Ғылыми жоба " Об одном способе усиления неравенства между «средними»."-алгебра пәнінен

Школа – лицей №10 им. Абая города Павлодара

Журсунова Балжан , 11 класс

Тема: Об одном способе усиления неравенства между «средними».

Секция: Математика

Направление: Математика и ее приложение к численным расчетам.

Научный руководитель: Жумабай С.Х., учитель

математики.

Научный консультант: Исмоилов Д.И., доктор

физико-математических

наук, член корр. МАН ВШ,

профессор ИнЕУ.

Павлодар, 2014 г.

Абстракт

Цель исследования: Поиск взаимосвязи «средних» двух или более чисел, где объектом исследования являются неизвестные неравенства.

Гипотеза: На базе использования квадратных уравнений новые результаты по вопросу извлечения квадратного корня без использования современных компьютерных технологий (ЭВМ) и полученные результаты иллюстрировать на числовых примерах.

Этапы процедур исследования:

- сбор и обработка материалов, анализ полученных данных;

- определение содержания основной задачи проекта;

- выполнение работы и подведение итогов

Методы исследования: решение задач школьной программы неравенств со «средними» путем использования квадратных трехчленов.

Новизна исследования и степень самостоятельности состоит в том, что в работе cформулированы, исследованы и доказаны, новые формулы по отношению «средних» и значительно уточнены классические результаты, где применяются неравенства о «средних» получены и апробированы на числовых примерах. Сравнение показывает, что в нашем случае получаются более точные результаты.

Результаты научного проекта в следующем: сформулированные и доказанные задачи можно использовать в физических расчетах при определении скорости прохождения объектов в космосе, в химической промышленности при создании реактивов, требующих более точного результата.

Практическая значимость в следующем: сформулированные и доказанные задачи можно использовать во всех сферах деятельности человека, которые носят теоретический характер без использования сложных математических процедур, где можно применить теорию квадратных уравнений.

Введение

…Математика как наука наиболее точно

отражает реальную действительность…

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Развивается во всех направлениях, обобщаются и углубляются известные теории в самой математике и в средних областях теоретических расчетов. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение.

Во-вторых, развитие целого ряда наук: физики, технических, прикладных, экономических и других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования математических моделей, методов построения решения различных прикладных задач: освоение космоса, создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности, было бы невозможно обойти стороною математическую науку и ее многочисленные выводы.

Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся математиков и представителей естествознания всех времен и народов, многие методологические проблемы в этой области математики и ее приложения остаются недостаточно разработанными, что, в свою очередь, тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки.

«Средние» арифметические и геометрические числа играют большую и важную роль в школьном курсе алгебры и в дальнейшем обучении математики в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности применяется в неравенствах между «средними» числами.

Актуальность: исследования состоит в рассмотрении неравенств иррациональных чисел применимых, во всех сферах числовой деятельности.

К примеру:

1) в инженерных исследованиях

2) в химической промышленности

3) в физических расчетах

Цель: Поиск взаимосвязи «средних» двух или более количеств чисел, где объектом исследования являются неизвестные неравенства.

Методы исследования и степень самостоятельности: решение задач школьной программы неравенств со «средними» путем использования квадратных трехчленов

I. Предварительные понятия, определения.

1.1 Определение о “средних”

Определение 1. Средним арифметическим n чисел называется число равное:

Пример;

1)

Как известно, сумма первых n членов натуральных чисел 1,2,…,n; равна;

Определение 2. Последовательность (I) называется “арифметической прогрессией” с разностью d и начальным членом ; где мы найдем

d= k= 2, 3,…, n;

Где известно, что сумма n членов арифметической прогрессии с разностью d равна;

(1)

Примеры.

1. Пусть Здесь

Тогда

2. Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

, если и

записав формулы седьмого и семнадцатого членов, получим систему

уравнений с двумя неизвестными:

Найдем

Используя формулу суммы, запишем сумму n первых членов:

Определение 3. Средним геометрическим двух неотрицательных чисел

и называется число b равное;

= ;

Примеры;

1. ; n – натуральное число

2. Пусть ; тогда

Это понятие в общем случае обобщается в виде

;

где j= i, n; n это натуральное число, которое 2;

При n=1 мы получаем одно единственное число и это формально не является средним геометрическим, хотя, если

где

В дальнейшем нас интересует взаимосвязи средних арифметических двух или более количество чисел Основным объектом нашего исследования является известное неравенство:

Определение 4. Пусть и неотрицательные числа, тогда неравенством о «средних» называется следующее выражение:

(2)

Примеры:

1. 

2. - натуральное число, тогда согласно (2) получим

Однако это оценки в общем случае весьма слабые и подлежат значительному уточнению.

Замечание. Прежде всего обратим внимание на то, какой алгебраический смысл имеет неравенство (2). Ясно, что для любых и неотрицательных чисел справедливо неравенство

(3)

Отсюда раскрывая квадрат, мы получим:

Полагая, и получим и другое неравенство

(4)

Важным моментом является то, что неравенства (2) и (4) превращаются в равенства лишь при

Теперь рассмотрим геометрический смысл неравенства (2). Берем окружность диаметра с центром точки О. Радиусом этой окружности является такая формула: а это половина хорды перпендикулярной к диаметру. Построим в окружности прямоугольный треугольник. Где радиус, длина хорды и основание которое равно: . Согласно теореме Пифагора для прямоугольных треугольников квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

где - гипотенуза, и катеты.

