Арифметикалық прогрессия және оның қасиеттері

Сабақтың тақырыбы: Арифметикалық прогрессия

Мақсаты: а) Арифметикалық прогрессияның анықтамасын меңгеріп, n-ші мүшесінің формуласын меңгеріп, есептер шығаруға қолдана білуге үйрету.АКТ-ны пайдаланып жаңа сабақ түсіндіру.

ә) Теориялық білімін практикада ұштастыра отырып, ойлау қабілеттерін, танымын, пәнге қызығушылығын арттыру,АКТ-ны пайдалануға баулу.

б) Оқушының белсенділігін арттыру,өз бетінше оқуға,ізденуге тәрбиелеу.

Күтілетін нәтиже: Арифметикалық прогрессияның тізбек екендігін, n-ші мүшесінің формуласын меңгеріп есептер шығара білу.

Түрі: дәстүрлі

Әдісі: сұрақ-жауап,есептер шығару,тест алу,деңгейлеп оқыту технологиясын қолдану.

Көрнекіліктері: интербелсенді тақта,ауызша есептеу,тест тапсырмалары, формулалар,топшамалар,т.б.

Сабақтың барысы:

I.Ұйымдастыру бөлімі

II.Үй тапсырмасын тексеру

III.Ой қозғау (арифметикалық прогрессия туралы айтқызу)

IV.Негізгі бөлім

V.Есептер шығару

а) Ауызша жаттығу

ә) Мысалдар шығару

б) Топшамамен жұмыс

VI.Оқулықпен жұмыс

VII.Кестемен жұмыс

VIII.Сергіту сәті

IX.Тест

X.Қорытынды

XI.Үй тапсырмасы

XII.Бағалау

II.Үй тапсырмасын тексеру

№165. 2,4,6,8,10,12,14,…

№167. 33,35,37,53,55,57,73,75,77...

• Тізбек деген не?

• Шекті тізбек,шексіз тізбек деген не?

• Монотонды тізбектер деген не?

• Тізбектер қандай тәсілдермен беріледі?

III.Ой қозғау

Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық прогрессияның заңдылықтарын қолдана білген.Мәселен, Біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде , ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында арифметикалық прогрессияға көптеген мысалдар кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген.

Жалпы, арифметикалық прогрессия атауы сандардың арифметикалық ортасы (формуласы) ұғымынан ауысқан, ал геометриялық прогрессия атауы кесінділерінің геометриялық пропорционалдығынан (формуласы) ауысқан.

Арифметикалық прогрессия мүшелері қосындысының формуласын грек оқымыстысы Диофант (3ғ) дәлелдеген.

Арифметикалық прогрессиялар үшін жазылған формуласы формуласына байланысты атақты неміс математигі Карл Фредрих Гаусстың (1777-1855) өмірінен қызықты эпизод аңызға айналған. Мұғалім өзге сынып оқушыларының жұмыстарын тексеру мақсатында алдындағы оқушыларына 1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырды. Бұл есепті 9 жасар Гаусс бір минутта шығарып, жауабын айтқан. Оның есепті шығару тәсілі мынадай еді:

1, 2, 3, ...,20

+

40, 39, 38, ..., 21

41,41,41,..., 41

Мұндай парлар саны 20 болғандықтан, берілген қосынды 41*20=820-ға тең, Яғни Гаусс арифметикалық прогрессия заңдылықтарын қолданды.

IV.Негізгі бөлім

а₁=0, ал келесі мүшелері алдыңғы мүшесіне 2-ні қосқанда шығатын тізбекті жазайық: а₁=0, а₂=0+2=2, а₃=2+2=4, а₄=2+4=6, ... .Сонда а₁=0, а_n+1=a_n+2.

Екінші мүшесінен бастап кез келген мүшесі өзінің алдыңғы мүшесіне тұрақты d санын қосқанда шығатын сандық тізбек арифметикалық прогрессия, ал

d саны – арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады.

Арифметикалық прогрессияның көршілес екі мүшесінің айырымы d санына тең:

а₂- а₁= а₃- а₂= а₄- а₃=…= а_n+1- a_n=…=d.

1) а₁=а берілген сан, 2) а_n+1=a_n+ d шарттары берілсе,онда арифметикалық прогрессия анықталады.

Арифметикалық прогрессия айырымы оң сан болғанда - өспелі,ал теріс сан болғанда – кемімелі деп аталады.

Арифметикалық прогрессияның а₁ мүшесі мен d айырымы берілсе:

а₂=a₁+d;

a₃= а₂+d=(a₁+d)+d= a₁+2d;

а₄= а₃+d=(a₁+2d)+d= a₁+3d;

a₅= а₄+d=(a₁+3d)+d= a₁+4d;

………………………………….

a_n=a_n-1+d=a₁+(n-2)d+d= a₁+(n-1)d.

