Жоғары ретті дифференциалды теңдеулер

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

«Шапшаңдық гимнастикасы». Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Тұрақты санның туындысы неге тең?

2. Дәреженің туындысы неге тең?

3. Бөлшектің туындысын қалай табамыз?

4. Туынды дегеніміз не?

5. Дифференциал дегеніміз не?

6. Туындының геометриялық мағынасы қандай?

7. Жанаманың теңдеуін қалай түсіндіреді?

8. Туындының физикалық мағынасын қалай түсіндіреді?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Функция туындысы – математикадығы ең маңызды ұғымдардың бірі. Функцияның туындысын табуды дифференциалдау деп атайды.

Күрделі функцияның туындысы

болса, онда   функциясын х-тен тәуелді күрделі функция дейді. Күрделі функцияның туындысы оның аралық аргументінің туындысына осы аргументтің  тәуелсіз айнымалы бойынша алынған  туындысын көбейткенгі тең (1)

Логарифмдік дифференциалдау

Көбейткіштерінің саны көп немесе бөлшектің алымы да, бөлімі де бірнеше көбейткіштерден құралса, ондай өрнектерден  туынды табу үшін логарифмдік дифференциалдау әдісін  пайдалану қолайлы.

Бұл әдіс бойынша берілген өрнектің екі жағынан бірдей натуралды логарифм аламыз, содан шыққан өрнекті дифференциалдап у^/ туындысын табамыз.

Айқындылмаған функцияны дифференциалдау

Егер  -тен тәуелді   теңдеуі арқылы берілген айқындалмаған функция болса, онда у-ті х-тен тәуелді функция деп есептеп  х айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз да, одан шыққан теңдеуді іздеп отырған  туынды бойынша шешеміз.

Мысалдар:

50

YII. Сабақты қорытындылау.

1. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

1. х1-х айырымын аргументтің х нүктесіндегі өсімшесі дегеніміз не?

2. Туынды дегеніміз не?

3. Дифференциал дегеніміз не?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) ІІ тарау, §11, 80 бет. Тест құрастыру

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

1. «Мозайка» әдісін қолданып, білімгерлерді төрт топқа бөліп аламыз, сосын өткен тақырыптар бойынша топтар өзара сұрақ-жауап алысады. Тақтада көрсетілген үй тапсырмасының жауаптары бойынша, 1,2-ші топтар 3,4-ші топтарының үй тапсырмасын тексереді. Ал керісінше 3,4-ші топтар 1,2-ші топтардың тапсырмаларындағы қателіктерді тексереді.

2. Бақылау сұрақтарын қою:

1. х1-х айырымын аргументтің х нүктесіндегі өсімшесі дегеніміз не?

2. Туынды дегеніміз не?

3. Дифференциал дегеніміз не?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Көрсеткіштік функция дегеніміз мынандай функция:

y = a^x, мұндағы a нөлден үлкен оң сан (a > 0).

Осы a саны көрсеткіштік функцияның негізі деп аталады.

Мысалы y = 2^x функциясы көрсеткіштік функция болады.

Көрсеткіштік функцияның қасиеттері:

(a^u)^v = a^uv a^u a^v = a^u+v

(a/b)^x = a^x/b^x a^u/a^v = a^u-v

Көрсеткіштік функция графигі

Көрсеткіштік функция графигі a параментріне байланысты мынандай болады:

50

YII. Сабақты қорытындылау.

Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру.

Рефлекcия:

1. Сабақта алдыңа қандай мақсат қойдың?

2. Мақсатыңа жеттің бе?

4. 3. Сабақтағы тобыңның жұмысын қалай бағалайсың?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-8) ІІІ тарау, §1, 54 бет. (Қ-7), №21,24 шығарып келу

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

«Шапшаңдық гимнастикасы». Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Тұрақты санның туындысы неге тең?

2. Дәреженің туындысы неге тең?

3. Бөлшектің туындысын қалай табамыз?

4. Туынды дегеніміз не?

5. Дифференциал дегеніміз не?

6. Туындының геометриялық мағынасы қандай?

7. Жанаманың теңдеуін қалай түсіндіреді?

