Жиын. Эйлер дөңгелегі

Эйлер дөңгелектері

Алматы қаласы
Алатау ауданы
№180 мектептің математика пәні мұғалімі Момынқұлова Т.Ж.

Математикада ХІХ ғасырдың еінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Г. Кантор.
Жиын деп белгілі бір қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселерді, объектілерді түсінуге болады. Мысалы; аспандағы жұлдыздар жиыны, кітаптың бетіндегі әріптер жиыны. Жиындар элементтерден құралады. Айналамызда жиындар өте көп десекте болады. Бізді қоршаған дүниенің бәрі жиындарды құрайды. Оны түсіндіру үшін мектепті қарастырайық: мұғалімдер, ерлер, сыныптар, пәндер, бірлестіктер, журналдар, кестелер, қағаздар, киімдер, кабинеттер, тақталар, компьютерлер, кітаптар, гүлдер, есіктер, бантиктер, терезелер,... жиыны. Қарап отырсақ, жиындар көп және олар бізід қоршаған дүниелер. Ал оның элементтері деп отырғанымыз сол заттардың шығу тегі немесе жолы деп қарастыруға болады. Мысалы: кітаптар жиынын қарастырайын. Оның элеметтері деп отырғаным кітап беттері, кітаптың ішінде жазылған дүниелер, сол кітапты жарыққа шығарған адам, кітапті әсемдеп, көркемдеген адам, т.с.с жалғасып кете береді, яғни жиынның элементтері де шексіз көп деген сөз. Жиын шектеулі және шектеусіз болып екіге бөлінеді. Мысалы; натурал сандар жиыны – шектеусіз жиын. Шектеусіз жиын өте көп. Себебі: бір затты шығарғанда , ол айналымға түседі, сұранысқа ие болады деп жасаймыз. Егер шығарған затымыз санаулы ғана болса, онда біз ол затты шығару арқылы не ұттық немесе неге қол жеткіздік деген сұраққа жауап табу қиынға түседі. Сол себепті сұраныс санына сәйкес ол затта шектеусіз шыға береді. Қорытатын болсақ санауда қолданатын сандар шексіз болса, біздің шығарған заттарымыздың да саны белгісіз деген сөз.шектеулі жиын деп отырғанымызға алтын адамды алсақ болады. Оның саны шектеулі ғана. Мұны түсіну аса қиындық тудырады деп санамаймын. Бар бірақ белгілі бір саны бар, біз ол затты жасай алмаймыз немесе ол сұраныста жоқ нәрсе ол шектеулі болады. Егер жиында бірде – бір элемент болмаса оны бос жиын деп атайды.
Егер В жиынының барлық элементтері А жиынына тиісті болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы; А= ( 1;2;3;4;5;6;7) осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. В= (2;4;6)

Жиындардың байланыстары арақатынастары Эйлер дөңгелектері
( алғаш рет ХҮІІІ ғасырда өмір сүрген швейцариялық белгілі математик Леонард Эйлер пайдаланған.) В жиыны А жиынының ішкі жиыны екені Эйлер дөңгелектері арқылы кескінделген.
Жиындардың өзара қиылысуы: Егер А жиыны мен В жиынында қандай да бір элементтері ортақ болса, онда А жиыны мен В жиыны қиылысады деп атайды.
А= ( 4;9;7;13) B= (2;6;7;10;13)



