Жоғарғы дәрежелі теңдеу

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ТҮРКІСТАН ОБЛЫСЫНЫҢ БІЛІМ БАСҚАРМАСЫ

«КЕНТАУ КӨПСАЛАЛЫ КОЛЛЕДЖ» МКҚК

ҒЫЛЫМИ ЖҰМЫС

Тақырыбы: “Жоғары дәрежелі теңдеулердің бүтін

коэффициенттерде шешімдерін табу”

Математика пәнінің оқытушысы, магистр Р.Е.Молдабекова

Резюме

В научной работе представлен материал на тему «Нахождение решения уравнений высокого порядка в интегральных коэффициентах»

Summary

This scientific work presents material for "Find solutions of high order equations in integral coefficients"

Кентау 2019 жыл.

Абстракт

Зерттеу жұмысының мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулердің бүтін коэффициенттерде шешімдерін табуды зерттеп, шығару жолындағы мүмкіндіктерін көрсету әрі үш тілде оқытудың маңызын таныту.

Зерттеу кезеңдері:

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін қарастыру

Келтірілген кубтық теңдеудің түбірлерін қарастыру

Оларға математикалық есептеулер жүргізу

Эксперимент әдісі: кітапханамен, ғаламтормен, уикипедия, математика пәніне арналған ғылыми және әдістемелік журналдармен жұмыс.

Зерттеу жұмысының жаңашылдығы: Теңдеулерді шешудің басқа ұтымды тәсілдерін қолдансақ, бұл теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерінен әлде қайда жеңіл әрі икемді тәсілі болмақ.

Эксперименттің қолдану аясы: : жасалған жұмысты білім алушыларға түсінікті болуына байланысты күнделікті сабағымызға енгізуге ұсынуға болады.

Зерттеу нәтижесі мен қорытынды: біз жоғары дәрежелі теңдеулердің түбірлерін, берілген теңдеуге қарап, бірден оның бүтін шешімдері бар ма, жоқ па екенін анықтай алдық.

КІРІСПЕ

«Біз үштілділікті дамыту қарқынын үдетіп отырмыз. Бұл ойдан шығарған дүние емес, қажеттілік. Қазірдің өзінде қазақстандықтардың 20 пайызы ағылшын тілін меңгерді. Яғни, үш тілді меңгеру, білу - бұл жаһандық әлемге жолдама деген сөз. Бұл адамның өмірдегі табыстылық, жетістік принцпі. Жаһандық әлемде біздің балаларымыз «Планета азаматы» болады. Сондықтан да олар әлемнің кез келген өңірінде жұмыс істеп, күнін көре алатын болады. Яғни, бүгінгі күрделі әлемде біздің балаларымыз өздерін «судағы балықтай» сезінуі керек, біз соған жағдай жасап жатырмыз», - деді Н.Назарбаев.

Әлемде Қазақстан халқы үш тілді білетін, жоғары білімді ел ретінде танылуы керек. Бұл: қазақ тілі – мемлекеттік тіл, орыс тілі – ұлтаралық қатынас тілі және ағылшын тілі – жаһандық экономикамен сәтті ықпалдасудың тілі», Ағылшын тілі «ғылым мен инновация» тілі ретінде атады.Міне осыған орай мен өзімнің ғылыми жұмысыма үш тілділікті қосып зерттеуді үйғардым.

Математика пәнінің ең басты мақсаты - оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыту десек, оның негізгі рөлі есеп шығару. Себебі, есеп шығару – мидың «гимнастикасы».