8. Туындының физикалық мағынасын қалай түсіндіреді?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Күрделі функцияның туындысы

болса, онда   функциясын х-тен тәуелді күрделі функция дейді. Күрделі функцияның туындысы оның аралық аргументінің туындысына осы аргументтің  тәуелсіз айнымалы бойынша алынған  туындысын көбейткенгі тең (1)

немесе (2)

Логарифмдік дифференциалдау

Көбейткіштерінің саны көп немесе бөлшектің алымы да, бөлімі де бірнеше көбейткіштерден құралса, ондай өрнектерден  туынды табу үшін логарифмдік дифференциалдау әдісін  пайдалану қолайлы.

Бұл әдіс бойынша берілген өрнектің екі жағынан бірдей натуралды логарифм аламыз, содан шыққан өрнекті дифференциалдап у^/ туындысын табамыз.

Айқындылмаған функцияны дифференциалдау

Егер  -тен тәуелді   теңдеуі арқылы берілген айқындалмаған функция болса, онда у-ті х-тен тәуелді функция деп есептеп  х айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз да, одан шыққан теңдеуді іздеп отырған  туынды бойынша шешеміз.

Мысалдар:

50

YII. Сабақты қорытындылау.

5. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

1. Күрделі функцияның тундысы?

2. Күрделі функцияның тундысын табудың қандай ережелері бар?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §16 118бет, №215,218 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Күрделі функцияның тундысы?

2. Күрделі функцияның тундысын табудың қандай ережелері бар? Дәреженің туындысы неге тең?

3. Бөлшектің туындысын қалай табамыз?

4. Туынды дегеніміз не?

5. Дифференциал дегеніміз не?

6. Туындының геометриялық мағынасы қандай?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Кері функцияның дифференциалдануы:

Егер   функциясының   нүктесінде нөльге тең емес   туындысы бар болса, онда сол  -ке сәйкес   нүктесінде щған кері  функциясының туындысы бар болады және .

Мысалы:  . Осы функцияға кері функция:  және  . Олай болса,  .

Дәрежелік функцияның туындысы:  .

Тригонометриялық функциялардың туындысы:

; ; ;

Кері тригонометриялық функциялардың туындысы:

,

   ,

Оқулықпен жұмыс.

Оқушыларды үш топқа бөлемін.

Ι топ. №190

а) f(x)=3ctgx-4x³ б) f(x)=4-1/4 tgx

ә) f(x)=sіn2x+tgx в) f(x)=х² ctgx

ΙΙ топ №192

f´(х)=0

а) f(x)=-sіnx-1

ә) f(x)= соs4х+1

ΙΙΙ топ №195

а) f(x)= соsх (соsх-1) б) f(x)= sіnx(ctgx-1)

ә) f(x)=tgx (соsх+2) в) f(x)= (4х-1)• sіnx

Функциялардың туындысын табыңдар

1) f(x)= cosx+sin3x 6) f(x)=12 x-5cosx

2) f(x)= 5ctgx-9×3 7) f(x)=2cosx+1

3) f(x)= 10tgx-5×3 8) f(x)=2сtgx-3

4) f(x)=3x³+x² 9) f(x)=5sinx-5x

5) f(x)=3sinx-5x³ 10) f(x)=13x³-2,5x²+6x

50

YII. Сабақты қорытындылау.

3. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

1. y=ctgx туындысы неге тең?

2. y=cos3x туындысы неге тең?

3. Күрделі функция туындысы неге тең?

4. y=x³+sіnx функциясының туындысы неге тең?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §8 54бет, №89,92 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

2. «Мозайка» әдісін қолданып, білімгерлерді төрт топқа бөліп аламыз, сосын өткен тақырыптар бойынша топтар өзара сұрақ-жауап алысады. Тақтада көрсетілген үй тапсырмасының жауаптары бойынша, 1,2-ші топтар 3,4-ші топтарының үй тапсырмасын тексереді. Ал керісінше 3,4-ші топтар 1,2-ші топтардың тапсырмаларындағы қателіктерді тексереді.

3. Қайталау сұрақтары:

1. y=ctgx туындысы неге тең?

2. y=cos3x туындысы неге тең?

3. Күрделі функция туындысы неге тең?

