9 сынып "Индукция" тақырыбына сабақ жоспары

Сабақ №____

Сынып: 9

Сабақтың тақырыбы: Математикалық индукция принципі

Сабақтың мақсаты:

1. Білімділігі: Индукцияға толық түрде мағлұмат беру. Толық және толымсыз индукцияны ажытаруға үйрету. Математикалық индукция принципін тұжырымдау.

2. Дамытушылық: Салыстыру, ойлау қабілетін дамыту.

3.Тәрбиелік: Оқушылардың өз ойын толық,

дұрыс жеткізе білуге, тапқырлыққа, жылдамдылыққа, тәрбиелеу.

Сабақ түрі: Жаңа сабақ

Сабақтың көрнекілігі: деңгейлік тапсырмалар.

Оқытудың әдісі: практикалық

Сабақтың барысы:

1.Ұйымдастыру кезеңі

а) Сәлемдесу,

ә) оқушыларды түгендеу,

б) оқушылардың назарын сабаққа аудару

в) сабақтың мақсатымен таныстыру

2. Үй тапсырмасын тексеру:

Жаңа сабақты меңгерту:

Математикалық индукция әдісінің көмегімен натурал сандардың бөлінгіштігіне қатысты тұжырымдарды дәлелдеуге болады. Мысалы, натурал сандар арифметикасының негізгі теоремасын дәлелдейік.

Теорема: Бірден артық кез-келген n натурал сан─ жай сан не әр түрлі жіктелуіндегі өзгешелігі көбейткіштердің тұрған орнында ғана болатын көбейтінді түрінде жазылады.

Дәлелдеу:

Біз ең алдымен жай көбейткіштерге жіктеудің бар болатынын көрсетелік. n=2, бұл жай сан. Біз айтқан тұжырым дұрыс.

k санына кез-келген n саны не жай немесе жай көбейткіштерге жіктелетін құрама сан. k санының өзі не жай сан, не жай көбейткіштерге жіктелетінін көрсетелік. Егер k жай сан болса, онда айтылған тұжырым дұрыс. Егер k- құрама сан болса, онда k=ab, мұндағы a және b сандары k- дан кем натурал сандар. Ұйғарым бойынша бұлар жай көбейткіштерге жіктеледі. Бұл a, b сандарын өздерінің жіктелулерімен алмастырсақ, k санының жай көбейткіштерге жіктелуін аламыз.

Сонымен, n=2 болғанда жай көбейткіштерге жіктелу туралы теореманың бар болатыны ақиқат, ал бұдан k санынан кем барлық натурал сан жіктеледі деген қорытындыға келеміз. Демек, бұл пікір k саны үшін де ақиқат деп аламыз. Демек, бұл пікір бірден артық кез келген натурал сан үшін ақиқат.

Енді көбейткіштерге жіктелудің біреу-ақ болатынын көрсетелік. Ол үшін бізге жай сандардың келесі қасиеті қажет болады. Егер n натурал саны р жай санына бөлінсе, онда n санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуінде бір көбейткіш р болады. Шынында да n саны р-ға бөлінсе және n=q₁... q_m, q₁, q₂,..., q_m – жай сандар, онда жай сандардың қасиеті бойынша q₁, q₂,..., q_m – сандардың бірі, мысалы, q₁ саны р – ға бөлінуге тиіс. q₁-жай сан, онда ол р -мен бірдей болуы керек. n=2 болғанда 2 жай санын аламыз, мұның басқа жай көбейткіштерге жіктелуі болмайды.

k санынан кем барлық натурал сандар бір ғана түрде жай көбейткіштерге жіктелсін. Бұл жағдайда жіктелудің біреуі ғана болатыны туралы теорема ақиқат. Егер k құрама сан болса, онда ол k – дан өзгеше ең болмағанда бір р санына бөлінеді.

Басқа сөбен айтқанда k санының кез келген жай көбейткіштерге жіктелуі k= р*q₂…q_m түрінде болады. Мұндағы q₂…q_m – көбейтіндісі санының жай көбейткіштерге жіктелуі –саны бірден артық k – дан кем натурал сан болғандықтан ұйғарым бойынша оның жай көбейткіштерге жіктелуі бір ғана түрде болады. Математикалық индукция әдісі бойынша тұжырым дәлелденді.

Келесі тұжырымды математикалық индукция әдісімен дәлелделік.

Егер n натурал сан болса, онда n²- n саны жұп. Дәлелдеу. n=1 болса, онда тұжырым ақиқат. Өйткені 1²-1=0 – жұп сан. Енді k²- k жұп сан болса. Сондай-ақ (k+1)²-( k+1)= 2k – жұп сан, ендеше (k+1)²-(k+1) жұп сан. Сонымен, n²- n айырмасының жұптылығы n=1 үшін дәлелдедік, k²- k жұптылығын (k+1)²-(k+1)-жұп екені қорытылды. Демек, n²- n айырмасы n санының барлық натурал мәнінде жұп.

Дәл осы сияқты n³ -n айырмасы 3-ке бөлінеді. Ол үшін ((k+1)³- (k+1))- (k³-k) = 3k³+3k санының 3-ке бөлінетінін пайдаланамыз.

Қарастырған мысалдардан n^m- n айырмасы әрқашан m-ге бөлінеді деп тұжырым жасаймыз. Мысалы m=4, n=3 болғанда. 3⁴-3=78 саны 4-ке бөлінеді. Егер m=5 болса n^m- n айырмасы 5-ке бөлінеді. Сонымен, біз қарастырған мысалдарда 2,3,5 жай сандар, сондықтан жоғарыдағы гипотезаны дәлірек тұжырымдайық.

Егер р жай сан болса, ал n кез келген бүтін сан болса онда n^p- n өрнегі р-ға бөлінеді, мұндағы р-жай сан. Бұл тұжырым Ферманың кіші теоремасы деп аталады. n саны р-ге бөлінетін болса, теореманың дұрыстығы бірден көрініп тұр.

n^p-n=n(n^p-1-1)

Tеңдіктің оң жағындағы n саны р-ге бөлінетіндіктен көбейтінді р-ге бөлінеді.

Есептер шығару № 195, 196, 197,199

Қорытындылау оқушылардың білімін бағалау

Үйге тапсырма беру № 195, (4) 196, (4) 197, (4) 199 (4)