«Комбинаторика есептерін түсіндіру әдістері»

«__» сынып

оқушысы

___________________

___________________

_______________

жұмыс дәптер

Оқушыларға арналған

жұмыс дәптері

Алғы сөз

Құрметті оқырмандар!

Комбинаторика – математиканың маңызды бөлімдерінің бірі, ол есептеу әдістерін, түрлі объектілердің үйлесімдерін және олардың орналасу реттіліктерін зерттеумен айналысады. Бұл сала ғылым мен техниканың әртүрлі салаларында, оның ішінде информатика, экономика, статистика және жасанды интеллект бағыттарында кеңінен қолданылады. Оқыту процесінде комбинаториканы тиімді түсіндіру әдістерін қолдану оқушылардың логикалық ойлауын дамытып, олардың есептерді шешу дағдыларын жетілдіруге көмектеседі.

Бұл бағдарлама комбинаторика есептерін шешу әдістерін жетілдіру және оны мектеп бағдарламасына енгізу мақсатында әзірленді. Ол оқушыларға күрделі математикалық ұғымдарды жеңіл әрі түсінікті түрде меңгеруге көмектесетін оқыту стратегияларын қамтиды. Сонымен қатар, бағдарлама білім алушылардың теориялық білімдерін тәжірибеде қолдану дағдыларын қалыптастыруға бағытталған.

Ізгі ниетпен,

Бағдарлама авторы Іске сәт!

«Комбинаторика есептерін түсіндіру әдістері»

№	Сабақ тақырыбы	Оқу мақсаты
1	Комбинаторикаға кіріспе	Комбинаторика ұғымымен танысу
2	Факториал және оның қасиеттері	Факториал анықтамасы, қолданылуы
3	Классикалық санау әдістері	Қосу және көбейту принциптерін түсіну
4	Перестановкалар (Реттік орналастырулар)	Перестановка ұғымын меңгеру
5	Қайталаусыз және қайталанатын перестановкалар	Перестановка түрлерін ажырату
6	Ауыстырулар және олардың қасиеттері	Ауыстырулар негізін түсіну
7	Комбинациялар (Таңдаулар)	Комбинация ұғымымен танысу
8	Қайталаусыз және қайталанатын комбинациялар	Комбинациялардың екі түрін ажырату
9	Орналастырулар	Орналастырулар формуласын меңгеру
10	Қайталаусыз және қайталанатын орналастырулар	Орналастыруларды айыру
11	Биномдық коэффициенттер	Бином теоремасы және оның қолданылуы
12	Паскаль үшбұрышы және оның қасиеттері	Паскаль үшбұрышының комбинаторикадағы рөлі
13	Комбинаториканың өмірдегі қолданысы	Шынайы мысалдармен танысу
14	Комбинаторикалық есептерге шолу	Бұрынғы тақырыптарды қайталау
15	Полиномиалды теорема	Полиномиалды коэффициенттерді зерттеу
16	Инварианттар және паритет әдістері	Комбинаторикалық дәлелдеулер әдістері
17	Қосынды әдісі	Комбинаторикадағы қосынды әдісін пайдалану
18	Индукция әдісі	Комбинаторикалық есептерді индукциямен шешу
19	Тұйық формула және рекурренттік қатынастар	Рекурренттік формулаларды қолдану
20	Дирахле принципі	Минималды элементтерді санау әдісі
21	Инварианттар әдісі	Өзгермейтін шамалармен жұмыс жасау
22	Графтар және олардың комбинаторикадағы рөлі	Графтармен байланысты комбинаторикалық есептер
23	Планарлық графтар	Планарлық графтардың қасиеттерін зерттеу
24	Комбинаторикалық оптимизация	Оптималды шешім табу
25	Кодтау теориясындағы комбинаторика	Кодтау теориясы және комбинаторика байланысы
26	Логикалық есептер	Логикалық комбинаторикалық есептер
27	Жиындар және олардың комбинаторикадағы орны	Жиындармен байланысты есептер
28	Диофант теңдеулері	Комбинаторикалық тәсілмен шешу
29	Сандық комбинаторика	Сандарға байланысты комбинаторика
30	Комбинаториканың олимпиадалық есептері	Жоғары деңгейлі есептер
31	Ықтималдық теориясымен байланысы	Ықтималдықпен комбинаториканың байланысын анықтау
32	Қосымша тақырыптар	Қажет болған жағдайда қосымша материалдар
33	Қайталау және қорытынды есептер	Барлық тақырыптарды қайталау
34	Қорытынды тест	Қорытынды бағалау

№1 сабақ.

Комбинаторика – объектілерді санау және орналастыру әдістерін зерттейтін математика бөлімі.

? 1-Тапсырма: Қосу және көбейту принципі

1️ Бір кітап дүкенінде 6 түрлі қазақ тілі оқулығы және 4 түрлі ағылшын тілі оқулығы бар. Қанша түрлі оқулық таңдап алуға болады? ?

2️ Бір мектеп формасын 3 түрлі көйлекпен және 2 түрлі шалбармен киюге болады. Барлығы қанша түрлі комбинация бар? ??

? 2-Бөлім: Перестановкалар (орналастырулар)

✅ Перестановка – nnn элементтің барлығын орындарын ауыстырып орналастыру.
? Формула:

P(n)=n!

(мұндағы n!=n×(n−1)×(n−2)×...× 1)

? 2-Тапсырма: Перестановка

3️ 4 түрлі түсті шар бар: ????. Осы шарларды қанша түрлі ретпен орналастыруға болады?
4️ 5 оқушы кезекке тұру керек. Қанша түрлі тәсілмен оларды орналастыруға болады? ?‍??‍?

? 3-Бөлім: Комбинациялар (іріктеулер)

✅ Комбинация – nnn элементтің ішінен kkk элементті таңдаудың ретін есепке алмайтын тәсілдерінің саны.
? Формула:

C(n,k)=n! / k!(n−k)!

? 3-Тапсырма: Комбинация

5️ Бір топта 10 оқушы бар. Олимпиадаға 3 оқушыны таңдап алу керек. Қанша түрлі тәсілмен таңдауға болады?
6️ Қорапта 7 түрлі шоколад бар. Оның 3-ін ғана таңдап алуға болады. Қанша түрлі комбинация бар? ??

? 4-Бөлім: Орналастырулар (размещения)

✅ Орналастыру (размещение) – nnn элементтің ішінен kkk элементті таңдап, оларды ретімен орналастыру тәсілдерінің саны.
? Формула:

A(n,k)=n!/(n−k)!