4. y=x³+sіnx функциясының туындысы неге тең?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Дәрежелік функцияның туындысы

Дәрежелік функция дегеніміз y=xⁿ функциясы, мұндағы n тұрақты сан. Осы функцияның туындысы мына формуламен есептелінеді:

(xⁿ)' = nx^n-1

Дәрежелік функцияның туындысы жоғарыдағы формуламен жеңіл есептеліне алады. Мысалы y=x² функциясының туындысын есептейік.

y = x² y' = (x²)' y' = 2x^2-1 y = 2x¹ y = 2x

Логарифмдік функцияның туындысы мына формуларымен есептейді. Күрделі функцияның туындысы

Логарифмдік функцияның туындысын табу алдында кейбір өрнектерді логарифмнің   және   қасиеттері бойынша түрлендіріп алған жөн.

Натурал логарифмдік функцияның туындысы мына формуларымен есептейді.

50

YII. Сабақты қорытындылау.

Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру.

Рефлекcия:

1. Сабақта алдыңа қандай мақсат қойдың?

2. Мақсатыңа жеттің бе?

4. 3. Сабақтағы тобыңның жұмысын қалай бағалайсың?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §14 105бет, №177, (Қ-7) §3.2 №36-40 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

5. «Шапшаңдық гимнастикасы». Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Күрделі функцияның тундысы?

2. Күрделі функцияның тундысын табудың қандай ережелері бар? Дәреженің туындысы неге тең?

3. Бөлшектің туындысын қалай табамыз?

4. Туынды дегеніміз не?

5. Дифференциал дегеніміз не?

6. Туындының геометриялық мағынасы қандай?

Функциялардың туындысын табыңдар

1) f(x)= cosx+sin3x 6) f(x)=12 x-5cosx

2) f(x)= 5ctgx-9×3 7) f(x)=2cosx+1

3) f(x)= 10tgx-5×3 8) f(x)=2сtgx-3

4) f(x)=3x³+x² 9) f(x)=5sinx-5x

5) f(x)=3sinx-5x³ 10) f(x)=13x³-2,5x²+6x

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

ТУЫНДЫНЫҢ МАҒЫНАСЫ:

1)Физикалық:y=f(x) функциясының х нүктесіндегі f ʹ(x) туындысы х нүктесіндегіөзгеру жылдамдығын анықтайды sʹ(t)=v(t) - қозғалысағы дененің t уақыт мезетіндегі  лездік жылдамдығы;

vʹ(t)=g жылдамдықтан алынған туынды удеуге тең.

2) Геометриялық:y=f(х) функциясының xₒ нүктесіндегі туындысы f ʹ(хₒ) осы функция графигінің (xₒ;f(xₒ)) нүктесі арқылы өтетін жанамасының бұрыштық коэфициентіне тең: f ʹ(хₒ)=tgα=k.

1-мысал. y=x² параболасына (1;1) нүктесінде

жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін табыңыз.

Шешуі: f(x)=x² функциясынан:

f ʹ(x)=2х f ʹ(xₒ)=f ʹ(1)=2·1=2 f ʹ(1)=tgα=2 α=arctg2

ЖАНАМАНЫҢ ТЕҢДЕУІ

y=f(x) функциясы Nₒ(xₒ;yₒ)нүктесіндегі f ʹ(xₒ) берілсін.

Жанаманың теңдеуі түзу болғандықтан y=kx+b сызықтық функция ретінде іздейміз. Мұндағы k=tgα= f ʹ(xₒ), бұдан y= f ʹ(xₒ) x+b.

Nₒ(xₒ;f (xₒ) ) нүктесінің координаталарын қоямыз бұдан f (xₒ)= fʹ(xₒ) xₒ+b

f (xₒ)= f ʹ(xₒ) xₒ+b теңдеуінен b-ны табамыз: b = f (xₒ)- f ʹ(xₒ) xₒ

b = f (xₒ)- f ʹ(xₒ) xₒ теңдеуін y= f ʹ(xₒ) x+b теңдеуіне қоямыз:

y= f ʹ(xₒ) x+ f (xₒ)- f ʹ(xₒ) xₒ. Соңғы теңдеуді ықшамдау арқылы: y= f (xₒ)+ f ʹ(xₒ) - (x - xₒ) аламыз. Бұл жанаманың теңдеуі.

