КЕҢІСТІКТЕГІ ВЕКТОРЛАР ЖӘНЕ КООРДИНАТАЛАР

Қарағанды облысы, Бухар жырау ауданы, Ғ.Мустафин кенті

Токаревка ЖББОМ

Математика мұғалімдерінің әдістемелік бірлестігі

Оқу – әдістмелік кешен

КЕҢІСТІКТЕГІ ВЕКТОРЛАР ЖӘНЕ КООРДИНАТАЛАР

Ғ.Мұстафин кенті, 2019 жыл.

Құрастырушы: Жумабаев Бекжан Серикбевич

Әдістемелік құрал тереңдетіліп оқытылатын жоғары сынып оқушыларына, және де жоғарғы математика курсын оқитын 1 курс студенттеріне арналған. Бұл әдістемелік құралда кеңістіктегі векторлар қарастырылады, кеңістіктегі түзудің және жазықтықтың теңдеулері енгізіледі.

«Кеңістіктегі векторлар және координаталар» – Құрас. Жумабаев Бекжан Серикбаевич.- Қарағанды облысы, Бухар жырау ауданы, Токаревка ЖББОМ, 2019 ж. – 28 б.

Мазмұны

1. Кеңістіктегі векторлар. Негізгі ұғымдар…..………………………………….…………. 4

2. Коллинеар векторлардың шарттары…………………………………………………..…. 5

3. Кеңістіктегі векторлардың скалярлық көбейтіндісі……………………………….…..... 6

4. Векторлардың перпендикулярлық шарты…………………………………………….…. 9

5. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар.... ……………………………………………. 9

6. Векторлардың векторлық көбейтіндісі…………………………………………...…..…11

7. Компланар векторлар....……………………………………………………………….…12

8. Векторлардың аралас көбейтіндісі. Үш вектордың компланарлық шарты ............… 13

9. Түзудің канондық теңдеуі............………………………………………………….…… 14

10. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.........…………………………………….…... 15

11. Кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеуі....................…………………………….……16

12. Түзудің векторлық теңдеуі.....………………………..…………………………………. 16

13. Кеңістіктегі түзулердің арасындағы бұрыш..…………………………………………..18

14. Кеңістіктегі түзулердің параллельдік және перпендикулярлық шарттары...………...18

15. Жазықтықтың жалпы теңдеуі…………………………………………………………….19

16. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам…………………..19

17. Уравнение плоскости по трём заданным точкам………………………………………20

18. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)……………………………………..21

19. Нүкте және нормаль вектор арқылы өтетін жазықтық теңдеуі. Жазықтықтың векторлық теңдеуі. .........................................………………………………………………………...21

20. Қиылысқан екі жазықтықтан пайда болған түзудің жалпы теңдеуі.............…………..22

21. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты есептеу формуласы..………………...23

22. Жазықтықтар арасындағы бұрыш....……………………………………………………..24

23. Жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттары..………………...24

24. Кеңістіктегі жазықтық пен түзудің өзара орналасуы. Жазықтық пен түзу арасындағы бұрыш...................................................………………………………………….………..25

25. Өздік жұмысты орындауға тапсырмалар.....…………………………………………....26

26. Емтихан форматының тапсырмалары...…………………………………………………29

27. Әдебиеттер тізімі......…………………………………………………………….………. 35

1.КЕҢІСТІКТЕГІ ВЕКТОРЛАР. НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР

Кеңістікте үш координаталық ось өзара тікбұрыш жасап қиылысады. Олардың өлшем бірліктері (масштабтары) бірдей болсын. Олардың ортақ қиылысу нүктесін О - мен белгілеп координаталар басы деп атаймыз. Алынған жүйені кеңістіктегі тік Декарттық координаталар жүйесі деп атаймыз (1 – сызба). Бірінші координаталық осьті х әріпімен белгілейміз. Ох осі немесе абсцисса осі деп атаймыз. Екінші координаталық осьті y әріпімен белгілейміз. Оy осі немесе ордината осі деп атаймыз. Үшінші координаталық осьті z әріпімен белгілейміз. Оz осі немесе аппликата осі деп атаймыз. Координата басынан осьтермен оң бағытта орналасқан ұзындығы бірге тең векторлар бірлік векторлар деп аталады. Яғни, абсцисса осіндегі бірлік вектор, - ордината осіндегі бірлік вектор, - аппликата осіндегі бірлік вектор.

(1-сызба)

, , векторлары вектордың координаталары деп аталады. Олар компаланар емес векторлар. Кез келген векторын вектордың координаталары арқылы жіктеуге болады, яғни келесі теңдікті аламыз: . векторын келесі түрде де жазуға болады:

.