А мен В жиыны қиылысқанда, мынандай жиын пайда болады: (7;13).
Екі жиынның қиылысуы Эйлер дөңгелектері арқылы кескінделген.
Жиындардың бірігуі
А және В жиындардың бірігуі деп А және В жиындарының элементтерімен ғана құралған жиын деп аталады.
А=( 3;5;9;14)
B=( 3;6;9;11)
А және В жиындары біріккенде, мынадай жиын пайда болады: (3;5;9;14;6;11)
Қарапайым түрде мысал келтірер болсам, мысалы математика пәні мен алгебра, геометрия пәндерін қарастырайық. Оқушылар бастауыш сыныптан бастап, 5-6 сыныптарда математика пәнін өтсе, жоғары сыныпта алгебра және геометрия болып екіге бөлініп, ары қарай математиканың сан түрлі есептері мен теорияларын оқуды жалғастырса, кейін алгебра және анализ бастамаларына ұласады. Бұл дегеніміз, екеуі екі түрлі кітаптар жиынын құрайды, бірақ барлығы математика деп аталатын пәнді құрайды және сол пәннің қыр-сырын меңгеруге жасалып отырған дүние.














Есептерді шығаруда Эйлер дөңгелектерін қолдану. Мысалы: Математиктерді санап шық есебінде :
Сыныпта 35 оқушы бар. Оның 20-сы математика, 11 биология үйірмесіне қатысады. Ал 10 бала бұл үйірмеге қатыспайды. Неше биолог математикамен шұғылданады?
35-10=25
(20+11)-25=6
Бұл дөңгелекті мына сурет арқылы кескіндеп, кең ауқымда түсіндіруге болады.

Мектеп ауласында Үлкен дөңгелек, ал оның ішіне суретте көрсетілгендей кішірек екі дөңгелек салуымызға болады. М әрпімен белгіленген дөңгелектердің ішіне математиктерді, Б әріпімен белгіленген дөңгелектің ішіне биологтарды орналастырамыз. МБ әрпімен белгіленген дөңгелектердің ішіне ортақ бөлігі біз іздеп отырған биолог-математиктерді орналастырамыз. Сыныптың қалған балаларының саны 10. Енді есептейміз, үлкен дөңгелектің ішінде барлығы 35 бала, екі кіші дөңгелектің ішінде 35- 10 =25 бала, М математика дөңгелегінің ішінде 20 бала бар ,демек биология дөңгелегінің м дөңгелегінің сыртында жатқан бөлігінде 25-20= 5 биолог бар, олар математика үйірмесіне қатыспайды, қалған биологтар 11-5 =6 адам, МБ дөңгелектерінің ортақ бөлігінде тұр. Сонымен, 6 биолог математикамен шұғылданады. Осындай бірнеше есептерді қарастырып, есептеулер жүргізуге болады. Есептер жүргізгенде жолы ұзарып немесе есепті кейде дұрыс есептемей дұрыс жауапты негіздей алмай қаламыз. Ал, Эйлер дөңгелегі тура жауаптан ауытқуға мүмкіндік бермейтін бірден бір дара әрі тиімді жол.
Эйлер дөңгелектері кез келген пікірлердің ақиқаттығының жиындарын кескіндеуге арналған логикалық есептерде де және басқа көптеген жағдайларда да жақсы қолданылады. Есептер шартын Эйлер дөңгелектерінде кескіндеу есепті шешу жолын ықшамдайды, жеңілдетеді.

Жиын тақырыбын оқығанда ғана қолданылтын бұл тақырыптың ауқымы мен берері мол. Эйлер дөңгелегін тек кейбір дүниенің ұқсастығы мен айырмашылығын жазуды қолданамыз. Бұл тақырыпты көбіне матем атика саласы емес, қазақ тілі саласы қолданып жатады.
Егер осы диаграммаларды жиі қолданып және өздері қолдануына жағдай жасасақ, бұл оқушының пәнге деген қызығушылығын оятады және ол еспті тез шығарудың тиімдді жолы болар еді. Оқушы есепт шығара алмаса я түсінпебес, сол пәнді оқуды ақырындап шетке ысрыра бастайды. Ал,Эйлер дөңгелегін есептер шығаруда қолдансақ, мұғалім мен оқушы арасындағы қарым –қатынасты жақсартудың негізі бола алады.




