Математика сабағында оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыту

Математика сабағында оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыту

Аңдатпа

Бұл мақалада математика пәнін оқыту барысында оқушылардың логикалық ойлау қабілетін қалыптастыру мен дамытудың маңызы қарастырылады. Математика тек формулалар мен есептер жиынтығы емес, ол оқушының ойлау мәдениетін, талдау, салыстыру, дәлелдеу, қорытынды жасау және мәселені шешу қабілеттерін қалыптастыратын маңызды оқу пәні болып табылады. Мақалада логикалық ойлаудың ерекшеліктері, оны дамытуға бағытталған тиімді әдіс-тәсілдер, математикалық есептердің рөлі, ойын технологиялары, проблемалық оқыту, зерттеушілік тапсырмалар және цифрлық технологияларды пайдалану жолдары сипатталады. Сонымен қатар оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес қолдануға болатын практикалық тапсырмалар мен олардың шешу жолдары ұсынылады.

Түйін сөздер: математика, логикалық ойлау, математикалық сауаттылық, есеп шығару, проблемалық оқыту, сыни ойлау, зерттеушілік тапсырма, цифрлық технология, математикалық қабілет.

Кіріспе

Қазіргі білім беру жүйесінің негізгі міндеттерінің бірі – білімді дайын күйінде қабылдайтын емес, алған білімін өмірлік жағдайда қолдана алатын, өз ойын еркін жеткізетін, мәселені талдап, дұрыс шешім қабылдайтын тұлға қалыптастыру. Осы тұрғыдан алғанда математика пәнінің алатын орны ерекше.

Математика адамзат өркениетінің дамуында маңызды рөл атқарып келе жатқан ғылымдардың бірі. Ол күнделікті өмірде, экономикада, техникада, ақпараттық технологияларда, инженерияда және басқа да көптеген салаларда кеңінен қолданылады. Сондықтан математиканы оқыту тек

арифметикалық амалдарды орындауға немесе формулалардыжаттауға бағытталмауы тиіс. Математика сабағында оқушыесептің шешімін өздігінен іздеп, берілген ақпаратты саралап,бірнеше шешу жолының ішінен тиімдісін таңдай білуі қажет.

Оқушының осындай қабілеттерін қалыптастыруда логикалықойлаудың маңызы зор. Логикалық ойлау – адамның белгілі бірмәселені жүйелі түрде қарастырып, себеп-салдарлықбайланыстарды анықтап, дәлелді қорытынды жасай білуқабілеті. Математика пәні осы қабілетті дамытудың тиімдіқұралдарының бірі болып табылады.

Математикалық тапсырмаларды орындау барысында оқушысалыстырады, талдайды, жинақтайды, жалпылайды, болжамжасайды және оны дәлелдеуге тырысады. Бұл әрекеттердіңбарлығы баланың ойлау қабілетінің дамуына ықпал етеді.

Сондықтан қазіргі математика сабағында «формуланы білесіңбе?» деген сұрақпен қатар «неліктен?», «қалай дәлелдейаласың?», «басқа жолмен шығаруға бола ма?», «егер шартөзгерсе, нәтиже қалай өзгереді?» деген сұрақтардың дақойылуы маңызды.

1. Математиканы оқытудың оқушы дамуынаәсері

Математика пәні оқушының тек пәндік білімін қалыптастырыпқана қоймай, оның жалпы интеллектуалдық дамуына әсеретеді. Математикалық білімді меңгеру барысында оқушы белгілібір тәртіппен әрекет етуге, өз ойын дәлелді түрде жеткізугежәне нәтижесін тексеруге үйренеді.

Мысалы, қарапайым теңдеуді шешудің өзінде оқушы бірнешекезеңнен өтеді. Алдымен теңдеудің құрылымын түсінеді,белгісіз шаманы анықтайды, тиісті амалдарды қолданады,нәтижесін тексереді. Мұндай жүйелілік кейін басқа пәндердежәне күнделікті өмірде кездесетін мәселелерді шешуге декөмектеседі.

Математика сабағында оқушылардың мынадай қабілеттерідамиды:

талдау;

салыстыру;

жинақтау;

абстрактілі ойлау;

кеңістіктік ойлау;

дәлелдеу;

болжам жасау;

шешім қабылдау;

ақпаратты жүйелеу;

өз әрекетін бақылау.

