Ғылыми жұмыс: Геометрияны оқыту әдістемесі

Мақтаарал ауданы білім бөлімінің «О.Бапышев атындағы №8 жалпы орта мектебі» коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Ғылыми жоба

«Геометрияны оқыту әдістемесі»

Орындаған: математика пәні мұғалімі

Саулебаев Бауыржан Абдизакирович

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ....................................................................................................................3

1 ПЛАНИМЕТРИЯ ЖӘНЕ СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ

ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ..........................................................................................5

1.1 Мектепте геометрияны оқыту мәселелері, планиметрия курсынын

алғашқы бөлімдерін оқыту әдістемесі.....................................................................5

1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары..................................................9

1.3 Планиметрия курсында салу есептері.............................................................10

2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ ОҚЫТУ

ӘДІСТЕМЕСІ.........................................................................................................14

2.1 Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар..........................................14

2.2 Кеңістік фигураларының кескіні......................................................................20

2.3 Тестілеуде кездесетін планиметрия есептерін шешу.....................................25

ҚОРЫТЫНДЫ......................................................................................................29

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР................................................................31

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. Стереометриялық есептер оқушының ақыл-ойын дамытудың маңызды құралы болып табылады. Осындай есептерді шешуге оқыту мақсаттарының ішінде негізгілері оқушылардың логикалық ойлауларын және кеңістіктік елестетулерін дамыту. Бұл ой әрекеттерін оқыту процесінде қатар дамыту тиімді екенін практика көрсетіп отыр.

Логикалық ойлау ұғымдарды, логикалық байланыстарды пайдаланумен сипатталады. Геометриялық ұғымдарды қалыптастыру үшін осы ұғыммен сипатталатын объектілер туралы түсініктер маңызды роль атқарады. Түсініктедің ролі қандай да бір ой тұжырымдарын алу процесінде де өте маңызды. Оқу материалын түсіну кезінде бейнелерді актуалдау ойдың жалпылылық дәрежесін арттыруға мүмкіндін туғызады.

Басқа жағынан, қалыптастырылып отырған түсініктерде тиісті ұғымдардың елеулі қасиеттерін және пайымдау негізінде алынған қорытындылар байқалады.

Психологтардың ойынша , орта және жоғарғы сынып оқушыларында абстрактты ойлаудың нақтылы ойлауға ыкпалы білінеді және бұл ықпал бейнелердің тек сипатталып қана қоймай, сонымен қатар олар интерпретациялануы (кескінделуі) кезінде де көрінеді, жалпыланған білімдерді қолдану әсерінен объектілерді, қабылдау аясы кеңейеді [1].

Стереометриялық есептерді шешу кезінде бейнелі ойлау да, логикалық ойлау да қатысады, және есепті шешудің тимділігі осы ойлау түрлерін байланыстыра білуінен тәуелді болады.

Логикалық ойлау бір мағыналы контексті ұйымдастыруды болжайды, ал бейнелі ойлау - көп мағыналы. Егер логикалық ойлау альтернатива принципіне бағынса (қайсы бір әрекет немесе қатынас оған қарама-қайшыны автоматты түрде жояды), онда бейнелі ойлау үшін мұндай альтернативалар жоқ - екі бірін-бірі жоққа шығаратын қатынастар бірін-бірі толықтыратын сияқты болады. Мұндай «дүниеге көзқарастың кеңдігі» әдеттегі логика көзқарасы бойынша жағдай тұйыққа тірелген жерде іздеу белсенділігін сақтауға мүмкіншілк береді.

Стереометриялық есептерді шешу тиімділігі есептеп шығарушының білім қорынан және осы білмдерді қолдана білуден де, есепте айтылып жатқан объектіні оқушы қаншалықты жақсы түсінетінен де тәуелді болады. Бұл жағдайда ойлаудың ауызша (вербальді) және бейнелі элементтері бірін-бірі алмастырмай, есепті шешу кезінде әр түрлі қызмет атқарады.

Жұмыстың мақсаты:

Плпнаиметрия, стереометрия есептерін оқыту үрдісінде студенттерге терең және берік білім беру, іскерлік пен дағдыларын бекіту;

Технологиялық амал-тәсіл түрлерін орындау жолдарын меңгерту, салу есептерін шешу процесінде қолданылатын аспаптарды қолдана білуге үйрету

Технологиялық ойлауды дамыту, өз бетімен жоспарлауды, алгоритмдеуді, өзінің оқу, өз білімін жетілдіру әрекетін стандарттауды үйрету;

Оқу сабақтары мен есептеуге, дәлелдеуге, салуға берілген есептерді шешуді ұйымдастырудағы технологиялық тәртіп талаптарын сақтауға тәрбиелеу.

Жұмыстың міндеті:

Геометрия есептерін шешуде қолданылатын геометриялық түрлендірулерді қолдануда, кеңістіктегі декарттық координаталар, нүктелердің ара қашықтығы, кесіндінің ортасының координаталары, т.б. тақырыптарына жаңа компъютерлік технологияны (жаңа ақпараттық технология) қолдану студенттерге жаңа ақпараттарды түсіндіру арқылы олармен жұмыс істеу қабілеттерін, дағдыларын, іскерліктерін дамыту.

Тақырыптың зерттелу деңгейі. Оқушының ақыл-ойының дамуы туралы айта отырып ол даму екі қарам қарсы бағытта - нақтыға қарай және абстрактыға қарай жүзеге асатынын ескеру қажет. Бұл жағдайға ерекше көңіл аудару керек, өйткені көрнекі бейнелі, практикалық ойлауды ақыл-ойдың жетілмеген ең төменгі формасы ретінде түсіну дұрыс емес. Осы ақыл-ойдың жетілмеген формасының функциясы, негізінен, абстрактты ойлаудың уақытша тірегі болады да, ал соңғысы қалынтасқаннан кейін нақты ойлаудың маңызы тоқтаған сияқты, оқыту процесінде есепке алынбайды. Шынында нақты ойпаудың барлық формаларындағы дамуының дерексіз дамуға қарағанда маңызы аз емес және біріншісін қарапайымдылау, ақыл-ой әрекетінің квалификациялан-баған формасы ретінде бағалауға болмайды. Өздерінің жұмыстарында бұл көзкарасты Г. Д Глейзер, Е.Н. Кабанова-Меллер, Н.А Менчинская, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Четверухин, И.С. Якиманская тағы да басқа психология және математиканы оқыту әдістемесі саласын-дағы мамандар ұстанады.

Олар ойлаудың дамуын көрнекі-бейнелі таным формаларының түсінікті формаларға ауысуы деп түсінбей, ақпаратты оңдеу механизмдерінің күрделенуі арқылы түсіндіріледі. Түсініктік ойлау қалыптасқанда бейнелі ойлау жойылмай, басқаша құрылады. Ойлаудың ерекшелігі, оның түсініктік немесе бейнелі түрдегі қызметі, іс-әрекеттің ерекшелігімен немесе мақсатымен, және де субъектінің жас ерекшелік және дара - психологиялық ерекшеліктерімен анықталады. [2].

Дерек көздері. Математиканы оқыту әдістемесі. Интернеттік web парақшалар. Математикалық сайттар.

Жұмыстың құрлымы. кіріспеден, екі тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Көлемі- 31 бет.