Кеңістіктегі векторларға (координаталарға) қолданылатын амалдар жазықтықтағы векторларға қолданылатын амалдармен сәйкес келеді.

ВЕКТОРДЫҢ ҰЗЫНДЫҒЫ.

Егер , онда бұл вектордың ұзындығы:

Векторлардың скалярлық көбейтіндісі: , мұндағы α - және векторларының арасындағы бұрыш.

Егер және векторларының координаталары берілсе: және онда бұл векторлардың скалярлық көбейтіндісі: .

2. ВЕКТОРЛАРДЫҢ КОЛЛИНЕАРЛЫҚ ШАРТЫ.

Бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан векторлар өзара коллинеарлы деп аталады (рис.2).

1.а сурет 1.б сурет

Егер және векторлары коллинеар болса, онда келесі түрде белгіленеді: . Егер екі коллинеар вектордың бағыттары бірдей болса, онда бұл векторларды бағыттас векторлар деп атап, келесі түрде белгілейді: (1.а сурет), ал коллинеар векторлардың бағыттары әр түрлі болса, онда бұл векторларды қарама-қарсы бағытталған векторлар деп атап, келесі түрде белгілейді: ( 1.б сурет).

Ескерту. Бағыттас және қарама-қарсы бағытталған векторлар тек коллинеар векторлар болады.

және векторлары тең деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

1. Бұл векторлардың модульдері тең;

2. Бағыттас векторлар.

Қысқаша түрде келесі түрде жазылады:

Нөлдік емес екі коллинеар векторлардың қажетті және жеткілікті шарты: және коллинеар болу үшін немесе , мұндағы теңдігінің орындалуы жеткілікті.

Векторлар координаталық түрде берілсе, онда коллинеар векторлардың шартын келесі түрде жазамыз:

, ,

Мысал 1.

және векторлары арқылы өрнектелген және векторлары колинеар бола алады ма?

Шешуі:

1. векторларының координаталарын есептейміз:

2. Векторлардың координаталарының пропорционалдығын тексереміз:

коллинеар емес.

3.КЕҢІСТІКТЕГІ ВЕКТОРЛАРДЫҢ СКАЛЯРЛЫҚ КӨБЕЙТІНДІСІ

Кеңістіктегі векторлардың скалярлық көбейтіндісі, жазықтықтағы векторлардың скалярлық көбейтіндісі арқылы анықталады.

, екі векторлардың скалярлық көбейтіндісі теңдігі арқылы анықталады. және векторларының скалярлық көбейтіндісі арқылы анықталады.

Мысал 2. , , нүктелерінің координаталары берілсін: , , . , векторларының скалярлық көбейтіндісін анықтаңыз. Онда , және

Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі сан екенін білуі қажет. Векторларға амал қолданғанда қай кезде сан, қай кезде вектор болатынын түсіну өте маңызды.

Сұрақ. өрнегінің мағынасы қандай? Мұндағы , және ?

Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің қасиеттері

Кеңістікте векторлардың скалярлық көбейтіндісінің негізгі қасиеттері:

1. .

2. .

3. .

Бұл қасиеттерді координаталар арқылы дәлелдеу оңай. Мысалы, үшінші қасиетті дәлелдейік:

, , векторларының координаталары берілсін. Онда

.

теңдігі орындалды, яғни дәлелденді.

Сұрақ: Екінші қасиетті қалай дәлелдейді?

Векторлардың скалярлық көбейтіндісі бар өрнектерді түрлендіру

Скалярлық көбейтіндінің негізгі қасиеттері арқылы өрнектерді түрлендіруге болады. Мысалы 3. өрнегін дәлелдеңіз.

Дәлелдеуі. айырымын түрінде жазуға болады. Яғни, . Келесі түрде өрнектейміз:

(үшінші қасиет бойынша)

(бірінші қасиет бойынша)

(екінші қасиет бойынша)

(үшінші қасиет бойынша)

(екінші және бірінші қасиет бойынша )

.

Сұрақ. Келесі өрнекті дәлелдеңіз ?

Скалярлық көбейтінді арқылы векторлардың ұзындығын есептеу

Векторлардың скалярлық көбейтіндісі негізгі геометриялық қасиетке ие. Осы пунктте векторлардың өз-өзіне скалярлық көбейтіндісі туралы қасиетті қарастырамыз.

болсын, мұндағы , . Онда векторының координаталары және анықтама бойынша

векторының ұзындығының анықтамасын еске түсірейік, кесіндісінің ұзындығы келесі формула арқылы есептелінеді:

Сондықтан

скалярлық көбейтіндісі – векторының ұзындығының квадратына тең сан.