ЖАНАМАНЫҢ ТЕҢДЕУІН ЖАЗУ АЛГОРИТМІ

xₒ -ге сәйкес f (xₒ)-ді есептеу.

f (x) функциясының туындысын табу.

xₒ-дегі туындының мәні f ʹ(xₒ)-ді есептеу.

y= f (xₒ)+ f ʹ(xₒ) ·(x - xₒ)формуласына қойып жанаманың теңдеуін алу.

1-мысал: f (x)=x²-5x+6функциясының xₒ=1 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазыңыз.

f (xₒ) =f(1)=1²-5·1+6=2.

f ʹ(x)=2x-5.

f ʹ(xₒ)= f ʹ(1)=2·1-5=-3

y= f (xₒ)+ f ʹ(xₒ) ·(x - xₒ) =2-3(x-1)=2-3x+3=5-3x.

Бұдан жанаманың теңдеуі: y=5-3x

50

YII. Сабақты қорытындылау.

5. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

Карточкалық тапсырма

f (x)=x²-5x+6 функциясының xₒ=4 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазыңыз.

f (x)=12-3x+2x² функциясының xₒ=2,5 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жаз.

f(x)=x²-3x+5 M(0;5) нүктесі арқылы өтетін жанамасының бұрыштық коэффициентін табыңыз.

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §15 111бет, №194,195 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

Өткен тақырып бойынша есеп беру арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. f (x)=x²-5x+6 функциясының xₒ=4 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазыңыз.

2. f (x)=12-3x+2x² функциясының xₒ=2,5 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жаз.

3. f(x)=x²-3x+5 M(0;5) нүктесі арқылы өтетін жанамасының бұрыштық коэффициентін табыңыз.

4. f(x)=x²-5x+6функциясының xₒ=2 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазыңыз.

5. y=x² параболасына (1;1) нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін табыңыз.

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Екінші ретті туынды және оның физикалық мағынасы.

функциясы анықталу облысында дифференциалданатын болсын.   функциясының бірінші ретті туындысы   болады. Көп жағдайда   туындысынан   бойынша туынды табуға болады. Онда бірінші ретті туындыдан алынған туынды  функциясының екінші ретті туындысы болады.

Мысалы: 

Физикалық мағынасы: Материалдық нүкте   заңдылығы бойынша қозғалсын. Сонда   уақыт мезетіндегі жылдамдық   формуласымен анықталады.   жылдамдығы   уақытынан тәуелді функция. Онда  туындысы бар болса, онда ол материалдық нүктенің жылдамдығының өзгеру шапшаңдығын береді. Физикадан белгілі болғандай жылдамдықтың өзгеру шапшаңдығын анықтайтын жылдамдық үдеу деп аталып   деп белгіленеді.

Сонымен, түзу сызық бойымен қозғалатын материалдық нүктенің   уақыт мезетіндегі үдеуі жылдамдықтың бірінші ретті туындысына немесе жүрілген жолдың екінші ретті туындысына тең.

50

YII. Сабақты қорытындылау.

6. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

Мысалы:  заңы бойынша қозғалатын дененің   болғандағы жылдамдығы мен үдеуін табыңыз.

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §15 111бет, №194,195 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

1. «Шапшаңдық гимнастикасы». Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Күрделі функцияның тундысы?

2. Күрделі функцияның тундысын табудың қандай ережелері бар? Дәреженің туындысы неге тең?

3. Бөлшектің туындысын қалай табамыз?

4. Туынды дегеніміз не?

5. Дифференциал дегеніміз не?

6. Туындының геометриялық мағынасы қандай?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Туынды арқылы функцияның зерттеу.

Дифференциалдық есептеудің ең маңыздысы – оны функцияның зерттеуіне қолдану, әсіресе бірінші ретті туындыны қолдану.

Функцияның монотондылығы.

 Айталық,   кесіндіде   функциясы анықталсын және кесіндінің ішінде дифференциалданатын болсын, онда

1)   функциясы  -да кемімейтін (өспейтін) функция болу үшін  ,   теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті.