Математиканы тиімді оқыту оқушыны дайын алгоритмдімеханикалық түрде орындауға емес, сол алгоритмнің мәнінтүсінуге бағыттауы керек. Мысалы, оқушы квадрат теңдеудішешу формуласын жаттап қана қоймай, оның қай жағдайдақолданылатынын және алынған жауаптың мағынасын түсінуіқажет.

Бұл жерде мұғалімнің міндеті – оқушыға барлық жауаптыбірден бермей, оны өздігінен ізденуге бағыттау. Оқушының қатежауап беруі де оқу процесінің бір бөлігі болып табылады. Еңмаңыздысы – оқушы өз қатесін байқап, оның себебін түсініп,дұрыс шешімге келе алуы.

2. Логикалық ойлау және оның негізгіерекшеліктері

Логикалық ойлау – белгілі бір мәселені жүйелі және дәйектітүрде шешуге мүмкіндік беретін ойлау түрі. Ол адамның нақтыфактілерге сүйеніп, олардың арасындағы байланыстардыанықтауына негізделеді.

Логикалық ойлаудың негізгі операцияларына талдау, синтез,салыстыру, абстракциялау және жалпылау жатады.

Талдау – берілген мәселені жеке бөліктерге ажыратыпқарастыру. Мысалы, мәтінді есеп шығарғанда оқушы есептіңшартын, белгілі шамаларды және белгісіз шаманы бөлеканықтайды.

Синтез – жеке бөліктерді біріктіріп, біртұтас қорытынды жасау.Оқушы есептің әрбір элементін қарастырып болған соң,олардың арасындағы байланысты анықтайды.

Салыстыру – екі немесе бірнеше объектінің ұқсастықтары менайырмашылықтарын анықтау. Математикада фигураларды,сандарды, өрнектерді немесе есептердің шешу жолдарынсалыстыруға болады.

Жалпылау – бірнеше жеке мысалдан ортақ заңдылықтыанықтау. Мысалы, бірнеше жұп санды зерттей отырып, оқушыолардың барлығының 2-ге бөлінетінін түсінеді.

Абстракциялау – объектінің маңызды қасиеттерін бөліп алып,қосымша белгілеріне назар аудармау.

Осы ойлау операцияларының барлығы математикасабақтарында табиғи түрде қалыптасады. Сондықтанматематикалық тапсырмаларды дұрыс таңдау арқылыоқушының логикалық ойлауын жүйелі түрде дамытуға болады.

3. Логикалық ойлауды дамытудағыматематикалық есептердің рөлі

Математика сабағындағы ең маңызды оқу құралдарының бірі –есеп. Есеп шығару барысында оқушы тек математикалықамалдарды орындап қоймайды, ол белгілі бір мәселеніңшешімін іздейді.

Есептерді мазмұны мен мақсатына қарай бірнеше түрге бөлугеболады:

стандартты есептер;

стандартты емес есептер;

логикалық есептер;

зерттеушілік есептер;

практикалық есептер;

шығармашылық есептер.

Стандартты есептер белгілі бір алгоритмді бекітуге мүмкіндікбереді. Ал стандартты емес және логикалық есептер оқушыныдайын үлгіге сүйенбей ойлануға үйретеді.

Мысалы:

Есеп: Үстелде 5 алма тұр. Оның екеуін алып қойды. Үстелденеше алма қалды?

Бұл есеп қарапайым болғанымен, оқушыға нақтыматематикалық жағдайды түсінуге мүмкіндік береді.

Ал логикалық тапсырма күрделірек болуы мүмкін:

Есеп: Үш қораптың сыртында «алма», «алмұрт», «алма меналмұрт» деген жазулар бар. Бірақ үш жазудың да қате екенібелгілі. Бір ғана қораптан бір жеміс алып көру арқылы барлыққораптың дұрыс атауын қалай анықтауға болады?

Мұндай тапсырма оқушыдан формуланы қолдануды емес,логикалық байланыстарды анықтауды талап етеді. Оқушышарттағы негізгі ақпаратты бөліп алып, мүмкін болатынжағдайларды біртіндеп талдайды.

Сондықтан математика сабақтарында әртүрлі деңгейдегіесептерді жүйелі түрде қолдану қажет.