скалярлық көбейтіндісі қысқаша түрде түрінде жазылады. Мысалы, келесі теңдікті жазуға болады:

Мысал 4. векторының ұзындығын табыңыз, мұндағы , .

Шешуі. . Сонымен, . Сондықтан , онда .

Сұрақ. көбейтіндісі қандай геометриялық мағына береді?

Векторлардың скалярлық көбейтіндінің геометриялық мағынасы

, , кеңістікте бір түзу бойында жатпайтын нүктелер болсын. Онда үшбұрышы ретінде қарастыруға болады және косинустар теоремасы бойынша келесі теңдікті жазуға болады:

Қабырғаларын келесі векторлар арқылы жазуға болады: , және . Онда , , . Сондықтан

Осыдан келесі теңдік орындалады:

, векторлары коллинеар емес векторлар болса, онда және векторларының скалярлық көбейтіндісі осы векторлардың ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең екенін дәлелдедік.

Нөлдік емес екі вектордың скалярлық көбейтіндісі олардың модульдерін осы векторлардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенде шығатын санды айтады.

Мысал 5. , және нүктелері берілсін. Онда , , , , , .

Сұрақ. үшбұрышының ауданын есептеу үшін келесі формуланы қалай дәлелдейміз

4.ВЕКТОРЛАРДЫҢ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫҚ ШАРТЫ.

Кеңістіктегі геометрияны оқығанда векторлардың перпендикулярлық шарты негізгі болып табылады. Екі вектордың перпендикулярық шарты туралы теорема.

Екі нөлдік емес векторлар кеңсітікте перпендикуляр болады, сонда тек сонда егер олардың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең болса.

Дәлелдеуі. , және — және векторларының арасындағы бұрыш болсын. Онда , және

Осында, егер болса, онда болады, егер болса, онда . Сондықтан . Теорема дәлелденді.

Мысал 6.

векторлары перпендикуляр болады ма?

Шешуі:

Екі векторлар перпендикуляр болады, егер олардың скалярлық көбейтіндісі 0-ге тең болуы керек. Скалярлық көбейтінді есептейміз:

векторлар перпендикуляр емес.

5.ЕКІНШІ ЖӘНЕ ҮШІНШІ РЕТТІ АНЫҚТАУЫШТАР.

2×2 екінші ретті анықтауыш деп символымен белгіленіп, теңдігімен анықталатын санды айтамыз.

Мысал 7.

3×3 үшінші ретті анықтауыш деп символымен белгіленіп, теңдігімен анықталатын санды айтамыз.

Мысал 8.

4×4 төртінші ретті анықтауышты элемент бойынша жіктеу арқылы есептеуге болады.

Анықтауыштың қасиеттері:

1. Бірдей нөмірлі жатқы жолдар мен тік жолдардың орындарын алмастырғаннан анықтауыштың мәні өзгермейді;

2. Егер анықтауыштың бір жолы нөлдерден тұратын болса, онда бұл анықтауыш нөлге тең;

3. Анықтауыштың екі жолының орындарын алмастырғанда оның таңбасы қарама-қарсыға өзгереді;

4. Пропорционал жолдары бар анықтауыштың мәні нөлге тең;

5. Бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады;

6. Егер векторлары үшін қандай да және нақты сандары табылып, теңдігі орындалса, онда осы векторлардың координаталарнан құрастырылған анықтауыш нөлге тең.

Тапсырмаларды орындаңыз.

А деңгейі. Есептеңіз

В деңгейі. Көбейткішке жіктеңіз:

С деңгейі. өрнегі k мәніне тәуелсіз екенін көрсетіңіз .

6. ВЕКТОРЛАРДЫҢ ВЕКТОРЛЫҚ КӨБЕЙТІНДІСІ

Анықтама. векторының векторына векторлық көбейтіндісі деп векторына тең болаын үшінші векторды айтамыз,

1) векторлық көбейтіндісі модулінің саны және векторларына салынған параллелограмм ауданына тең;

2) параллелограмм жазықтығына перпендикуляр;

3 ) дан ға қысқа айналу сағат тіліне қарсы бағытта жүргізіледі. , және векторларының орналасауы оң қол ережесі немесе оң бұрғы деп аталады.

× арқылы векторлық көбейтінді белгіленеді .

Егер × = :

1) ,

2) және ,

3) , және оң бұрғы құрады .

Векторлық көбейтіндінің қасиеті:

I.

