Логикалық есептер арқылы математикалық ойлауды дамыту

тапсырмалар жинағы

(5-11 сыныптарға арналған)

Дайындаған: Салтанатова А.С

педагог - сарапшы

2024-2025 оқу жылы

Түсінік хат

Қазіргі заман талабына сай білім беру оқушылардың ойлау қабілетін дамытуды, шығармашылықпен жұмыс істеуге баулуды қажет етеді. Математикалық білім беруде логикалық ойлаудың маңызы зор, себебі ол оқушылардың есептерді стандартты емес тәсілдермен шешуіне, талдау жасауына және тиімді шешім қабылдауына көмектеседі.

“Логикалық есептер арқылы математикалық ойлауды дамыту” атты тапсырмалар жинағы білім беретін мектептердің орта буын оқушыларына (5–11-сыныптар) арналған. Жинақтың негізгі мақсаты – оқушылардың логикалық ойлау қабілетін жетілдіру, стандартты емес есептерді шешу дағдыларын қалыптастыру және олардың математикалық мәдениетін арттыру.

Бұл тапсырмалар жинағы әртүрлі логикалық есептер, қызықты тапсырмалар, математикалық ойындар мен жұмбақтар қамтылған. Сонымен қатар, оқушылардың жас ерекшеліктері мен қабілеттерін ескере отырып, есептердің күрделілік деңгейі біртіндеп өсіп отырады.

Бағдарламада төмендегідей оқыту әдістері қолданылады:

• Проблемалық оқыту әдісі (оқушыларды ойландыру, мәселені шешудің әртүрлі жолдарын қарастыру);

• Сын тұрғысынан ойлау технологиясы (талдау, салыстыру, дәлелдеу, болжам жасау);

• Ойын арқылы оқыту (логикалық ойындар, математикалық жарыстар, танымдық тапсырмалар);

• Топтық және жеке жұмыс тәсілдері.

Осы тапсырмалар жинағының нәтижесінде оқушылардың логикалық ойлау қабілеті артып, математикалық білімдерін күнделікті өмірде қолдану дағдылары дамиды. Сонымен қатар, олардың зейіні, есте сақтау қабілеті және тапқырлығы күшейеді.

Логикалық есептер арқылы математикалық ойлауды дамыту

тапсырмалар жинағы

1. Кіріспе

Бұл тапсырмалар жинағы оқушылардың математикалық ойлау қабілетін дамытуға бағытталған. Логикалық есептерді шешу арқылы оқушылардың аналитикалық ойлау дағдылары қалыптасып, шешім қабылдау, түрлі тәсілдерді қолдану және шығармашылық қабілеттері артады. Тапсырмалар жинағы негізгі және қосымша білім беру жүйесінде қолданылады және дарынды балалармен жұмыста тиімді.

2. Мақсаты

• Оқушылардың логикалық ойлауын жетілдіру;

• Математикалық есептерді әртүрлі әдістермен шешу дағдыларын қалыптастыру;

• Оқушылардың шығармашылық қабілеттерін дамыту;

• Қиындыққа тап болғанда шешім қабылдай білуге үйрету.

3. Міндеттері

• Логикалық есептердің әртүрлі түрлерін меңгерту (комбинаторика, ықтималдықтар теориясы, математикалық ребустар, парадокстар және т.б.);

• Тапқырлықты, зейінді және жылдам ойлауды дамыту;

• Оқушылардың өз бетімен жұмыс істеуін және топтық талқылау жүргізу дағдыларын қалыптастыру.

4. Құрылымы

5–11 сынып оқушыларына арналған

№ Тақырыптар

1 Сандық логика есептері

2 Геометриялық логика есептері

3 Қисынды есептер

4 Логикалық ойлау есептері

5 Шахматқа байланысты логикалық есептер

6 Логикалық жаңылтпаштар

7 Қозғалысқа байланысты есептер

8 Жануарларға байланысты есептер

5. Оқыту әдістері

• Проблемалық оқыту әдісі

• Шығармашылық тапсырмалар

• Топтық жұмыс және миға шабуыл

• Ойын әдістері (ребустар, кроссвордтар, викториналар)

• Практикалық қолдану (өмірлік жағдайлардағы логика)

6. Күтілетін нәтиже

Меңгерген оқушылар:

• Логикалық есептерді тиімді шешу тәсілдерін біледі;

• Аналитикалық ойлау қабілетін дамытады;

• Өз ойын дәлелдеп, шығармашылық тұрғыдан ойлай алады;

• Олимпиадалар мен сайыстарда жоғары нәтижелер көрсете алады.