? 4-Тапсырма: Орналастыру

7️ 6 оқушы арасынан 2-уін сынып президенті және көмекшісі ретінде тағайындау керек. Қанша тәсіл бар?
8️ 8 әріптен тұратын сөзден 3 әріп алып, ретін сақтай отырып орналастыру керек. Қанша тәсілмен жасауға болады?

? Қорытынды тапсырма (Челлендж!)

? Қорапта 5 қызыл, 4 көк және 3 жасыл шар бар. Осы шарлардан 2 қызыл, 1 көк және 1 жасыл шарды таңдап алу үшін қанша түрлі тәсіл бар?

№2 сабақ.

✨ 1. Жай есептер (базалық түсінік)

? Есеп: Берілген факториалдарды есептеңіз:
⭐ 1! = ?
⭐ 3! = ?
⭐ 5! = ?

? 2. Орташа деңгей (қасиеттерді қолдану)

? Есеп: Төмендегі өрнектерді ықшамдап, жауабын табыңыз:
? 7! / 5! = ?
? 10! / (8! * 2!) = ?
? (6! - 5!) / 4! = ?

? 3. Қиынырақ тапсырмалар (логикалық есептер)

? Есеп:
? n! саны n-ге бөлінеді ме? Дәлелдеңіз.
? 100! соңында қанша 0 бар?
? Факториалдың асимптотикалық жуықтау формуласын қолданып, 10! мәнін жуықтап есептеңіз.

? 4. Шығармашылық тапсырма

? Есеп: Факториал қолданылатын өмірлік жағдайларды сипаттаңыз. Мысалы, пермутация және комбинация ұғымдарын пайдалана отырып, факториал қай салада кездеседі?

№3 сабақ.

✅ Жеңіл деңгей

1. 5 түрлі жемісті бір қатарға қалай орналастыруға болады?

2. 4 түрлі футболканы неше түрлі комбинациямен киюге болады?

✅ Орта деңгей
3. 6 адамнан тұратын топтан 3 адамды қалай таңдап алуға болады?
4. 10 сұрақтан тұратын тестте 3 дұрыс жауап болу ықтималдығы қандай?

✅ Күрделі деңгей
5. 8 адамның ішінде 2 адам үнемі бірге болуы керек деген шартпен, неше түрлі орын ауыстыру тәсілін табуға болады?
6. 52 картаның ішінен 4 картаны кездейсоқ таңдап алу ықтималдығы қандай?

№4 сабақ.

? Тапсырма 1
6 әріптен тұратын "СМАРТ" сөзінің әріптерін ретті орналастыру арқылы қанша әртүрлі сөз құрастыруға болады?
✅ Формула: Pn=n!

? Жауабыңызды тексеріңіз:

• ? Егер есепті дұрыс шығарсаңыз

• ? Егер күмәніңіз болса, қайта тексеріңіз

• ? Егер дұрыс шықпаса, қатеңізді табыңыз

? Тапсырма 2
7 адам дөңгелек үстелге отыруы керек. Оларды қанша түрлі әдіспен отырғызуға болады?
✅ Дөңгелек перестановка формуласы: Pn=(n−1)!

✍ Жауапты жазыңыз:
? Жауап: _______

✅ Жауапты дұрыс деп ойласаңыз, ✅ белгісін қойыңыз.
❗ Қате болса, қатеңізді тексеріңіз.

? Тапсырма 3
Қойылған 4 кітапты сөреде әртүрлі ретпен орналастырудың қанша мүмкін жолы бар?

✍ Жауап: _______

Смайлик таңдаңыз:

• ? Егер есепті оңай тапсаңыз

• ? Егер есеп қиын болса

• ? Егер қайта қарау керек болса

?‍♂️ 3. Шығармашылық тапсырма

Төмендегі белгілерді пайдаланып, перестановка формуласын түсіндіретін қысқа инфографика немесе сызба жасаңыз.
? ➡️ ? ➡️ ✅

? Жасап болған соң, өз жауабыңызды сыныптасыңызбен салыстырыңыз!

№5 сабақ.

1. Қайталаусыз перестановкалар

Егер барлық элементтер әртүрлі болса, олардың реттіліктерін (реттік орналасуын) анықтаудың формуласы:

Pn=n!

мұндағы n! (n факториал) — 1-ден n-ге дейінгі сандардың көбейтіндісі:

n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1

Мысал 1:

Мысалы, 4 түрлі түсті шарлар бар (?, ?, ?, ?). Оларды қанша түрлі тәсілмен орналастыруға болады?

P4=4!=4×3×2×1=24

Яғни, 4 түрлі түсті шарларды 24 түрлі реттілікпен орналастыруға болады.

2. Қайталанатын перестановкалар

Егер кейбір элементтер бірдей болса, онда формула басқаша болады:

Pn^{(k1,k2,...,km)}=n! / k1!×k2!×...×k_m!

мұнда:

• n – барлық элементтердің саны,

• k1,k2,...,k_m– бірдей элементтердің қайталану саны.

Мысал 2:

3 қызыл (???) және 2 көк (??) шарлар берілсін. Оларды қанша түрлі реттілікпен орналастыруға болады?

P₅^(3,2)=5! / 3!×2! =120/6×2= 120/12=10

Яғни, бұл 5 шарды 10 түрлі реттілікпен орналастыруға болады.

? Өзіндік тапсырмалар

I. Қайталаусыз перестановкалар

1️ 5 түрлі смайликті (?????) қанша түрлі реттілікпен орналастыруға болады?
2️ 6 әртүрлі түсті кубиктерді бір қатарға қоюдың неше жолы бар?
3️ 7 түрлі әріпті (A, B, C, D, E, F, G) қанша тәсілмен реттеуге болады?

II. Қайталанатын перестановкалар

4️ 3 ? және 2 ? смайликтері бар. Оларды қанша түрлі реттілікпен орналастыруға болады?
5️ 4 ? және 3 ? бар. Оларды қанша түрлі тәсілмен орналастыруға болады?
6️ "МИМИНО" сөзіндегі әріптерді қанша түрлі реттілікпен орналастыруға болады?
7️ "МЕКТЕП" сөзіндегі әріптерді қанша түрлі реттілікпен жазуға болады?

№6 сабақ.

✅ Есеп 1:
5 адам бір қатарға тұру керек. Олар қанша түрлі тәсілмен тізіле алады?