4. Проблемалық оқыту арқылы логикалықойлауды қалыптастыру

Логикалық ойлауды дамытудың тиімді әдістерінің бірі –проблемалық оқыту.

Проблемалық оқыту кезінде мұғалім оқушыға дайын білімдібермейді. Оның орнына белгілі бір мәселе немесе сұрақұсынады. Оқушы мәселені шешу үшін өз білімі мен тәжірибесінпайдаланады.

Мысалы, мұғалім сабақта мынадай сұрақ қоя алады:

«Неліктен кез келген тақ санды тақ санға көбейткенде тақсан шығады?»

Оқушылар бірнеше мысал келтіреді:

3 × 5 = 157 × 9 = 6311 × 3 = 33

Содан кейін осы заңдылықты түсіндіруге тырысады. Мұғалімоқушыларды тақ санның жалпы түрін қолдануға бағыттайды:

2n + 1

Екі тақ санды көбейтсек:

(2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1

Бұл өрнекті:

2(2ab + a + b) + 1

түрінде жазуға болады. Демек, нәтиже де тақ сан болады.

Мұндай тапсырмада оқушы алдымен болжам жасайды, кейінмысалдар арқылы тексереді және соңында математикалықдәлелге келеді. Бұл – логикалық ойлаудың қалыптасуы үшін өтетиімді тәсіл.

5. Сұрақ қою әдісінің маңызы

Математика сабағында мұғалімнің қойған сұрақтары оқушыныңойлау деңгейіне тікелей әсер етеді.

Тек қысқа жауапты талап ететін сұрақтардың орнына оқушынытүсіндіруге, дәлелдеуге және салыстыруға бағыттайтынсұрақтарды көбірек қолданған жөн.

Мысалы:

«Бұл есептің жауабы қанша?»

«Бұл есепті қандай тәсілмен шығаруға болады?»

«Неліктен осы тәсілді таңдадың?»

«Басқа шешу жолы бар ма?»

«Жауабыңды қалай тексеруге болады?»

«Есептің шартындағы бір сан өзгерсе, нәтиже қалайөзгереді?»

«Бұл заңдылықты басқа мысалдарда қолдануға бола ма?»

Осындай сұрақтар оқушыны өз ойын түсіндіруге үйретеді.

Мұғалім үшін оқушының тек дұрыс жауап беруі емес, солжауапқа қалай келгені маңызды. Егер оқушы есепті дұрысшығарса, оның шешу жолын түсіндіруін сұрау қажет. Ал қатежауап берсе, бірден дұрыс жауапты айтпай, қатенің қай жердекеткенін анықтауға мүмкіндік берген дұрыс.

6. Ойын технологияларын қолдану

Оқушылардың жас ерекшеліктеріне сәйкес математикалықойындарды қолдану олардың пәнге деген қызығушылығынарттырады.

Математикалық ойындар арқылы оқушылар есеп шығарудықызықты әрекет ретінде қабылдай бастайды. Әсіресе бастауышжәне орта буын оқушылары үшін ойын элементтерінің маңызыжоғары.

Мысалы, «Санды тап» ойынында мұғалім белгілі бір сандыжасырады және оның қасиеттерін сипаттайды:

Бұл сан 20-дан үлкен.

50-ден кіші.

3-ке бөлінеді.

Жұп сан емес.

Оқушылар шарттарды пайдалана отырып, мүмкін болатынсандарды анықтайды.

Тағы бір тиімді ойын – «Математикалық домино». Біркарточкада есеп, екінші карточкада оның жауабы беріледі.Оқушы сәйкес карточкаларды тауып, тізбек құрайды.

«Кім жылдам?» ойынында оқушылар белгілі бір уақыт ішіндебірнеше тапсырма орындайды. Бірақ мұндай жарыстарда текжылдамдыққа емес, жауаптың дұрыстығына және шешужолының сапасына да көңіл бөлу керек.

Ойын технологиясының басты мақсаты – математиканы ойынғаайналдыру ғана емес, ойын арқылы математикалық ойлаудыдамыту.

7. Зерттеушілік тапсырмалардың тиімділігі

Оқушының логикалық ойлауын дамытудың тағы бір жолы –зерттеушілік тапсырмаларды пайдалану.

Зерттеушілік тапсырмада оқушы дайын формуланы қолданбай,белгілі бір заңдылықты өзі анықтайды.