7. Қорытынды

Логикалық ойлау қабілетін дамытуды мақсат етеді, оқушыларға өзін-өзі жетілдіру дағдыларын қалыптастырып, математикалық есептерді шешуде тереңірек ойланып, әртүрлі тәсілдерді қолдануға үйретеді.

Мазмұны

1 Сандық логика есептері.............................................................................7-9

2 Геометриялық логика есептері.............................................................10-11

3 Қисынды есептер .........................................................................................12

4 Логикалық ойлау есептері..........................................................................13

5 Шахматқа байланысты логикалық есептер...............................................14

6 Логикалық жаңылтпаштар..........................................................................15

7 Қозғалысқа байланысты есептер..........................................................16-17

8 Жануарларға байланысты есептер......................................................18-19

9 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі..............................................................20

Логикалық есептер арқылы математикалық ойлауды дамыту

тапсырмалар жинағы

Сандық логика есептері

№1

Сандар тізбегі:

Келесі санды тап: 2, 6, 12, 20, 30, ?

Жауап: 2 → 6 (+4), 6 → 12 (+6), 12 → 20 (+8), 20 → 30 (+10).

Келесі сан: 30 + 12 = 42

№2

Мен бір сан ойладым, оған 7-ні қоссам, 20 шығады. Мен қандай сан ойладым?

Жауап: x + 7 = 20 → x = 13

№3

Екі санның қосындысы 100-ге тең. Олардың біреуі екіншісінен 20-ға артық. Бұл қандай сандар?

Жауап:

• x + y = 100

• x = y + 20

• (y + 20) + y = 100

• 2y + 20 = 100

• 2y = 80

• y = 40

• x = 40 + 20 = 60

Жауабы: 40 және 60

№4

Мен екі таңбалы сан ойладым. Оның ондық разрядындағы сан бірлік разрядындағы саннан 3 есе үлкен. Егер сандардың орнын ауыстырсақ, бастапқы саннан 54-ке кем болады. Ол қандай сан?

Жауап:

• Сан x = 10a + b

• a = 3b

• 10b + a = 10a + b - 54

• 10b + 3b = 10(3b) + b - 54

• 13b = 31b - 54

• 18b = 54

• b = 3, a = 9

• Сан: 93

№5

Сандар тізбегі

2, 3, 6, 11, 18, 27, ? – келесі сан қандай?

Жауап:

• 2 → 3 (+1)

• 3 → 6 (+3)

• 6 → 11 (+5)

• 11 → 18 (+7)

• 18 → 27 (+9)

• Келесі сан 27 + 11 = 38

№6

Мен бір сан ойладым. Оны 3-ке бөлгенде 2 қалады, 4-ке бөлгенде 3 қалады, 5-ке бөлгенде 4 қалады. Бұл қандай сан?

Жауап:

• Келесі сан барлық жағдайда 1-ге кем болуы керек.

• Ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) 3×4×5 = 60.

• 60-1 = 59

№7

Келесі сан қандай? 1, 2, 6, 24, 120, ?

Жауап:

• Бұл факториалдар қатары:

• 1! = 1

• 2! = 2

• 3! = 6

• 4! = 24

• 5! = 120

• 6! = 720

№8

Сандар тізбегі

1, 4, 9, 16, 25, ? – келесі сан қандай?

Жауап: Бұл квадрат сандар:

• 1² = 1

• 2² = 4

• 3² = 9

• 4² = 16

• 5² = 25

• 6² = 36

№9

Мен ойлаған сан 3-ке, 4-ке және 5-ке бөлінгенде әрдайым 1 қалдық береді. Ол қандай сан?