Возьмем любой прямой L отрезок и отложим последовательно отрезки и На их сумме как на диаметре опишем окружность. Тогда отрезок выражает радиус окружности. А отрезок выражает половины хорды перпендикулярной к хорде. В результате (после соединения точек) конец радиуса и хорды

- половина хорды (катет)

- катет

Действительно видно равенство (по теореме Пифагора):

Отсюда после раскрытия скобок мы имеем

Далее, определим некоторые трактовки неравенства (2):

Справедливо неравенство:

(5)

Для любых

Проверка:

или пологая получим неравенство (2): т.е.

Отсюда следует, что для любого положительного числа имеет место неравенство: Например: а для отрицательного имеет место Например: Соответствено, равенства при и

Примеры:

; при любых и

1) 2)

2

В частности при имеем

И при любое ненулевое число, тогда

1.2 Применение неравенства (3)

Теорема 1. Пусть выражают стороны любого треугольника ;

Тогда справедливо такое неравенство:

Доказательство. Раскрываем скобки в левой части:

Согласно неравенству (5)

Следовательно, неравенство (6) доказано.

Теорема 2. Пусть соответственно высоты, опущенные к сторонам треугольника

Тогда

Доказательство аналогично как в теореме (1).

Примеры:

;

2>0

Если треугольник равносторонний, то произведения соответственно будут такими:

1.3 Об уточнении неравенства между «средними».

Вышеизложенные пункты 1 и 3 показывают, что для некоторых обычных случаев дают “слабый” результат. Сейчас мы рассмотрим для случая некоторые усиления неравенства 3 (то есть неравенство о “средних”). Наш результат сформулируем в виде следующего утверждения.

Теорема 3. Пусть число и любое вещественное число. Тогда для любого справедливо неравенство:

Доказательство. Мы исходим из следующего равенства:

Далее, по неравенству (2) имеем:

(4)

Но по неравенству (2):

(5)

Следовательно, наша цель доказать возможное усиление неравенства (5).

Поэтому будем исходить от неравенства (4) и (5) так, чтобы имело место неравенство:

(6)

В этом неравенстве - свободный параметр, который нужно выбрать так, чтобы левая часть (6) была наименьшей. Для этой цели решим неравенство по .

(7)

Дискриминант этого квадратного трехчлена всегда будет полным квадратом, т.е.

(8)

или

Таким образом,

Отсюда получим:

Найдем (a>1)

где

Таким образом, наш многочлен достигает своего минимального значения в точке

Заметим, что при мы получим ту же оценку (3), что имеем по неравенствам из “средних”, а при других (если ) или

( ); получим усиление классического неравенства (3).

Рассмотрим также и второй случай:

По неравенству (3) имеем

Для нашей цели параметр должен быть таким, чтобы имело место:

Но как мы видим, уравнения

и

имеют одинаковые дискриминанты, т.е. в обоих случаях, а также совпадает один корень из двух.

Действительно,

Поэтому как бы происходит при нахождении замена т.е:

по первому случаю по второму случаю

В общем случае для несовпадающихся корней (скажем и ) или тогда имеют место при

Поэтому в дальнейшем мы будем заниматься первым случаем.

4. Применение нашего неравенства.

Примеры: Анализируем для

1. (по классическому неравенству)

Вычислим

Если применить способ извличения с помощью ЭВМ, то

Сравнение этих значений показывает, что

т.е. для этого случая совпадение двух знаков после запятой (т.е. с точностью до тысячной доли)

2) (по неравенству о “средних”)

По нашему неравенству:

По ЭВМ:

3) (по неравенству о “средних”)

По нашему неравенству:

По ЭВМ:

4) (по неравенству о “средних”)

По ЭВМ:

Как мне объяснил профессор Исмоилов Д.И. оценки которые получены на ЭВМ более точны, так как там прилагаются алгоритмы, связанные с цепными дробями или теорией чисел рядов связанные с дифференциальным исчеслением.

Раннее мы рассматривали в частности доказанные теоремы, которые служат для определения средних арифметических и геометрических чисел.Теперь попробуем рассмотреть примеры квадратных уравнений по мере роста числа n. В этих случаях скорость приближения изменяются не так быстро как раньше.

Примеры:

1)

По нашей формуле:

(по средним)

Отсюда найдем

1)

В этом случае у нас совпало лишь 2 знака после запятой.

2)

Здесь совпвадает до 5 знаков после запятой.

3)

=1,4142135623746899

т.е. получилось совпадение до 11 знаков после запятой.

2)

(по средним)

Отсюда найдем

1)

В этом случае у нас совпало 3 знака после запятой.

При нахождении совпадают 7 знаков после запятой:

2)

При нахождении также совпадают 7 знаков после запятой:

3)

(по средним)

Отсюда найдем

2,238095238952

В этом слачае у нас совпало 2 знака после запятой.