✅ Есеп 2:
8 әріптен тұратын сөздің әріптерін орындарын ауыстырып, қанша түрлі сөз (мағынасыз болуы мүмкін) құрастыруға болады?

✅ Есеп 3:
Мектептің 4 түрлі жалаушасын ретімен қалай орналастыруға болады?

✅ Есеп 5:
6 спортшы жүгіру жарысына қатысады. Олар мәреге бірінші, екінші және үшінші орындарды алуы мүмкін. Жарыс нәтижелері қанша түрлі тәсілмен болуы мүмкін?

✅ Есеп 6:
5 әріптен тұратын сөздің барлық әріптері әр түрлі. Осы әріптерді әр түрлі реттілікпен орналастыру арқылы қанша сөз жасауға болады?

✅ Есеп 7:
Мектеп кітапханасында 7 түрлі кітап бар. Оларды сөреде әр түрлі ретпен орналастырудың қанша тәсілі бар?

✅ Есеп 8:
Мектептің 10 оқушысынан 3 адамды мектеп кеңесіне таңдап алу керек. Бірақ олардың орындары маңызды. Бұл таңдауды қанша тәсілмен жасауға болады?

№7 сабақ.

1. Теориялық сұрақтар

✅ 1.1. Комбинация дегеніміз не? Оны орналастырудан және алмастырудан қалай ажыратамыз?
✅ 1.2. Комбинацияның формуласын жазып, оның шығу тегін түсіндіріңіз.
✅ 1.3. Өмірде комбинацияны қай салаларда қолдануға болатынын нақты мысалдармен келтіріңіз.

2. Оңай деңгей

? 2.1. 10 адамның ішінен 3 адамды таңдау тәсілдерінің санын табыңыз.
? 2.2. 5 түрлі жемістің ішінен 2 түрлісін таңдаудың қанша әдісі бар?
? 2.3. Әріптерден сөз құрау: "А", "Б", "В", "Г" әріптерінен 2 әріптен тұратын комбинациялар саны қанша?

3. Орташа деңгей

? 3.1. Турнирде 8 ойыншы арасынан 3 жеңімпазды кездейсоқ таңдау тәсілдерінің саны қанша?
? 3.2. Мектепте 6 оқушы кітапханаға көмек көрсету үшін 4 оқушыны таңдауы керек. Қанша түрлі комбинация жасауға болады?
? 3.3. 52 картаның ішінен 5 картаны таңдаудың қанша түрлі тәсілі бар?

4. Қиын деңгей

? 4.1. Қаланың 12 тұрғыны арасынан 5 адамнан тұратын комиссия құрудың қанша түрлі тәсілі бар?
? 4.2. Лотерея билеттерінің 15 ішінен 6-ын кездейсоқ таңдау тәсілдерінің саны қанша?
? 4.3. 10 достың ішінен 4 адамды белгілі бір тапсырма орындау үшін кездейсоқ таңдаудың қанша жолы бар?

? Өзін-өзі тексеру

✅ Комбинация формуласын қолдану арқылы есептеріңізді тексеріңіз:

C(n,k)=n! / k!(n−k)!

✅ Жауаптарыңызды достарыңызбен салыстырыңыз немесе онлайн калькулятор көмегімен тексеріңіз.

? Қосымша:

• ? Теорияны түсіну үшін YouTube видеоларды қараңыз.

• ? Графикалық көрнекіліктер арқылы формуланы жақсырақ меңгеруге тырысыңыз.

• ? Әртүрлі сценарийлерді елестетіп, комбинацияларды өмірде қолдануды ойланыңыз.

№8 сабақ.

? I. Қайталаусыз комбинациялар
✅ 1. Қалауыңызша 5 әріптен тұратын сөз құрастырыңыз. Осы сөздің әріптерін әртүрлі ретпен орналастыру арқылы қанша жаңа сөз жасауға болады?
✅ 2. 8 оқушыдан тұратын сыныпта 3 оқушыны қалай таңдауға болады?
✅ 3. 10 түрлі кітаптан 4 кітапты кез-келген ретпен сөреге орналастыру жолдарының саны қанша?

? II. Қайталанатын комбинациялар
✅ 4. Математика олимпиадасында 3 оқушыға 5 медаль беріледі. Әр оқушы кез келген сан медаль ала алады. Барлығы неше тәсілмен медальдар бөлінеді?
✅ 5. Қорапта 6 түрлі шоколад бар. Егер сіз 4 шоколад алғыңыз келсе, бірақ бір шоколад түрін бірнеше рет алуға рұқсат етілсе, қанша нұсқа болады?
✅ 6. Әріптері қайталанатын «АССАСИ» сөзіндегі әріптерді қайта орналастырудың неше мүмкін нұсқасы бар?

? Қосымша қиын тапсырмалар

? 7. Мектептің 12 оқушысынан 5 оқушыны таңдап, олардың орындарын анықтау керек. Барлығы неше әдіспен жасауға болады?
? 8. 9 адамнан тұратын топтан 4 адамнан тұратын комиссияны құру жолдарының санын табыңыз.
? 9. Егер сізге 7 түрлі жемістен 3 жемісті таңдауға рұқсат етілсе, бірақ әрбір жемісті бірнеше рет таңдауға рұқсат етілсе, қанша түрлі комбинация жасауға болады?

№9 сабақ.

? 3. Логикалық тапсырма

✅ Тапсырма: Егер 6 әріптен тұратын "ОРНАЛА" сөзінің әріптерін орындарын ауыстырып жазса, неше түрлі сөз құралады?
✅ Формула:

A₆⁶=6!=6×5×4×3×2×1=720

? Жауабы: 720 түрлі сөз жасауға болады.

? 5. Қосымша тапсырма (үй жұмысы ретінде)

✅ Жаттығу: Өз тобыңызда 6 адам бар. 4 адамнан құралған топты әртүрлі ретпен орналастыруға болатын әдістер санын есептеңіз.

✍️ Жауабыңызды дәптерге жазып, дұрыс есептелгенін тексеріңіз!

№10 сабақ.

✏️ 1-тапсырма: Қайталаусыз орналастырулар

⚡ Есеп:
7 түрлі кітаптың ішінен 3 кітапты сөреге орналастырудың неше әдісі бар?

? Шешуі: Формуланы қолдан!

✏️ 2-тапсырма: Қайталанатын орналастырулар

⚡ Есеп:
4 түрлі түсті 5 жалаушаны тізбек түрінде орналастырудың неше әдісі бар?