2)   функциясы  -да өспелі (кемімелі) болуы үшін  ,    теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Анықтама.   функциясының туындысын нөльге айналдыратын нүктелерді кризистік нүктелер деп атайды.

Кризистік нүктелерді табу үшін   теңдеуін шешу керек.

Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін:

1. берілген функцияның анықталу облысын табамыз;

2. берілген функцияның кризистік нүктелерін табамыз;

3. кризистік нүктелер функцияның анықталу облысын интервалдарға бөледібұл интервалдардың әрқайсынды туынды тұрақты таңбаларын сақтайды;

4.  болатын интервалда функция қатал өседі, ал 

болатын интервалда қатал кемиді.

Мына функцияның өсу және кемию аралықтарын тап:

y = x³ – 3x² + 1.

Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз.

Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x₁=0, x₂=2. Сондықтан, егер , демек y = x³ – 3x² + 1 функция бұл аралықта кемиді.

Егер , f'(x)>0, демек бұл аралықтарда функция өседі.

№259. Берілген функцияның анықталу облысында өспелі екенін дәлелдеңдер:а) у= ;

Шешуі: 1. D(f)=R 2. f¹ (x)=2,3

3. f¹(x)> 0. 2,3>0, (- ∞, +∞) өспелі

Оқулықтан №258, 261, 262 есептерін щығарамыз.

50

YII. Сабақты қорытындылау.

8. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

1. Кризистік нүктелер қандай нүктелер?

2. Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін қандай алгоритм қолданылады?

3. Функцияның монотондылығы дегеніміз не?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §19 132бет, №260,263 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

2. «Мозайка» әдісін қолданып, білімгерлерді төрт топқа бөліп аламыз, сосын өткен тақырыптар бойынша топтар өзара сұрақ-жауап алысады. Тақтада көрсетілген үй тапсырмасының жауаптары бойынша, 1,2-ші топтар 3,4-ші топтарының үй тапсырмасын тексереді. Ал керісінше 3,4-ші топтар 1,2-ші топтардың тапсырмаларындағы қателіктерді тексереді.

9. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

1. Кризистік нүктелер қандай нүктелер?

2. Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін қандай алгоритм қолданылады?

3. Функцияның монотондылығы дегеніміз не?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Функцияның экстремум нүктелері.

Анықтама. Бір аралықта анықталған және үзіліссіз болатын   функциясы берілсін.   осы аралықта ішкі нүктесі. Егер   нүктесінің   аймағының ішінде жатқан барлық  -тер үшін    теңсіздігі орындалса, онда   функциясының   нүктесінде максимумы (минимумы) бар деп айтады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелер, ал осы нүктедегі функция мәндерін функцияның экстремумы деп атайды.

 сегменттің   мен   нүктелерінде функцияның экстремумы бола алмайды.

Егер   нүктесі   функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктеде функцияның туындысы болады және нөльге тең.

Айталық,   функциясы   нүктесінде үзіліссіз және оның аймағында туындысы болса, онда

1. егер функция  -ден өткенде   өзінің таңбасын плюстен минуске өзгертсе,   - функцияның максимум нүктесі болады;

2. егер функция  -ден өткенде   өзінің таңбасын минустен плюске өзгертсе, 

- функцияның минимум нүктесі болады.

Сонымен, функцияның экстремумын табу үшін:

1. функцияның туындысын табамыз;

2. туындыны нөльге теңстіріп, кризистік нүктелерді табамыз;

3. туындының кризистік нүкте аймағында таңбаларын зерттеп, экстремумын анықтаймыз.

Функцияның экстремумын екінші ретті туындыны пайдаланып іздестіруге болады.

Ол үшін:

1. бірінші ретті туындыны табамыз;

2. кризистік нүктелерін анықтаймыз;

3. егер кризистік нүктелер болса,екінші ретті туындыны табамыз;

4. егер  , онда осы нүктеде минимум анықталады, ал  , онда максимум болады.

Оқулықтан №272, 273 есептерін шыру.

50

YII. Сабақты қорытындылау.

Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру.

Рефлекcия:

1. Сабақта алдыңа қандай мақсат қойдың?

2. Мақсатыңа жеттің бе?