1 ПЛАНИМЕТРИЯ ЖӘНЕ СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН

ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ

1.1 Мектепте геометрияны оқыту мәселелері, планиметрия

курсынын алғашқы бөлімдерін оқыту әдістемесі

Мектепте геометрия курсы үлкен орын алады және оқытуға көп көңіл бөлінеді. 7-11 кластарда математикаға бөленген уақыттың 40% геометрияға тиісті.

Мектеп геометриясының негізгі мазмұны 200 жылдан бері бір қалыпты сақталып келеді және оның шығар жері (қайнар көзі) Евклидтің « Негіздері». Планиметрия курсында түзулердің өзара орналасуы; үшбұрыш, төртбұрыш және шеңбер қасиеттері; фигуралардың теңдігі және ұқсастығы; ұзындықты, бұрыштар мен аудандар шамаларын өлшеу сияқты мәселелер қарастырылады.

Геометрия курсының негізгі мәселелері:

• геометрияның негізгі фактілерің, оларды алу өдістерің және оларды қолдану мүмкіндіктерін жүйелі түрде оқу;

• шектес пәндерді оқу үшін одан алған білімдерді колдануды қамтамасыз ететін, оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамыту;

• оқушылардың кеңістікті елестетуін және логикалық ойлауын дамыту.

Сонымен, геометрияның міндеті – оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту: кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.

Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.

А.В. Погорелов оқулығында бірінші орынға оқушылардың логикалық ойлауын дамыту қойылған. Ол өзінің кітабында былай деп жазады:

«геометрияны оқытудың басты мәселесі – оқушыларды логикалық ойлауға, өз пікірін дәлелдеуге үйрету ....»

Ал Л.С. Атанасян мен В.Ф. Бутузовтардың оқулығында оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамытуға, түсінікті етіп баяндауға ерекше көңіл аударылады.

В.Г. Болтянский, мектепте геометрияны оқытудын басты мақсаты,- оқушыларға есеп шешуде қалай ойлау, қалай дұрыс ой тұжымдауды көрсету деп есептейді.

Планиметрия курсынын алғашқы бөлімдерін оқыту әдістемесі.

Кейбір геометриялық материалдармен оқушылар төменгі кластарда танысады. Ал 7- кластан бастап геометрия жүйелі түрде оқытылады. Геометрияның бірінші сабағында геометрияның шығу тарихымен танысып өту қажет. Оның практикалық қажеттіктен туғанын түсіндіру керек.

Геометрияның (планиметрияның) алғашқы бөлімдерін оқытқанда нақтыдан жалпыға көшкенде біртіндеп, жайлап өту керек, қоршаған ортаға және басқа көрнекіліктерге әрқашан сүйену керек, оқушыларды логикалық ойлауға, негіздеуге, айтылған пікірді дәлелдеуге үйретіп отыру керек.

Планиметрияны оқыту, оқушыларға белгілі геометриялық объектілерден басталады, бірақ олар енді жаңа түрде оқушыларға көрінеді. Нүкте мен түзу негізгі ұғымдар ретінде қарастырылып, олардың қасиеттері аксиомаларда беріледі.

Нүкте мен түзу ұғымдарына түсінік бергенде оларды тақтада салып көрсетіп, белгілеулер енгізіледі. Атап өтетін жай, түзу шексіз, суретте тек оның бөлігі ғана көрсетіледі.

Нүкте мен түзудін өзара орналасу жағдайлары жоғарыдағы ұғымдар енгізілген соң қарастырылады. Мұнда « жатады», «тиісті», «өтеді» деген сөз тіркестері қолданылады. Осыларды қолданып «нүкте жүзуде жатады» деген сөйлемді басқаша оқуға оқушыларды үйрету керек. Мұнда айта кететін жай, жазықтықта бір нүкте арқылы шексіз түзу өтуі мүмкін [3].

Геометрияның бірінші сабақтарында аксиомаларда енгізіледі. Аксиомаларды енгізгенде мынадай мәселелерге көңіл болу керек.

А) қоршаған ортадан мысал келтіру, немесе арнайы методиканы қолдану.

Б) аксиоманы тұжырымдау.

В) суретке аксиоманың иллюстрациясын көрсету.

Г) аксиоманың қысқаша жазып көрсету.

Мысалы: түзу аксиомасы (түзудің негізгі қасиеті).

Кез келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Осы аксиоманын қысқаша жазуы.

А мен В – әртүрлі нүктелер.

А мен В нүктелері арқылы а түзуін жүргізуге болады;

а түзуі – жалғыз.

Түзу екі нүкте арқылы толық анықталады. Бұл түзуді екі үлкен латын әрпімен белгілеуге құқық береді.

Түзу аксиомасын бірінші геометриялық сөйлемді дәлелдеуге қолданылады. Бірінші геометриялық сөйлемді оқушылар әлі теорема деп атамайды. Математикалық пікірлерді дәлелдеудің бірнеше әдісі бар екенін айта отырып, дәлелдеудің әдістерінің бір қарсы-жоруға тоқтаймыз. Бұл әдісті меңгеру оқушыларда қиындықтар туғызады. Сондықтан, қарсы жору әдісінің барлық этаптарын, оның характеристикасын беру қажет және оның алгоритмінің жазылуын көрсету керек. Қарсы жору әдісінің алгоритмі:

1. Дәлелдеуге керек болған пікірге кері пікір деп ұйғару;

2. Ойлаудың нәтижесінде белгiлi дұрыс пiкiрге қайшы пiкiрге келу;

3. ¦йғарым дұрыс емес дегеен қорытындыға келу;

4. Жалпы қорытындыға келу.

Жазықтықтағы нүкте мен түзудың өзара орналасу тақырыбын меңгергенде, онда шығарылатын есептердің мәні үлкен. Есептер шығарғанда, суреттер қоса жүруі керек.

Мысалы: а) түзуде жататын және жатпайтын нүктелерді белгілеңіз.

б) көрсетілген нүктелер түзуде жата ма?

в) екі түзу қиылса ма?

г) берілген нүктеде қиылысатын түзулерді салыңыз.

Планиметрияның алғашқы сабақтарында «кесінді», «сәуле» ( жарты түзу), «бұрыш» сияқты ұғымдар енгізіледі және оларға формалды – логикалық анықтамалар беріледі. Оларды оқытудан алдын нүктелерді түзуде орналасу қасиеттері қарастырылады.

Қасиет «арасында», «бөледі» деген сөз тіркестері арқылы тұжырымдалады.

Геометрия оқулықтарда кесінді мен сәуле түзудың бөлігі ретінде қарастырылатынын ерекше бөліп айтып отырған жөн. Олардың анықтамаларын берместен бұрын, оқушылардың осы объект туралы көрнекі елестерін қолдана отырып, оның жеке бөліктерін атау қажет. Кесінді ұғымын енгізу процессінде оның бөліктерін суретте әртүрлі бояумен бейнелеген жөн:

А) кесінді – бұл түзудің бөлігі;

Б) екі нүкте – кесіндінің ұштары, кесінді ұштары кесіндіде жататыны ерекше белгіленген;

В) кесінді ұштарының арасында жатқан барлық нүктелер кесіндіге тиісті.

Кесінді ұғымын талдап болған соң оған анықтама беруге болады. Анықтама бергенде барлық бөлінген бөліктер беріледі ( синтез ). Анықтама: кесінді деп түзудің берілген екі нүктесінің арасында жатқан барлық нүктелерінен тұратын бөлігін айтады.

