Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу. Безу теоремасы.

Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі

М.Х. Дулати атындағы университеті

СӨЖ

Пәні: Элементар математика (Алгебра)

Тақырыбы: Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу. Безу теоремасы.

Орындаған:

Тобы: Математика 24-3

Курс: 1

Тексерген:

Тараз 2024ж

Жоспары

• Кіріспе:

1. Математика пәнінің даму тарихы…………...………...................3

• Негізгі бөлім:

1. Көпмүшелер ұғымы......................................................................4

2. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу…………….......................6

3. Безу теоремасы………………………………………………………8

• Қорытынды..................................................................................11

• Пайдаланылған әдебиеттер…………………………………..........12

Кіріспе

Математика (гр. μάθημα — ғылым, білім, оқу; μαθηματικός — білуге құштарлық) — ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістік пішіндері жайлы ғылым.

Математика абстрактілендіру және логикалық қорыту: есептеу, санау, өлшеу және физикалық нәрселерді жүйелі түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді оқыту арқылы көрініс табады.

Математика – адамзат тарихындағы ең көне және ең маңызды ғылымдардың бірі. Оның дамуы біздің өмірімізді жеңілдетіп, әлемді түсінуімізге жол ашты. Алгебра, әсіресе көпмүшелер және олардың қасиеттері, математиканың негізін қалаушы салалардың бірі болып табылады. Көпмүшелер ұғымы, оларды көбейткіштерге жіктеу әдістері, қысқаша көбейту формулалары және Безу теоремасы – осы тақырыптардың барлығы математикада маңызды рөл атқарады. Бұл ұғымдар математикалық есептерді шешуде, алгебралық өрнектерді ықшамдауда және түрлі ғылыми зерттеулерде кеңінен қолданылады.

Математиканың даму тарихы шартты түрде төрт кезеңге бөлінеді.

Бірінші кезең — математиканың білім-дағдыларының қорлану, жинақталу дәуірі. Ол ерте кезден басталып б.з.б. 7-6 ғасырларына дейін созылды. Бұл дәуірде математика адамзат тәжірибесіне тікелей тәуелді болды, содан қорытылған ережелер жинағынан тұрды.

Екінші кезең — математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен XVII ғасырда аяқталады.

Үшінші кезең — айнымалы шамалар математикасы немесе жоғары математиканың (математикалық талдау, аналитикалық геометрия т.б.) туу, қалыптасу кезеңі. Бұл XVII ғасырда басталып, XIX ғасырдың 2-жартысына дейін созылды.

Математиканың қарастыратын сан қатынастары мен кеңістік пішіндерінің шеңбері ұлғая келіп, XIX ғасырдың орта тұсынан бастап математикалық зерттеулерді саналы түрде кеңейту мәселесі күн тәртібіне қойылды. Н.И. Лобачевский ашқан евклидтік емес геометрия жүйесі бұл бағыттағы алғашқы қадам болды. Жиындар теориясына байланысты талдаудың, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады.

Көпмүшелер ұғымы

Көпмүшелер ұғымы (полиномдар) – бұл алгебралық өрнектердің бір түрі, олар айнымалылар мен тұрақтылардан құралған және тек қана қосу, азайту және көбейту амалдарын қамтиды. Көпмүше алгебраның маңызды элементтерінің бірі болып табылады және көптеген математикалық есептерде, физикада, экономикада және инженерияда қолданылады.

Көпмүшенің жалпы түрі
Көпмүшелер келесі жалпы түрде жазылады:

P(x)=

мұндағы:

• ​ – көпмүшенің коэффициенттері,

• – айнымалы,

• – көпмүшенің дәрежесі, ол ең үлкен дәреже көрсеткіші бар мүше бойынша анықталады.

Мысалы, – үшінші дәрежелі көпмүше, мұнда ең жоғары дәрежелі мүше, ал 7 – тұрақты мүше, бос мүше.

• Бірінші дәрежелі көпмүше: P(x)= (сызықтық көпмүше)

• Екінші дәрежелі көпмүше: P(x)= (квадрат көпмүше)

• Үшінші дәрежелі көпмүше: P(x)= (кубтық көпмүше)

Көпмүшенің дәрежесі

Көпмүшенің дәрежесі деп оның құрамындағы бірмүше дәрежелерінің ен үлкенін айтады. Мысалы, көпмүшенің дәрежесі 5, себебі - бірмүшесінің дәрежесі ең үлкен: 3+2=5. Бұл көпмүшенің құрамында ұқсас мүшелері жок. Көпмүшенің әрбір мүшесін стандарт (қалыпты) түрге келтіріп, ұқсас мүшелерін біріктіріп және мүшелерін дәреженің кему ретімен орналастырып жазсақ нәтижесінде көпмүше стандарт (қалыпты) түрге келтіріледі.

Көпмүшенің дәрежесіне қарай түрлері

1. Стандарт түрдегі көпмүшенің барлық мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінің қосындысы бірдей болса, онда көпмүшені біртекті көпмүше деп атайды.

Мысалы, -біртекті көпмүше.

2. Егер көпмүшенің барлық коэффициенттері нөлге тең болса, ондай көпмүшені нөлдік көпмүше деп атайды.