4. 3. Сабақтағы тобыңның жұмысын қалай бағалайсың?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-§20, 136бет 1), №274,275

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1. Кризистік нүктелер қандай нүктелер?

2. Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін қандай алгоритм қолданылады?

3. Функцияның монотондылығы дегеніміз не?

4. Функцияның анықталу аймағын, жұп, тақ, периодтылықты зерттеу?

5. Графиктің координата остерімен қиылысу нүктелерін табу?

6. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу алгоритм қандай?

7. Монотонды (өсу, кему) аралықтарын, экстремумдерді табу?

8. Функцияның асимптоталарын табу?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Кез келген f(x) функциясының туындысының көмегімен зерттеп, оның графигін салу алгоритмі еске түсіреміз: . 
1.Функцияның анықталу облысын табу 
2.Функцияның жұп, тақ және периодтылығын анықтау 
3.Функция графигінің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтау 
4.Таңба тұрақтылығы аралықтарын анықтау

5.Өсу және кему аралықтарын, экстремумдарын табу 
6.Кесте құру

7.Функцияның графигін салу

Функциялардың туындысын табыңдар:

1) f(x)= cosx+sin3x 6) f(x)=12 x-5cosx

2) f(x)= 5ctgx-9×3 7) f(x)=2cosx+1

3) f(x)= 10tgx-5×3 8) f(x)=2сtgx-3

4) f(x)=3x³+x² 9) f(x)=5sinx-5x

5) f(x)=3sinx-5x³ 10) f(x)=13x³-2,5x²+6x

№1 Функцияның анықталу облысын табыңдар: 
У=0.7x+5; у=х² +х-2;

№2 Берілген функцияны зерттеп, графигін салыңдар: 
У=3-2х; у=4х-2,5;

№3Берілген функцияны зерттеп, графигін салыңдар: 
у=-6х² +х+1; у=3х-7х;  у=(х+2)²-3 

50

YII. Сабақты қорытындылау.

5. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру мақсатында төмендегі функцияларды еске түсіру:

1. Екі функцияның қосындысының туындысы

2. Екі функцияның айырмасының туындысы

3. Екі функцияның көбейтіндісін туындысы

4. Екі функцияның бөліндісін туындысы

5. Тұрақты санның туындысы

6. Дәрежелік функцияның туындысы

7. n-ші дәрежелі функцияның туындысы

8. Косинус және синус функцияларының туындысы

9. Тангенс және котангенс функцияларының туындысы

10. Күрделі функцияның туындысы

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §15 111бет, №194,195 шығарып келу

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

3. «Мозайка» әдісін қолданып, білімгерлерді төрт топқа бөліп аламыз, сосын өткен тақырыптар бойынша топтар өзара сұрақ-жауап алысады. Тақтада көрсетілген үй тапсырмасының жауаптары бойынша, 1,2-ші топтар 3,4-ші топтарының үй тапсырмасын тексереді. Ал керісінше 3,4-ші топтар 1,2-ші топтардың тапсырмаларындағы қателіктерді тексереді.

Математикалық диктант формулалар бойынша:

1.   6.

2.   7.

3.  8.

4.   9.

5.   10. Жанаманың теңдеуі.

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Күрделі функция деп y=f(u) : u€U; y€Y u=g(x) x€X

y=f(g(x))функциясы аталады.

y= f(g(x))күрделі функцияның жалпы түрі

u=g(x) күрделі функцияның ішкі бөлігі, ал y=f(u)сыртқы бөлігі деуге болады.

Енді күрделі функцияның ішкі және сыртқы бөлігін ажыратуға бірнеше мысал келтірейік:

y=f(u) u=g(x)

1.u=  3х+5 функцияның ішкі бөлігі; y=  фунцияның сыртқы бөлігі

2.y=sin(3x- ) 3x-  функцияның ішкі бөлігі; y=sinu фунцияның сыртқы бөлігі

3.y=    функцияның ішкі бөлігі; y=u⁵ фунцияның сыртқы бөлігі

Күрделі функцияның туындысытабу ережесі:

Осы формуланы пайдалануға мысал келтірейік:

y=(5+2x³)⁷ 

y⁼  

Жаттығу есептерін шығару

№213 Күрделі функциясын құрайтын функцияларды анықта:

a) y=(x+3)² ; х+3 функцияның ішкі бөлігі; y=u² фунцияның сыртқы бөлігі б)y=cos(x+ ) u=x+  функцияның ішкі бөлігі; cosu фунцияның сыртқы бөлігі

№214 Элементар функциялардан тұратын күрделі функция жазу керек:

а) f(x)=sinx ; g(x)= 5x y=sin 5x немесе y=5sinx

б ) f(x)=tgx ; g(x)= 7x+1 y=7tgx+1 немесе y=tg(7x+1)

№216 Функцияның туындысын тап:

а) y=  

б)  

№217 Функцияның туындысын тап:

а)  

б)  

50

YII. Сабақты қорытындылау.

Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру.

Рефлекcия:

1. Сабақта алдыңа қандай мақсат қойдың?

2. Мақсатыңа жеттің бе?

6. 3. Сабақтағы тобыңның жұмысын қалай бағалайсың?

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

(Н-1) §15 111бет, №194,195 шығарып келу.

5

тобы

күні

Сабақтың кезеңдері

Сабақтың кезеңдерінің мазмұны мен сұрақтары

Уақыт (минут)

I.Ұйымдастыру кезеңі, сәлемдесу, түгелдеу, кабинеттің тазалығын тексеру, студенттердің зейнін сабаққа аудару.

2

II.Сабақтың мақсатын және жұмыс жоспарын хабарлау.

3

III.Студенттердің білімін бақылау. Үй тапсырмасын тексеру.

4. «Шапшаңдық гимнастикасы». Өткен тақырып бойынша бақылау сұрақтарын қою арқылы, жаңа тақырыпқа дайындықтарын анықтау:

1.Күрделі функцияның туындысын қандай

ереже бойынша аламыз?

2.Есеп шығаруда қандай ереже жиі

пайдаланылды?

3. Функцияның монотондылығы дегеніміз не?

4. Функцияның анықталу аймағын, жұп, тақ, периодтылықты зерттеу?

5. Графиктің координата остерімен қиылысу нүктелерін табу?

6. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу алгоритм қандай?

7. Монотонды (өсу, кему) аралықтарын, экстремумдерді табу?

8. Функцияның асимптоталарын табу?

15

IY.Түсіндіре отырып баға қою.

5

Y. Жаңа тақырыпты хабарлау және оның жоспарымен таныстыру.

5

YI.Өткен білімдерге сүйене отырып, оқу әрекетін

дамыту.

Тест алу

1. Функцияның туындысын табыңыз:

f(x) = x⁵ - 2 .

A) 5x⁴ -  . B) 5x⁴ -  .

C) 5x⁴ +  .  D) 5x⁴ -  .  E) 5x⁴ -  .

2. f(х) = 3х² + 10  функциясы берілген.

f(х) табыңыз.

A) 6х -  .  B) 6х -  .

C) 6х +  .  D) 6х -  .  E) 6х +  .

3. f(x) = (x+2)³ +   функциясының туындысын табыңыз.

A) 3(x+2)² +  .  B) x +  .

C) 3(x+2)² +    D) 3(x+2) + 2 .

E) 3x² + 2 .

4. Функцияның туындысын табыңыз:

 у = x⁸ - 3x⁶ + 2x³ - 7.

A) 8x⁷ + 18x⁵ - 6x.  B) 8x⁷ - 18x⁵ + 6x.

C) x⁹ - 3x⁷ + 2x⁴.  D) 8x⁷ - 18x⁵+ 6x².

E)  x⁷ -  x⁵ +  x².

26. y = (x² + 1)⁶ функциясының туындысын табыңыз.

A) (x² + 2х + 1)  B)  .

 C) (x - 1)⁵  D)  .

E) 12х(x² +1)⁵

Жауабы:А;В;С;Д;Е.

50

YII. Сабақты қорытындылау.

7. Формулаларды есте сақтау біліктілігін қалыптастыру. Бақылау сұрақтарын қою арқылы қорытындылау:

5

YIII.Үйге тапсырма беру.

Өткен тақырыптар бойынша «Туынды» тарауын қайталау.

5