Сәуленің анықтамасы да кесінді анықтамасы сияқты енгізіледі.Мұндағы, маңызды мәселе, сәуле – шексіз фигура. Мұны, кесінді мен сәуленің өзара орналасуына берілген жаттығуларда көрсету керек.

Түзідің берілген нүктесің бір жағында жатқан барлық нүктелерінен туратын бөлігі жарты түзу немесе сәуле деп аталады.

Бұрыш ұғымы жоғарыдағы ұғымдар сияқты қалыптасады.

Бұрыш ұғымы мектепте ортақ бас нүктесі бар екі сәуле, немесе ортақ бас нүктесі бар екі сәулемен шектелген жазықтын ретінде қарастырылады. Іс жүзінде екі жағдайда қолданылады.

Планиметрия курсында, түзулердің өзара орналасуына байланысты мәселелер бірінші болып қарастырылады. Сондықтан, оның мазмұны мен оқыту методикасына ерекше көңіл аудару қажет. Бұл мәселелерді оқытқан кезде, оқушыларға түсінікті болатын түрде аксиомалардың ролін көрсету тиімді.

А.В. Погорелов оқулығын планиметрия бөлімінде аксиомалар негізгі қасиеттер деп аталынған. Барлық негізгі қасиеттерді енгізіп болған соң, оларды аксиомалар деп атаған.

Түзулердің өзара орналуы геометрия курсында әртүрлі ретте қарастырылады:

Погорелов оқулығында, алдымен параллель түзулер ұғымы, параллель түзулер аксиомасы қарастырылып, соңынан перпендикуляр түзулер қарастырылады [4].

Ал паралелль түзулердің жазықтықта бар болуы, түзулер паралельдік белгісі, паралель түзулерді салу, перпендикуляр түзулер бөлігінен кейін оқытылады.

Колмогоров оқулығында, түзулердің өзара орналасуы жазықтықдағы паралелль түзулерден басталады, оқушылар 5-6 класта перпендикуляр түзулермен таныс болғанмен.

Атанасян оқулығында, алдымен түзулердің перпендикулярлығы қарастырылады

Түзулердін өзара орналасу тақырыбын оқығанда мына аксиоманың «кез келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және біреу ғана» тақырыбын өткенде алдымен жалпы жағдайды қарастырғанда тиімді.

Ол үшін оқутушы мынадай сұрақтар қоюы мүмкін.

1. Жазықтықтағы екі түзудің ортақ екеу ғана нүктелері болуы мүмкін бе?

2. Жазықтықтағы екі түзу бір ғана ортақ нүктеге ие болуы мүмкін бе?

3. Жазықтағы екі түзудін ортақ нүктесі болмау мүмкін бе?

Үшінші сұраққа жауап түзулердін параллельдігі ұғымына алып келеді.

Планиметрия курсында, түзулердің өзара орналасуына байланысты мәселелер бірінші болып қарастырылады. Сондықтан, оның мазмұны мен оқыту методикасына ерекше көңіл аудару қажет. Бұл мәселелерді оқытқан кезде, оқушыларға түсінікті болатын түрде аксиомалардың ролін көрсету тиімді.

А.В.Погорелов оқулығының планиметрия бөлімінде аксиомалар негізгі қасиеттер деп аталады.Барлық негізгі қасиеттерді енгізіп болған соң, оларды аксиомалар деп атайды.

Түзулердің өзара орналасуы геометрия курсында әртүрлі ретпен қарастырылады.

А.В.Погорелов оқулығында алдымен параллель түзулер ұғымы, параллель түзулер аксиомасы қарастырылып, соңынан перпендикуляр түзулер қарастырылады. Ал паралель түзулердің жазықтықта бар болуы, түзулердің параллельдік белгісі,паралель түзулерді салу, перпендикуляр түзулер бөлімінен кейін оқытылады. А.Н. Колмогоров оқулығында, түзулердің өзара орналасуы жазықтықтағы параллель түзілерден басталады, оқушылар 5-6 кластарда перпендикуляр түзулермен таныс болсада. Л. С. Атанасян оқулығанда алдымен түзулердің перпендикулярлағы қарастырылады.

Түзулердің өзара орналасу тақырыбын оқығанда мына « Кезкелген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және біреу ғана» деген аксиоманың атқаратын қызметі зор.

«Түзулердің өзара орналасуы» тақырыбын өткенде алдымен жалпы жағжайды қарастырған тиімді. Ол үшін мұғалім мынадай сұрақтар қоюы мүмкін:

1. Жазықтықтағы екі түзудің ортақ екеу ғана нүктелері болуы мүмкін бе?

2. Жазықтықтағы екі түзудің бір ғана ортақ нүктеге ие болуы мүмкін бе?

3. Жазықтықтағы екі түзудің ортақ нүктесі болмауы мүмкін бе?

‡шінші сұраққа жауап түзулердің параллельдігі ұғымына алап келеді.

Түзулердің паралельдігін оқу төмендегі бөліктерден тұрады:

• паралель түзулер анықтамасы;

• паралель түзулердің бар болуы;

• паралель түзулер аксиомасы;

• паралель түзулердің қасиеттері;

• паралель түзулердің белгілері;

• оқылған теорияны есептер шешкенде қолдану.

1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары.

Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз болатын – негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.

Жаңа геометриялық бейне – жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.

Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:

1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.

2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.

Стереометрия аксиомаларын өткенде оқушыларға мынаны ескерткен жөн. Планиметрияда қарастырылатын фигуралар бір жазықтықта орналасады. Ал, стереометрияда жазықтықтар көп, тіпті шексіз көп. Осыған байланысты планиметрияның кейбір аксиомаларының тұжырымдамасы, стереометрияның аксиомалары сияқты анықтай түсуді талап етеді. Осыларды қарастырайық.

Жазықтыққа тиісті түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

Жарты түзу жатқан жазықтықта жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшеуіші берілген 180 - тан кем бұрышты өлшеп салуға болады және ол жалғыз болады.

Ұшбұрыш қандай болса да берілген жазықтықта, осы жазықтықта берілген жарты түзуге қарағанда берілген қалыпта орналасатын, онымен тең үшбұрыш болады [5].

Жазықтықта берілген түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.

Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:

• аксиомаларды модельде көрсету;

• аксиоманы тұжырымдау;

• сызбасын схемалық түрде көрсету;

• символдық жазуын беру.

Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.

Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: «Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады». Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.

Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.

«Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады» аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.

Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін .

Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар – теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы – бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу [6].

1.3 Планиметрия курсында салу есептері

Математикалық есептердің ішінде геометриялық салу есептері ең ерте заманғысы болуы мүмкін. Салу есептерімен ерте замандағы атақты ғалымдар Пифагор, Гиппократ, Евклид, Архимед және т.б. айналысқан. ХП-ХХ ғасырларда математиканың жаңа бөлімдерінің пайда болуына байланысты,геометрияның салу теориясыда қарқынды дамыды.

Геометриялық салулар оқушылардың ойлау қабілетін дамытуға көп ықпал етеді. «Геометриялық фигураны салу» ұғымы конструктивтік геометрияның негізгі ұғымдарына жатады, сондықтан оған анықтама берілмейді. Мектепте геометриялық фигураларды салу негізінен сызғыш және циркуль арқылы орындалады.