II. - үлестірімділік заңы

III. Егер болса, онда ; дербес жағдайда

Орт векторлардың векторлық көбейтіндісі:

, ,

Векторлық көбейтіндіні координаталар арқылы жіктеу:

Егер и болса, онда

және векторларына салынған параллелограмм ауданы :

Мысал 9. Есептеңіз:

Мысал 10. есептеңіз, мұндағы A(6,-3,0); B(3,-7,1); C(3,7,-1) және D(4,5,-3).

Мысал 11. PQR үшбұрышының ауданын табыңыз, мұндағы P(4,2,5); Q(3,-1,6) және R(1,4,2)

⇒

7. КОМПЛАНАР ВЕКТОРЛАР

Бір жазықтықта жататын және осы жазықтыққа параллель векторлар компланар векторлар деп аталады.

Осы мағынағы анықтамалар:

Үш вектор компланар деп аталады, егер бір нүктеден жүргізіліп, бір жазықтықта жататын болса.

Кез келген параллель екі векторға жазықтық бар болады, сондықтан кез келген екі вектор компланар.

Егер үш вектордың екеуі коллинеар болса, онда үш вектор компланар.

8. ВЕКТОРЛАРДЫҢ АРАЛАС КӨБЕЙТІНДІСІ

Смешанным произведением векторов , және векторларының аралас көбейтіндісі деп векторлық көбейтіндісіне векторын скалярлық көбейтіндісін айтады және арқылы анықталады.

, , векторларының аралас көбейтіндісінің абсолют шамасы осы векторлары арқылы құрылған параллелепипедтің көлеміне тең.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

1) үш вектордың аралас көбейтіндісі нөлге тең, егер:

– кем дегенде бір көбейткіш вектор нөлге тең;

– көбейткіш екі вектор коллинеар;

– нөлдік емес үш вектор бір жазықтыққа параллель (компланарлық)

2) аралас көбейтінді өзгермейді, егер векторлық және скалярлық көбейтінділердің орнын ауыстырса, яғни . , және векторларының аралас көбейтіндісін түрінде жазуға болады.

3) аралас көбейтінді өзгермейді, егер көбейткіш векторлардың ретін дөңгелек ретпен орынын ауыстыруға болады: ;

4) аралас көбейтіндіде кез келген екі векторды алмастырса, онда таңбасы ауысады: .

Векторлар орттар арқылы қосылғыштармен берілсін. . Онда:

Үш вектордың аралас көбейтіндісінен: - ҮШ ВЕКТОРДЫҢ КОМПЛАНАР БОЛУЫНЫҢ ҚАЖЕТТІ ЖӘНЕ ЖЕТКІЛІКТІ ШАРТЫ шығады, яғни =0;

– - , және векторлары арқылы салынған параллелепипед көлемі, осы векторлар арқылы жасалынған пирамида көлемі келесі формулалар арқылы анықталады:

Мысал 12. , , векторларының аралас көбейтіндісін табыңыз.

Шешуі:

.

Мысал 13. , , векторлары компланар болатынын көрсетіңіз.

Шешуі:

Векторлардың аралас көбейтіндісін табамыз:

. =0, яғни векторлар компланар.

Мысал 14. А(2,2,2), В(4,3,3), С(4,5,4) және D(5,5,6) төбелерінің координаталары берілген. Үшбұрыш пирамидасының көлемін табыңыз.

Шешуі:

А төбесі арқылы жүргізілген пирамиданың бүйір қырларының және ,векторларын табамыз: , , .

Осы векторлардың аралас көбейтіндісін табамыз:

.

Пирамида көлемі және векторлары арқылы салынған параллелепипед көлемінің бөлігіне тең, яғни (куб. бірлік).

9.ТҮЗУДІҢ КАНОНДЫҚ ТЕҢДЕУІ .

Егер кеңістікте түзу бойынан нүктесі және осы түзуге бағыттаушы вектор берілсе, онда осы түзудің канондық теңдеуін келесі формула арқылы өрнектеледі:

.

Бағыттаушы векторлардың координаталары нөлден өзгеше. Егер бір немесе екі координаталары нөлге тең болса, онда не істейміз? Ол туралы кейінірек қарастырамыз.

Мысал 15. нүктесі және бағыттаушы векторы арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазыңыз.

Шешуі: Түзудің канондық теңдеуін келесі формула арқылы жазамыз:

Жауабы: .

Ескерту. Осы мысалдан ескертеміз. Осы теңдеуді түрінде жазуға болмайды.

Түзуде жататын нүктенің координаталарын табу

Осы есепте, берілген түзу бойында жататын кез келген N нүктесін табу керек. Оны қалай анықтауға болады?

теңдеуін аламыз. Кез келген санға теңестіреміз, мысалы 1-ге: . , онда қалған екі бөлшекте 1-ге тең болу керек. Осыдан келесі жүйені аламыз:
Осыдан, аылнған нүктесі берілген түзуде жатады.