3. Бір айнымалысы бар көпмүше айнымалы дәреже көрсеткішінің кему ретімен жазылған болса, ондай көпмүшені реттелген көпмүше деп атайды.

Мысалы, - бесінші дәрежелі реттелген көпмүше.

p латынның polini көпмүше деген сөзінің бас әрпі. Р(х) белгілеуі -x айнымалының көпмүшесі дегенді білдіреді. Көпмүшелерді қосқанда, азайтқанда нәтижеде көпмүше шығады.

Көпмүшелердің қасиеттері мен амалдары
Көпмүшелермен бірнеше негізгі амалдар орындалады, соның ішінде:

1. Қосу және азайту: екі немесе одан көп көпмүшелерді қосу немесе азайту арқылы жаңа көпмүше алынады.

2. Көбейту: көпмүшелерді көбейту нәтижесінде жаңа, дәрежесі жоғары көпмүше пайда болады.

3. Бөлу: көпмүшені басқа көпмүшеге бөлгенде, бөлінді мен қалдық шығады.

Көпмүшелердің қолданылуы
Көпмүшелер көптеген салаларда қолданылады. Мысалы:

• Физикада – әртүрлі қозғалыстар мен процестерді сипаттауда;

• Экономикада – статистикалық моделдеу және болжам жасауда;

• Инженерияда – құрылымдарды есептеу және талдау жүргізуде.

Көпмүшелер – математика мен оның қолданбалы салалары үшін өте маңызды құрал болып табылады, себебі оларды қолдану арқылы күрделі функцияларды қарапайым түрде көрсетуге және талдауға болады.

Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу

Көбейткіштерге жіктеу– көпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді.

Алгебралық есептерді шешуде құрамында ең кемінде бір айнымалысы бар берілген көпмүшені екі немесе бірнеше көпмүшелердің немесе көпмүше мен бірмүшенің көбейтіндісі түрінде жазуға тура келеді. Нақты сандар өрісінде кез келген көпмүше көбейткіштерге жіктеле бермейді. Мысалы, , көпмүшелерін көбейткіштерге жіктеуге болмайды. Мұндай көпмүшелерді көбейткіштерге жіктелмейтін көпмүшелер деп атайды. Егер көпмүшенің барлық көбейткіштері жіктелмейтін көпмүше түріне келтірілсе, онда оны көбейткіштерге жіктеу орындалды деп есептеледі.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеуде әртүрлі әдістерді пайдаланады.

1. Ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығару

Мысалы:

2. Көпмүшені топтау тәсілімен көьбейткіштерге жіктеу

Мысалы:

3. Ауыстыру яғни жаңа айнымалы енгізу

Мысалы:

4. Қысқаша көбейту формулалары

квадраттар айырымы

қосындының квадраты айырымның квадратты

қосындының кубы

айырымның кубы

кубтардың айырмасы

кубтардың қосындысы

Мысалы:

5. Квадрат үшмүше арқылы

Мысалы:

6. Горнер схемасы

Мысалы: P(x)=

P(x)=

	1	-8	-72	382	227	-2310
2	1	-6	-84	214	655	-1000

-1000

7. Безу теоремасы

Мысалы:

0

Безу теоремасы

Безу теоремасы француз математигі Этьен Безуның (Étienne Bézout) есімімен аталған. Этьен Безу 18-ғасырда өмір сүріп, алгебра және сандар теориясы саласында маңызды еңбектер жазған. Ол 1730 жылы 31 наурызда дүниеге келіп, 1783 жылы 27 қыркүйекте қайтыс болды. Оның негізгі математикалық еңбектерінің бірі "Théorie générale des équations algébriques" (Алгебралық теңдеулердің жалпы теориясы) деп аталады.

Безу теоремасының шығу тарихы

1. Этьен Безудың еңбектері:

Этьен Безу өзінің еңбектерінде алгебралық теңдеулерді зерттеуге үлкен үлес қосты. Ол көпмүшелерді зерттеудің әдістерін жетілдіріп, алгебралық теңдеулерді шешудің жаңа жолдарын ұсынды.

Безу көпмүшелерді бөлгенде қалдықты табу әдістерін зерттеп, оларды нақты түрде анықтаған алғашқы ғалымдардың бірі болды. Ол өзінің еңбектерінде көпмүшенің белгілі бір санға бөлінетін шарттарын қарастырды, бұл кейіннен Безу теоремасы деп аталып кетті.

1764 жылы Безу "Théorie générale des équations algébriques" атты еңбегін жариялады. Бұл еңбекте ол көпмүшелердің қасиеттері мен оларды жіктеу әдістерін талқылады. Сол жерде қазіргі Безу теоремасы алғаш рет айқындалды.

2. Безу теоремасының маңызы:

Безу теоремасы көпмүшелерді зерттеуде және олардың түбірлерін табуда маңызды құрал болды. Ол алгебралық есептерді шешуде қолданылатын негізгі әдістердің біріне айналды.