? Шешуі: Қайталанатын орналастыру формуласы қолданылады:

✏️ 3-тапсырма: Қолдану

? Есеп: 10 оқушы арасынан 4 оқушыны орындықтарға отырғызу жолдары қанша?

✏️ 4-тапсырма: Логикалық ойлау

? Сұрақ: Егер 5 әріптен тұратын пароль жасау керек болса, ал алфавитте 26 әріп бар деп есептесек, қайталану бар және қайталанбайтын жағдайдағы барлық мүмкін комбинация санын есепте.

? 3-БӨЛІМ: Қызықты практика

? Берілген белгілердің көмегімен комбинациялар құрастыр:
? ? ? ? ?

? Мысал: Егер 3 түсті таңдау керек болса, барлық мүмкін тізбектерді жаз.

№11сабақ.

? 3. Қосымша шығармашылық тапсырма

? Тапсырма:
Берілген Паскаль үшбұрышын пайдаланып, C(6,2)C(6,2)C(6,2) мәнін анықтаңыз.

? Паскаль үшбұрышы (алғашқы 5 жолы):

? Жауабыңыз: _______

№12 сабақ.

? 1-Бөлім: Паскаль үшбұрышын құру

✅ Паскаль үшбұрышының құрылу ережесі:
1️ Үшбұрыштың бірінші және соңғы элементтері – 1 болады.
2️ Әрбір келесі қатардың ішкі элементтері жоғарыдағы екі сандардың қосындысынан тұрады.

? Алғашқы 6 қатары

? 1-Тапсырма: Паскаль үшбұрышын құру

1️ Өзіңіз Паскаль үшбұрышын сызып, 7-ші және 8-ші қатарды толықтырыңыз. ?

? 2-Бөлім: Паскаль үшбұрышының қасиеттері

1. Симметрия қасиеті

✅ Үшбұрыштың кез келген қатарындағы элементтер ортасынан симметриялы орналасады.

? Тапсырма: 8-қатарды жазып, симметриялы элементтерді белгілеңіз.

2. Комбинациялармен байланысы

✅ Әрбір элемент – комбинациялар санын білдіреді:

(мұнда nnn – қатар нөмірі, kkk – элементтің реттік нөмірі)

? Тапсырма: Паскаль үшбұрышының 5-қатарындағы 6 санды комбинация формуласы арқылы дәлелдеңіз.

3. Фибоначчи сандарымен байланысы

✅ Қисық диагональ бойынша қосқанда Фибоначчи сандары шығады!

? Тапсырма: Алғашқы 6 қатардағы қисық диагональ сандарын қосып, Фибоначчи сандары шығатынын тексеріңіз. ?

? 3-Бөлім: Паскаль үшбұрышындағы ерекше сандар

1. Қисық диагональдар

✅ Қисық диагональдарда 1, 1, 2, 3, 5, 8... (Фибоначчи сандары) кездеседі.

? Тапсырма: 7-ші және 8-ші қатардың қисық диагональдарын тауып, олардың қосындысын есептеңіз.

2. Үшбұрыш сандары

✅ Паскаль үшбұрышындағы екінші диагональ – үшбұрыш сандары: 1, 3, 6, 10, 15...

? Тапсырма: Паскаль үшбұрышынан 6-қатардағы үшбұрыш санын анықтаңыз.

3. Қуаттар (2^n сандары)

✅ Әр қатардағы барлық сандар қосындысы – 2-нің дәрежесі.

? Тапсырма: 4-қатар мен 5-қатардың қосындыларын есептеңіз. Нәтиже қандай заңдылықты көрсетеді?

? Қорытынды тапсырма (Челлендж!)

? 10-қатардың барлық элементтерін жазыңыз, олардың симметриялы екендігін дәлелдеңіз, содан кейін олардың қосындысын есептеңіз.

? Тапсырмаларды орындап, жауабыңызды тексеріңіз! ?✔

№13 сабақ.

✨ 1. Жай есептер (негізгі түсініктер)

? Есептер:
⭐ 1. 5 түрлі кітапты бір қатарға қанша түрлі жолмен орналастыруға болады? (Пермутация)
? 2. 10 адамның ішінен 3 адамды кездейсоқ таңдау жолдарының санын табыңыз. (Комбинация)
?️ 3. Дүкенде 4 түрлі шоколад пен 3 түрлі кәмпит бар. Егер бір шоколад пен бір кәмпит таңдасаңыз, неше түрлі комбинация болады? (Картезиан көбейту)

? 2. Орташа деңгей (Қасиеттерді қолдану)

? Есептер:
? 4. Лотереяда 36 санның ішінен 6 санды кездейсоқ таңдау керек. Жеңімпаз комбинацияның саны қанша?
? 5. 8 адамнан тұратын топта 2 адамды кездейсоқ таңдағанда, олардың екеуі де туған күндері бір айда болу ықтималдығы қандай?
? 6. Мектептегі спорт сайысында 12 адамның ішінен 1-орын, 2-орын және 3-орын иегерлерін тағайындау жолдарының санын табыңыз.

? 3. Қиынырақ тапсырмалар (логикалық есептер)

? Есептер:
? 7. Сіз жұмыс сұхбатынан өтудесіз және 6 сұрақтың тек 4-еуіне жауап беруіңіз керек. Неше түрлі жауап беру жолдары бар?
? 8. Пароль жасау: Егер сіз 4 әріптен және 2 цифрдан тұратын пароль ойлап тапсаңыз (әріптер мен цифрлар қайталанбайды), неше түрлі пароль жасауға болады?
? 9. 3 түрлі пицца негізі, 5 түрлі соус және 7 түрлі қосымша ингредиенттер бар. Әр пицца бір негізден, бір соустан және екі түрлі ингредиенттен тұрады. Неше түрлі пицца жасауға болады?

? 4. Шығармашылық тапсырма

? Өмірлік мысалдарды табыңыз:
✈️ Әуежайда: Әр түрлі әуе компанияларының ұшақтары, терминалдары және рейстері арасында комбинаторика қалай қолданылады?
? Телефон нөмірлері: Ұялы байланыс операторлары жаңа телефон нөмірлерін жасау үшін қандай комбинаторика заңдылықтарын қолданады?
? Кино әлемі: Кино актерлері мен сценарийлер арасында қандай комбинациялар қолданылады?

№14 сабақ.

? Жеңіл деңгей (Бастаушыларға)

• 4 түрлі түсті қаламсапты қатарға қалай орналастыруға болады? ✏✏

• 6 түрлі футболканың ішінен 2-еуін қалай таңдауға болады? ??