Сызғыш (бір жақты) арқылы төмендегі геометриялық салуларды орындауға болады: а) екі салынған нүктені қосатын, кесіндіні салу; ә) екі салынған нүкте арқылы өтетін түзуді салу; б) салынған нүктеден шығатын және салынған басқа нүкте арқылы өтетін сәулені салу. Оқушыларға сызғышпен жоғарыда көрсетілген амалдардан басқа амалдар орындауға болмайтынын түсіндіру қажет. Циркуль арқылы: а) шеңбер салуға болады, егер шеңбер центрі және оның радиусына тең кесінді салынса; ә)шеңбердің қосымша доғаларының екеуіне кезкелгенін салуға болады, егер шеңбер центрі және осы доғалардың ұштары салынса.

Салу есебін шешудің мәнісі фигураны салуда ғана емес, оны қалай салуға болатындығын айтып,тиісті дәлелдеулер жүргізуде. Есеп шешілді деп санау үшін, фигураны салудың тәсілі көрсетілуі және осы салу жұмымтарын орындау нәтижесінде шынында да бізге қажетті фигура шығатындығын дәлелдеу керек.

Салу есептерін шешу 4 кезеңнен тұрады: талдау, салу; дәлелдеу; зерттеу. Есепті шығарғанда талдау,салу және зерттеу – неғұрлым маңызды кезең болып саналады. Дәлелдеме көбінесе талдау мен салудан шығады [7].

Талдау. Талдауда берілген фигуралар мен ізделінетін фигура арасындағы байланысты орнатуға әрекет жасалынады. Әдетте, ізделінетін фигураның бейнесін шамамен салып, ондағы есепте берілгендер есеп шартында көрсетілгендермен қандай байланыста екені қарастырылады. Соңынан салу жоспары құрылады.

Салу. Салу жоспар бойынша орындалады.

Дәлелдеу. Салынған фигура есеп шарттарының барлығын қанағаттандыратыны белгілі теоремалар бойынша негізделеді.

Зерттеу. Бұл кезеңде есептің қандай шарттары орындалғанда шешімі бар екені, неше шешімі болатындығы зерттеледі.

Салу есебінің кезеңдері мектеп геометриясы курсының оқулықтарында келтірілмейді, дегенмен мұғалім оларды білуі керек.

Салу есептерін шешудің негізгі тәсілдері –геометриялық орындар тәсілі, геометриялық түрлендірулер (осьтік симметрия, айналдыру (бұру), параллель көшіру, гомотетия) және алгебралық тәсіл. Олардың кейбіреулеріне тоқталып өтелік.

Нүктелердiң геометриялық орны. Нүктелердiң геометриялық орны деп белгiлi бiр қасиетке ие болатын жазықтықтың барлық нүктелерiнен тұратын фигураны айтады.

Егер фигура НГО болса, онда 1) осы фигураның кезкелген нүктесi берiлген қасиетке ие болады және 2) берiлген қасиетке ие болатын нүктелердiң барлығы осы фигурада жатады. Мысалы, шеңбердiң кез келген нүктесi берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта орналасқан және берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан нүктелердiң барлығы осы шеңберде жатады. Геометриялық орын әдiсiмен есептердi шешу үшiн негiзгi НГО бiлу қажет . Олар мыналар:

1) берiлген екi нүктеден бiрдей қашықтықтағы НГО осы нүктелердi қосатын кесiндiге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетiн түзу болады;

2)берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан НГО центрi берiлген нүктеде және радиусы берiлген қашықтыққа тең шенбер;

3) бұрыштың қабырғаларынан бiрдей қашықтықтағы НГО, осы бұрыштың биссектриссасы болады;

4) берiлген түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзуге параллель және одан бiрдей қашықтыктағы екi түзу;

5) екi параллель түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзулерге параллель және олардан бiрдей қашықтықта болатын түзу;

6) АВ кесiндiсi бұрышынан көрiнетiн және АВ түзуiнiң бiр жағында жататын НГО ұштары А және В нүктелерi болатын шеңбер доғасы болады.

Салу есептерiн шешуде пайдаланылатын геометриялық орындар әдiсiнiң мәнiсi мынада. Айталық, салу есебiн шешкенде екi шартты бiрдей қанағаттандыратын Х нүктесiн табу керек болсын. Бiрiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады, ал екiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады. Iзделiнетiн Х нүктесi фигурасынада, фигурасынада тиiстi, яғни олардың қиылысу нүктесi болады.

Геометриялық орындар әдiсi салу есептерiн шешкенде қолданылады. Мысалы, АВС үшбұрышын үш қабырғасы бойынша салуда, А және В төбелерiн бiле отырып, үшiншi төбесi С-ны табамыз. Ол мынадай шарттарды қанағаттандыруы керек:

1. С нүктесi А нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек, және

2. С нүктесi В нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек.

НГО-на берiлген есептердi екi түрге бөлуге болады. Бiрiншi түрге кейбiр фигура берiлген және оның белгiлi бiр шарттарды орындайтын нүктесiн табу талап етiледi . Бұл жағдайда iзделiнiп отырған нүкте төмендегi шарттарды қанағаттандырады: 1) есеп шартында көрсетiлген геометриялық фигурада жатады; 2) барлық нүктелерi белгiлi бiр қасиетке ие болатын фигурада жатады.Екінші түрге, бір мезгілде төмендегі екі шартты қанағаттандыратын нүктені табуды талап ететін есептер жатады: а) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F₁ фигурасында жатады; ә) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F₂ фигурасында жатады.

Мысал ретiнде осы түрлерге жататын мынадай салу есептерін қарастыралық.

Есеп1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзуде, берiлген бұрыш қабырғаларынан бiрдей қашықтықта жататын нүктенi тап (Сурет 1).

Талдау: 1) ізделiнетiн Х нүктесi О бұрышының қабырғаларын қиып өтетiн MN түзуiнде жатады.

2) Х нүктесi О бұрышының қабырғалары ОМ және ON дан бiрдей қашықтықта жатады, сондықтан осы шартты қанағаттандыратын НГО-берiлген бұрыштың биссектриссасы болады.

3) ізделiнетiн Х нүктесi MN түзуiмен О бұрышының биссектриссасының қиылысуында жатады.

Салу 1) m – О бұрышының биссектриссасы.

2) Х – MN түзуi мен m биссектриссасының қиысу нүктесi.

Сурет 1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзу

Есеп 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал (Сурет 2).

Талдау: а//в-берiлген түзулер. М-берiлген нүкте . d-берiлген қашықтық.

1) ізделiнетiн нүкте Х екi шартты қанағаттандырады:

а) параллель а және в түзулерiнен бiрдей қашықтықта жатады;

б) М нүктесiнен берiлген қашықтықта жатады.

2) Бiрiншi шартты қанағаттандыратын НГО l түзуi а және в-ға параллель және олардан бiрдей қашықтықта жатады.

3) Екiншi шартты қанағаттандыратын НГО шеңбер - радиусы берiлген d қашықтыққа тең, центрi М нүктесi.

4) Iзделiнетiн Х нүкте осы НГО қиылысу нүктесi .

Салу: 1) a мен b түзулеріне параллель және олардан бірдей қашықтықта жататын l түзуін саламыз; 2) Центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбер саламыз; 3) l түзуi мен центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбердің қиылысу нүктелері Х және Y. Бұл ізделініп отырған нүктелер.