Америкалық педагок – математик Д.Пойа былай деген: «Математиканы білу деген не? Бұл есептерді шығара білу, онда стандарттық есептерді ғана емес, ойлаудың еркіндігін, сананың салауаттылығын өзіндік болмысты, тапқырлықты керек ететін есептерді шығару». Сондықтан, орта мектептің математика курсының бірінші әрі ең басты міндеті есеп шығарудың әдістемелік жақтарына назар аудару. Қазірде мектепте қолданыста жүрген Ә.Н.Шыныбековтың алгебра оқулығында берілген үшінші дәрежелі теңдеулерді шешуде оқушылар біраз қиналады. Себебі теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешудің орта мектепте пайдаланылатын негізгі тәсілдері ауыстыру мен қосу және топтастыру тәсілдері. Көптеген теңдеулерді, әсіресе үшінші дәрежелі теңдеулер мен олардың жүйесін шешуде бұл негізгі тәсілдерді пайдалану соншалықты ұзақ, тауқыметті түрлендіруге соның салдарынан қателіктер көбірек жіберіп алудың себебі болады. Бұл жағдайда соңғы нәтижеге жетудің мүмкіндігі азаюы сөзсіз, тіптен есептің жауабы шықпауы да әбден мүмкін. Егер теңдеулерді шешудің басқа ұтымды тәсілдерін қолдансақ, бұл теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерінен әлде қайда жеңіл әрі икемді тәсілі болмақ.

Қазіргі таңда математика мұғалімінің алдында тұрған міндет сыныптағы оқушыларды зерттей отырып, берілетін тақырыпты оқушылардың деңгейіне сәйкес түрлі жолдармен үйрете білу. Алайда, қазіргі мектептегі оқулықтардың көпшілігінде берілетін тапсырмалар біртектес, шығару жолдары да бір ғана тәсілге негізделген, ал бұл оқушының шығармашылық тұрғыда дамуына кедергі жасайды.

Зерттеу жұмысының мақсаты білім алушылардың, ұстаздардың мүмкіндіктерін, сабаққа қызығушылығын арттыру үшін тиімді жолын пайдалану.

Осы мақсатқа жету үшін келесі міндеттер қойылды:

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін қарастыру

Келтірілген кубтық теңдеудің түбірлерін қарастыру

Оларға математикалық есептеулер жүргізу

Зерттеу жұмысы екі бөлімнен тұрады:

Бірінші бөлімде Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін қарастыру үшін сипаттама берілді.

Екінші бөлімде Келтірілген кубтық теңдеудің түбірлерін қарастыру,және оларға мысалдар келтіру.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін қарастыру

Теорема 1. Келтірілген квадраттық теңдеуде «b,c» коэффициенттері тақ болса ,онда бұл теңдеудің түбірлері ешқашан бүтін болмайды.

Если коэффициенты "b, c" нечетны в данном квадратном уравнении, то корни этого уравнения никогда не бывают абсолютными.

If the coefficients "b, c" are odd in the given quadratic equation, then the roots of this equation are never absolute.

Мысалдар:

+7x-9=0

D=9+20=29 D=49+36=85 D=121+20=141

Теорема 2. Келтірілген квадраттық теңдеудің b,c коэффициенттері екеуі де жұп сан әрі толық квадрат болса, онда бұл теңдеудің

түбірлері бүтін болады.

Если квадратное уравнение b, c коэффициенты являются и парами, и полными квадратами, то у этих уравнений корни целые

If the quadratic equation b, c coefficients are both pairs and complete squares, then this equation roots are integers

x²+8x+18=0 x²+8x+4=0 x²-8x+10=0

D=64-4*16=0 D=64-4*4=48 D=64-4*10=24

X=4 X_1,2= X_1,2=

Теорема 3. Келтірілген квадраттық теңдеудің b,c коэффициенттері екеуі де бүтін болса, онда бұл теңдеудің түбірлері иррационал немесе екеуі де бүтін болады.

Если коэффициенты b, c квадратного уравнения являются интегральными, то уравнения этого уравнения являются иррациональными или оба являются интегральными.

If the coefficients b, c of the quadratic equation are integral, then the equations of this equation are irrational or both integral.