• 5 достың ішінен біреуін сынып старостасы етіп тағайындаудың неше әдісі бар? ?

? Орта деңгей (Тереңірек ойланайық)

• 8 оқушының ішінен 3-еуін олимпиадаға жіберу қанша әдіспен мүмкін? ?

• 10 сұрақтан тұратын тесттен 4 дұрыс жауаптың кездесу ықтималдығы қандай? ✍

• 7 студенттің арасынан 3 адамнан құралған команда құрудың неше әдісі бар? ?

• ? Күрделі деңгей (Нағыз математика!)

• 52 картаның ішінен 4 картаны кездейсоқ таңдаудың ықтималдығы қандай? ♠♥♣♦
  10 адамның ішінде 2 адам үнемі бірге болуы керек деген шартпен, неше түрлі орналасу әдісі бар? ?‍?‍?‍?
  6 кітапты сөреге қоюдың қанша тәсілі бар, егер 2 кітап әрдайым бірге тұруы тиіс болса? ?

№15 сабақ.

? Тапсырма 1

биномын жіктеңіз. (Бином Ньютон формуласы бойынша)
✅ Формула:

? Тапсырма 2
(2x−3)⁴ өрнегінің x² коэффициентін табыңыз.

✍ Жауап: _______

? Тапсырма 3

биномдық ашылуында x⁴ коэффициентін табыңыз.

✍ Жауап: _______

?‍♂️ 3. Шығармашылық тапсырма

Төмендегі белгілерді пайдаланып, бином Ньютон формуласын түсіндіретін инфографика немесе қысқа сызба жасаңыз.

? ➡️ ? ➡️ ? ➡️ ✅

№16 сабақ.

I. Инварианттар әдісі

• (Жұлдызша ⭐ есебі) Бес литрлік және тоғыз литрлік екі ыдысты пайдаланып, дәл 6 литр су өлшеуге бола ма? Егер болса, қалай?

• 1000 санына бірнеше рет +5 немесе ×2 операцияларын қолдануға болады. 999 санын алуға бола ма?

• (♟️ Шахмат) 8×8 шахмат тақтасында екі қара торлы бұрышты қиып тастаса, қалған торларды 1×2 домино тасымен жабуға бола ма?

II. Паритет әдісі

• (♞ Аттың қозғалысы) 7×7 шахмат тақтасының бір бұрышынан бастап, ат барлық торға дәл бір рет қона ала ма?

• (? Түймелер ойыны) Барлық түймелер бастапқыда сөніп тұр. Әр қадамда 3 түйменің жағдайын (қосулы/сөнулі) өзгертуге болады. Барлық түймелерді бір уақытта қосуға бола ма?

• (? Текше) Кубиктің барлық төбесінде 0 бар. Әр қадамда бір қабырғасының бойындағы 4 төбенің әрқайсысына +1 қосуға болады. Барлық төбені 1-ге тең қыла аламыз ба?

№17 сабақ.

✅ Есеп 1:
Мектеп кітапханасында 30 қазақша кітап және 25 орысша кітап бар. Егер ешбір кітап екі тілде жазылмаған болса, онда кітапханада барлығы қанша кітап бар? ??

✅ Есеп 2:
Сыныптағы оқушылардың 12-сі футбол ойнайды, 8-і баскетбол ойнайды. Егер ешбір оқушы екі спорт түрімен айналыспаса, онда спортпен шұғылданатын оқушылардың жалпы саны қанша? ⚽?

✅ Есеп 3:
Мейрамханада 4 түрлі пицца ? және 5 түрлі бургер ? бар. Егер әр тағам түрі бір-біріне тәуелсіз дайындалса, онда қанша түрлі тағам таңдауға болады?

✅ Есеп 4:
Дүкенде 7 түрлі шоколад ? және 6 түрлі кәмпит ? сатылады. Егер сіз тек біреуін ғана сатып алғыңыз келсе, онда қанша түрлі таңдау бар?

✅ Есеп 5:
Кинотеатрда 3 түрлі комедия ? және 4 түрлі фантастикалық фильм ? көрсетіледі. Егер сіз бір ғана фильм көргіңіз келсе, қанша түрлі таңдау жасай аласыз?

№18 сабақ.

№19 сабақ.

? I. Тұйық формуланы табу

✅ 1. Арифметикалық прогрессия берілген:

• a1=5, d=3

• Тұйық формуланы жазыңыз және a₁₀ -ды есептеңіз.

✅ 2. Геометриялық прогрессия берілген:

• a₁=2, r=4

• Тұйық формуланы жазыңыз және a₆-ны табыңыз.

✅ 3. Фибоначчи тізбегінің алғашқы 10 мүшесін жазыңыз.

✅ 4. Берілген тізбектің жалпы формуласын табыңыз:

• a_n=3a_n−1+2a, a₁=1

✅ 5. Берілген рекурренттік қатынас үшін тұйық формуланы анықтаңыз:

• a_n=5a_n−1−4a_n−2,a₁=2, a₂=5

? II. Рекурренттік қатынастарды есептеу

✅ 6. Тізбек берілген:

✅ 7. Қадамдық есептеу әдісімен келесі рекурренттік формуламен есептеңіз:

✅ 8. Бір қоймада бастапқыда 100 кг ұн бар. Әр күн сайын ол 10%-ға азаяды. Рекурренттік қатынас жазыңыз және 7-күнгі ұнның мөлшерін табыңыз.

✅ 9. Берілген рекурренттік қатынастарды график түрінде көрсетіңіз:

? Белгілер мен смайликтермен тапсырмалар

? 10. ? Смайликтер тізбегі:

? → ? → ? → ? → ? → ?

Бұл смайликтер белгілі бір ретпен орналасқан. Егер әр келесі смайлик алдыңғысынан бір есе артық пайда болса, 10-смайликтің санын табыңыз.

? 11. ? Рекурренттік жұмбақ:
Берілген сандар тізбегі мына заңдылыққа бағынады:

? 2, 6, 18, 54, ...

• Тұйық формуланы анықтаңыз

• 10-шы мүшесін есептеңіз

№20 сабақ.

№1. Киім ілгіш тапсырмасы

✅ 10 күртеше ілгішке 9 киім ілінді. Кем дегенде бір ілгіш бос па?

? Жауабы: Иә, өйткені 9 < 10, сондықтан ең болмағанда бір ілгіш бос болады.

№2. Туған күн есебі

✅ Егер 367 адам жиналса, олардың ішінде кемінде екі адамның туған күні бір күнге тура келеді ме?