Сурет 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал

Жоғарыда көрсетiлген есептер оқушыларда НГО қолданудың жалпыланған тәсiлiн қалыптастыруға көмек болады.

Бірінші түрдегi есептердi шешудiң алгоритмi:

1) ізделiнетiн Х нүктесi жататын геометриялық фигураны салу;

2) есеп текстiне қарап Х нүктесi қанағаттандыратын шартты тұжырымдау;

3) осы шартты қанағаттандыратын НГО атау;

4) аталған НГО салу;

5) берiлген фигурамен НГО қилысуын салу.

НГО берiлген есептердiң екiншi түрiн шешудің жалпыланған тәсілі:

1) есепті талдау негізінде ізделінетін Х нүктесі қанағаттандыратын екі шартты тұжырымдау;

2) бірінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;

3) екінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;

4) аталынған НГО салу;

5) осы геометриялық орындардың қиылысуынан пайда болатын (нүктені) нүктелерді табу.

2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ

ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ

2.1 Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар

Жазықтықта геометриялық фигураларды кескіндеудің бірнеше әдістері бар. Олар-центрлік проекциялау, параллель проекциялау, ортогональ преокциялау. Геометриялық фигураларды кескіндегенде, фигураның түпнұсқасына қарағанда орналасуы есепке алынбайды, яғни бос кескіні қолданылады.

Фигураларды кескіндеуге қойылатын талаптар: кескін дұрыс, көрнекі, салуға ыңғайлы болуы керек.

Дұрыс чертеж белгілі кеңістіктегі дененің проекциясы болып табылады. Объектінің барлық элементтерінің проекциясы бір ғана проекциялау әдісімен салынған болуы керек.

Көрнекі чертеж, түпнұсқаның дұрыс көрінуін, кеңістікті дұрыс түсінуін дамытуға әсер етеді, есепті шешудің дұрыс жолын табуға жәрдем береді. Сабақ үстінде чертеж оңай және барлық салулар оқушыға түсінікті болып орындалуы керек [8].

Центрлік проекциялау әдісі. Сызба геометрияда, архитектурада және тағы басқаларда центрлік симметрия проекциялау әдісі қолданылады. Кеңістіктегі фигураларды кескіндеуді центрлік проекциялау әдісі арқылы орындалуы перспектива деп аталады. Осы әдісті қарастыралық.

1. Берілген A нүктесінің кескінін салу үшін a жазықтығын және S нүктесін (SÏa) алады. Сонда А нүктесінің кескіні ретінде оны S нүктесімен қосатын түзудің a жазықтығымен қиылысу нүктесі А^/ қабылданады

(Сурет 3).

Сурет 3. Центрлік проекциялау

A^/=(AS) Ça.

a – проекциялау жазықтығы, S – проекциялау центрі, А^/ берілген А нүктесінің центрлік проекциясы деп аталады.

1. Берілген АВ кесіндісінің кескінін салу үшін a жазықтығын және S нүктесін (SÏa) алады. Сонан соң А және В нүктелерінің a жазықтығындағы

центрлік проекцияларын салады (жоғарыдағы мысалды қара) (Сурет 4).

Сурет 4. АВ кесіндісінің кескінін салу

1⁰. Нүктенің центрлік проекциясы нүкте.

2⁰.Жалпы жағдайда түзудің (кесіндінің) проекциясы түзу (кесінді) болады.

Егер түзу (кесінді) проекциялау центрі арқылы өтетін болса, онда ол нүктеге проекцияланады.

Параллель проекциялау әдісі.Параллель проекциялаудың анықтамасы. Параллель проекциялау іс жүзінде көптен қолданылады.Мысалы, жазықтықтағы, кеңістіктегі фигураны жазықтыққа кескіндеу үшін ол төмендегідей анықталады.

a жазықтығы және оны қиып өтетін а түзуі берілсін. Кез-келген X нүктесін аламыз. Мұнда мынадай жағдайлар болуы мүмкін (Сурет 5):

Сурет 5. Параллель проекциялау

1⁰ CÏа, CÏa.

2⁰ CÎа, CÏa.

3⁰ CÎa, CÏа.

4⁰ CÎа, CÎa.

1⁰.Бірінші жағдайда X нүктесінен а-ға паралель а^/ түзуін жүргіземіз, онда а^/Ça=C^/. .C^/ нүктесі X нүктесін а түзуіне қарағанда паралель проекциялағандағы a жазықтығындағы проекциясы деп атайды (суретті қара).

2⁰.Бұл жағдайда аÇa=C^/. 3⁰ Бұл жағдайда X^/=X. 4⁰ Бұл жағдайда X=X^/.

a-проекция жазықтығы, а-проекция бағыттаушысы немесе проекциялаушы түзулер.(аêêа^/êêв...)

Ф фигурасының а түзуіне қарағандағы параллель проекциясы деп сол фигураның барлық нүктесінің параллель проекцияларының Ф¹ жиынын айтады.

Паралель проекциялаудың қасиеттері.

Теорема 1.Нүктенің(түзудің) проекциясы нүкте(түзу) болады. Түзудің проекциясы түзу болатындығын дәлелдейміз(жалпы жағдайда) (Сурет 6).

Сурет 6. (Нүктенің(түзудің) проекциясы)

1. АÎа, BÎа.

2. А₁-А-ның, В₁-В-ның -жазықтығындағы проекциясы.

3. AA₁||l,BB₁||l,ÞAA₁||BB₁.

4. ABB₁A₁Îb.

5. aÇb=a₁. a₁ - түзуі а түзуінің проекциясы болады.

6. Шындығында, нүктесінің проекциясы X^/Îa₁ болады және X^/Îa нүктесі X-тің кескіні болады.Сондықтан түзуін проекциялайтын барлық түзулер (АА₁,ВВ₁,...) а₁ түзуін қияды және b жазықтығында жатады.

Салдар. Кесіндінің проекциясы кесінді болады (жалпы жағдайда).

Теорема 2.Түзудің кесінділерінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең.

Берілгені: a - проекциялар жазықтығы; l- проекциялаушы түзу; а түзуі проекциялаушы жазықтықта жатпайды жєне A, B,CÎа; а₁ түзуі а түзуінің a жазықтығындағы проекциясы; A, B,C нүктелерінің a жазықтығындағы проекциялары A₁,B₁,C₁ нүктелері жєне A₁,B₁,C₁Îа₁ .

Дәлелдеу керек:

Дәлел: Бұл бүрыштың қабырғаларын пропорционал бөліктерге бөлу теоремасынан шығады.

Салдар: Параллель проекциялағанда кесіндінің ортасы оның проекциясының ортасы болады.

Теорема 3. Параллель түзудің проекциялары параллель болады (Сурет 7).

Берілгені:a,l, (AB)Ïa,(MN)Ïa,

AB½½MN, l (AB), lË(MN).

Дәлелдеу керек:A₁B₁||M₁N₁.

Дәлел: l||AA₁, l||BB₁, A₁Îa, B₁Îa.

L||MM₁, l||NN₁, N₁, M₁Îa.

(AA₁B₁B)Ìb, (MM₁N₁N)Ìg.

bïïg(ABïïg,ABÇA₁A=A.

MNÇMM₁=M.)

Сурет 7. Параллель түзудің проекциялары

Теорема 4. Екі паралель кесіндінің проекциялары ұзындықтарының қатынасы проекцияланаиын кесінділер ұзындықтарының қатынасына тең болады(сурет 8).