Жиын — математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Жиын немесе жиынтық ұғымы қарапайым математикалық ұғымға жатады. Сондықтан Жиын ұғымының анықтамасы берілмейді. Ол аксиомалық жолмен енгізіледі. Дегенмен Жиынды мысалдар арқылы түсіндіруге болады. Бір мектеп оқушыларының, берілген шеңбер нүктелерінің, берілген теңдеу шешімдерінің, т.б. табиғаты әр түрлі Жиындары туралы айтуға болады. Мұндағы оқушылар, нүктелер, шешімдер, т.б. қарастырылып отырған Жиындардың элементтері деп аталады. Әрбір нақты Жиын өз элементтерінің бәріне тән жалпы қасиеттері (белгілері) бойынша бірігеді. Сондықтан Жиынды анықтау үшін тек осы Жиынның элементтеріне тән жалпы қасиеттерді көрсету жеткілікті. Мысалы, барлық бүтін сандар Жиынын құрайтын сандарға (элементтерге) ғана тән жалпы қасиет — олардың (элементтердің) әрқайсысының бүтін сан болатындығы. Бір де элементі болмайтын Жиын бос жиын деп аталады. Егер А Жиынының әрбір элементі В Жиыныныңда элементі болса, онда А Жиыны В Жиынының ішкі жиыны немесе бөлігі деп аталады. Бос Жиын кез келген Жиынның ішкі Жиыны болып есептеледі. Берілген В Жиынының, өзінен басқа, кез келген бос емес А ішкі Жиыны осы В Жиынының дұрыс бөлігі немесе меншікті ішкі жиыны деп аталады. Элементтерінің саны шекті не шексіз болуына байланысты Жиын да шекті жиын не шексіз жиын делінеді.

Жиын (Множество; set) — 1) математикада — нақты немесе абстрактылы объектілердің кез келген дәлме-дәл кесімді жиынтығы; 2) қандай да бір объектілердің ортақ нышандарымен біріктірілген және біртұтас бүтін ретінде ұсынылатын біртекті элементтер жиынтығы

Жиын ұғымы математиканың негiзiнде жатқан жалпы ұғымдардың бiрi. Сондықтан жиын ұғымының дәл анықтамасын бере алмаймыз. Бiз жиын деп ненi түсiнетiнiмiздi ғана сипаттай аламыз. Әдетте, жиын ретiнде оның қандай да бiр белгiлерiн ескеріп, әртүрлi нысандардың алдын-ала берiлген ерекшелiктерi бойынша топтастырылуын айтамыз. Сонымен бірге, жиын ешбір негізге сүйенбей топтастырылған нысандардан да құрастырылуы ешбір қарсылық туғызбауы керек. Жиындарды үлкен латын әрiптерi арқылы белгiлеймiз: A, B, X, P, T және т.б. Жиынды құрайтын нысандар осы жиынның элементтерi деп аталады. Жиын элементтерi кiшi латын әрiптерiмен белгiленедi: a, b, c, x, u, v және т. б. Қажет болған жағдайда, төменгi немесе жоғарғы индекстер еркiн қолданылады.

Егер x – A жиынының элементi болса, бұл жағдай xA белгiсiмен таңбаланады және “ x элементi А жиынына тиiстi ” деп оқылады.

Егер x элементі А жиынынан тыс болса, оны xA арқылы белгiлеп, “ x элементi А жиынына тиiстi емес” деп оқимыз.

Қоршаған орта мен ғылым пәндерiнiң қай-қайсысы болса да жиын ұғымына қажеттi мысалдардың кез келген түрiн бере алады. Айталық, өсiмдiктер түрлерi, кiтаптар, жай сандар, жазықтықтағы түзулер – жиын ұғымының мысалдары. Алғашқы екеуi ақырлы жиындар мысалдарын берсе, соңғы екеуi ақырсыз жиындардың мысалдары болады.