? Жауабы: Иә, өйткені 367 адам, ал жылда тек 366 күн бар (кібісе жылды есептегенде).

№3. Сан есебі

✅ 15 бүтін сан берілген. Оларды 7 түрлі қалдық бойынша бөлгенде, кем дегенде бір қалдықтағы неше сан болады?

? Жауабы:

Дирахле принципі бойынша:

⌈15/7⌉=3

Кемінде бір қалдықта 3 сан болады.

? Логикалық тапсырма

✅ Тапсырма: 26 әріптен тұратын ағылшын алфавитінен 27 әріпті таңдаймыз. Бір әріп міндетті түрде қайталанады ма?
✅ Жауабы: Иә, себебі әріптер саны (27) алфавиттегі әріптер санынан (26) көп.

? Көңілді тест (Смайликтермен белгілеңіз)

❓ 1. Дирахле принципінің негізгі идеясы қандай?

• ⭕ Барлық нысандар бір ұяшыққа сыйып кетеді

• ✅ Бірнеше нысан бір ұяшықта болуы мүмкін

• ⭕ Ұяшықтар әрдайым бос болады

❓ 2. Егер 8 допты 7 жәшікке салсақ, бір жәшікте кемінде неше доп болады?

• ⭕ 1

• ✅ 2

• ⭕ 8

❓ 3. 50 адам бар. Олардың ішінде бір айда туғандар саны қанша болады?

• ✅ Кемінде 5

• ⭕ 2

• ⭕ 12

№21 сабақ.

✏️ 1-тапсырма: Сандық инвариант

⚡ Есеп:
? 100 санынан тұратын тізбек берілген. Кез келген екі көршілес санды алып, олардың айырмашылығын 1-ге кемітіп, жаңа тізбек құрамыз. Осылайша барлық сандар өзгергенше жалғастырамыз. Соңында барлық сандар тең бола ала ма?

? Кеңес: Қандай шама өзгеріссіз қалады?

✏️ 2-тапсырма: Түстер мен инвариант

⚡ Есеп:
??? 3 түрлі түсті 20 шар қойылған. Әр қадамда кез келген екі шарды алып, олардың ортақ түстерін шығарып, орнына жаңа шар саламыз. Соңында бір ғана түс қалуы мүмкін бе?

? Кеңес: Қандай қасиет өзгермейді?

✏️ 3-тапсырма: Шахмат тақтасы және инвариант

⚡ Есеп:
♟️ Шахмат тақтасының екі бұрышындағы қара тор көздерді кесіп тастадық. Қалған бөлікті домино фигураларымен жабуға бола ма?

? Кеңес: Тақтадағы қара және ақ ұяшықтардың қатынасын есепте!

✏️ 4-тапсырма: Қозғалыс және инвариант

⚡ Есеп:
? Бір қалада көліктер 2 км оңға немесе 3 км солға қозғалуға ғана рұқсат. Егер көлік бастапқы нүктеден қозғала бастаса, ол 1 км қашықтықта бола ала ма?

? Кеңес: Модульдік арифметика қолдан!

№22 сабақ.

? 1. Теориялық сұрақтар (✔ дұрыс жауапты таңдаңыз)

1️ Граф дегеніміз не?
a) Бірнеше түйіндерден және оларды байланыстыратын қабырғалардан тұратын құрылым ✅

b) Координаталар жүйесіндегі функцияның көрінісі
c) Тек бағытталған байланыстардан тұратын кесте

2️ Графтың төбелері мен қабырғалары қалай аталады?
a) Түйіндер мен қырлар ✅

b) Нүктелер мен сызықтар
c) Кесте элементтері

3️ Толық граф дегеніміз не?

a) Барлық төбелері өзара қосылған граф ✅

b) Барлық қабырғалары бағытталған граф
c) Ағаш түріндегі граф

4️ Комбинаторикада графтар не үшін қолданылады?
a) Оптималды маршруттарды анықтау үшін ✅

b) Функцияларды шешу үшін
c) Геометриялық фигураларды сипаттау үшін

№23 сабақ.

? 1-Тапсырма: Планарлық графтар

? 1️ Берілген граф планарлық па, жоқ па? Сызып, тексеріңіз!

• ? Граф: 5 төбесі бар, әрбір төбе басқаларымен байланысқан.

• ? Граф: 6 төбесі бар, әрбір үш төбе толық қосылған, бірақ өзара байланыс жоқ.

? 2️ Берілген графты планарлық ету мүмкін бе?
? Егер мүмкін болса, графтың қабаттасқан қабырғаларын қайта салуға тырысыңыз.

? 2-Бөлім: Эйлер формуласы

✅ Планарлық граф үшін:

V−E+F=2

мұндағы:

• V – төбелер саны

• E – қабырғалар саны

• F – аймақтар саны

? Тапсырма:
3️ Графтың V=6,E=9 болғанда F-ті табыңыз.

? 3-Бөлім: Куротов теоремасы

✅ Егер графта K₅ немесе K_3,3 кіші графтары болса, ол планарлық емес.

? Тапсырма:

4️ Берілген графтан K₅ немесе K_3,3 табыңыз:

• V=5,E=10

• V=6,E=9

? Егер тапсаңыз, графтың планарлық емес екенін дәлелдеңіз!

? Қорытынды Челлендж

? Өз графыңызды ойлап табыңыз және оны планарлық графқа айналдырудың жолын табыңыз! ?

№24 сабақ.

✨ 1. Жай есептер (Негізгі түсініктер)

? Есептер:
⭐ 1. Егер 5 түрлі маршрутпен мектепке жетуге болатын болса және әр маршрутта 3 түрлі көлік түрін қолдануға болатын болса, ең тиімді жолды табу үшін қанша нұсқаны қарастыру қажет?
? 2. Такси қызметінде 10 жүргізуші және 6 тапсырыс бар. Егер әр тапсырысқа бір жүргізуші тағайындалса, неше түрлі тәсілмен жүргізушілерді орналастыруға болады?

? 2. Орташа деңгей (Қасиеттерді қолдану)

? Есептер:
? 3. Дүкенде 4 түрлі пицца, 3 түрлі сусын және 5 түрлі десерт бар. Егер сіз ең арзан комбинацияны таңдағыңыз келсе, қанша түрлі нұсқаны салыстыру қажет?
?️ 4. Университетте 7 түрлі пән бар. Егер әр пән 3 түрлі оқытушыдан таңдалатын болса, студенттер үшін ең аз қақтығыс болатын пәндік комбинацияны қалай есептеуге болады?
? 5. Турнир ұйымдастырғанда 10 команданың әрқайсысы әр командамен бір рет кездесуі керек. Ойын саны минималды болу үшін қандай комбинаторикалық әдіс қолданылады?