Бұл теорема басқа да математикалық тұжырымдар мен әдістердің дамуына әсер етті. Безу теоремасының негізінде көпмүшелерді бөлуден қалған қалдықты табу және көпмүшенің түбірлерін анықтау әдістері жетілдірілді.

3. Кейінгі дамуы:

Безу теоремасы алгебралық геометрия және сандар теориясында да маңызды рөл атқарады. Оның қолдану аясы кеңейіп, қазіргі заманғы математиканың әртүрлі салаларында пайдаланылады.

Математиктердің келесі ұрпағы Безу теоремасының негізінде басқа да теорияларды және әдістерді дамытты, соның ішінде көпмүшелердің бөлінуі мен қалдықтарды есептеу теориялары.

Этьен Безудың жұмыстары мен оның теоремалары математикалық білімнің дамуына үлкен үлес қосты. Безу теоремасы сол кезеңнен бері математикалық зерттеулерде маңызды құрал болып қала берді

Кейбір есептерде көпмүшені көпмүшеге бөлгендегі қалдықты ғана табуды талап етеді. Безу теоремасы көпмүшені екі мүшеге бөлгендегі бөліндіні таппай-ақ, қалдықты табуға мүмкіндік жасайды.

Безу теоремасы.

көпмүшесін (x-α) екі мүшеге бөлу талап етілсін.

көпмүшені екі мүшеге бөлгендегі калдық r, бөлгіштің болғандағы көпмүшенің мәніне тең, яғни болады.

Далелдеуі. Бөліндіні - , қалдықты - r арқылы белгілейік. Сонда, оны түрінде жазамыз. Erep болса, онда , немесе ягни . Теорема дәлелденді.

Безу теоремасының салдары. көпмүше екі мүшеге бөлінуі үшін саны копмүшесіне түбір болуы қажетті және жеткілікті.

Қажеттілігі. копмүшесі -га бөлінетіні белгілі. болатынын дәлелдейміз.

Дәлелдеуі. Безу теоремасы бойынша . Берілу шарты бойынша -ға бөлінеді, олай болса, r=0 демек

Жеткіліктілігі. екені белгілі. көпмүшесі -га бөлінетінін дәлелдейміз.

Далелдеуі. Безу теоремасы бойынша , берілу шарты бойынша олай болса, r = 0. Демек, көпмүшесі -ға бөлінеді.

М ысалы

Қорытынды

Алгебра мен көпмүшелердің ұғымдары, оларды көбейткіштерге жіктеу әдістері, қысқаша көбейту формулалары және Безу теоремасы – барлығы математиканың негізін құраушы іргетас болып табылады. Бұл тақырыптарды меңгеру математикалық білімнің маңызды кезеңі болып саналады, себебі олар көптеген күрделі математикалық және ғылыми есептерді шешудің негізгі құралдары болып табылады.

Көпмүшелер ұғымы – бұл алгебрадағы негізгі түсініктердің бірі. Көпмүшелердің түрлерін, олардың қасиеттерін білу және оларды әртүрлі алгебралық операцияларда қолдану, мысалы, қосу, азайту, көбейту және бөлу, математикалық өрнектерді ықшамдауға және түсінуге көмектеседі. Көпмүшелер алгебралық теңдеулерді шешуде маңызды рөл атқарады және оларды көбейткіштерге жіктеу әдістері бұл есептерді оңайлатуға мүмкіндік береді.

Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу әдістері математикалық есептерді тиімді және жылдам шешуге мүмкіндік береді. Көпмүшелерді жіктеу арқылы күрделі өрнектерді қарапайым көбейткіштерге бөліп, түбірлерін табу, интегралдау және дифференциалдау сияқты алгебралық операцияларды орындау жеңілдейді. Бұл әдістердің негізінде математикалық интуиция мен логикалық ойлау қабілеттері дамиды, бұл өз кезегінде математикалық және ғылыми-зерттеу жұмыстарында маңызды болып табылады.

Безу теоремасы – алгебралық теңдеулерді шешу мен көпмүшелерді зерттеуде маңызды құрал. Бұл теорема көпмүшелерді бөлуден қалдықты табуға мүмкіндік береді және көпмүшенің белгілі бір мәндегі мәнін есептеуге қолданылады. Безу теоремасы арқылы көпмүшенің түбірлерін табу және оларды көбейткіштерге жіктеу әдістері жеңілдейді. Бұл теорема математиктерге алгебралық өрнектерді талдауға және түсінуге жаңа перспективалар ұсынады.

Математикадағы бұл ұғымдар мен әдістерді игеру және оларды дұрыс қолдану кез келген математикалық есептерді тиімді және жылдам шешуге мүмкіндік береді. Олар математикалық интуицияны дамытуға, логикалық ойлау қабілеттерін арттыруға және математикалық есептерді шешудегі дағдыларды жетілдіруге көмектеседі. Осы білімдерді терең меңгеру болашақта кез келген ғылыми және кәсіби салада табысты болуға негіз қалайды.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Элементарлық математика Асқарова М

2. Алгебра және анализ бастамалары 10 сынып Абылкасымова А

3. Алгебра 7 сынып Әбілқасымова А

4. https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%83_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%8B

5. https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%BF%D0%BC%D2%AF%D1%88%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BA