Физикалық кинетиканың элементтері.

Мазмұны:

КІРІСПЕ....................................................................................................6

НЕГІЗГІ БӨЛІМ.

І. ФИЗИКАЛЫҚ КИНЕТИКАНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ.

1.1. Больцманның кинетикалық теңдеуі.......................................................7-8

1.2. Больцманның Н – теоремасы.................................................................8-10

1.3. Фоккер – Планк теңдеуі........................................................................10-12

II. ТЕПЕ – ТЕҢДІКТЕГІ ЕМЕС ПРОЦЕСТЕР.

2.1. Бір компонентті жүйелердегі тепе – теңдіктегі емес процестер......13-14

2.2. Көп компонентті жүйелердегі тепе – теңдіктегі емес процестер.....15-16

2.3. Релаксация уақытын жуықтау..............................................................17-18

2.4. Тасымалдау теңдеуі..............................................................................18-19

ҚОРЫТЫНДЫ....................................................................................................20ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР..............................................................21

Кіріспе.

Курстық жұмыстың мақсаты: физикалық кинетиканың элементтері туралы жалпы мәлімет беру.

Курстық жұмыстың өзектілігі: кинетика ғылымы қазіргі таңда физиканың өзекті теориялық және практикалық мәселелерін шешуде (фазалық өтулерде, критикалық құбылыстарда, астрофизикада, биофизикада) атқаратын орны ерекше үлкен.

Курстық жұмыстың практикалық маңыздылығы: физика, химия, биология мамандықтарында оқитын білімгерлер ғылым мен оқыту әдістерін байланыстырып, оның практикалық маңызына көңіл бөле алатын жақсы маман болып шығуына ықпалын тигізеді.

Талдауды тепе-теңдіктегі макроскопиялық және микроскопиялық жолмен жасауға болады . Феноменологиялық жағдайда қарастырып отырған жүйенің атомдық-молекулярлық қасиеттері ескерілмей, макроскопиялық параметрлердің араларындағы байланыстар іздестіріледі. Тепе-теңдіктегі емес жүйелердің мінездемелері уақытқа байланысты өзгереді. Ал интенсивті параметрлерінің (тығыздық, температура, қысым, т.б.) жүйенің әртүрлі нүктелердегі мәндері бірдей болмайды, яғни координаталарға тәуелді.Қайтымсыз құбылыстардың теориясында негізгі рөльді әртүрлі физикалық шамалардың, электр зарядтарының, энергиялардың, массалардың, бөлшек сандарының, жылудың, импульстардың ағындары атқарады. Тепе-теңдікте емес процестер термодинамикасының негізгі міндеті, ағындар арасындағы әртүрлі шамалардың және қатынастардағы коэффициенттердің өзара байланыстарын анықтау болып табылады.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ.

І. ФИЗИКАЛЫҚ КИНЕТИКАНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ.

1.1. Больцманның кинетикалық теңдеуі.

Больцманның теңдеуін Лиувилля теоремасынан шығарып алуға болады. Бөлшектер саны тұрақты болғанда, фазалық көлемдегі бөлшектер тығыздығының сақталуына байланысты таралу функциясы υf (x,y,z,u,υ,ω) өзгермейді. Бөлшектер араларындағы соқтығысуларды ескермесек, үлестіру функциясынан уақыт бойынша алынған толық туынды

=0 (1.1.1)

Қатынасты дербес туындылар арқылы өрнектейік

+ • (1.1.2)

Бұл жағдайда үдеудің құраушылары сыртқы өрістің сәйкес кернеуліктерінің құраушыларына тең.

E , E , =E (1.1.3)

ескерсек (1.1.4) (1.1.5)

Яғни соқтығысуды ескермегендегі Больцманның кинетикалық теңдеуі шығады.Соқтығысудың әсерінен өзгерген үлестіру функциясы мынадай өрнекке түрленеді

= (1.1.6)

Мұндағы Q=σ cosθ соқтығысудың қимасы, салыстырмалы жылдамдық,

ψ-үлеструлері f, , f және f екі топтың молекулаларының соқтығысқанға және соқтығысқаннан кейінгі центрлерінің айналасындағы сызықтардың бұрышы. Соқтығысуларды ескерсек, Больцманның соқтығысу кинетикалық теңдеуі төмендегідей формада жазылады.

