Екі еселі интегралдардың механикалық қолданыстары

Ержан Молдир

5В060100-Математика

4 курс/бакалавр

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті

Ғылыми жетекшісі: ф.-м.ғ.к., доцент Садыкова С.Б.

Екі еселі интегралдардың механикалық қолданыстары

Механикалық қолданылулар. Кейбір (P) фигурасының бойына үздіксіз жазық бетпен орналасатын массалармен байланысты әрі облыстың аддитивті функциялары болып табылатын барлық геометриялық және механикалық шамалар принципиалды түрде сол фигурада алынған қос интегралдармен өрнектеледі.

Бұл жерде біз осындай формулалар әдетте қалай шығарып алынатыны жөнінде қысқаша нұсқау бермекпіз.

(P) облысының элементар (dP) бөлігін бөліп алып, есептеуді жеңілдедетін ұйғару жасайды, мысалы, тұтас элементтің массасы бір нүктеде орналасқан немесе массаның орналасу тығыздығы элемент шегінде тұрақты деген сияқты. Бұларды пайдаланып ізделінді Q шаманың dQ элементі үшін мынадай жуық өрнекті мәнді табуға болады. Мұның реті жай анықталған интегралды қолданғандағыдай [ , қараңыз].

Бұл өрнектің дұрыстығы dP-ден реті жоғары шектеусіз аз шама болады. Сонда Q- дың дәл мәні мына формуламен өрнектеледі.

Мұны, мысалы, былай дәлелдеуге болады. dQ элементтер үшін жуық өрнектерді жинақтап, Q шамасының жуық мәнін инетгралдық қосынды түрінде табуға болады, ал соңынан шекке көшіп, Q – дың дәл мәнін қосындының шегі түрінде, яғни интеграл түрінде, табады.

Айталық, (P) облысына бойына массалар үздіксіз түрінде таралған болсын және де нүктесіндегі (беттік) тығыздық

болсын. Сонда массаның элементі

болатындығы оңай байқауға болады. Сондықтан барлық масса

(10)

интегралымен өрнектеледі.

Осыдан моменттердің өздері үшін өрнектер бірден табылады:

Одан әрі, координаталар осьтеріне қатысты элементар статикалық моменттері және инерция моменттері мына түрде болады:

,

,

Осыдан моменттердің өздері үшін өрнектер бірден табылады:

(11)

Енді дағыдылы түрде фигура центрінің координаталары табылады:

, (12)

Фигура біртекті болған жағдайда, , бұл формулалар ықшамдалады:

, (13)

Жекеленген жай жағдайларда қос интегралдардың көмегімен дене мысалы цилиндрлік брус жөнінде осы сияқты мәселерді толық шешуге болады.

Айталық, бетінен, осының жазықтыққа түскен (P) проекциясымен және жасаушылары z өсіне параллель проекциялайтын цилиндрмен қоршалған осындай брус берілсін. Егер мысалы, біртекті брустың Kxy статикалық моментін анықтау керек болса (жеңілдік үшін оның көлемдік тығыздығын тең деп ұйғарамыз), онда біз бұл брус табаны dP және биіктігі z болатын элементар бағандардан құралады деп аламыз. Бағанның жазықтығына қатысты статикалық моменті оның массасын (бұл жағдайда бәрібір) немесе zdP көлемін оның ауырлық центрінің осы жазықтықтан ара қашықтығына, яғни -ке көбейткендегі көбейтіндіге тең болады. Сөйтіп, элементар статикалық моменті

болады. Осыдан, барлық бағандар бойынша жинақтап, керек формуланы табамыз:

(14)

Осыған ұқсас түрде мына формулалар табылады:

, (14a)

Осыдан брустың ауырлық центрінің координаталары үшін өрнек-тер оңай табылады.

т.с.с.

Дәл олсылайша брустың z өсіне қатысты және , координаталар жазықтықтарына қатысты , инерция моменті үшін формулалар да қорытылады:

, , (14)

және де болатыны түсінікті.

Егер де массаның таралуының кеңістік тығыздығы z – ке тәуелді болса, онда қос интеграл жеткіліксіз болған болар еді де, үш еселік интегралдарды пайдалануға тура келеді [ , қараңыз].

1 - Мысал.

Координаталар жазықтықтарына қатысты біртекті элипсоид-тың инерция моменттерін табу керек.

Шешу. Нәтижесін 8-ге көбейтіп, эллипсоидтың бір октантын ғана алуға болады.

Эллипстің квадранты (Р) облысы болады.

Сонда

29 – сурет.

болады. Осыған ұқсас

,

2 - Мысал.

Жабық қисығымен шенелген. Ауырлық центрін табу қажет.

Шешу. Берілген қисықты салу үшін берілген функцияны зерттейміз. Айнымалы теңдеуде жұп дәрежелі, сондықтан берілген қисық Ox осіне симметриялы орналасқан, демек берілген қисықпен шенелген ауданның ауырлық центрі Ox осінде жатады, ал олай болу деген сөз.

Берілген қисықтың координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін табамыз.

Ox осімен

Oy осімен

Енді берілген қисықтың мінезін туындының жәрдемімен есептейміз:

,

Бұл туындыдан болғанда екенін көреміз, демек, қисыққа бұл нүк-теде жүргізілген жанама Ox осі болып табылады; нүктесінде туынды нольге тең, сонымен бірге бұ л нүктеден өтерде туындының таңбасы плюстен минусқа ауысады, демек, нүктесінде функцияның максимумы бар. Оның шамасы:

.

болғанда , демек қисықтың нүктесіндегі жанамасы Ox осімен тік бұрыш жасайды.

Әуелі берілген (42 – сурет) жазық фигураның ауданы -ты табамыз.

Берілген ауданның ауырлық центрі былай табылады.

42 – сурет.

Әдебеттер:

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 864 с. - ISBN 5-9221-0157-9.

2. Г.М. Фихтенгольц Математикалық анализ негіздері II том. Алматы – 1972

3. Гаврилов В.Р., Иванова Б.Б., Морозова В.Д. Кратные и криволиней-ные интегралы. Элементы теории поля: Учеб.для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. -496 с.