Мысал 16.  нүктесі және бағыттаушы векторы арқылы өтетін түзу теңдеуін жазығыз.

; z – 3=0.

Алынған өрнектерді талдайық. z – 3=0  теңдеуі кеңістікте екендігі берілген, яғни берілген жазықтық OXY жазықтығына параллель z=0 теңдеуі берілген. пропорциясынан z = 3 биіктікте Oxy жазықтығында жатпайтын түзу теңдеуін анықтай аламыз.

Егер биіктік нөлге тең болса: z₀ = 0, онда теңдеу түрі келесі түрде болады: , енді түзу Oxy жазықтығында жатады.

Өзіндік жұмысқа мысалдар.

Тапсырма 1. Егер нүкте және бағыттаушы вектор белгілі болса,онда түзудің канондық теңдеуді жазыңыз.

a) ,

б) нүктесі арқылы өтетін және OZ осіне параллель түзу теңдеуін жазыңыз.

Комментарий. Екінші тапсырмада бағыттаушы вектор ретінде Оz осіне координаталық вектор (0,0,1)

В качестве направляющего вектора последней прямой рассмотрите координатный вектор оси Оz, т.е. вектор с координатами (0,0,1).

Жауабы. б) х=3, у=2.

10.ЕКІ НҮКТЕ АРҚЫЛЫ ӨТЕТІН ТҮЗУ ТЕҢДЕУІ.

Егер кеңістікте , екі нүкте берілсін, онда екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі келесі формула арқылы өрнектеледі:

Алдыңғы жағдайдың дербес жағдайы.  векторы түзудің бағыттаушы векторы.

Мысал 17. , нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін жазыңыз.

Шешуі: Түзудің бағыттаушы векторын табамыз:

 нүктесі ( нүктесін де алуға болады) және бағыттаушы векторы арқылы түзу теңдеуін жазамыз:

Бөлшектің бөлімін (-1) ге қысқартып, келесі түрде жазуға болады

.

Жауабы: .

Өзіндік жұмысқа тапсырмалар.

Тапсырма 2. , нүктелері арқылы өтетін тұзу теңдеуін жазыңыз.

11.КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУДІҢ ПАРАМЕТРЛІК ТЕҢДЕУІ

Егер түзу бойындағы нүктесі және осы түзуге бағыттаушы векторы арқылы түзудің параметрлік теңдеуін келесі жүйе арқылы жазылады:

t айнымалысы параметр деп аталады және оның орнына кез келген нақты айнымалыны алуға болады.

12.ТҮЗУДІҢ ВЕКТОРЛЫҚ ТЕҢДЕУІ.

М(х,у,z) берілген түзудегі кез келген нүкте

М₀ және М нүктелері арқылы радиус векторларын саламыз, яғни

- түзудің векторлық теңдеуі.

Мысал 18. Келесі түзулердің параметрлік теңдеуін жазыңыз:

а)

б)

Шешуі: Түзудің теңдеуі канондық түрде берілген. Түзу бойында жататын бір нүкте мен оның бағыттаушы векторын табу керек.

а)   теңдеуінен нүкте мен бағыттаушы векторын жазамыз: , . Кез келген басқа нүктені таңдап алуға болады, ол үшін канондық теңдеудің алымы нөлге ұмтылуы керек.

Берілген түзудің параметрлік теңдеуін жазайық:

Параметрлік теңдеу арқылы түзудің басқа нүктесін табуға болады. Мысалы, параметрін t=5 деп алсақ K нүктесінің координаталарын жазамыз:

Онда: K(-8;21;40).

б) канондық теңдеуін қарастырайық. Осыдан нүктенің координаталарын жазайық: . Бағыттаушы векторды қалай жазамыз? Бағыттаушы вектордың координаталары .

Түзудің параметрлік теңдеуін жазайық:

.

Жаттығу тапсырмалары:

Тапсырма 3. Келесі түзудің теңдеулерінен параметрлік теңдеулерін құрастыр:

а)

б)

Алынған жауаптарды тексереміз.

Алынған жауап менікімен бірдей болмас, ең бастысы бағыттаушы вектор коллинеар болса жеткілікті.

13. КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУЛЕР АРАСЫНДАҒЫ БҰРЫШ

Егер - бірінші түзудің бағыттаушы векторы, ал - екінші вектордың бағыттаушы векторы, онда векторлардың скалярлық көейтіндісі арқылы арасындағы бұрышты табуға болады.

Мысал 19. және түзулердің арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешуі: Түзулер параметрлік түрде берілген. {2; 1; -1} – бірінші түзудің бағыттаушы векторы, {1; -2; 0} екінші түзудің бағыттаушы векторы. Онда түзулер арасындағы бұрыштың косинусы

.

