"Функция ұғымы" дәрістер жинағы

Комплекс айнымалылы функция ұғымы

Мазмұны: Комплекс айнымалыдан тәуелді функция анықтамасы. Негізгі элементарлық функциялар. Дифференциалдау, Коши-Риман шарттары.

Дәрістің мақсаты: Негізгі элементарлық функциялардың анықтамасын білу, нақты және жорамал бөліктерін ажырата білу. Дифференциалдау ережесін қолдануды, Коши-Риман шарттарын тексеруді ұйрету.

11.1 анықтама  комплекс айнымалысының мәндерін суреттейтін кейбір  жиынында  функциясы анықталған дейміз, егер осы жиынның әрбір  нүктесіне бір немесе бірнеше  мәндері сәйкес қойылған болса.

Егер  функциясы  айнымалысынан тәуелді болса, онда  мен  айнымалыларының әрқайсысы  пен  нақты айнымалыларынан тәуелді функциялар, яғни  және  болады. Егер де  болса, мұндағы  және  – нақты  және  аргументті нақты функциялар, онда -ны  комплекс айнымалыдан тәуелді функция деп қарастыруға болады.

11.2 анықтама Кез келген  саны үшін  саны табылып, барлық  теңсіздігіне қанағаттандыратын  нүктелері үшін  теңсіздігі орындалса  саны бірмәнді  функциясының  шегі болады. Оны  түрінде жазады.

11.3 анықтама  функциясы  нүктесінде үзіліссіз болады, егер

 болса.

Комплекс айнымалыдан тәуелді негізгі элементарлық функциялар

1. Рационалдық функция .

2. Бөлшек-рационалдық функция .

3. Көрсеткіштік функция комплекс жазықтығының барлық нүктелерінде абсолютті жинақты дәрежелік қатарлардың қосындысы ретінде анықталады

.

Көрсеткіштік функция қасиеттері: а) ; ә) , яғни  – -периодты функция.

4.  және  функцияларын Маклорен қатары түрінде анықтауға болады

,

.

Бұл қатарлар кез келген  үшін абсолютті жинақты. , ,  функциялары өзара Эйлер формуласымен байланыстырылады: , , , .

5. , .

6. Гиперболалық функциялар

,

,

,

.

Келесі қатынастар орындалады: , , , , , , , .

7.

Қасиеттері: , , , .

8. Кері тригонометриялық функциялар

,

,

,

.

9. , мұндағы .

10.  мұндағы .

Комплекс айнымалыдан тәуелді функцияның туындысы

 функциясы комплекс айнымалы -тің кейбір  облысында анықталған болсын.  аргументіне  нүктесі  облысына тиісті болатындай етіп  өсімшесін береміз. Онда  функциясы  өсімшесін қабылдайды.

11.4 анықтама  функциясы  облысының  нүктесінде дифференциалданады дейміз, егер  еркін түрде ұмтылғанда  қатынасының шегі бар болса. Бұл шек -тің туындысы деп аталады да,

                     (11.1)

белгіленеді.

11.5 анықтама Кейбір облыстың әрбір нүктесінде үзіліссіз туындысы бар  функциясы осы облыста аналитикалық болады.

Туынды қасиеттері:

1. ;

2. ;

3. , мұндағы .

4. Егер  – күрделі функция, мұндағы  – комплекс айнымалыдан тәуелді функция, және ,  туындылары бар болса, онда

формуласы орынды болады.

Туындылар кестесі нақты айнымалыдан тәуелді функциялардың туындылар кестесіне ұқсайды.

Коши-Риман шарттары

 болсын. -тің туындысы бар болсын, яғни

Анықтама бойынша бұл шек  пен -тің 0-ге қандай жолмен ұмтылуынан тәуелсіз болғандықтан, дербес жағдайларды қарастырамыз:

а)  болсын, онда

;

б)  болсын, онда

.

Туындылар тең болғандықтан,  теңдігі орындалады. Сондықтан,

                                               (11.2)

(11.2) –Коши-Риман шарттары.

Коши-Риман шарттары орындалғанда  функциясының туынды-сы  формуласы бойынша табылады