При нахождений совпадают 5 знаков после запятой:

2)

А при нахождений совпадают 12 знаков после запятой:

4)

5)

1.5 Общий случай

Общий случай: пусть любое бесквадратное число (в том числе и целые) иммет место утверждения.

Теорема 4. Спарведливо общее утверждение: при и

Тогда имеет место неравенство

Доказательство. По неравенсву между “средними” имеем:

По нашей схеме для любого по формуле между “средними” получим:

Значит, нас интересует случаи выбора с тем условием, что

И найти границу числа для которых неравенство выполняется.

И з составляем неравенство :

Из видно, что при и в неравенстве получается равенство.

Действительно, при это очевидно, а при из мы получим:

Следовательно, выполняется равенство;

Далее покажем, что для всех

действительно мы получаем уточнение классического неавенства о “средних”.

Находим дискриминант левой части квадратного неравенства

Следовательно, по формуле решения квадратного уравнения для мы получим:

и

Согласно грфику квадратного трехчлена

т.е. Теорема доказана.

Замечания.

По значениям и (см (5) ) находим

(среднее арифметическое значение), где наш многочлен принимает свое наименьшее значение.

Наш многочлен имеет оптимальное значение. Таким образом неравенство (6) дает нам возможность без применения сложных вычислительных процессов получать значительно точный результат по сравнению известного принципа неравенства между “средними”. Найдем значение нашего многочлена для - бесквадратное число.

Значение нашего квадратного трехчлена:

;

Замечания. Вывод для квадратных уравнений квадратного трехчлена

и всегда имеют дискрименанты

(-) (-)

; ;

Примеры:

1) ;

2) ;

Теперь рассмотрим неравенства для любого

1) (по неравенству между «средними»)

2)

Введем обозначения:

тогда из нашего неравенства получим

Теперь решим неравенство 2) с помощью квадратного неравенсвтва по параметру и найдем многочлены по и

Мы имеем:

Отсюда получим:

Поскольку то обе части неравенства сократим на тогда получим квадратное неравенство.

В формуле вместо подставляем

Всюду для упрощения записи зависимость по неукажем.

Найдем явные виды многочленов и . Имеем

(7)

Из явных значений и видно, что имеют метсто неравенства:

(8) для любого

Однако велечина Действительно для числителя нашей дроби вычеслим непосредственно

это равносильно тому, что

Отсюда получим:

или т.е. при всех

Таким образом, неравенство получено.

Далее, определим многочлены и Для этой цели в наш основной многочлен вместо подставляем и получим:

Здесь мы получим два рекуретных равенства:

(9) и

Найдем явные виды и Для этой цели воспользуемся явными видами равенств для и (см.(7))

Далее, можно можно увидеть, что

С другой стороны покажем, что их отношение уменьшаются.

Мы имеем:

Покажем, что Действительно, где

Подставляя их явные значения мы находим в левой части:

В праввой части:

Сравнение левых и правых частей показывает, что

Это неравенство всегда видно при всех тем самым мы показали, что

Заключение

Нами были представлены задачи, которые можно применить во всех отраслях

человеческой деятельнсоти требующих точных расчетов. Продолжая этот процесс мы приходим к замечательным неравенствам:

Где

Отсюда выводим

При этом верны неравенства:

т.е. последовательность при стремится к

Я благодарна профессору Д.И.Исмоилову за постановку задачи, которая мне была предложена, приминение в интерактивных процессах и выбор наилучшего оптимального способа, за консультации, а также постоянное внимание и интерес к исследованиям.

Список использованной литературы:

1. Я.И. Перельман Занимательная арифметика. – Москва, 1994 г.

2. А.Е. Абылкасымова, К.Д. Шойынбеков, В.Е. Корчевский, З.А. Жумагулова математика 10 класса. - Алматы, 2010 г.

3. А.Е. Абылкасымова, В.Е. Корчевский, А. Абдиев, З.А. Жумагулова математика 11 класса. – Алматы, 2011 г.

4. Ахшалова С.А, О решении нелинейной системы алгебраических уравнений в целых числах. Ахшалова С.А/Материалы Международной научной конференции молодых ученых, студентов и школьников «7 Сатпаевские чтения» - т.18 Павлодар ПГУ им. С.Торайгырова – 2007г.

5. В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленнин Симметрия в алгебре/Москва,2002 г, 204 стр.

6. В.Б. Лидской, Л.В.Овсянников, А.Н. Тулайков, М.И. Шабунин Задачи по элементарной математики. – Москва, 1960 г.

7. И.С. Солинский Метод математической индукции, - Москва, 2004 г.

8. Феникс Математические олимпиады. – Ростов-на-Дону, 2006 г.

9. Э.Н. Балаян 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике, 2007 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………..3

I Предварительные понятия, определения.

1.1 Определение о “средних”……………………………………………........5

1.2 Применение неравенства (3)……………………………………………...9

1.3 Об уточнении неравенства между средними…………………………...11

1.4 Применения нашего неравенства………………………………………..14

1.5 Общий случай…………………………………………………………….20

Заключение…………………………………………………………………….28

Список испльзованной литературы………………………………………….29