Мысалы, оқушыларға мынадай тапсырма беруге болады:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19

қосындысын табу.

Оқушы сандарды бір-бірлеп қосуы мүмкін. Бірақ мұғалім:

«Бұл есепті басқа жолмен шығаруға бола ма?»

деген сұрақ қойса, оқушылар заңдылық іздей бастайды.

Бірінші және соңғы сандарды жұптастыруға болады:

1 + 19 = 203 + 17 = 205 + 15 = 207 + 13 = 209 + 11 = 20

Бес жұптың әрқайсысы 20-ға тең:

5 × 20 = 100

Осы тапсырма арқылы оқушылар қосындыны тиімді есептеутәсілін ғана емес, сандар арасындағы заңдылықты байқауды даүйренеді.

Зерттеушілік тапсырмалардың тағы бір артықшылығы – оқушыөз шешіміне жауапкершілікпен қарайды. Ол дайын жауаптықабылдамайды, өзінің болжамын дәлелдеуге тырысады.

8. Математикалық сауаттылықты дамыту

Қазіргі уақытта математикалық сауаттылық ұғымына ерекшекөңіл бөлінеді. Математикалық сауатты адам математикалықбілімін күнделікті өмірде қолдана алады.

Мысалы, дүкендегі жеңілдікті есептеу, отбасы бюджетінжоспарлау, уақытты анықтау, қашықтықты есептеу, пайыздықкөрсеткіштерді түсіну сияқты әрекеттердің барлығыматематикалық білімді қажет етеді.

Сондықтан мектептегі есептерді өмірлік жағдайларменбайланыстыру маңызды.

Мысалы:

«Дүкенде бағасы 20 000 теңге болатын тауарға 15%жеңілдік жасалды. Тауардың жаңа бағасы қанша?»

Оқушы:

20 000 × 15% = 3 000 теңге

20 000 – 3 000 = 17 000 теңге

екенін анықтайды.

Бұл тапсырма пайыз тақырыбын меңгерумен қатар, оқушығаматематиканың күнделікті өмірдегі қолданылуын көрсетеді.

Тағы бір мысал:

«Отбасы ай сайын электр энергиясына орта есеппен 12000 теңге төлейді. Егер электр энергиясын тұтыну 10%-ғаазайса, төлем қанша болады?»

Мұндай тапсырмалар оқушыны математикалық есептеуді нақтыөмірлік шешімдермен байланыстыруға үйретеді.

9. Цифрлық технологияларды математикасабағында пайдалану

Қазіргі білім беру процесін цифрлық технологияларсызелестету қиын. Интерактивті тақта, математикалықбағдарламалар, онлайн тесттер және виртуалды модельдероқушылардың пәнге қызығушылығын арттыруға мүмкіндікбереді.

Цифрлық ресурстарды қолдану кезінде мұғалім олардың сабақмақсатына сәйкестігін ескеруі керек. Технология тек көрнекілікүшін емес, оқушының оқу әрекетін жақсарту үшінпайдаланылғаны дұрыс.

Мысалы, геометрия сабағында динамикалық модельдерарқылы үшбұрыштың қабырғаларын өзгертіп, оныңбұрыштарының өзгерісін бақылауға болады. Бұл оқушығагеометриялық байланыстарды көзбен көруге мүмкіндік береді.

Графиктерді зерттеу кезінде де цифрлық құралдардың пайдасызор. Оқушы функцияның параметрлерін өзгертіп, графиктіңқалай өзгеретінін бірден көре алады.

Сонымен қатар онлайн викториналар мен интерактивтітапсырмалар оқушылардың білімін жылдам тексеруге мүмкіндік

береді.

Алайда технология мұғалімнің орнын баспайды. Ол – оқупроцесін ұйымдастыруға көмектесетін құрал. Негізгі мақсат –оқушының математикалық ойлауын дамыту.

10. Саралап оқытудың маңызы

Бір сыныптағы оқушылардың математикалық қабілеті бірдейболмайды. Бір оқушы есепті тез түсінсе, екінші оқушығақосымша түсіндіру қажет болуы мүмкін. Сондықтан математикасабағында саралап оқыту әдісін қолдану маңызды.

Тапсырмаларды бірнеше деңгейге бөлуге болады.

А деңгейі – базалық тапсырмалар.

Оқушы негізгі ережені қолданады және қарапайым есептердіорындайды.