Жауап:

• Ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ): 3 × 4 × 5 = 60

• Бұл сан 1-ге артық болуы керек → 61

№10

Сандар тізбегі

1, 2, 4, 8, 16, ? – келесі сан қандай?

Жауап:

• Бұл 2-нің дәрежелері:

• 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16

• Келесі сан: 2⁵ = 32

№11

Бір сан ойладым, оны 3-ке көбейтіп, 6-ға бөлдім, нәтижеге 4-ті қостым, сонда 10 шықты. Мен қандай сан ойладым?

Жауабы: Белгісіз санды x деп алып, теңдеу құрастырамыз:

Жауабы: 12

Геометриялық логика есептері

№12

Кесінділерді сана:

Есеп: Егер бір нүктеден 5 түзу сызық жүргізсек, барлығы неше бөлікке бөлінеді?

Жауап:

• 1 сызық → 2 бөлік

• 2 сызық → 4 бөлік

• 3 сызық → 6 бөлік

• 4 сызық → 8 бөлік

• 5 сызық → 10 бөлік

№13

Егер суретте 3×3 квадраттық тор болса, барлығы қанша төртбұрыш бар?

Жауап: 36 төртбұрыш

• (n(n+1)/2)²

• (3×4/2)² = 36

№14

Тордағы шаршылар. 4×4 шаршыдан тұратын торда қанша шаршы бар?

Жауап:

• 1×1 – 16

• 2×2 – 9

• 3×3 – 4

• 4×4 – 1

• Барлығы: 30 шаршы

№15

Төртбұрышты кесу

Тік төртбұрышты екі тең бөлікке кесудің қанша әдісі бар?

Жауап:

• Көлденең

• Тік

• Диагональ бойынша (2 түрлі)

• Барлығы: 4 әдіс

№16

Кесінділерді санау

Егер бір нүктеден 6 түзу жүргізілсе, барлығы неше бөлікке бөлінеді?

Жауап:

• 1 түзу – 2 бөлік

• 2 түзу – 4 бөлік

• 3 түзу – 6 бөлік

• 4 түзу – 8 бөлік

• 5 түзу – 10 бөлік

• 6 түзу – 12 бөлік

№17

Кесінділерді санау

Бір түзу бойында орналасқан 5 нүктеден қанша кесінді сызуға болады?

Жауап:

• Кесінділер саны = n(n - 1)/2

• 5(5 - 1)/2 = 10 кесінді

Қисынды есептер

№18

Көпірден өту:

4 адам көпірден өтуі керек. Көпір түнде өтеді және оларда тек 1 фонарь бар. Әр адамның жүру жылдамдығы әртүрлі:

• Адам А – 1 мин

• Адам B – 2 мин

• Адам C – 5 мин

• Адам D – 10 мин

Көпірден тек 2 адам бірге өте алады. Олар 17 минутта қалай өтеді?

Жауап:

1. А мен B өтеді (2 мин)

2. А қайтады (1 мин)

3. C мен D өтеді (10 мин)

4. B қайтады (2 мин)

5. А мен B өтеді (2 мин)

Барлығы: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут

№19

Бөтелке және су:

Бір шөлмек пен қақпақтың бағасы 110 теңге тұрады. Шөлмек қақпақтан 100 теңгеге қымбат. Қақпақ қанша тұрады?

Жауап:

• x + (x + 100) = 110

• 2x + 100 = 110

• 2x = 10

• x = 5 теңге

Қақпақ – 5 теңге, шөлмек – 105 теңге.

Логикалық ойлау есептері

№20

Тоғыз балық

Аквариумда 9 балық бар. 3-еуі суға батып кетті, 2-еуі жүзіп кетті, 1-еуі өліп қалды. Аквариумда қанша балық қалды?

Жауап: 9 балық. Өйткені балықтар аквариумның ішінде қала береді.

№21

Екі адам және жасы

Есеп: Әкемнің жасы менің жасыма қарағанда 4 есе үлкен. 5 жылдан кейін әкемнің жасы менің жасыма қарағанда 3 есе үлкен болады. Қазір менің жасым қанша?