Жиындарды олардың элементтерiнiң тiзiмiн немесе олардың элементерiне ортақ қасиеттердi көрсету жолымен беруге болады. Мысалы, тізімдеп А={a1, a2, , am} немесе элементердің ортақ қасиеті бойынша B={x:xN, x– тақ сан} түрінде. Ақырсыз жиындар негізінен екінші тәртiппен анықталады.

Бiздiң келешек баяндауларымыз үшiн төмендегi сандық жиындар кеңiнен қолданылады.

N = {0, 1, 2, 3, 4, } – натурал сандар жиыны,

Z = {, 1, 2, 3, } – бүтiн сандар жиыны,

Q =- рационал сандар жиыны (Бұндағы бөлшектерді қысқармайтын бөлшектер деп есептеуімізге болады ),

R – нақты сандар жиыны. Бұл жиын рационал және иррационал сандардың бірігуінен тұрады.

Жиындар арасындағы байланыстар – жиындарға қолданылатын төмендегi амалдарды анықтайды.

Егер А жиынының барлық элементтерi B жиынына тиiстi болса, онда А жиынын B жиынының iшкi жиыны деп атаймыз. Ал B жиыны А жиынын қамтушы жиын деп аталады. Жиындар арасындағы бұл қатынас АB белгiсiмен көрсетiледi. Оны символдық түрде жазар болсақ:

АВ кез келген xА үшiн xВ.

Ешбiр элементi болмайтын жиынды бос жиын деп атаймыз. – бос жиын белгiсi. Анықтауымыз бойынша бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Яғни кез келген X жиыны үшiн X. Мысалы .

Егер AB және BA қатынастары орындалса, бұл жиындардың бiрiнiң элементтерi екiншiсiне тиiстi, ендеше ол жиындар тең болады. Тең жиындарды A=B арқылы таңбалайды.

Егер AB және AB болса, A жиынын B жиынының меншiктi iшкi жиыны деп атаймыз. Бұл қатынас AB арқылыбелгiленедi.

А және В жиындарына ортақ элементтерден ғана тұратын жиынды А және В жиындарының қиылысуы деп атап, ол жиынды АВ арқылы белгiлеймiз.

Белгілеуі: АВ={ x :| xА және xВ}

Егер АВ = болса, онда А және В жиындарын қиылыспайтын жиындардеп атаймыз.

А және В жиындарының ең болмағанда бiреуiне тиiстi элементтерден тұратын жиынды – А және В жиындарының бiрiгуi деп атаймыз. Оны АВ таңбасы арқылы белгiлеймiз. Сонымен АВ ={ x : xА немесе xВ}. Демек А және В жиындары АВ жиынының iшкi жиындары болады, яғни AАВ және BАВ қатынастары орындалады.

А жиынына тиiстi, ал В жиынына тиiстi емес элементтерден тұратын жиын А жиыны мен В жиынының айырмасы (А минус В) деп аталып, А\В арқылы белгiленедi.

Белгiлеуi: А\В={x : xА және xВ}.

Ал А жиынына тиiстi емес және А жиынын қамтушы қандай да бiр жиынның элементтерiнен тұратын жиынды А жиынының аталған қамтушы жиындағы толықтаушы жиыны деп атаймыз. Белгiлеуi: .

Енді осы келтірілген анықтамаларды пайдаланып, төмендегі жиындар арасындағы тепе-теңдікті дәлелдейік.Эйлер-Венн диаграммалары көрнектiлiгiмен бiрге, кейбiр жиындар арасындағықарапайым тепе-теңдiктердi дәлелдеуге де қолданылады.

Лемма 1.1. Егер , ал олардыңжиынындағы толықтауыш жиындары болса, онда

Дәлелдеуі. Кез келген x элементі үшін i, 1in нөмірі табылып, x болады, онда x немесе x. Яғни x. Сонымен біз қатынасыныңорындалатынын дәлелдедік.