Жауабы. .

14. КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУЛЕРДІҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІК ЖӘНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫҚ ШАРТТАРЫ

Екі түзу параллель болуы үшін түзулердің бағыттаушы векторлары коллинеар болуы қажетті және жеткілікті, яғни координаталары пропорционал болу керек.

Екі түзу перпендикуляр болуы үшін түзулердің бағыттаушы векторлардың скалярлық көбейтіндісі нөлге болуы қажетті және жеткілікті.

15. ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ЖАЛПЫ ТЕҢДЕУІ

Жазықтықтың жалпы теңдеуі түрінде жазылады, A, B, C  нөлге тең емес коэффициенттер.

Ал енді кеңістікте белгілеуді үйренейік. A, B, C, D  сандары нөлге тең емес, жазықтық координата осінде үш осьпен қиылысады. Мысалы,

Жазықтық шексіз болғандықтан, оның бөлігін ғана сала аламыз.

Жазықтық қарапайым теңдеулерін қарастырамыз.

Берілген теңдеулерді қалай түсінеміз?

z=0, бұл x және y-тің кез келген мәнінде нөлге тең. Берілген теңдеу Оху координаталық жазықтығы болады. Жазықтықтың жалпы теңдеуін келесі түрде жазамыз: .

Осыдан:
немесе х=0 – теңдеуі Oyz координаталық жазықтығында;
немесе у=0 – теңдеуі Oxz координаталық жазықтығында.

Жазықтық теңдеуін қалай жазамыз?

Жазықтықтың теңдеуін нүктелер және векторлар арқылы құрастыруға болады.

16. НҮКТЕ ЖӘНЕ ЕКІ КОЛЛИНЕАР ВЕКТОР АРҚЫЛЫ ӨТЕТІН ЖАЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕУІ.

 нүктесін және екі коллинеар емес векторларды қарастырамыз. Нүкте және екі коллинеар вектор арқылы өтетін жазықтық теңдеуін келесі формуламен жазамыз:

Ескерту: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости.

Нүкте және екі коллинеар вектора арқылы жазықтық теңдеуін жаза алмаймыз. Коллинеар емес екі вектор және нүкте арқылы жазықтықтың теңдеуін жаза аламыз.

Мысал 20.  нүктесі және векторлары арқылы өтетін жазықтық теңдеуін жазыңыз.

Шешуі: Нүкте және коллинеар емес екі вектор арқылы өтетін жазықтық теңдеуін жазайық:

Бірінші баған бойынша жіктейміз:

Екінші ретті анықтауышты есептейміз:

Өрнекті ықшамдап, жазықтық теңдеуін жазайық:

Жауабы: .

17. ҮШ НҮКТЕ АРҚЫЛЫ ӨТЕТІН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ТЕҢДЕУІ.

Кез келген үш нүкте жазықтық құрай ала ма? Жоқ. Біріншіден, нүктелер әр түрлі болуы керек. Екіншіден, олар (барлық үш нүкте) бір түзудің бойында жатпау керек.

, , әр түрлі үш нүктелері арқылы өтетін жазықтық теңдеуін келесі формула арқылы анықтайды:

Бұл алдыңғы әдістің, дербес жағдайы екендігін суреттен көрейік:

Егер бір түзу бойында жатпайтын үш нүкте белгілі болса, онда берілген жазықтыққа параллель коллинеар емес екі векторды табуға болады:

Тапсырма 4. , , нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

Шешуі: Үш нүкте арқылы өтетін жазықтық теңдеуінің формуласын қолданамыз:

Жауабы: .

18.ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ НОРМАЛЬ ВЕКТОРЫ

Жазықтықтың нормаль векторы дегеніміз берілген жазықтыққа перпендикуляр векторды айтамыз. Яғни, кез келген жазықтыққа бірнеше нормаль вектор болады. Бірақ есеп шығарғанда бізге біреуі ғана жеткілікті.

Егер жазықтықтың жалпы теңдеуі түрінде болса, онда берілген жазықтықтың нормаль векторын жазуға болады .

19.НҮКТЕ ЖӘНЕ НОРМАЛЬ ВЕКТОРЫ АРҚЫЛЫ ӨТЕТІН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ТЕҢДЕУІ.

 нүктесі және перпендикуляр векторы арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін келесі түрде жазамыз:

Берілген жазықтықтағы кез келген нүктесін қарастырайық. Онда векторы векторына перпендикуляр. перпендикуляр шартынанан келесі теңдік орындалады:

.