Жауап:

• x = менің жасым

• 4x = әкемнің жасы

• 5 жылдан кейін: 4x + 5 = 3(x + 5)

• 4x + 5 = 3x + 15

• x = 10

• Әкемнің жасы: 40

№22

Әкем мені 27 жасында туған. Қазір менің жасым әкемнің жасынан 4 есе кіші. Қазір менің жасым қанша?

Жауап:

• x = менің жасым

• 4x = 27 + x

• 3x = 27

• x = 9 жас

№23

Екі әке және екі бала балық аулауға барды. Барлығы 3 балық ұстады, бірақ әрқайсысы бір-бір балықтан алды. Бұл қалай мүмкін?

Жауап: Олар – атасы, әкесі және баласы (үш адам).

№24

Бір адамның туған күні 29 ақпанда. Ол әр 4 жылда бір рет туған күнін тойлайды. Егер қазір оның жасы 40-та болса, ол неше рет туған күнін атап өтті?

Жауабы: 10 рет, өйткені 40 жылда 10 рет 29 ақпан келеді.

Шахматқа байланысты логикалық есептер

№25

Шахмат жарысында 6 ойыншының әрқайсысы бір-бірімен бір рет ойнады. Барлығы қанша партия ойналды?

Жауабы:

Әр ойыншы 5 адаммен ойнайды, бірақ әр партия екі ойыншының арасында өтетіндіктен, жалпы партия саны:

Яғни, 15 партия ойналады.

№26

Үш шахматшы бір-бірімен партия ойнады. Әр ойыншы екі партиядан ойнаған болса, барлығы қанша партия өтті?

Жауабы:

Әр ойыншы екі басқа ойыншымен бір-бірден ойнайды. Яғни, үш ойыншының әрқайсысы екі партия ойнағанымен, жалпы есептегенде әр партия екі адам арасында өтеді.

Сондықтан, барлығы:

Үш партия өтті.

№27

Шахмат турнирінде 10 ойыншының әрқайсысы бір-бірімен бір рет ойнады. Барлығы қанша партия ойналды?

Жауабы:

Әр партия екі ойыншы арасында өтеді. Егер 10 ойыншының әрқайсысы бір-бірімен бір рет ойнаса, онда жалпы партия саны мына формула бойынша есептеледі:

мұндағы n = 10:

Демек, барлығы 45 партия ойналды.

Логикалық жаңылтпаштар

№28

3 адам 3 жұмыртқаны 3 минутта пісірсе, 1 адам 1 жұмыртқаны қанша минутта пісіреді?

Жауабы: 3 минут. Себебі жұмыртқа саны мен адам саны маңызды емес, пісіру уақыты өзгермейді.

№29

4 литрлік және 7 литрлік екі бос ыдысың бар. 7 литрлік ыдыспен дәл 5 литр суды қалай өлшеуге болады?

Жауабы:

1. 4 литрлік ыдысты толтырамыз (4 л).

2. Оны 7 литрлік ыдысқа құямыз (4 л → 7 л).

3. 4 литрлік ыдысты қайтадан толтырамыз (4 л).

4. 7 литрлік ыдысты толтырғанша 4 литрден құямыз (3 л керек, сондықтан 1 литр қалады).

5. 7 литрлік ыдысты төгіп, ішін босатамыз.

6. 4 литрлік ыдыста қалған 1 литрді 7 литрлікке құямыз (1 л → 7 л).

7. 4 литрлік ыдысты тағы да толтырып, 7 литрлік ыдысқа құямыз.

Нәтижесінде 7 литрлік ыдыста 5 литр су қалады.

Қозғалысқа байланысты есептер

№30

Жүріс жылдамдығы, қашықтық және уақытқа байланысты есептер.

Есеп: Бір пойыз сағатына 60 км жылдамдықпен қозғалып келеді. Қарсы бағыттан дәл сондай пойыз келе жатыр. Олар 1 сағаттан кейін кездессе, бастапқыда арақашықтық қанша болған?

Жауабы: 120 км, себебі екеуі 1 сағатта 60 + 60 = 120 км жақындайды.

№31

Қарсы жүру

А және В қалаларының арақашықтығы 440 км. Бір уақытта екі көлік бір-біріне қарама-қарсы бағытта жолға шықты. Бірінші көліктің жылдамдығы 50 км/сағ, ал екіншісінікі 60 км/сағ. Олар қанша уақыттан кейін кездеседі?