В деңгейі – орташа күрделілік.

Оқушы бірнеше әрекетті қатар орындап, белгілі бір заңдылықтыпайдаланады.

С деңгейі – күрделі немесе шығармашылық тапсырма.

Оқушы бірнеше шешу жолын іздейді, өз болжамын дәлелдейдінемесе жаңа жағдайға білімін қолданады.

Мысалы, квадрат теңдеулер тақырыбында:

А деңгейі:

x² – 5x + 6 = 0

В деңгейі:

2x² – 7x + 3 = 0

С деңгейі:

Түбірлерінің қосындысы 7-ге, көбейтіндісі 10-ға теңболатын квадрат теңдеу құрастыр.

Соңғы тапсырма оқушыдан кері ойлауды және математикалықбайланысты түсінуді талап етеді.

11. Логикалық тапсырмалардың үлгілері

Оқушылардың логикалық ойлауын дамыту үшін сабақбарысында қысқа тапсырмаларды тұрақты түрде қолдануғаболады.

1-тапсырма

Бір санды 2-ге көбейтіп, оған 6 қосқанда 20 шықты. Бұл қандайсан?

Шешуі:

2x + 6 = 20

2x = 14

x = 7

Жауабы: 7.

2-тапсырма

Үш санның қосындысы 30-ға тең. Бірінші сан екіншісінен 2-геартық, ал үшінші сан екіншісінен 4-ке кем. Сандарды тап.

Екінші санды x деп белгілесек:

бірінші сан – x + 2,

үшінші сан – x – 4.

Сонда:

x + 2 + x + x – 4 = 30

3x – 2 = 30

3x = 32

Бұл жерде бүтін сан шықпайды. Демек, шартты қайта тексерукерек.

Осы тапсырма оқушыға тек есеп шығаруды емес, есептіңшартын сын тұрғысынан тексеруді де үйретеді.

3-тапсырма

Қатардағы заңдылықты тап:

2, 4, 8, 16, 32, ...

Әрбір сан алдыңғы саннан 2 есе үлкен.

Келесі сан:

32 × 2 = 64.

Бірақ мұғалім оқушыларға тек келесі санды тапқызуменшектелмей:

«Осы қатарды басқа заңдылықпен құруға бола ма?»

деген сұрақ қойса, оқушылар математикалық заңдылық ұғымынтереңірек түсінеді.

12. Мұғалімнің логикалық ойлаудыдамытудағы рөлі

Оқушының логикалық ойлауын дамытуда мұғалімнің кәсібишеберлігі маңызды орын алады.

Мұғалім сабақта оқушыға ойлануға жеткілікті уақыт беруі керек.Кей жағдайда мұғалім оқушы жауап бере алмай қалғандабірден көмектесуге тырысады. Алайда шамадан тыс көмекоқушының өздігінен ойлауына кедергі келтіруі мүмкін.

Сондықтан мұғалім бағыттаушы сұрақтар қолданғаны дұрыс:

«Есепте не белгілі?»

«Не белгісіз?»

«Қандай байланыс бар?»

«Бұған дейін қандай ережені қолдандың?»

«Алынған жауапты қалай тексеруге болады?»

«Бұл есепті кері бағытта қарастыруға бола ма?»

Мұғалім оқушының кез келген әрекетін бағалай отырып, оныңойлау процесіне де назар аударуы қажет.

Мысалы, «Дұрыс» немесе «Қате» деген қысқа бағалаудыңорнына:

«Сен дұрыс бағытта келе жатырсың, бірақ мына қадамдықайта тексеріп көр»

деген кері байланыс оқушыны әрі қарай ізденугеынталандырады.

13. Оқушылардың математикалық қателерінтиімді пайдалану

Қате – оқу процесінің маңызды бөлігі. Математикада оқушыныңқатесін жазалау емес, оның себебін анықтау маңызды.

Мысалы, оқушы:

3(x + 2) = 3x + 2

деп жазса, мұғалім бірден дұрыс жауапты айтудың орнына:

«3 саны жақша ішіндегі барлық мүшеге қалай әсер етеді?»

деп сұрай алады.

Оқушы:

3(x + 2) = 3x + 6

екенін өзі анықтайды.

Бұл әдіс оқушының ережені жай жаттап алуының орнына оныңмәнін түсінуіне мүмкіндік береді.