Дәлелдеу керек: .

Дәлел: 1. АВ түзуінде BN^/=ММ саламыз..

7. Онда 2⁰ қасиет бойынша. =

8. BMNN^/-паралллелограммÞB₁N^/=M₁N₁.

9. .

Сурет 8. Паралель кесіндінің проекциялары

Тік бұрыштап проекциялау әдісі. Параллель проекциялау әдісінің проекциялау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр болып келетін дербес түрі тік бұрыштап проекциялау (ортогональ) деп аталады. Яғни l a.

Кесіндінің тік бұрышты проекциясы оның өзінен үлкен болуы мүмкін емес.

А В¹= АВ cos .

Сурет 9. Тік бұрыштап проекциялау

Жазық фигуралардың кескіні. Жазық фигуралардың кескіндерін салу параллель проекциялардың қасиеттеріне негізделген [9].

Үшбұрыш кескіні. A₀B₀C₀ үшбұрышы кеңістікте орналасқан болсын. Ал, A₁ ,B₁ ,C_{1 1}-нүктелері A₀, B₀,C₀ нүктелерінің a жазықтығындағы кескіні болсын. Кесіндінің проекциясы кес інді болғандықтан, A₁B₁C₁ үшбұрышы (сондай-ақ A₁B₁C₁ үшбұрышына ұқсас кез-келген ABC үшбұрышы) A₀B₀C₀ үшбұрышының кескіні болады (Сурет 10).

Берілген үшбұрыштың кескіні ретінде сызбада кез-келген үшбұрышты алуға болады.

Сурет 10. Үшбұрыш кескіні

Параллелограмның кескіні. Түзулердің параллельдігі параллель проекциялағанда сақталатын болғандықтан, параллелограммның кескіні параллелограмм болады (квадрат, ромб та сондай) (Сурет 11).

Сурет 11. Параллелограмның кескіні

Трапецияның кескіні. Табандары А₀В₀ және С₀D₀ болған трапецияның кескіні ABCD болады және де параллелограммның қасиеті бойынша

(1)

яғни кескіндегі трапецияның табандары трапеция табандарына пропорционал болады.Трапецияның кескінін қарастыралық (Сурет 12).

Ол үшін A₀B₀C₀D₀ трапециясын параллелограммға және үшбұрышқа бөлеміз:C₀E₀||A₀D₀, A₀E₀C₀D₀-параллелограмм, C₀E₀B₀-үшбұрыш, A₀D₀C₀E₀ –параллелограммның кескіні ретінде ADCE кез-келген параллелограммын аламыз. AE=DC болғандықтан (1) теңдікті былай жазуға болады:

(2)

(2) пропорцияны пайдаланып, B₀ нүктесінің кескіні B-ны саламыз. Ол төмендегі суретте көрсетілген, мұнда AA₂=C₀D₀, AA₁=A₀B₀ .

Салынған ABCD трапециясы A₀B₀C₀D₀ трапецияның кескіні болады.Оған (1) пропорция орындалады. Айта кететін жәйт, теңбүйірлі A₀B₀C₀D₀ трапециясының кескіні ABCD теңбүйірлі емес трапеция болуы мүмкін,Мұнда теңбүйірлі трапецияның ось симметриясяның кескіні EF түзуі болады,ол AD және BC табандарының ортасы арқылы өтеді,EF кесіндісі теңбүйірлі трапецияның биіктігінің кескіні болады.

Сурет 12. Трапецияның кескіні.

Шеңбер кескіні. Шеңбердің параллель проекциясы эллипс болады. Шеңбер эллипстің дербес бір түрі, себебі оның жазықтыққа проекциясы (шеңбер жазықтығына), шеңбер, ол берілген шеңберге тең (Сурет 13.).

Параллель проекциялардың қасиеттері бойынша шеңбер центрінің О проекциясы эллипстің симметрия центрі. Бұл нүктені эллипс центрі деп атайды [10].

Сурет 13. Шеңбер кескіні

2.2 Кеңістік фигураларының кескіні

Призманы кескіндеу және оның қимасын салу.Параллель проекциялаудың ережесіне сәйкес призманың кескінін төмендегідей етіп саламыз. Ең алдымен табандарының бірі Р- ны салады (Сурет 14) . Ол қандай да бір жазық көпбұрыш. Сонан соң Р көпбұрышының төбелерінен ұзындықтары бірдей паралелль кесінділер түрінде призманың бүйір қырлары жүргізіледі. Осы кесінділердің ұштары өзара қосылса да, призманың екінші табанын шығарып алады. Көрінбейтін қырларды үзік сызықтармен жүргізеді.

П
ризманың бүйір қырларына паралелль жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар параллелограмдар болып табылады. Бұл қималар бір жаққа тиісті емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығады (Сурет 15).

Призманы кескіндеу және оның қимасы

Іс жүзінде атап айтқанда есеп шығарғанда, көбінесе, призманың бір табанының жазықтығында берілген g түзуі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда пайда болатын призма қимасын салуға тура келеді. Мұндай түзуді қиюшы жазықтықтың табан жазықтығындағы ізі деп аталады. Призманың қимасын салу үшін қиюшы жазықтықтың призма жақтарымен қиылысатын кесінділерін салу жеткілікті. Призманың бетінде жатқан және қимаға тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болғанда осындай қиманы қалай салатынын көрсетейік. (Сурет 16).

Егер берілген А нүктесі призманың екінші табанына тиісті болса, онда оның қиюшы жазықтықпен қиылысуы g ізіне паралелль және берілген А нүктесін қамтитын ВС кесіндісі болады (Сурет 16.а)

Егер А нүктесі призманың бүйір жағына тиісті болса, онда осы жақтың қиюшы жазықтықпен қиғандағы қимасын (Сурет 16.б)те көрсетілгендей етіп салады.

Сурет 16. Призманың бетінде жатқан және қима

Атап айтсақ: ең алдымен жақтың жазықтығы мен алдын ала берілген g ізі қиылысатын D нүктесін салып алады. Содан соң А және D нүктелері арқылы түзу жүргізіледі. Қарастырып отырған жақтың бетінде жатқан АD түзуінің ВС кесіндісі – осы жақпен қиюшы жазықтықтың қиылысуы. Егер А нүктесін қамтитын жақ g ізіне параллель болса, онда қиюшы жазықтық бұл жақты А нүктесі арқылы өтетін және g түзуіне параллель ВС кесіндісінің бойымен қияды [11].

ВС кесіндісінің ұштары көршілес жақтарға да тиісті болады. Сондықтан жоғарыда аталған тәсілмен осы жақтардың өзіміздің қиюшы жазықтығымызбен қиылысуын салуға болады, т.с.с.

Пирамидаларды және оның жазық қималарын салу. Паралелль проекциялау ережесіне сәйкес пирамиданың кескінін төмендегідей салады. Ең алдымен табаны салынады. Бұл қандай да бір жазық көпбұрыш. Содан соң пирамиданың төбесін белгілейді де. Оны бүйір қыры арқылы табанының төбесімен қосады, (Сурет 17) бес бұрышты пирамиданың кескіні көрсетілген.

Сурет 17. Бес бұрышты пирамиданың кескіні

Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар үшбұрыштар болып келеді (Сурет 18). Дербес жағдайда, диогональдық қималар үшбұрыштар болады. Бұл – пирамиданың көршілес емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар. (Сурет 19).