(1.1.7)

немесе

(1.1.8)

1.2 Больцманның Н-теоремасы.

Максвелл - Больцманның кинетикалық теориясының ең маңызды нәтижелерінің бірі, Больцманның атақты Н-теоремасына анықтама бергендігінде жатыр. Қазіргі кезде қайтымсыз процестер термодинами- касының, ақпараттық теорияның, плазманың кинетикалық теориясының дамуында Н-теореманың практикалық мәні өте үлкен. Фазалық μ-кеңістік көлемі dωd әрқашанда молекулалары бар i ұяшыққа бөлінсін делік. Мұндағы ,1см молекулалар саны. Күйдің біреуінің ықтималдығы төмендегі теңдікпен анықталады

(1.2.1)

(1.2.2)

Стирлинг формуласын қолдансақ

(1.2.3)

теңдігі шығады

ескерсек, (1.2.4)

Шекке көшіп орындауына қойып, мына өрнекті аламыз

(1.2.5)

Теңдіктің оң жағындағы интеграл

(1.2.6)

болғандықтан, екіге бөлінеді

(1.2.7)

белгілеп (1.2.8)

ескеретін болсақ (1.2.9)

(1.2.10)

теңдігі шығады. Тепе-теңдік күй ең ықтимал болғандықтан, ықтималдылық W максимумға ұмтылады. Бұл жағдайда Больцманның H функциясы минимумға ұмтылады.Осыған орай Больцманның Н-теоремасы төмендегідей түрде айтылады.

«Жүйе термиялық күйге жақындағанда Н - функция минимумға ұмтылады». Н-функциясы минимум болуы үшін оның уақыт бойынша бірінші туындысы нөльге, ал екінші туындысы нөльден үлкен болуы керек

(1.2.11)

Больцманның кинетикалық теңдеуінен

(1.2.12)

(1.2.13)

тепе – теңдік үлестіруде болғандықтан, қарастырып отырған жағдайда жүйенің күйі Максвелл үлестіруіне сәйкес.Н-функция минимумға ұмтылады. Демек Максвелл үлестіруі ең ықтимал үлестіру болып табылады. Барлық мүмкін болатын ауытқулар тепе-теңдік стационар күйден флуктуация құбылысының әсерінен ауытқуы ретінде қарастырылады.

Идеал газда бөлшектер өзра тек соқтығысулар кезінде әсерлеседі, соқтығысулар аралығында олар еркін және еріксіз болады. Газдың аз тығыздығы соқтығысуды екі-екіден деп есептеуге мүмкіндік береді. Бұл процессті идеал газға арналған кинетикалық теңдеумен сипаттауға болады.

Тепе - теңсіз газ үшін таралу функциясы r, p және  t-дан тәуелді. Фазалық кеністіктің элементі болса, онда t уақытында dγ  мынаған тен болады:

Сонда осы көлемде жатқан газ молекулаларының саны мынаған тең болады:

мұндағы  – таралу функциясы.

1.3. Фоккер-Планк теңдеуі.

Күрделі құбылыстарды зерттеу көбінесе феноменологиялық әдіс арқылы жүргізіліп, жүйе күйінің өзгеруін, яғни бір күйден екінші күйге өтуі, қандай да бір өту ықтималдылығымен сипатталуы тиіс. Жүйенің күйін сипаттайтын параметрді деп алайық.Уақыттың t моментінде параметрдің шамасы шамасының аймағында жату ықтималдылығының тығыздығын , ал уақытта параметрі күйден параметрлері күйге көшу ықтималдылығын деп белгілейік,онда

(1.3.1)

Интегралдау барлық мүмкін болатын мәндері бойынша алынады. Бұл теңдеу Смолуховский теңдеуі деп аталады. Бірнеше қосымша жақындатуларды пайдаланып, теңдеуге дифференциалдық форма беріп, айнымалыларды ауыстырайық