Шешуі:

Жалпы жақындау жылдамдығы:

50+60=110 км/сағ

Олар 440 км арақашықтықты жүріп өтуі керек:

= 4 сағат

Жауабы: 4 сағаттан кейін кездеседі.

№32

Өзен ағысы

Қайық ағысқа қарсы 4 км/сағ жылдамдықпен жүреді, ал ағыс жылдамдығы 2 км/сағ. Егер қайық ағыспен жүру уақыты 1.5 сағат болса, қайық қанша қашықтыққа барды?

Шешуі:

Ағысқа қарсы жылдамдық:

4 – 2 = 2 км/сағ

Ағыспен жүрген жылдамдық:

4 + 2 = 6 км/сағ

Қашықтық:

6*1,5 = 9 км

Жауабы: Қайық 9 км қашықтыққа барды.

№33

Екі пойыздың кездесуі

Екі пойыз бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалып келеді. Бірінің жылдамдығы 80 км/сағ, ал екіншісінікі 100 км/сағ. Егер олар бастапқыда 540 км қашықтықта болса, қанша уақыттан кейін кездеседі?

Шешуі:

Жалпы жақындау жылдамдығы:

80+100=180 км/сағ

Кездесуге кететін уақыт:

Жауабы: 3 сағаттан кейін кездеседі.

Жануарларға байланысты есептер

№34

Аулада тауықтар мен қояндар жүр. Егер олардың бас саны 20, ал аяқтарының жалпы саны 54 болса, аулада неше тауық және неше қоян бар?

Шешуі:

1. Тауықтардың санын x, қояндардың санын y деп алайық.

2. Барлық жануарлардың бас саны:

3. Әр тауықтың 2 аяғы, ал әр қоянның 4 аяғы бар, сондықтан аяқтар саны:

4. Бірінші теңдеуден деп аламыз және екінші теңдеуге қоямыз:

5. Жақшаны ашамыз:

6. Ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

7. y = 7, яғни 7 қоян бар.

8. x = 20 - 7 = 13, яғни 13 тауық бар.

Жауабы: 13 тауық және 7 қоян.

№35

Түйелер мен тауықтар

Бір фермердің ауласында түйелер мен тауықтар бар. Егер олардың жалпы саны 35, ал аяқтарының саны 94 болса, фермерде неше түйе және неше тауық бар?

(Белгілісі: тауықтың 2 аяғы, түйенің 4 аяғы бар).

Шешуі:

• Тауықтың 2 аяғы, түйенің 4 аяғы бар.

• Тауықтар санын (x), түйелер санын (y) деп алайық.

Теңдеулер:

1. x + y = 35

2. 2x + 4y = 94

Бірінші теңдеуден x = 35 – y деп алып, екінші теңдеуге қоямыз:

Енді тауық санын табамыз:

Жауабы: 23 тауық, 12 түйе.

№36

Құстар мен мысықтар

Аулада мысықтар мен құстар жүр. Барлық жануарлардың бас саны 24, ал аяқтарының жалпы саны 60. Аулада қанша мысық және қанша құс бар?

(Құстың 2 аяғы, мысықтың 4 аяғы бар.)

Шешімі:

Құстар – x, мысықтар – y болсын.

1. Барлық жануарлардың саны:

2. Аяқтарының саны:

Бірінші теңдеуден x = 24 - y деп алып, екінші теңдеуге қоямыз:

Енді құстардың санын табамыз: x = 24 - 6 = 18

Жауабы: 18 құс, 6 мысық.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Қожабаев Қ., Байшоланов Ш. – «Математикадан логикалық есептер» (оқулық)

2. Қосанов С – «Математикалық логика негіздері»

3. Поляк Г – «Логикалық есептер жинағы»

4. Я.И. Перельман – «Қызықты математика»

5. Зайцев В.Ф – «Математикалық басқатырғылар мен логикалық есептер»

6. Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі бекіткен мектеп математика оқулықтары

7. Online интернет ресурстар:

• mathproblems.kz

• bilimland.kz

• logic-math.com