Кері теңсіздікті дәлелдеу үшін бар болғаны – келтірілген дәлелдеудің соңынан басына қарай жүріп өтсек жеткілікті. Шындығында да, егер x болса, онда x, яғни қандай да бір in нөмірі үшін x немесе x. Онда xнемесе . Лемма дәлелденді.

Ендi екi жиын элементтерiнiң өзара байланысынан өзге, шартты түрде айтқанда, осы жиындардың элементтерiнiң сандарын салыстыратын функция (бейнелеу деп те аталады) ұғымын енгiзейiк.

Анықтама. А және В жиындары берiлсiн. Егер А және В жиындарының арасындағы f сәйкестiгi бойынша А жиынының әрбiр элементiне В жиынының бiр ғана элементi сәйкес қойылса, f сәйкестiгiн А жиынынан В жиынына бейнелеу деп атаймыз. Белгiлеуi: f: AB.

Егер bВ элементi f бейнелеуi бойынша аА элементiнiң бейнесi болса, оны f(a)=b теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы а элементi f бейнелеуі бойынша b элементiнiң алғашқы бейнесi, ал b элементi а элементiнiң бейнесi деп аталады.

В жиынының алғашқы бейнесі бар элементтерінен тұратын ішкі жиынын

Imf=f(A)={y : yB үшiн f(x) = у болатындай xА табылады} арқылы белгiлеймiз. Бұл жиынды f бейнелеуi бойынша А жиынының В жиынындағы бейнесi деп атаймыз.

Ендi бейнелеулердiң арнайы түрлерiне тоқталайық.

Анықтама. А және В жиындары берiлсiн. Егер f: AB бейнелеуi үшiн ImfВ жиынының кез келген элементiнiң бiр ғана алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген x1,x2A элементтерi үшiн

f(x1) = f(x2) теңдігінен x1 = x2 болатыны шығады.

Егер жоғарыдағы шарты орындалса, онда f бейнелеуiн әрмәнді (инъективтi) бейнелеу деп атаймыз.

Анықтама. Егер f: AB бейнелеуi кезiнде В жиынының әрбiр элементiнiң алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген bВ үшiн аА табылып, f(a) = b теңдiгi орындалса, онда f бейнелеуiн А жиынының В жиынына тұтас (съюрективтi) бейнелеу деп атаймыз.

Анықтама. Егер f: AB бейнелеуi әрмәнді (инъективтi) және тұтас (съюрективтi) бейнелеу болса, онда f бейнелеуi бірге–бір сәйкестiк (биекция) немесе бірге–бір бейнелеу деп аталады.

Сонымен, қысқарта жазсақ:

f – биекция болады сонда тек сонда ғана, егер
•“x,yA үшiн
•Кез келген yB үшiн f(x) = y болатындай xA табылады.

шарттары орындалса.

Кез келген үшiн 1A(a)=a теңдiгi орындалатын 1A:AA функциясы бiрлiк функция деп аталады.

Егер f: AB және бейнелеулері үшінсәйкестігінүшіншартымен анықтасақ, бұл сәйкестік бейнелеу болады және оныжәнебейнелеулерінің композициясы (бернесі) деп айтамыз.

Белгілеуі: .

Егер f: AB,жәнеберілсе, олардың композициясы үшін әруақытта келесі

терімділік:

қасиеті орындалады.

Егер f: AB бейнелеуі үшінбейнелеуі табылып,теңдігі орындалса, яғни кез келгенүшінболса, ондабейнелеуі f бейнелеуіне кері бейнелеу деп аталып, олтүрінде белгіленеді.

Оқушыға өз бетінше төмендегі қасиеттерді дәлелдеуді ұсынамыз.

Қасиеттері.
1.Әрбір f биекциясына кері бейнелеу табылады және .
2.Бейнелеулердің композициясы терімділік заңына бағынады, яғни кез келген f:AB, жәнебейнелеулері үшін .
3.Егер f: AB иньективті бейнелеу болса, онда f: Aбейнелеуі биекция болады.

Жиынның мінездемелік фунциясы.

А жиыны мен оны қамтитынжиыны үшiн,жиынында анықталған

функциясы A жиынының U жиынындағы мiнездемелiк функциясы депаталады.

Енді осы мінездемелік функцияның қарапайым қасиеттерін төмендегі леммаға біріктірейік.

Лемма 1.2. Егербос емес жиын жәнеоның ішкі жиындары болса, онда кез келген u үшін

Дәлелдеуі. Лемманың 1-ші және 2-ші пункттері мінездемелік функцияның анықтамасының тікелей салдарлары, ал (3) пункті жоғарыдағы 1.1-ші пеммадағы (1) тепе-теңдікке мінездемелік функцияны қолдану жолымен дәлелдейміз. Біз теңдіктің бір жағын ғана көрсетейік.болсын. Онда . Осы қатынасқа мінездемелік функцияны қолдансақ, . Кері теңсіздік тура осылай дәлелденеді.

Лемма 1.3. Егерақырлы жиын болса, онда.

Дәлелдеуі. Мінездемелік функцияның анықтамасы бойынша егерболса, онда оң жақтағы қосындыдағы мінездемелік функцияның осы элементтегі мәні 1-ге тең, ал кері жағдайда нөлге тең болғандықтан, оң жақтағы қосындыжиынының элементтерінің санын береді.







1. Жиындарға амалдар қолдану
а) Қиылысу амалы. А мен В жиындарының қиылысуы деп осы жиындардың ортақ элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А В арқылы белгілейді. А В={x А және х В}.
Егер А–кез келген жиын болса, онда А =; А А=А және А В болғанда А В=А.
б) Бірігу амалы. А мен В жиындарының бірігуі деп, осы жиындардың барлық элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А В арқылы белгілейді. А В={x А немесе х В}.
Егер А,В–кез келген жиындар болса, онда А =А; А А=А және егер А В болса, А В=В.
в) Алу амалы. А мен В жиындарының айырмасы деп А жиынының В жиынында болмайтын (В-ға тиісті емес) элементтерінен тұратын үшінші жиынды айтады. Оны А\В деп белгілейді. А\В={x А, х В}.
Универсал жиын. Жиын толықтырмасы.
Айталық, А М, кез келген жиын болсын. М-универсал жиын. А/=М\А жиыны А жиынының М универсал жиынға дейінгі толықтырмасы деп аталады. А/ жиынын А жиынының толықтырмасы деп айтуға болады.
А А/=, А А/=М. . Демек, А мен А/ жиындары бірін-бірі М жиынына дейін толықтырады, яғни бірі бірінің толықтырушысы болады.


Мысалдар
1-мысал. А={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,1,2,3,7,10} жиындары берілген. А В, А В, А\В жиындарын табу керек.
Шешуі. Жоғарыдағы анықтамаларға сүйеніп,
А В={1,2,3}, А В={-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,10}, А\В={4,5,6} болатынын байқаймыз.

2-мысал. А=[3,5], В=(2,4). А,В–көрсетілген аралықтағы нақты сандар жиыны. А В, А В және А\В жиындарын табу керек.
Шешуі. Жоғарыдағы анықтамаларға сүйенсек, А В=[3, 4), А В=(2, 5], А\В=[4,5].

1-мысал. , , , яғни А,В жиындары көрсетілген аралықтағы бүтін сандар жиындары. , А\В және В\А жиындарын табу керек, егер болса.
Шешуі. А жиыны –3-тен 8-ге дейінгі барлық бүтін сандарды, В жиыны –10-нан 4-ке дейінгі бүтін сандарды көрсетеді.
, , А\В , В\А формулалары бойынша (жиындардың бірігуі, қиылысуы, айырмасы):
; ; А\В ; В\А .