Сонымен,

a_n=a₁+(n-1)d - n-ші мүшесінің формуласы (1)

Арифметикалық прогрессияның қатарлас үш мүшесінің ортаңғысы екі шеткі үш мүшелерінің арифметикалық орташасына тең.

1-мысал. а₁=3,5 және d =1,5 болатын арифметикалық прогрессияның 100-мүшесін табайық:

а₁₀₀=3,5+1,5(100-1)=3,5+148,5=152.

Жауабы: 152

2-мысал. 6,10,14, ... арифметикалық прогрессиясының кез келген мүшесін анықтайтын формуланы табайық.

Арифметикалық прогрессияның айырымы d=10-6=4, а₁=6 болатындықтан, (1) формуласы бойынша

a_n= а₁+(n-1) ^. d=6+(n-1) ^. 4=4n+2

Жауабы: a_n=4n+2

V.Есептер шығару

а) Ауызша жаттығу

Мысалы: а₁=5 d =2 а₂=? Ж: 7

а₁=31 d =-5 а₂=? Ж: 26

а₁=1,5 d =3 а₂=? Ж: 4,5

а₁=4 d =1,5 а₂=? Ж: 5,5

ә) Мысалдар

1) 30,45,60,... d =? Ж: 15

2) 160,190,210,... d =? Ж: 30

3) 360,240,120,... d =? Ж: -120

4) , , ,... d =? Ж:

б) Топшамамен жұмыс

№1 топшама

Арифметикалық прогрессияның a₁=7,2, d=3 болғанда а₂-і мүшесін тап.

№2 топшама

Арифметикалық прогрессияның a₁=6,1, а₂=7,1 болғанда, d-ны тап.

№3 топшама

3,13,23,33,... тізбегі арифметикалық прогрессия бола ма?

№4 топшама

а₁,а₂,20,15,10,… арифметикалық прогрессияның а₁;а₂ мүшелерін табыңдар.

№5 топшама

a₁=20,3 d=-0,4, n=30 арифметикалық прогрессияның a_n мүшелерін тап.

VI.Оқулықпен жұмыс

№193

1. а₁, а₂,15,20,25,...... 2. а₁, а₂,-20,-17,-14,……

d = а₄- а₃ =20-15 =5 d= а₄- а₃=-17-(-20)=3

d =5 d=3

а₂=а₃-d=15-5=10 а₂=а₃-d=-20-3=-23

a₁=a₂-d=10-5=5 a₁=a₂-d=-23-3=-26

Жауабы: a₁=5;а₂=10. Жауабы: a₁=-26;а₂=-23.

VII.Кестемен жұмыс

а1	d	n	an
?	3	2	11
3,5	?	2	7,5
10	7	?	17
110	-10	11	?

Жауабы: а₁=8;d=4;n=2; a_n=10.

VIII. Сергіту сәті (оқушылардың алдына әр түрлі сандар жазылады, d=2,-2 деп алып,оқушыларды орнынан тұрғызып,арифметикалық прогрессия құрату керек)

d=2,-2

1,3,5,7,9,11,13,15,17,….. - өспелі

17,15,13,11,9,7,5,3,1,….. - кемімелі

IX. Тест

1. Тізбек a_n=55-4n формасымен берілген.Тізбектің 15-ке тең мүшесінің нөмірін табыңдар.

A) 10 B) 6 C) 5 D) 20

2. Арифметикалық прогрессияның a₁-і мүшесін табыңдар: d=1,5, a₂=3,5.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

3. а_n арифметикалық прогрессиясында a₁=7, a₂=11. Айырымын табыңдар.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

4. а_n арифметикалық прогрессиясының a₁=16, a₈=37.Арифметикалық прогрессияның айырымын табыңдар.

A) 8 B) 7 C) 3 D) 11

5. Арифметикалық прогрессияның а₉-ы мүшесін табыңдар: a₁=4, d=1

A) 12 B) 11 C) 10 D) 9

Кілті:

X. Қорытынды

• Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?

• Арифметикалық прогрессиның айырымы деген не?

• Арифметикалық прогрессияның n-шы мүшесінің формуласы қалай тұжырымдалады?

XXI ғасыр бұл

Адамзат қайда барады?

Үйретіліп техника,космос

Игерілді жұлдыз,ай,ғарыш

Математиктерді шақырады

Әйгілі біздің бұл ұран

Прогрессия-өрлеу,ілгері қозғалыс.

XI. Үй тапсырмасы

§11,ереже, формула жаттау, №192(4),№199(3,4),№200

XII. Бағалау