? 3. Қиынырақ тапсырмалар (Логикалық есептер)

? Есептер:
? 6. Логистика компаниясы 5 қалаға 8 түрлі жүк көлігімен тауар жеткізуі керек. Егер мақсат – ең қысқа маршрутты табу болса, неше түрлі жолды есептеу керек?
? 7. Банк клиенттерге несие карталарына арналған 4 түрлі тариф ұсынады. Егер әр тарифке 3 түрлі жеңілдік қолдануға болатын болса, клиент үшін ең тиімді тарифті қалай таңдауға болады?
?️ 8. Қалалар арасындағы жол желісі берілген. Егер сіз A қаласынан B қаласына ең аз шығынмен жетуді жоспарласаңыз, қандай әдісті қолданасыз?

? 4. Шығармашылық тапсырма

? Өмірлік мысалдарды табыңыз:
✈️ Әуежай логистикасы: Әуежайда ең тиімді жолаушылар ағынын басқару үшін қандай оптимизациялық алгоритмдер қолданылады?
? Ресторан мәзірін жоспарлау: Егер мейрамханада клиенттерге 10 түрлі тағам және 5 түрлі сусын ұсынылса, ең аз шығынмен ең тиімді мәзір комбинациясын қалай таңдауға болады?
? Жүк тасымалдау: Егер компания жүк көліктерін минималды отын шығынымен жеткізгісі келсе, қандай әдістерді қолдану қажет?

№25 сабақ.

? Жеңіл деңгей (Бастапқы түсінік)

• 3 биттен тұратын бинарлық кодтар саны қанша? ?

• 4 биттік кодтағы барлық мүмкін комбинация санын есептеңіз. ?

• 2 символдан тұратын үш әріптік сөздердің неше түрі бар? (A, B, C) ?

? Орта деңгей (Тереңірек ойланайық)

• 6 биттік кодтардың ішінде 2 нөлден және 4 бірліктен тұратын кодтар саны қанша? ??

• Хэмминг қашықтығы 2-ге тең болатын 110011 және 101011 кодтарын көрсетіңіз. ?

• 5 биттік код ішінде тек 3 бірлік және 2 нөлден тұратын кодтардың саны қанша? ?

? Күрделі деңгей (Нағыз математика!)

• 8 биттік хабарламаның ішінде 3 биттік қате жіберілсе, қанша түрлі комбинация болуы мүмкін? ?

• 7 биттік код ішінде тек 2 бірлік және 5 нөлден тұратын кодтардың саны қанша? ?

• Егер бір хабарламаның 4 биті қате жіберсе, оны түзету үшін минималды Хэмминг қашықтығы қандай болуы керек? ?

№26 сабақ.

? Тапсырма 1:

Көшеде 7 ағаш өсіп тұр. Егер әрбір ағашқа 3 құс қонса, барлығы қанша құс болады?

? Жауапты белгіле:

• ? 21 құс

• ? 10 құс

• ? 30 құс

✅ Егер жауабыңызды дұрыс деп ойласаңыз ✅ белгісін қойыңыз.

? Тапсырма 2:

Мараттың екі әкесі және екі баласы бар. Бірақ олар үшеу ғана. Бұл қалай мүмкін?

✍ Жауап: _______

? Көмек: Бір адам екі рөлді атқаруы мүмкін!

• ? Егер есеп қиын болса

• ? Егер күмәніңіз болса, тағы ойланыңыз

• ? Егер жауапты тапсаңыз

? 2. Орташа деңгейдегі есептер

? Тапсырма 3:

Мен бір сан ойладым. Егер оны 2-ге көбейтіп, 4-ке азайтсам, 10 шығады. Мен қандай сан ойладым?

✍ Жауап: _______

Смайлик таңда:

• ? Егер есепті оңай шығарсаңыз

• ? Егер күмәніңіз болса

• ? Егер қайта қарау керек болса

? Тапсырма 4:

Үш дос – Асқар, Бауыржан және Данияр – әртүрлі спорт түрімен айналысады: бокс, күрес және жүзу.

• Асқар бокспен айналыспайды.

• Бауыржан да бокспен айналыспайды.

• Данияр күреспен айналыспайды.

? Сұрақ:
Кім қай спорт түрімен айналысады?

✍ Жауап:

• Асқар – _______

• Бауыржан – _______

• Данияр – _______

✅ Жауапты дұрыс деп ойласаңыз, ✅ белгісін қойыңыз.

?‍♂️ 3. Қиын деңгейдегі логикалық есептер

? Тапсырма 5:

Ауылда 10 үй бар. Әр үйдің көршісіне қарыз бермейтінін ескеріп, барлығы 7 үйдің иелері қарыз алғанын білеміз.
Сонда неше үй қарыз берген?

✍ Жауап: _______

Смайлик таңда:

• ? Егер есеп қиын болса

• ? Егер әлі де ойлану керек болса

• ✅ Егер дұрыс жауапты тапсаңыз

? Тапсырма 6:

Бір адамның туған күні 29 ақпан, бірақ ол әр жылы өз туған күнін атап өтеді. Бұл қалай мүмкін?

✍ Жауап: _______

? Смайлик таңда:

• ? Егер оңай тапсаңыз

• ? Егер есеп қызық болса

• ❗ Егер жауап ерекше болса

? Өз логикалық есептеріңізді ойлап табыңыз!

✅ Өзіңіз бір қызықты логикалық есеп құрастырыңыз және достарыңызға қойыңыз!

✍ Өз есебіңіз: _______

? Жасаған тапсырмаңызды орындаған соң, өзіңізге лайықты смайлик қойыңыз! ?✨

№27 сабақ.

II. Жиындар және комбинаторика

Сыныпта 30 оқушы бар. Оның 18-і математика үйірмесіне, 15-і физика үйірмесіне қатысады. Ал 7 оқушы екі үйірмеге де қатысады.
✅ Физика немесе математика үйірмесіне кем дегенде бір рет қатысатын оқушылар санын тап.

50 студенттің ішінде:

• 20-сы футбол ойнайды,

• 25-і волейбол ойнайды,

• 15-і екі спорт түрімен де айналысады.

✅ Футбол немесе волейбол ойнайтындардың жалпы санын тап.

№28 сабақ.