М₀ және М нүктелері арқылы радиус векторлары арқылы түрлендірейік: - ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ВЕКТОРЛЫҚ ТЕҢДЕУІ.

Мысал 21. нүктесі және Ох осіне перпендикуляр түзу арқылы өтетін жазықтық теңдеуін жазыңыз.

Ох осіне жазықтық перпендикуляр болса,онда векторы берілген жазықтықтың нормаль векторы болады. нүктесі және нормаль векторы арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазамыз:

,

,
Жауабы: .

20. ЕКІ ЖАЗЫҚТЫҚПЕН ҚИҒАНДА ПАЙДА БОЛҒАН ТҮЗУДІҢ ТЕҢДЕУІ

Егер , жазықтықтары қиылысатын болса, онда түзудің теңдеуі келесі жүйемен анықталады:

Мысал 22. Түзудің канондық теңдеуін жазыңыз:

Шешуі: Түзудің канондық теңдеуін жазу үшін нүкте және бағыттаушы вектор қажет. Ал, бізге екі жазықтықтың теңдеуі берілген.

1) Бірінші берілген түзуде жататын нүктені тауып алуымыз керек. Оны қалай табамыз? у=0 болсын, онда екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз: . Жүйелерді қосу тәсілімен келесі теңдкті аламыз:
Онда М нүктесі берілген түзуде жатады.  

2) Түзудің бағыттаушы векторын қалай табамыз? Оны табудың схемалық түрі келесі түрде болады:

Бағыттаушы вектор жазықтықтың нормаль векторымен ортогональ болады. Егер және болса, онда р векторын векторлық көбейтінді арқылы табамыз: .

Жазықтықтың теңдеулерінен

Нормаль векторларының координаталарын жазайық: , . 

Түзудің бағыттаушы векторын анықтаймыз:

.

3)  нүктесі және бағыттаушы векторы арқылы түзудің канондық теңдеуін жазайық: .

Жауабы:

21. НҮКТЕДЕН ЖАЗЫҚТЫҚҚА ДЕЙІНГІ АРАҚАШЫҚТЫҚТЫ ЕСЕПТЕУ ФОРМУЛАСЫ

Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты есептеу үшін теңдеудің сол жағын есептеу керек, яғни берілген нүктенің координаталарын қойып, алынған мәннің модулін алып, жазықтықтың нормаль векторының ұзындығына бөлу керек.

Мысал 23. М₁(6;4;1) нүктесінен .жазықтығына дейінгі арақашықты табыңыз.

Шешуі. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты есептеу формуласы бойынша келесіні аламыз:

.

22. ЖАЗЫҚТЫҚТАР АРАСЫНДАҒЫ БҰРЫШ

α және β жазықтықтарының жалпы теңдеуі берілсін:

Осы жазықтықтардың қиылысуынан төрт өзара тең екіжақты бұрыштар пайда болады.

Екі жазықтықтар арасындағы бұрыштар кез келген екі сыбайлас екіжақты бұрыш деп аталады. Екіжақты бұрыштың біреуі нормаль векторлардың арасындағы бұрыш. Екінші екіжақты бұрыш қа дейін толықтырады. Яғни екі жазықтық арасындағы бұрыш екі вектор арасындағы бұрыш формуласымен анықталады:

.

23. ЖАЗЫҚТЫҚТАРДЫҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІК ЖӘНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫҚ ШАРТТАРЫ

Берілген жазықтықтар параллель болуы үшін және векторларының коллинеар болуы қажетті және жеткілікті. Коллинеар векторлар дегеніміз олардың координаталары пропорционал болады:

Екі жазықтықтар перпендикуляр болуы үшін векторлары бір-бірімен ортогональ болуы қажетті және жеткілікті. Яғни, скалярлық көбейтіндісі нөлге тең:

= 0

24. КЕҢІСТІКТЕ ТҮЗУ МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ӨЗАРА ОРНАЛАСУЫ.

жазықтығының жалпы теңдеуі, l түзуінің канондық теңдеуі берілсін:

, .

Онда – жазықтығының нормаль векторы, – l түзуінің бағыттаушы векторы және нүктесін жаза аламыз.

1. .

2. и

^{3) .}

4) l түзуі мен плоскостью жазықтығының арасындағы бұрышты келесі формуламен есептейміз:

.

ӨЗДІК ЖҰМЫСТЫ ОРЫНДАУҒА ТАПСЫРМАЛАР

1. және векторлары берілген. және векторлары коллинеар ма? векторын векторы арқылы өрнектеуге бола ма?

2. және векторлары арқылы салынған параллелограмның диагональдарының арасындағы бұрышты табыңыз.