(1.3.2)

өте аз шама болғандықтан, теңдіктің сол жағын бойынша жіктеп, сызықты мүшелерімен шектелсек,

Оң жағындағы интеграл астындағы өрнекті λ бойынша Тейлор қатарына жіктелік

Немесе

ескеріп, өрнектерді ықшамдау мақсатында белгілеулер енгізейік

(1.3.3)

Онда

өрнекті бөліп, шекке көшсек, (1.3.4)

D= белгілесек, (1.3.5)

теңдеуі шығады (1.3.6)

Немесе

(1.3.7)

Фоккер- Планк теңдеуін алдық. Тендеу физикада белгілі үзіліссіз теңдеуге ұқсайды. Айнымалысы бір өлшемді кеңістікте дивергенцияның орнына туындысы алынған, Егер қандайда бір ансамбілдердің мүшелерін газ молекулалары деп алсақ, онда газдың тығыздығы болады, бұл үшін үзіліссіз теңдеу (1.3.7) түрінде жазылады.

II. ТЕПЕ – ТЕҢДІКТЕГІ ЕМЕС ПРОЦЕСТЕР.

2.1 Бір компонентті жүйелердегі тепе- теңдіктегі емес процестер.

Бір сортты бөлшектерден тұратын температураларының, қысымдарының, энергияларының меншікті мәндерінің бөлшек сандарының бір-бірінен азырақ айырмашылықтары бар екі жүйені қарастырайық. Энергияның және бөлшектердің алмасуы өте жәй өтетіндей етіп екі жүйені біріктіреміз (Джоуль- Томсон). Жүйе оқшауланған болса, Әрбір жүйедегі энтропияның өзгерісін Е жәнеN бойынша Тейлор қатарына жіктеп, екінші мүшелерімен шектеліп анықтаймыз.

Жіктеу тепе-теңдік нүктесінен басталғандықтан,

онда барлық жүйенің энтропиясының өзгерісі

(2.1.1)

Осы өрнектен уақыт бойынша туынды алайық:

(2.1.2)

және шамаларын ағындар деп қарастырсақ

Енді энтропияны параметрінің функциясы ретінде жазайық

(2.1.3)

Уақыт бойынша туындысы

(2.1.4)

Осы өрнекті (2.4.2) теңестірсек, мына қатынастар шығады

(2.1.5)

(2.1.6)

Немесе

(2.1.6)

Мұндағы υ,S көлеммен энтропияның меншікті мәндері

μ+sT=g+sT=h (2.1.7)

қолдансақ, (һ-энтальпияның меншікті мәні)

(2.1.8)

теңдігі шығады. Соныменен кинетикалық коэффициенттердің мәндерін білсек, энергияның ағынымен бөлшектердің санын есептей аламыз.

2.2. Көп компенентті жүйелердегі тепе-теңдіктегі емес процестер.

Әртүрлі газдардың қоспаларынан тұратын жүйені қарастырайық. Макроскопиялық ағындардың әсерін ескермеу үшін қысым барлық жерде бірдей деп аламыз. Жүйедегі температураның градиенті нольге тең емес деп алсақ, жүйеде жылу алмасу процесі өтеді. Егер газ концентрацияларының градиенті болса,(термодиффузия) онда

және

Яғни энергетикалық ағыннан басқа, бірінші және екінші компоненттердің бөлшектерінің ағыны төменде келтірілген формулалармен есептелінеді.

Қысымның нөльдік градиенті сақталу үшін болуы тиіс. Олай болса,

(2.2.1)

Мұндағы кинетикалық коэффициенттер. Химиялық потенциал температураның, қысымның, концентрацияның функциясы. Қысым көлем бойынша барлық жерде бірдей екендігін ескерсек, химиялық потенциалдардың айырымының градиенті.

