"Квадрат теңдеуге келтірілетін жоғары ретті теңдеулер" 11 сынып

Квадрат теңдеуге келтірілетін жоғары ретті теңдеулер

А.Биквадратты теңдеулер

Анықтама. Биквадратты теңдеу деп тақ дәрежелі мүшелері жоқ төртінші дәрежелі бүтін рационал алгебралық теңдеуді айтады.

Кез келген биквадратты теңдеу мына төмендегі канондық түрге келтіріледі:

Бұл теңдеуді шешу үшін деп алып, теңдеуді төмендегі квадрат теңдеуге келтіреді.

.

Бұл квадрат теңдеудің түбірлері мына формуламен табылады:

.

Б.Құрамында бір-біріне өзара кері өрнектер бар теңдеулер

түріндегі теңдеулер алмастыруын қолдану арқылы шығарылады. Сонда және бастапқы теңдеу мынандай теңдеуге келтіріледі:

немесе .

Егер бұл теңдеудің екі түбірі болатын болса, онда алмастыруын пайдалана отырып, мына төмендегі теңдеулер жиынтығын аламыз:

В. Қайтымды теңдеулер

Анықтама. алгебралық теңдеуі қайтымды теңдеу деп аталады, егер оның мен -нен бірдей қашықтықта орналасқан коэффициенттері өз ара тең болса:

теорема. Егер -қайтымды теңдеу түбірі болса, онда - де осы теңдеудің түбірі болады.

теорема. Кез келген

түріндегі жұп дәрежелі қайтымды көпмүшелікті

мұндағы

және -қандай да бір -дәрежелі бойынша көпмүшелік түрінде өрнектеуге болады.

теорема. Кез келген тақ дәрежелі қайтымды көпмүшелігі -ге қалдықсыз бөлінеді. Бұған қосымша бөлінді жұп дәрежелі қайтымды көпмүшелік болады.

Дәлелдеуі. Бізге жұп дәрежелі қайтымды көпмүшелік берілсін. 7

Енді (1.2.24)-те ескеретін болсақ:

. Енді соңғы теңдікте мына төмендегі формулаларды қолданатын болсақ:

,

,

,

,

мысал. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Бұл теңдеудің 4-дәрежелі қайтымды теңдеу екенін көру қиын емес. бұл теңдеудің түбірі емес болғандықтан, оның екі жағын да - қа бөлеміз. Сонда мына теңдеу шығады:

,

немесе,

алмастыруын ендіреміз:

, немесе

квадрат теңдеуі шығады.

.

Сонымен:

Жауабы: .

мысал. Теңдеуді шешіңіз: .

Шешуі. Бұл теңдеудің тақ (5) дәрежелі қайтымды теңдеу екенін байқау қиын емес. Сондықтан, берілген теңдеудің симетриялы мүшелерін топтайық:

немесе

немесе

яғни

Бірінші теңдеуден .

Екінші теңдеу 4-дәрежелі қайтымды теңдеу. Оның түбірлері:

.

Жауабы:

Г.

мұндағы түріндегі теңдеулер.

Мұндай теңдеулерді шешу үшін

алмастыруын ендіреді.

Нәтижесінде бойынша мына төмендегі квадрат теңдеу алынады:

мысал. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі.

.

Жауабы: .

Д.

түріндегі теңдеулер.

Мұндай теңдеулерді шешу үшін, теңдеудің екі жағында -қа бөлеміз:

теңдеуінде алмастыруын ендіреміз:

, немесе .

Яғни бойынша квадрат теңдеуге келтірілді.

мысал. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. Теңдеуді -қа бөлеміз.

.

Енді алмастыруын ендіреміз.

Сонда .

Сонымен:

Жауабы: .

Е.

түріндегі теңдеулер.

Бұл теңдеудің екі жағындағы санына бөлсек:

яғни

түріне келеді. (немесе немесе )

шарты орындалатын болса, ол теңдеу квадрат теңдеуге келтіріледі.

мысал. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. (1.2.38) шартын тексерейік: .

Сондықтан:

.

болсын.

Сонда

Жауабы: .

Ғ.

түріндегі теңдеулер.

Егер

шарты орындалатын болса, онда -ке бөлу арқылы:

түріне келеміз.

мысал. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. шарты орындалатын болғандықтан, сол бірінші мен төртінші және екінші мен үшінші көбейткіштерді өзара көбейту арқылы мына теңдеуді аламыз:

теңдеудің екі жағында -қа бөлеміз:

.

алмастыруын ендіреміз:

Жауабы: .

К. түріндегі теңдеулер

Бұл теңдеуді шешу үшін , мұндағы және сандарының арифметикалық ортасы, алмастыруын ендіріп, теңдеуді биквадратты теңдеуге келтіреді.

мысал. теңдеуін шешіңіз.

Шешуі. . Сонда

. Сонда .

Егер болса, онда теңдеудің нақты түбірлері болмайды.

Теңдеуді шешіңіз:

Шешуі : Берілген теңдеуді сол жаққа жинай отырып, ортақ бөлімге

келтіреміз:

Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктіре отырып алатынымыз: