Квадратичная функция и её график

Раздел

Квадратичная функция

ФИО педагога

Орынбаева Артыгай Куралбаевна

Дата

10.02.2025

Класс « 8»

Количество присутствующих:

Количество отсутствующих:

Тема урока

Квадратичная функция и её график

Цели обучения в соответствии с учебной программой

8.4.1.2 знать свойства и строить графики квадратичных функций вида y=a(x-m)², y=ax²+n, y=a(x-m)²+n, a≠0 ; 8.4.1.3знать свойства и строить график квадратичной функции вида ;

8.4.1.4находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции;

Цель урока

знать свойства и строить графики квадратичных функций вида y=a(x-m)², y=ax²+n, y=a(x-m)²+n, a≠0 ;-знать алгоритм нахождения значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции

Ход урока

Этап урока/время

Действия педагога

Действия учеников

Оценивание

Ресурсы

Организационный этап

Повторение

3. Изучение пройденного материала.

Этап закрепления изученного материала.

1.Организационный момент, настрой на урок

Создание благоприятной психологической среды:

Приветствие.

2. Повторение.

Определите, график какой функции изображен на рисунке и перечислите его свойства:

Сообщение темы, постановка целей урока.

Сегодня на уроке мы продолжим работать с квадратичными функциями, будем находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции.

Урок сегодня пройдет необычно. Всем вам известно, 7 февраля в Харбине (Китай) состоялась торжественная церемония открытия IX зимних Азиатских игр-2025, объединившая современные технологии и культурные традиции региона.

В Азиаде примут участие более 1000 спортсменов из 34 стран Азии. Казахстан на Играх в Харбине представят 137 атлетов. Знаменосцами сборной выступили Адиль Бекетаев (хоккей) и Ольга Тихонова (шорт-трек).

Зимняя Азиада намечена на период с 7 по 14 февраля. На сегодняшний день уже утверждены девиз, талисман и эмблема. Талисманами Азиады-2025 будут сибирские тигрята Бинбин и Нини. Слоган звучит как «Зимние мечты, любовь в центре Азии» (Dreams of Winter, Love among Asia).

С пройдут под девизом "Зимние мечты, любовь в центре Азии".

Именно поэтому, сегодня на уроке я предлагаю провести Азиаду по зимним видам спорта. Но в силу места нахождения вы не сможете проявить свою силу, ловкость и сноровку встав на лыжи или на коньки. Поэтому мы проведем Зимнюю Азиаду по математике.

Девиз урока: “Трудное сделать легким, легкое привычным, привычное приятным”

Есть хорошая поговорка: “Повторение – мать учения”.

Математика не исключение, и чтобы хорошо усваивать ее, необходимо повторять и приводить в систему уже изученное.

– А что мы изучали, какую учебную задачу решали на протяжении последних уроков? (Изучали квадратичную функцию, ее свойства, строили графики). – Как вы считаете, мы выполнили поставленную перед нами задачу? Если кто-то ответил себе : “Да”, – то вы молодцы! Это сегодня можно будет продемонстрировать.

Если кто-то ответил в мыслях : “Не совсем”, – у того есть возможность восполнить пробелы.

Потому что сегодня на уроке мы должны:

Изучаем и повторяем

1.Повторение теоретического материала:
определение квадратичной функции; 
выполнение заданий на применение свойств квадратичной функции.

2.Практическая работа: построение графиков;
преобразование графиков; решение практических задач.

Технология “Биоинформатика и синергетика”
Автор Вассерман Ф.Я

Технологическая карта “Математический тренажер”

Цель: Наработка автоматизированного навыка.

Задача : Соблюдение правила отработки навыка. 1. Время. 2. Обьем. 3. Повторяемость.

Девиз: образованность – это умение четко и кратко сформулировать свою мысль в устной и письменной форме.

Учитель дает три задания: НПС, ППС, ВПС. Обьясняется принцип разбивки на три группы: время выполнения : 5,6,7,+30. По окончании времени проводится проверка и отбор по количеству выполненных заданий.

3 задания – группа А садится на первый ряд.

2 задания – группа В садится на второй ряд.

1 задания – группа С садится на третий ряд.

По окончании работы учащиеся обмениваются тетрадями и сверяют выполнение задач с решением на доске.

Разминка.

1.Не строя графика функции, найти ее наибольшее или наименьшее значение: у = – х² – 2х + 3;
х₀ = – 1; у₀ = 4; (–1;4);

Ответ: 4 – наибольшее значение функции.

2. Найдите ординату точки графика функции у = 2х² +3х – 4, абсцисса которой 1;

Ответ:1

3. При а >0 ветви параболы у = ах² направлены … .

Ответ: вверх

1 тур. Актуализация комплекса знаний и способов деятельности.
Семь раз измерь.

Группа А

1. Найдите координаты вершины параболы и изобразите схематически график функции

Ответ: (-4; 19) – вершина параболы

2. Произвести сдвиг параболы y = x² вдоль оси ОX на 4 ед. вправо и на 4 ед. вверх по оси ОY. Написать новое уравнение параболы.
ответ: y = (x – 4)² + 4;

3. Найдите значение функции у =-3 х² +2

 при х=-1

Ответ: 1

Группа В

1 Найдите значение функции у = х² при х=1 Ответ: 1

2. Найдите значение функции у = х²-3

при х=2 Ответ: 1

3. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (0; 19) – вершина параболы

Группа С

1).Функция у = aх² + bx + c, где а, b, c – заданные действительные числа, а ¹ 0, х – действительная переменная, называется … функцией.

Ответ: квадратичной

2. График функции у = ах² при любом а ¹ 0 называют

Ответ: параболой

3. Функция у = х² является … (возрастающей, убывающей) на промежутке х £ 0.

Ответ: убывающей

2 тур Доверяй, но проверяй

Группа А

1.При каком значении аргумента значение функции

   равно 0;

Решение:

При y=0

Решаем квадратное уравнение.

Ответ: При y=0 x=3 и x=0,5.

2. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (4; 19) – вершина параболы

3. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (-4; -10) – вершина параболы

Группа В

1.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х² + 4х + 1. 
на отрезке [ – 3; 0].

Ответ:

у_{наибольшее} = 7 (при х =  – 3);
у_{наименьшее}  =  – 1 (при х =  – 1)

2. При каком значении аргумента значение функции

   равно 3;

При y=3

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

и решаем уравнение типа «произведение равно нулю»:

Ответ: При y=3 x=0 и x=3,5.

3. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (0; -18) – вершина параболы

Группа С

1.Из предложенных функций  у=kх+в;

 у=k/х;   у=ах²+вх+с, укажите квадратичную и дайте определение

Ответ: у=ах²+вх+с Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида: У=ах²+вх+с, где х – независимая переменная, а, в и с – некоторые числа , причем а <> 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

2) План построения: верно ли

1.Квадратичная функция; графиком является парабола, ветви направлены вверх.

2.Координаты вершины параболы

А(m; n);

3.Уравнение оси симметрии параболы: x=m;

4.Точки пересечения с осью ОX;

5.Дополнительные точки с учетом оси симметрии.

Ответ: верно

3. Как из графика функции у=ах² можно получить

график функции  у=ах²+n;
Ответ: График функции У=ах²+n является парабола, которую можно получить из графика функции у= ах² помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на –n единиц вниз, если n<0.

3 тур А ну - ка, рассмотри.

Группа А

1. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (0; -11) – вершина параболы

2. Сумму координат вершины параболы у=(х+1)² – 4 возведите в степень, равную абсциссе 
Ответ: ( –1–4)^–1=–1/5

3. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции

Ответ: (4; -3) – вершина параболы

Группа В

1.Произвести сдвиг параболы y = –x² на 2 ед. влево и 3ед. вниз.написать новое уравнение параболы.
y = –(x + 2)² – 3;

2. Построите график функции

 Ответ : ось ОУ

3. Найдите координаты вершины параболы и построите график функции у=0,5х²  Ответ: вершина параболы (0; 0).

Группа С

1.Как из графика функции у=ах² можно получить

график функции у=а(х–m)²;

Ответ:1.График функции у=а(х–m)² является параболой, которую можно получить из графика функции У=ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц влево, если m>0, или на m единиц вправо , если m<0.

2.График функции у=а(х–m)² является параболой, которую можно получить из графика функции У=ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m>0, или на m единиц влево, если m<0.

2. Что находится по формуле b² – 4ac? Ответ:дискриминант

3. Как из графика функции у=ах² можно получить график функции  у=а(х–m)²+n

Ответ: График функции у = а(х-m)² + n получается из графика функции у = ах² с помощью двух последовательно выполненных преобразований, причем эти сдвиги можно выполнять в любом порядке.

Отвечают на вопросы

а) у = 2х² + 8х + 7;

Таким образом, учащиеся разбиваются на группы, в которых будут работать в процессе урока.

Ученики в группе обсуждают задачу, определяют решение и один ученик представляет решение. Выслушав каждую группу, обсуждают и определяют верное решение.

у =-3 х² +2

Работают у доски и в тетрадях

Ученики пишут вопросы на стикерах и вкладывают в коробочку

Ученики в паре обсуждают задание, выполняют задание

Наблюдение учителя

наблюдение за ответами учащихся.

Похвала учителя

наблюдение за работой учащихся, оказывая консультации

наблюдение за работой учащихся, оказывая консультации

наблюдение за работой учащихся, оказывая консультации

ФО

Учитель читает вопросы и вместе с учениками отвечают на вопросы.

наблюдение за работой учащихся, оказывая консультации

ФО

Слайд №1

Слайд №2

Слайд №3

Приложение 1

Слайд №4

Слайд №5

Приложение 2

Слайд № 6

Слайд № 7

Слайд №8

Слайд №9

Слайд №10

Этап подведения итогов урока. Рефлексия.

Подведение итогов урока. Рефлексия. Учитель возвращает учащихся к целям обучения, критериям успеха.

На карточке надо указать цель обучения данного урока.

- Я не понял ....- Для меня было сложным ...- Я все понял и смогу все выполнить ...

Домашнее задание.

1. Постройте график функции у = х²– 4х – 5

Найдите координаты вершины параболы

По графику определите точки, которые лежат на оси Оу

Найдите значение функции при х=2

При каких значениях переменной значение выражения равно -8

2. Постройте график функции . Найдите «нули функции»

Записывают домашнее задание

Приложение 3

Слайд