1 жағдай 2 жағдай

x²+6x-7=0 x²-11x+7=0

D=36+4*7=64 D=121-28=93

Келтірілген кубтық теңдеулердің түбірлерін қарастыру

Теорема: +q=0 коэффициенттері нақты сан болатын теңдеу болсын және болсын.Онда:

1. Егер D>0 болса,онда теңдеудің бір нақты және екеуі түйіндес комплекс түбірлері болады.

2. Егер D=0 болса,онда теңдеудің үш түбіріде нақты сандар және олардың екеуі өзара тең.

3. Егер D<0 болса,онда теңдеудің барлық түбірлері әртүрлі нақты сандар болады.

Бұл теорема Кордано әдісінің салдары болып келеді.

Есептер:

Теорема: +q=0 коэффициенттері нақты сан болатын теңдеу болсын және болсын.Онда:

1. Егер D>0 болса,онда теңдеудің бір нақты және екеуі түйіндес комплекс түбірлері болады.

2. Егер D=0 болса,онда теңдеудің үш түбіріде нақты сандар және олардың екеуі өзара тең.

3. Егер D<0 болса,онда теңдеудің барлық түбірлері әртүрлі нақты сандар болады.

Есептер:

Теорема: +qy=0 коэффициенттері нақты сан болатын теңдеу болсын. ( -q толық квадрат болғанда теңдеудің түбірлері бүтін сан болады.

Бұл теореманы дәлелдеуі теңдеуді көбейткіштерге жіктейміз.Бір түбірі 0-ге тең.Екінші бөлігі квадраттық теңдеуге келеді.Ал квадраттық теңдеу болған жағдай жоғарыда толық талданған болатын.

Теорема. Келтірілген кубтық теңдеудің а,в және с коэффициенттерінің екеуі тақ біреуі жұп сан болса, теңдеудің үш түбірі де бүтін сан болуы мүмкін емес.

Дәлелдеуі. Бұл теореманы дәлелдеу үшін Виет теоремасын пайдаланамыз. Теңдеудің түбірлері бүтін сан болсын делік. Онда түбірлерін жұп немесе тақ болады деп бірнеше жағдайды қарастырамыз:

• 1 жағдай. Теңдеудің үш түбірі де жұп сан болса, онда Виет теоремасы келесі түрде болады

ж+ж+ж=-а

жж+жж+жж=в

жжж=-с

Бұдан теңдеудің үш түбірі де жұп сан болуы үшін а,в,с коэффициенттері жұп сан болса болуы қажеттілігін байқауға болады.

• 2 жағдай. Теңдеудің үш түбірі де тақ сан болса, онда Виет теоремасы келесі түрде болады

т+т+т=-а

тт+тт+тт=в

ттт=-с

Бұдан теңдеудің үш түбірі де тақ сан болуы үшін а,в,с коэффициенттері тақ сан болуы қажеттілігін байқауға болады.

• 3 жағдай. Теңдеудің бір түбірі жұп сан, ал екі түбірі тақ сан болса, онда Виет теоремасы келесі түрде болады

ж+т+т=-а

жт+жт+тт=в

ттж=-с

Бұдан теңдеудің бір түбірі жұп сан, ал екі түбірі тақ сан болуы үшін а,с коэффициенттері жұп сан, ал в тақ сан болуы қажеттілігін байқауға болады.

• 4 жағдай. Теңдеудің бір түбірі тақ сан, ал екі түбірі жұп сан болса, онда Виет теоремасы келесі түрде болады

ж+ж+т=-а

жт+жт+жж=в

жтж=-с

Бұдан теңдеудің екі түбірі жұп сан, ал бір түбірі тақ сан болуы үшін а коэффициенті тақ сан, ал в,c жұп сан болуы қажеттілігін байқауға болады.

