*b2*70

c1=3b7=>a=b+3b7=>7a=10b=>a=10q,  b=7q.  (a,b)=1=>q=1

c2=-42b2*70=-3b10=>a=b-3b10=>10a=7b=>

a=7q>b=10q.   (a,b)=1=>q==-1

Екі жағдайда да  a-b=3 болады.

3. Аралда 7 көк , 9 жасыл және 11 қызыл құбылғылар тұрады. Әртүрлі түстегі екі  құбылғы  кездескенде екеуі де үшінші түске өзгереді. Қандайда бір уақыттан кейін барлық  құбылғылар  бір түске боялуы мүмкін бе?  

Шешуі:  8.I.3 қараңыз.

9 сынып ІІ- тур

1. k4+ 64,  k-бүтін сан,  түріндегі жай сан табыла ма?

Шешуі:  k4+64=k4+82 түріндегі өрнекті көбейткіштерге жіктеп көреміз.  

(k2-4k+8)(k2+4k+8)==k4+4k3+8k2-4k3-16k2-32k+8k2+32k+64=k4+64.                           Ендеше k-нің кез-келген мәнінде k4+64 саны екі санның көбейтіндісі түрінде жазылады.

Жауабы: k4+64, ( k  бүтін сан)  түріндегі жай сан табылмайды.

2. АВС үшбұрышының  АD биіктігі  ВС қабырғасынан екі есе кіші.

А бұрышы доғал болуы мүмкін бе?

Шешуі:

8.ІІ.3 қараңыз.

3.   а  параметрінің  қандай мәндерінде  {x+у+z=a+1, xу+xz+уz=2a xyz=a. ,  жүйесі нақты шешімдерге ие?