(2.2.2)

Гиббс-Дюгем қатынасын пайдалансақ,

Онда

өрнегін (2.2.1) теңдігіне қойсақ, төмендегі қатынас шығады

(2.2.2) теңдігін пайдаланып, мына теңдеуді аламыз

(2.2.4)

Мұндағы концентрация градиентінің алдындағы көбейткіш диффузия коэффициенті мынаған тең

(2.5.5)

Ал, температура градиентінің алдында тұрған көбейткіш термодиффузия коэффициенті төмендегі теңдікпен анықталады.

(2.2.6)

Ағын үшін жоғарыдағы өрнек мынадай болып түрленеді

(2.2.7)

2.3. Релакcация уақытын зерттеу.

Больцманның кинетикалық теңдеуін шешу жалпы жағдайда үлкен қиындықтарға кездеседі. Тек қосымша жуықтауларды қолдану нәтижелері, оған анализдер жасауға мүмкіндік туғызады. Егер соқтығысу интегралына жуықтау өрнекті тапсақ, онда есепті шешу неғұрлым жеңілдейді. Жуықтаудың ең қарапайымы релаксация уақытының жуықтауы болып табылады. Бұл жуықтау, жүйе тепе-теңдік күйінен азырақ ауытқығанда қолданылады. Егер жүйені өзімен-өзін қалдырсақ, ол релаксация уақытында τ , бөлшектердің бір-бірімен соқтығысуының салдарынан тепе-теңдік күйге өтеді. Тепе-теңдік күйдегі таралу функциясын ρ деп белгілесек және тепе-теңдік күйден ауытқудың шамасы азырақ болса, онда бірінші жуықтауда мына қатынас шығады

I= (∂ρ/∂t)_ст=-(­ρ-­ρ_{0) /}τ_ρ

Нәтижесінде Больцман теңдеуі төмендегідей түрленеді

∂ρ/∂t+ ) ) _zρ) /m) +﴾﴾ _zρ ) ==-(­ρ-­ρ_{0) /}τ_ρ (2.3.1)

Парабола типті дербес туындылы теңдеу алдық. Осыған ұқсас теңдеулерді шешудің көптеген әдістері бар. Сандық, аналитикалық әдістер үлестіру функциясының жуықтап алынған мәндерін береді. Егер жүйеге сыртқы күш әсер етпейді және кеңістіктік үлестіру біртекті ( _zρ=0) деп алсақ, онда келесі теңдеу алынады теңдеуі аналитикалық жолмен оңай шешімін табады , ℓn (ρ­-ρ₀)= +ℓnС, ρ=ρ₀+С

Интегралдың тұрақтысы бастапқы шарттардан анықталады. Ол үшін алғашқы үлестіру ρ_алғ( ) берілуі қажет . Мұндағы тұрақты шама алғашқы үлестірудің тепе-теңдік күйдегіден ауытқуын көрсетеді. С=ρ_алғ­-ρ₀:

яғни, тұрақталған жүйе тепе-теңдік күйге экспоненциалды заңмен өтеді. Қарастырылған қарапайым, модельде релаксация уақыты туралы ештеңе айтуға болмайды. Оның мәні бөлшектердің соқтығысу процесін талдағанда анықталады.

2.4. Тасымалдау теңдеуі.

Тасымалдау құбылысына жататын жылуөткізгіштікті, электр өткізгіштікті, диффузияны, фазалық өтулерді, кристаллизацияны, қайтымсыз процестерді термодинамиканың макроскопиялық немесе статистикалық физикаға негізделген микроскопиялық теорияны қолданып қарастыруға болады. Статистикалық әдісті пайдаланып, тасымалдау құбылысын зерттейік. Бұл жағдайда молекула-кинетикалық теорияның қорытындысын негізге алып, кинетикалық коэффициенттердің физикалық мағынасын ашамыз. Тасымалдау құбылысының феноменологиялық теңдеулерінде ағынның шамасы (мысалы, электр зарядының мөлшері, жылу, т.б.) оны қозғайтын күшке Х_і пропорционал. Ал қозғаушы күш градиенттің концентрациясына С, потенциалға V, температураға Т пропорционал. Пропорционалдық коэффициенттері L кинетикалық немесе Онзагер коэффициенттері деп аталады.Жалпы жағдайда