Жазықтықтың пирамиданың табан жазықтығындағы g ізі берінген жағдайда пирамиданың осы жазықтықпен қиғанда шығатын қимасын призманың қимасын салғандай етіп саламыз. Пирамиданың жазықтықпен қиғандаға қимасын салу үшін, оның бүйір жақтарын қиюшы жазықтықпен қиылысуын салу жеткілікті [12].

Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар

Егер g ізге паралелль емес жақтың қимағы тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болса, онда қиюшы жазықтықтың g ізінің осы жақ жазықтығымен қиылысуын – (Сурет 20) D нүктесін салады. D нүктесін А нүктесімен түзу арқылы қосады. Сонда осы түзудың жаққа тиікесіндісі осы жықпне қиюшы жазықтықтың қиылысуы болып шығады. Егер А нүктесі g ізіне паралелль жақта жатса, онда қиюшы жызықтық бұл жақты g түзуінепп кесіндінің бойымен қиып өтеді. Көршілес бүйір жаққа ауысып, оның қиюшы жазықтықпен қиылысуын салады және т.с.с. Нәтижесінде пирамиданың қажет болып отырған қимасы шығады.

(Сурет 21) төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан А нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда қимасы салып көрсетілген [13].

Төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан қималар.

Қималарды салуға арналған есептер. Тетраэдрмен және параллелелипедпен байланысты көптеген геометриялы есептерді шығару үшін суретте олардың әр түрлі жазықтықтармен қимасын сала білу керек. Тетраэдрдың немесе параллелепипедтің қимасы деп нені түсінетінімізге тоқталсақ. Тетраэдрдің (параллелепипедтің) қиюшы жазықтығы деп екі жағында да берілген тетраэдрдің (параллелепипедтің) нүктелері бар кез келген жазықтықты атайық, қиюшы жазықтық тетраэдрдың (параллелепипедтің) жақтарын кесінділер бойымен қиып өтеді. Қабырғалары осы кесінділер болып табылатын көпбұрыш тетраэдрдың (параллелепипедтің) қимасы дел аталады.

Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы

Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы тек үшбұрыштар мен төртбұрыштар болып табылады (Сурет 22).

С
урет 22. Тетраэдрдің қимасы

П
араллелепипедтің алты қыры бар. Оның қимасы үшбұрыштар (Сурет 23.а), төртбұрыштар (Сурет 23.б), бесбұрыштар және алтыбұрыштар (Сурет 23.в) бола алады.

Cурет 23. Параллелепипедтің қималары

Параллелепипедтің қимасын салған кезде суретте мына жағдайды ескерген жөн: егер қиюшы жазықтық қарама- қарсы екі жақта қандай да бір кесінділер бойымен қисы, онда бұл кесінділер параллель болады. (Сурет 23.б) суретте қиюшы жазықтық қарама – қарсы екі (сол және оң) жарты AB және CD кесінділер бойымен, ал басқа, қарама – қарсы екі (алдыңғы және артқы) жағы AE және BC кесінділері бойымен қиятындықтан, АВ||CD және АЕ||ВС. Осы себепті 23.в-суретте АВ||CD, AF||СD, BC||EF. Сол сияқты қиманы салу үшін қиюшы жазықтықтың тетраэдрдың (параллелепипедтің) қималары мен қиылысу нүктелерін салу жаткілікті, сонан кейін бір жақта жатқан, салынған әрбір екі нүктені қосатын кесінділерді жүргіземіз [14].

Жалпы көпжақтың қимасын салудың мынадай әдістері бар:

іздер әдісі; қосымша қима әдісі; аралас әдіс. Осы әдістерге қысқаша тоқталып өтелік.

І. Іздер әдісі Көпшілік жағдайда қиюшы жазықтық көпжақтың әр жаған және көпжақтың қыры жататын әрбір түзуді қияды. Қиюшы жазықтық көпжақтының қандай да бір жағынан қиятын түзуді осы жақтағы жазықтықтың қиюшы жазықтықтағы ізі деп аталады. Қиюшы жазықтық қандай да бір қырды қиып өткендегі нүктесі, осы түзудегі қиюшы жазықтықтың ізі деп аталады. Егер қиюшы жазықтық көпжақтың жағын тура қиятын болса, онда қиюшы жазықтықтың ізі туралы жақтарға және осы сияқты қырларға да айтуға болады.

Төмендегі табан жазықтығын қиюшы жазықтықтың ізі қысқаша қиюшы жазықтықтің ізі деп аталады. Дәл осы ізді салуда көбінесе көпжақтың қимасын салудан бастайды.

Қиманың берілу тәсілдері өте көп. Олардың ішіндегі неғұрлым көп таралғаны бір түзудің бойында жатпайтын жазықтықтағы үш нүктенің берілу тәсілі. Бұл жағдайда, егер қима төменгі табан жазықтығында іздің көмегімен яғни қиюшы жазықтыққа тікелей жататын үш нүкте беру арқылы құрылса, онда осы нүктелердің төменгі табан жазықтығына (екінші ретті проекциясы) проекциясы бірмәнді құрылуын көсетеміз.

Мұны мысалы, берілген нүкте қай жағында немесе қырында т.б. жақтарын көрсету арқылы жасауға болады. Бұл жағдайда, егер қима салынатын көпжақ ретінде призма алынса, онда төменгі табан жазықтықќа проекциялау (ішкі) параллельді орындалады. Оның бағыты бүйір қырымен анықталады. Егерде көпжақ ретінде пирамида алсақ, онда табан жазықтықна центрлік (ішікі) поекциялау орындалады. Призманың барлық қырлары түйісетін төбесі – проекцияның центрі болып табылады.

ІІ. Қосыша қима әдісі.

Бұл әдіс жеткілікті түрде әмбебап және іздер әдісімен мына жағдайда салыстырғанда, яғни қиюшы жазықтықтың қажетті ізі сызба шегінен шығып кеткен жағдайда, өзінің белгілі артықшылықтары бар. Сонымен қатар бұл әдісті қолдану арқылы салу бұл көпжақтың ішінде орналасқандықтан “тығыздық тудырады” (Бұл жағдайдағы қарастырылған әдіс ішікі проекциялау әдісі болып табылады).

ІІІ. Аралас әдіс.

Бұл әдістің мағынасы іздер әдісімен немесе қосымша қима әдісімен, немесе әдістердің екеуімен де сәйкес түзулер мен жазықтықтың параллельдігі туралы теореманы қолданудан тұрады [15].

2.3 Тестілеуде кездесетін планиметрия есептерін шешу

Әлемдік білім кеңістігіне шығуда техникалық бағыттағы ғылым салаларын дамыту міндеті тұр. Ол үшін бұл бағытта, әсіресе математиканың оқыту сапасын көтеру кезек күттірмейтін міндет болып табылады.

Оқушылардың математикадан терең білімді болуы- өз білімін үнемі жетілдіріп, оқушылармен жұмыста деңгейлеп оқыту технологиясын жете меңгерген ұстазға тікелей байланысты. Осы орайда мен сіздерге бірнеше есептердің шығарылу жолдарын ұсынып отырмын.

1-есеп. (2014. 1-нұсқа 17 есеп).

Теңбүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы , ал табандары 3 пен 4 болса , диагоналін табыңдар.