Қорытынды

Орта мектепте анықталмаған тендеулердің бүтін түбірлерін табудың қарапайым әдістері қарастырылады.Оқушылар анықталмаған тендеулердің шешудің таңдау тәсілі, дербес шешімдерін алтыншы сыныптан бастап үйренеді.Әсіресе, бұл тендеулердің бүтін шешімдерін табу мәселелері қарастырылады.Бұл ғылыми жұмыста білім алушылардың логикалық ойлауын қалыптастыру, математикаға қызығушылықты арттыру, байқағыштыққа, шапшаң есептеу және шешу дағдыларын қалыптастыру, өзіндік ізденуге жол ашу, математика әлемінің сырларын анықталмаған тендеулер арқылы ашудағы проблемалық есептерді орта мектепке пайдалану мәселелері қарастырылды.

Бүтін сандар адамдарды ерте дәуірлерден бері қызықтырып келеді.Ежелгі грек-рим шежірелерінде, сол дәуірдің өзінде-ақ бүтін сандар арифметикасын күнделікті өмірдің қажеттілігінен де тереңірек, кеңірек зерттеп үйренгені туралы мәлімет айтылады.Бүтін сандардың қасиеттерін зерттеумен ертедегі гректің данышпан ғалымдары Евклид, Пифагор,Диофант тағы басқалары айналысқан.

Евклид (біздің заманымыздан бұрыңғы IV ғасыр)жай сандардың ақырсыз көп екенін және басқа қасиеттерін дәлелдеген болса, Эратосфен (б.э.б. 384-322) берілген саннан үлкен емес жай сандар кестесін түзудің тәсілін ұсынған.

Пифагор (б.э.б. 580-500) натурал сандардың қатынасы арқылы музыканы зерттеген.натурал сандарды зерттеп үйренгені соншалықты, натурал сандарға түрлі атаулар беріп, адам тағдырын сандардың қасиеті арқылы болжаған.Келешекте дүниені сан басқарады, сан дүниенің негізі деген мистикалық пайымдаулар жасауға дейін барған.Диофант анықталмаған тендеулерді бүтін сандарда шешуді қарастырған.

Бүтін сандардың тамаша қасиеттерін көп зерттеген ғалымдардың бірі – француздың атақты математигі П.Ферма (1601-1665).Ол өзінің атымен аталған бірнеше теорема қалдырған.

Қорыта айтқанда, біз жоғары дәрежелі теңдеулердің түбірлерін, берілген теңдеуге қарап, бірден оның бүтін шешімдері бар ма, жоқ па екенін анықтай алдық. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің түрлі әдістерінен байқағанымыз есептер математикалық білім, білік, дағды жүйесін қалыптастырудың маңызды құралы, ал есеп шығару - оқу және кәсіптік әрекеттің жетекші түрі дер едік. Әрбір есептің өзіндік әдістемелік мақсаты да бар. Сондықтан оқушы есепті жылдам әрі қатесіз шығаруға, жаттыға түсуге ұмтыла отырып, оны шығармашылықпен шешуге, шешімінен тиісті қорытынды жасай білуге тырысуы қажет. Математиканы үйренумен белсенді шұғылдану, шын мәнінде, есеп шығару дер едім. Себебі болашақ ғалымдар – бүгінгі күннің оқушылары, ертеңгі өрелі ізденістерді бүгіннен бастап білуі керек. Міне сондықтанда “Бала бақыты – жақсы ұстаз қолында” деген сөздің түп негізі осында жатқан сияқты.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Бейсеков Ж, Рахымбек Д, Шарипов Т.А. – Орта мектепте математиканы оқытудың әдістемесіне арналған оқу құралы – Шымкент 2003, -180 бет.

2. Бидосов Ә. – Орта мектепте математиканы оқыту методикасы. – Алматы, 1992.-224б.

3. Брадис В.Н. методики преподавания математики в средней школе.-М.Учпедгиз,1951.-504стр.

4. Көбесов А. – Орта мектепте математиканы оқыту методикасы. – Алматы, 1989.-86б.

5. Математика пәні бойынша қазақ мектептеріне арналған бағдарлама (5-9 сыныптар) Алматы, 1999.-24 бет.

6. Мұқашев Ә.Қ, 5-6 сыныптарда математиканы оқытудың кейбір мәселелері.-Алматы Рауан.-1991.-144бет.