№29 сабақ.

Оңай деңгей ?

? 2.1. 6 адамды 6 орындыққа әртүрлі отырғызудың қанша тәсілі бар?
? 2.2. 10 футболка ішінен 3 футболканы таңдаудың қанша түрлі тәсілі бар?
? 2.3. 5 түрлі әріптен 3 әріптен тұратын сөз жасауға болатын қанша әдіс бар (әріптер ретімен есептеледі)?

? Формулалар:

Орташа деңгей ?

? 3.1. 8 кітапты сөреге әртүрлі ретпен орналастырудың қанша тәсілі бар?
? 3.2. 7 оқушыдан 3 оқушыны сынып жетекшісі етіп таңдаудың қанша әдісі бар?
? 3.3. Лотерея билеттерінің 12 ішінен 4-ын кездейсоқ таңдаудың қанша жолы бар?

Қиын деңгей ?

? 4.1. Университетте 10 студенттен тұратын топтың ішінен 4 студентті әртүрлі қызметке (староста, оның орынбасары, казначей, хатшы) тағайындаудың қанша түрлі жолы бар?
? 4.2. Бір студент емтиханда 5 сұрақтың 3-ін таңдап алуы керек. Егер емтихан билеттерінде 12 сұрақ болса, студенттің таңдауы қанша түрлі болуы мүмкін?
? 4.3. Шахмат турнирінде 16 ойыншының ішінен 4 финалистті таңдаудың қанша әдісі бар?

№30 сабақ.

? 1. Қарапайым олимпиадалық есептер

✅ 1. 8 адамнан тұратын топтан 3 адамды таңдап, оларды орналастырудың қанша жолы бар?
✅ 2. 7 әріптен тұратын сөзден 4 әріпті сөздерді қайталаусыз жасау жолдарының саны қанша?
✅ 3. 5 қыз және 3 ұл бар. Осы 8 адамның ішінен 4 адамды ретсіз таңдау жолдарының саны қанша?
✅ 4. Бір қорапта 5 түрлі шоколад бар. Егер 3 шоколад алуға болатын болса, бірақ бір шоколад бірнеше рет алынуы мүмкін болса, қанша түрлі комбинация жасауға болады?
✅ 5. «MATHEMATICS» сөзіндегі әріптерді қайта орналастыру арқылы неше түрлі жаңа сөз жасауға болады?

? 2. Орта деңгейдегі олимпиадалық есептер

✅ 6. 10 адамнан тұратын топтан 5 адамдық комитетті таңдау жолдарының саны қанша?
✅ 7. Егер әрбір нөмір 4 цифрдан тұратын болса және әрбір цифр 0-ден 9-ға дейінгі сандарды қамтитын болса, бірақ бір цифр қайта қолданылмаса, қанша түрлі нөмір жасауға болады?
✅ 8. Турнирде 12 команда қатысады. Әр команда әрбір басқа командамен бір рет кездеседі. Барлығы қанша ойын өтеді?
✅ 9. 7 түрлі кітапты сөреге орналастыру жолдарының саны қанша?
✅ 10. Егер 8 орындыққа 5 адам отырғызу керек болса, қанша түрлі орналастыру жолдары бар?

? 3. Күрделі олимпиадалық есептер

✅ 11. 6 қыз және 4 ұлдан тұратын топтан 5 адам таңдап алғанда, кемінде 2 қыз болу керек. Қанша нұсқа бар?
✅ 12. 9 адамнан тұратын топта 3 адамнан тұратын 3 түрлі топты қанша тәсілмен жасауға болады?
✅ 13. Теңгемен төлеу қажет: 200 теңге, 50 теңге, 20 теңге және 10 теңгелік монеталар бар. Егер барлығы 500 теңге болуы керек болса, неше түрлі төлем тәсілі бар?
✅ 14. 10 орындық бар, ал 5 адам отырғысы келеді. Бірақ екі адам әрдайым бірге отыруы керек. Қанша тәсіл бар?
✅ 15. Егер 7 түрлі жемістен 4 жеміс таңдап алуға рұқсат етілсе, бірақ әрбір жеміс бірнеше рет таңдалса, қанша түрлі комбинация жасауға болады?

№31 сабақ.

Логикалық тапсырма

✅ Тапсырма: 13 адам 12 түрлі кафеден тамақ алады. Кемінде екі адам бір кафеден тамақ ала ма?
✅ Жауабы: Иә, себебі 13 > 12, сондықтан ең болмағанда бір кафе қайталанады.

? 4. Көңілді тест (Смайликтермен белгілеңіз)

❓ 1. Дирахле принципін ықтималдық теориясында қалай қолданамыз?

• ⭕ Кездейсоқ сандарды генерациялау үшін

• ✅ Бір оқиғаның міндетті түрде орын алуын дәлелдеу үшін

• ⭕ Бүтін сандарды бөлу үшін

❓ 2. 100 адам 99 орындыққа отырса, бір орындықта кемінде неше адам болады?

• ⭕ 1

• ✅ 2

• ⭕ 100

❓ 3. Егер 6 студент 5 түрлі пәнді таңдаса, кем дегенде бір пәнге қанша студент тіркеледі?

• ✅ 2

• ⭕ 1

• ⭕ 6

№32 сабақ.

✏️ 1-тапсырма: Логикалық есеп

? Сиқырлы квадратта барлық қатарлар, бағандар және диагональдар бірдей сандар қосындысын беруі керек.

❓ 3x3 сиқырлы квадраттың ортасында 5 тұрса, қалған сандарды қалай орналастыруға болады?

✏️ 2-тапсырма: Графтар теориясы

? Граф – түйіндер мен олардың арасындағы байланыстар жиыны.

? Есеп:
? Егер графтың әр төбесінде жұп санды байланыс болса, графты Эйлерлік жолмен өту мүмкін бе?

✏️ 3-тапсырма: Кодтау және шифрлау (Цезарь шифры, RSA алгоритмі)

? Цезарь шифры – әріптерді белгілі бір санға ығыстыратын шифрлау әдісі.

? Есеп:
? "XLMW MW E QIXLIV" деген жазуды Цезарь шифрының 4 қадамдық ығысуымен аш.

№33 сабақ.

? 3. Қосымша шығармашылық тапсырма

? Тапсырма:
Бір математика саласынан (алгебра, геометрия, комбинаторика, ықтималдық теориясы) өмірде қолданылу мысалын тауып, қысқаша түсіндіріңіз.

? Жауабыңыз: ___________________

№34 сабақ.