Б ерілгені: АВ=СД= . ВС=3. АД=4

Табу керек: АС диагоналының ұзындығы.

Шешуі: Птолемей теоремасы: Шеңберге іштей сызылған төртбұрыштың диагоналдарының көбейтіндісі,оның қарама –қарсы жатқан қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Олай болса АС·ВД=ВС·АД+АВ·СД

АС²=3·4+ АС=5

Ескерту: Теңбүйірлі трапецияға сырттай шеңбер сызуға болады.

2-есеп. (2014. 2-нұсқа 17 есеп)

Трапецияның бір табаны биіктігінен 3 см артық,ал екінші табаны биіктігінен 3 см қысқа. Егер трапецияның ауданы 100 см² болса ,оның табандарын табыңдар.

Б ерілгені: S=100 см², ВЕ= х, АД= х+3, ВС= х-3

Табу керек: ВС, АД

Шешуі: Трапецияның ауданы

S= формуласымен табылады. Онда 100=

х²=100 , х =±10

Ұзындықтың теріс санмен өрнектелмейтіндігін ескеріп х=ВЕ=10 см. Олай болса ВС=7 см, АД=13 см.

3-есеп. (2014. 3-нұсқа 17 есеп).

Ү шбұрыштың қабырғалары а және в, үшінші қабырғаға түсірілген биіктік һ болса, сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.

Шешуі: Синустар теоремасын қолданамыз.

АДС-дан sin C=

2R= = = , R=

Жауабы: R=

4-есеп. (2014. 3-нұсқа 25 есеп).

MNPQ қабырғасы 6 см-ге тең квадрат . А мен В квадратты қақ бөлетін түзу бойында орналасқан . Нүктелер MAP және MBP сынығы квадратты аудандары бірдей 3 бөлікке бөледі. АВ –ның ұзындығын табыңыз.

Б ерілгені: S_кв=36 см²

Табу керек: АВ кесіндісінің ұзындығы.

Шешуі: MAP және MBP сынықтары квадратты аудандары бірдей 3 бөлікке бөлетін болса, әр бөліктің ауданы төмендегідей болады.

36/3=12

S_MAPB=12 см² және S_APB= S_MAB=6 см²

S_APB= мұнда PL = 6/2=3 Берілгендерді орнына қойып AB= 4 см табамыз.

Жауабы: AB= 4 см.

5-есеп. (2014. 4-нұсқа 8 есеп).

Үшбұрыштың үш қабырғасы 21 см, 28 см, 35 см. Үшбұрыштың түрін анықтаңыз.

Шешуі:

Үшбұрышта үлкен қабырғаға үлкен бұрыш жататындықтан с қабырға үшін ,егер

c²=a²+b² теңдігі орындалса онда үшбұрыш тікбұрышты болады,

c² a²+b² теңсіздігі орындалса онда үшбұрыш доғалбұрышты болады,

c² a²+b² теңсіздігі орындалса онда үшбұрыш сүйірбұрышты болады.

Біздің мысалымызда 35²=21²+28² теңдігі орындалады. Олай болса берілген үшбұрыш тікбұрышты.

Жауабы: үшбұрыш тікбұрышты.

6-есеп. (2014. 5-нұсқа 17 есеп).

АВС үшбұрышында А=60⁰ . =75⁰ ,болса қатынасын табыңыз.

Шешуі: Үшбұрыштың үшінші бұрышын тауып аламыз.

С=180⁰-(60⁰+75⁰) = 45⁰

Синустар теоремасын пайдаланып

Теңдеуді түрлендіріп

Жауабы:

7-есеп. (2013. 3-нұсқа 19 есеп).

Егер .

Шешуі: Мұндай есептерді шығаруда параллелограмм ережесін пайдаланган тиімді. АВС үшін АВ қабырғасына жүргізілген медианаға

m_AB²= қасиет тән.

Онда берілгендерді пайдаланып 10²= аламыз. Теңдеуді түрлендіріп а²=225. a=15

Жауабы: a=15

ҚОРЫТЫНДЫ

Қорыта келе, планиметрия мен стереометрияны меңгеретін, шығармашылық және өзіндік ойлау қабілетін дамытатын оқу іс-әрекетінің маңызды түрі – математика есептерін шығару. Сондықтан оқытудың тиімділігі көбінесе есеп шығаруды үйретуді ұйымдастыру әдістемесіне байланысты. Геометриялық есептерді шығарудың жолдарын іздестіру оның берілу тәсіліне байланысты. Ең алдымен есепті дұрыс оқи білудің маңызы зор, сан мәндері мен амалды таңдап алуға қажетті сөздерді баса айту және есепке қойылатын сұрақты дұрыс дауыс көтере айту керек. Күнделікті өмірімізде кездесетін кез-келген істі орындау үшін қарапайым математикалық есептерді шығаруға тура келеді.

Сонымен, геометрияның міндеті – оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту: кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.

Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.

Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз болатын – негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.

Жаңа геометриялық бейне – жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.

Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:

1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.

2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.

Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:

• аксиомаларды модельде көрсету;

• аксиоманы тұжырымдау;

• сызбасын схемалық түрде көрсету;

• символдық жазуын беру.

Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.

Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: «Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады». Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.

Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.

«Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады» аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.

Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін .

Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар – теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы – бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1 Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. М., Просвещение, 1985г.

2 Атанасян Л.С. Геометрия.: Орта мектептің 7-11 кластарына арналған оқулық. – Алматы: Рауан, 1999.

3 Погорелов А.В. Геометрия: Орта мектептің 7-11 кластарына арналған оқулық. – Алматы: Рауан, 1999 –384б

4 МПМ (частная методика). Составитель В. И. Мишин. М. Просвещение, 1987

5 Четверухин Н.Ф. «Изображение фигур в курсе геометрии». М., Просвещение, 1959.

6 Зенгин А.Р. Основные принципы построения изображений в стереометрии. М., Просвещение, 1962.

7 Аргунов; Балк. Элементарная геометрия. М., Просвещение, 1962.

8 Шарыгин И.Ф., Бүкүбаева К.О. Геометрия. 10-11 сынып. Жалпы білім беретін мектерге арналған оқулық. – Алматы.: «Кітап баспасы», 2008. 448 бет.

9 А.В.Погорелов., Геометрия.7-11. Алматы: Рауан. 2010ж. 384 бет.

10 Мусин А.Т. Геометрия негіздемелері. Көкшетау: 2008ж

11 Гусев В. Геометрия 11-сынып. Алматы. 2007ж

12 Геометрия [Текст] : жалпы білім беретін мектеп.7­-9 сынып.арналған оқулық / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. ­ 2­ші бас. ­ Алматы : Мектеп, 2011. ­ 334б. с. :

13 Юсупов, Ж. Геометрия [Текст] : жалпы білім беретін орта мектептің 8­сыныбына арн. оқулық / Ж. Юсупов, С. С. Зәуірбеков. ­ Алматы : Мектеп, 2004. ­ 86 б.

14 Геометрия [Текст] : жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану­математика бағытындағы 10­сыныбына арналған оқулық / В. Гусев [ж.б.]. ­ Алматы : Мектеп , 2010. ­ 103 б. : сур

15 Геометрия. Методическое руководство Шыныбеков А. 2014 Атамұра 467. Геометрия. Дидактический материал Шыныбеков А. 2014 Атамұра.