I=L X=L grad V (2.4.1)

Дербес жағдайда (диффизия) теңдеу Фик заңына түрленеді

I_m =dM/dFdτ=D grad a (2.4.2)

мұндағы I_m,М – зат мөлшерінің τ уақытта, А көлденең қимадан өтетін ағыны,D-диффизия коэффециенті, grad a концентрацияның градиенті. Олай болса,

М= D grad a dFdτ (2.4.3)

Жылу өткізгіштік үшін теңдік, Фурье заңына түрленіп, көлденең қимасы Ғ жылу өткізгіштен τ уақытта өтетін жылу мөлшері төмендегі интегралмен есептеледі.

= λ grad ТdFdτ (2.4.4)

Осыған ұқсас, көлденең қимасы Ғ өткізгіштен τ уақытта өтетін электр мөлшерін Ом заңы арқылы өрнектеуге болады.

= σ grad UdFdτ (2.4.5)

Көбінесе диффузия, жылуөткізгіштік, электр өткізгіштік, т.б., коэффициенттер, көрсетілген өрнектерде концентрацияның, электр өрісінің кернеулігінің, температураның градиенттеріне тәуелділігі ескеріледі. Шындығында олардың градиентіне тәуелділіктерін ескеру қажет. Кейбір жағдайларда концентрацияның немесе электрлік потенциалдар айырымының градиенттерінің орнына термодинамикалық функцияларды пайдаланған өте ыңғайлы. Мысалы, концентрацияның орнына химиялық потенциалды қолдансақ

μ=μ₀+kTℓn a (2.4.6)

онда

grad a= gradμ (2.4.7)

болғандықтан, Фик теңдеуі мынадай болып түрленеді

I_m=dM/dτdF= (2.4.8)

Қорытынды.

Курстық жұмыс жалпы II негізгі бөлімнен тұрады.

I – ші бөлімде:

Больцманның кинетикалық теңдеуі;

Больцманның Н – теоремасы;

Фоккер – Планк теңдеуі тақырыптары;

II – ші бөлімде:

Бір компонентті жүйелердегі тепе – теңдіктегі емес процестер;

Көп компонентті жүйелердегі тепе – теңдіктегі емес процестер;

Релаксация уақытын жуықтау;

Тасымалдау теңдеуі тақырыптары.

Қорыта келгенде талдаудың кинетикалық әдісі атомдық кинетикалық көріністі және күйді үлестіру функциясымен сипаттауға негізделген. Тепе-теңдік емес күйде үлестіру функциясы координатамен уақытқа тәуелді. Кинетиканың негізгі проблемасы кеңістікте үлестіру функциясының уақытқа байланысты өзгерісін және оның ағымдарға тәуелділігін анықтау. Тепе-теңдікте емес құбылыстарды зерттеп, алынған нәтижелерге талдау жасауда кинетикалық әдістің теориялық және практикалық маңызы өте үлкен.

Көбінесе диффузия, жылуөткізгіштік, электр өткізгіштік, т.б., коэффициенттер, көрсетілген өрнектерде концентрацияның, электр өрісінің кернеулігінің, температураның градиенттеріне тәуелділігі ескеріледі. Шындығында олардың градиентіне тәуелділіктерін ескеру қажет. Кейбір жағдайларда концентрацияның немесе электрлік потенциалдар айырымының градиенттерінің орнына термодинамикалық функцияларды пайдаланған өте ыңғайлы.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.

1. Т.Бижігітов «Статистикалық физика. Физикалық кинетика негіздері», Алматы: ЖШС"Дәуір", 2011ж.

2. Қ. Бақтыбаев «Статистикалық физика, термодинамика» Қазақ Ұлттық университеті, оқу құралы, Алматы 2010 ж.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Курс теоретической физики. Москва, Просвещение, 1985.

4. Ғаламтор желісі: http://sanatez.net/bogolubov/

5. Базаров И.П. Термодинамика и статистическая физика. Москва, Изд-во МГУ, 1989.