Қателерді талдау барысында оқушылар:

өз қатесін анықтайды;

қате кеткен кезеңді табады;

дұрыс шешімді салыстырады;

келесі жолы сол қатені қайталамауға үйренеді.

Бұл – өзін-өзі бақылау дағдысының қалыптасуына ықпал етеді.

14. Математика сабағында шығармашылықтапсырмаларды пайдалану

Шығармашылық тапсырмалар оқушының стандартты емесойлау қабілетін дамытады.

Мысалы, оқушыға:

«Төрт төртті пайдаланып, 10 санын шығар»

деген тапсырма беруге болады.

Оқушы әртүрлі математикалық амалдарды пайдаланып шешіміздейді.

Немесе:

«Қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандар болатынжәне периметрі 20 см болатын бірнеше тіктөртбұрышқұрастыр.»

Оқушы мүмкін болатын жұптарды іздейді:

1 және 9;2 және 8;3 және 7;4 және 6;5 және 5.

Бұл тапсырма арқылы оқушы периметр формуласынқолданумен қатар, барлық мүмкін жағдайларды жүйелі түрдеқарастыруға үйренеді.

Шығармашылық тапсырмалар оқушыға бір есептің бірнешешешімі болуы мүмкін екенін түсіндіреді.

Қорытынды

Математика пәні – оқушылардың логикалық ойлау қабілетіндамытуға мүмкіндік беретін ең тиімді оқу пәндерінің бірі.Математикалық білімді меңгеру барысында оқушы талдайды,салыстырады, болжам жасайды, дәлелдейді, қорытындышығарады және өз шешімін тексереді.

Қазіргі мектептегі математика сабағы тек формулалар менережелерді жаттатуға негізделмеуі тиіс. Сабақ барысындаоқушының өздігінен ойлануына, сұрақ қоюына, зерттеужүргізуіне және бірнеше шешім жолын қарастыруына жағдайжасалуы қажет.

Осы мақсатта проблемалық оқыту, логикалық тапсырмалар,математикалық ойындар, зерттеушілік жұмыстар,шығармашылық есептер, саралап оқыту және цифрлықтехнологиялар тиімді пайдаланылуы мүмкін.

Мұғалімнің негізгі міндеті – оқушыға дайын жауапты ұсынуемес, сол жауапқа өздігінен жетуге мүмкіндік беру. Оқушыесепті өзі талдап, шешімін іздеген кезде оның математикалықбілімі ғана емес, ойлау қабілеті де дамиды.

Логикалық ойлауы жақсы қалыптасқан оқушы математикалықесептерді шешумен қатар, күнделікті өмірдегі мәселелерді дежүйелі түрде қарастыра алады. Ол ақпаратты саралап,маңыздысын ажыратып, дәлелдерге сүйеніп шешім қабылдауғаүйренеді.

Сондықтан математика пәнін оқытудағы басты мақсаттардыңбірі – оқушыға математикалық білім берумен қатар, ойлайбілетін, талдай алатын, дәлелдей алатын және алғанбілімін өмірде қолдана алатын тұлға қалыптастыру.

Математика сабағында логикалық ойлауды жүйелі түрдедамыту – оқушының қазіргі білім алуына ғана емес, оныңболашақ кәсіби және қоғамдық өміріне де үлкен әсер ететінмаңызды педагогикалық міндет.

Пайдаланылған әдебиеттер

Қазақстан Республикасының жалпы орта білім берудіңмемлекеттік жалпыға міндетті стандарты.

Қазақстан Республикасы Оқу-ағарту министрлігі. Жалпыбілім беретін мектептерге арналған математика пәнінің оқубағдарламалары.

Әбілқасымова А.Е. Математиканы оқыту әдістемесі. –Алматы.

Қоянбаев Ж.Б., Қоянбаев Р.М. Педагогика. – Алматы.

Выготский Л.С. Педагогикалық психология.

Поля Г. Как решать задачу. – Москва.

Пойа Д. Математикалық жаңалық ашу және есептердішешу.

Блум Б. Таксономия образовательных целей.

Қазақстан Республикасының білім беру саласына қатыстыәдістемелік құралдар мен оқу-әдістемелік материалдар.

Жалпы білім беретін мектептерге арналған математикаоқулықтары мен есептер жинақтары.