2-мысал. , . А В, А В, А\В және В\А жиындарын табу керек.
Шешуі. 4-ке бөлінетін сандардың соңғы екі цифрынан құралған санның 4-ке бөлінуге тиісті, ал 5-ке бөлінетін сандардың соңғы цифры 5, не ноль болатын сандар екенін ескерсек, жоғарыдағы сұраулардың жауаптары мыналар болатынын көреміз:
.
, х-нөлмен аяқталатын және 4-ке бөлінетін сандар}. Бұл сандар соңғы цифры ноль болатын, ал екінші цифры (оңнан солға қарай есептегенде) жұп сан болатын сандар болады.
А\В және х-тің соңғы цифры ноль емес}.
В\А және х-тің соңғы цифры ноль болады, оның алдындағы цифры тақ сан болады}.
Енді екі жиынның теңдігін дәлелдеуге мысалдар келтірейік.
Екі жиынның теңдігі олардың бірдей элементтерден тұратынын көрсетеді. Сондықтан А=В теңдігін дәлелдеу үшін және -ны көрсету керек. Яғни үшін болатынын және керісінше болғанда орындалатынын көрсетсе болғаны.

3-мысал. А\В=А В/ тепе-теңдікті дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. Айталық, х А\В (х элементі А\В жиынынан алынған кез келген элемент болсын). Онда х А, х В. Ал х В-дан х В/ қатынасы шығады. Демек, х А В/; Яғни, А\В А В/ (1).
Енді х А В/ деп алайық. Онда х А және х В/; Ал х В/ болатындықтан, х В деген қорытындыға келеміз. Сөйтіп, , яғни х А\В. Демек А В/ А\В (2).
(1) мен (2) қатынастарынан А\В=А В/ шығады.

3-мысал. А\(В\С)=(А\В) (А С) теңдігін дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Айталық, А\(В\С) болсын, онда , (В\С) қатынастарын аламыз. (В\С) . Егер , онда А\В орындалады, ал , онда . Сөйтіп, (А\В) (А С) орындалғанын көреміз. Енді керісінше айталық, (А\В) (А С). Бұдан (А\В) немесе (А С). Айталық, (А\В) орындалсын. , және болғанда (В\С) қатынасы кез келген С жиыны үшін орындалатынын ескерсек А\(В\С) қатынасы орындалатынын көреміз. Ал (А С) болса, , болады және кез келген В жиыны үшін (В\С) орындалады. Ендеше, осымен теңдік дәлелденді.

Енді жиындардың қиылысуына яғни Эйлер дөңгелегінің көмегімен шешілетін есептерді шешіп көрейік:
Демалуға келген туристердің он үші ағылшынша сөйлейді, төртеуі түрікше, он екісі орысша сөйлейді. Ал үш турист ағылшында, түрікте, орыс тілінде біледі. Демалуға келген туристердің саны нешеу?
шешуі:13-3=10
4-3=1
12-3=9
10+1+9+3=23



Сыныптағы оқушылар үйірмелерге қатысады. Олардың оны математикаға, төртеуі шахмат үйірмесіне, бесеуі волейбол үйірмесіне қатысады. Осы оқушылардың үшеуі барлық үйірмеге қатысады. Үйірмеге қатысатын оқушылар сыныптағы оқушылардың жартысын құрайды.Сыныпта неше оқушы үйірмеге қатысады және сыныпта неше оқушы бар?
Шешуі: 10-3=7
4-3=1
5-3=2
7+1+2+3=13 үйірмеге қатысатын оқушылар.
Ал сынтағы оқушылар: 13∙2=26






















\



Қолданылған әдебиеттер

Математикадан сыныптан тыс жұмыс 6-8 сыныптарға арналған. В.А Гусев
Математика в школе журналы
6 сынып математика оқулығы

























A

B

математика

Алгебра және геометрия, алгебра және анализ бастамалары

Математика

Алгебра, геометрия,алгебра және анализ бастамалары

6 5

14

35



М

В

МБ
11-5= 6

30-10-20= 5







9

1

10

3







7

2

1

3