3. Үшбұрыштың төбелері берілген: және .

а) АСВ бұрышын, б) . Табыңыз.

4.  ның қандай мәнінде және векторлары компланар.

5. Пирамиданың төбелері берілген

.

1) АВ қырының ұзындығын; 2) SA және BC қырларының арасындағы бұрыштың косинусын; 3) пирамиданың көлемін; 4) длину высоты, опущенная на грань АВС жағына түскен биіктіктің ұзындығықтарын табыңыз.

6. векторлары арқылы салынған параллелепипедтің көлемін табыңыз.

7. М₁ (2, 1, 3), М₂ (5, 4, 7), М₃ (3, 6, 2) нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

8. М₁ және М₂ нүктелері арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазыңыз:

9. нүктесі арқылы өтетін және параллельно: 1) векторына; 2) п түзуіне 3) түзуіне параллель болатын түзудің параметрлік теңдеуін жазыңыз.

10. , және үшбұрыштың төбелері берілген. С төбесі арқылы өтетін СК медианасының параметрлік теңдеуін жазыңыз.

11. және параллель түзулерінің арақашықтығын табыңыз.

12. относительно прямой түзуіне қатысты нүктесіне симметриялы нүктенің координаталарын жазыңыз.

13. А(2,3,-1) және В(-1,0,1) нүктелері берілген. АВС – теңқабырғалы үшбұрыш болатын С нүктесінің нүктелер жиынын табыңыз.

14. L₁ және L₂ түзулері айқас түзулер болатынын көрсетіңіз, егер L₁: және L₂: .

15. жазықтықтың теңдеуі берілсін. Жазықтықтың нормаль векторын көрсетіңіз.

16. Әр шартқа сәйкес келетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз:

17. Келесі жазықтық теңдеулерінің қайсысы бір-біріне параллель:

а) , ;

b) , ;

c) , .

18. Келесі жазықтық теңдеулерінің қайсысы бір-біріне перпендикуляр:

а) , ;

b) , ;

c) , .

19. Берілген теңдеулер мен декарттық координата бейнеленген сызбалармен сәйкестендіріңіз.

20. нүктесі арқылы өтетін және векторларына параллель болатын жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

21. , және үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

22. және жазықтықтары арқылы өтетін және ОХ осіне параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

23. l және m нің қандай мәнінде , жазықтықтарының теңдеулері параллель болады.

24. l дің қандай мәнінде , жазықтықтарының теңдеулері перпендикуляр болады?

ЕМТИХАН ФОРМАТЫНЫҢ ТАПСЫРМАЛАРЫ

1. r = 2i – j + 8k + λ(i + 2j – 3k) және r = i + 4k + µ(5j + 3k) екі түзудің векторлық теңдеуі берілген

Екі түзуге перпендикуляр болатын векторды табыңыз.

2. r = + және r = + түзулерінің векторлық теңдеуі берілген

Түзулер параметрінің барлық мәнінде қиылысатынын көрсетіңіз.

3. Суретте төбелері A, B және C координаталарымен берілген, ABCD параллелограмм тәрізді гүл гүлзары көрсетілген. Барлық ұзындығы метрмен.

(a) және векторларының векторлық көбейтіндісін табыңыз.

(b) Гүлзардың ауданын табыңыз.

4. Суретте жақтары OAB және CDE үшбұрыштар және OADC және BADE тіктөртбұрышптар болып келген ғимараттың шатыры бейнеленген. OC және BE кесінділері OAB жазықтығына перпендикуляр. Барлық ұзындықтар метрмен. A, B және C төбелері O координата басынан сәйкесінше a, b және c векторларымен көрсетілген.

(a) OAB жағы теңқабырғалы үшбұрыш екенін көрсетіңіз.

(b) AOB бұрышын және OAB үшбұрышының ауданын есептеңіз.

(c) p және q мәндерін табыңыз. OAB жазықтығының теңдеуін жазыңыз.

(d) Шатыр көлемі 16 м³ тан кем болмайтынын көрсетіңіз.

5. l түзуінің теңдеуі , ал P жазықтығының теңдеуі болсын. l және P арасындағы бұрыш .

(а) түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесінің радиус-векторын табыңыз.

Суретте l түзуі ,P жазықтығы бейнеленген. Түзу бойындағы нүктеcі берілген, Q нүктесінің координаталарын табыңыз.

(с) мәнін табыңыз

Әдебиеттер тізімі

1. Шыныбеков А.Н. Алгебра және анализ бастамалары. 10 сынып.

2. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240 с.

3. Виноградов И. М. Аналитическая геометрия.— М.: Наука. Гл. ред, физ.-мат. лит., 1986.- 176 с.