ЖИ көмекші
Қауіпсіз төлем
жүктеу мүмкіндігіне ие боласыз
Бұл материал сайт қолданушысы жариялаған. Материалдың ішінде жазылған барлық ақпаратқа жауапкершілікті жариялаған қолданушы жауап береді. Ұстаз тілегі тек ақпаратты таратуға қолдау көрсетеді. Егер материал сіздің авторлық құқығыңызды бұзған болса немесе басқа да себептермен сайттан өшіру керек деп ойласаңыз осында жазыңыз
10 Маусым 2019
2356
1 жыл бойы шексіз жүктеңіз
"Мектеп математикасындағы симметриялық көпмүшенің қолданысы" Жоба
Аннотация
Жұмыстың өзектілігі Математика курсын оқытуда ғылым мен техниканың дамуына байланысты, мектептегі оқу пәндерінің мазмұнына өзгерістер енуі, оқушылардың білім сапасын арттыру бүгінгі күннің талабы. Сондықтан оқу процесінде көпмүшені көбейткіштерге жіктеу, көпмүшенің түбірі, жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде оқушыларға қиындықтар туғызатылы мәлім. Сонымен қатар жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шешуде симметриялық көпмүшені қолданудың маңызы зор.
Ғылыми
жаңашылдығы Математика
курсын оқытуда жалпыға бірдей білім
беру жағдайларында оқу процесінде
көпмүшелер теориясы туралы толық түсінік
алу арқылы жеке тұлғаның дағдысын
қалыптастыру.
Ғылыми
жұмыстың мақсаты Математиканы
оқыту барысында тереңірек көпмүше
ұғымымен танысу, көпмүшелерді толық
зерттей отырып , пәнге қызығушылығын
дамыту арқылы симметриялы көпмүшелерді
қолданып есептерді шешудің жолдарын
үйрену.
Annotation
The relevance of the work
In connection with the development of science and technology in the teaching of mathematics course, include changes in the content of school subjects, the requirement to improve the quality of education of students today. Therefore, the root of the polynomial factoring polynomials in the educational process at a high level causes problems for students to solve equations. At the same time, the use of highly symmetric multinomial solving the system of equations is of great importance.
The aim of the research work
To introduce the concept of polynomials students in teaching mathematics, a variable polynomials research, thinking of the interest of the course is to improve the ability of students to learn how to solve the problem by using polynomials.
The level of scrutiny of the work
The use of higher mathematics is being taught in the course of polynomials ring and polynomials the greatest common denominator and the most efficient use of Euclid's algorithm for finding the least common multiple of polynomials several variables, polynomials, symmetric polynomials ways.
Актуальность работы
В связи с развитием науки и техники в преподавании математики, изменения в содержании школьных предметов, улучшение качество обучения школьников основные требования сегодняшнего дня. Поэтому в учебном процессе для школьников вызывают затруднения задачи на разложение на множители многочлен, решение иррациональных уравнении, решение систем уравнения. Поэтому использование симметричных многочлен при решении этих задач имеет большое значение.
Цель научно-исследовательской работы
В процессе обучения математике поглубже изучать теорию многочленов. Полностью исследовав симметричных многочлен, знать как использовать их в решении различных задач.
Пікір
Жанатова Гүлімнің жазған ғылыми жобасы «Мектеп математикасындағы симметриялық көпмүшенің қолданысы» . Ғылыми жұмыс кіріспе, негізгі бөлім және қорытынды бөлімнен тұрады. Кіріспе бөлімде таңдап алынған тақырыптың маңыздылығы мен мақсаты жазылған. Негізгі бөлімде симметриялық көпмүше , оның мектеп курсында қолдануы туралы айтылған. Мектеп курсында қарастырылмаған кейбір есептер көрсетіліп, дәлелденген. . Жобаны орындаушы зерттеу әдістемесін дұрыс таңдаған. Бұл жобаның әлі де зерттеліп, симметриялы көпмүшелердің қолданысын әлі де тереңірек қаралып,келешекте үлкен ғылыми жұмыстың негізі болатынына сенемін.
I. Негізгі бөлім.
Симметриялы көпмүшелер
Құрамындағы белгісіздердің орындарын кез келген түрде алмастырғанда өзгермесе, оны симметриялы көпмүшелік деп атаймыз.
Мысалы: f(х1,……хn)= x12+x22+………+xn2+x1∙x2+…..+xn-1∙xn
Симметриялы көпмүшеліктерге мысал үшін , негізгі (элементар) симметриялы көпмүшеліктер деп аталатын мына
δ1 = x1+x2+…+xn ,
δ 2= x1x2+x 1x 2x 4+…+ xn-2 xn-1 xn ,
δ 3= x1x2x3+x1x3+…+xn-1 xn ,
------------------------------------------ (*)
δ n-1= x1x2x3.. xn-1+...+ x2x3 xn ,
δ n= x1x2…xn
көпмүшеліктерін алуға болады.
Көпмүшеліктердің қосылғыштары болатын бірмүшеліктердің барлығы бірінен – бірі құрамындағы белгісіздерді алмастырудан шықса, ондай көп белгісізді көпмүшеліктерді моногенді дейміз. Бұл анықтамадан моногенді көпмүшеліктердің симметриялы болатыны шығады. Керісінше кез келген симметриялы көпмүшеліктер моногенді көпмүшеліктердің қосындысынан тұрғандықтан, моногенді болмауы мүмкін.
Симметриялы көпмүшеліктер туралы негізгі теореманы дәлелдеу үшін алдымен төмендегі леммаларды білу керекпіз.
Симметриялы көпмүшеліктер туралы леммалар
К[x1,…xn] сақинасы берілсін.
ЛЕММА. Егер ах1к1 ∙х2к2 ∙...∙хnkn дегеніміз көпмүшеліктер сақинасынан алынған нольге тең емес f € К[x1,…xn] көпмүшелігінің жоғарғы мүшесі болса, онда k1≥ k2≥ k3 ≥…≥ kn.
ДӘЛЕЛДЕУ. Көпмүшеліктер сақинасынан f(х1,……хn)≠0 € К[x1,…xn] алынған көпмүшелігінің жоғары мүшесі ах1к1 ∙х2к2 ∙...∙хnkn (1) болсын . Нормальдық түрдегі f симметриялы көпмүшелігінің құрамына тағы мына бірмүшеліктер де кіреді:
а ∙ х1к2 ∙х2к1 ∙х3к3 ∙...∙хnkn (2)
а ∙ х1к1 ∙х2к3 ∙х3к2 ∙...∙хnkn (3)
Жоғары мүшенің анықтамасынан (1) мен (2) бірмүшеліктерін қарастырсақ, (1) бірмүшелігі (2) бірмүшелігінен жоғары болады. Олай болса k 1 ≥ k2 , (1) мен (3) –ті алсақ, k 2 ≥ k3 , онда k 1 ≥ k2 ≥ k 3 шығады т.с.с k 1 ≥ k2 ≥ k 3 ≥ ... ≥ k п екенін аламыз.
ЛЕММА. Егер ах1к1 ∙х2к2 ∙...∙хnkn (1) бірмүшелігі
f(х1,……хn)≠0 € К[x1,…xn] – тің жоғарғы мүшесі болса, онда f пен
болады (беттеседі).
Дәлелдеу. (**) – нің құрамындағы δ 1,...δп негізгі симметриялы көпмүшеліктердің жоғарғы мүшелері сәйкес х1, х1 ∙ х2,..., х1∙ х2∙ х3∙...∙ хп
болады. Онда aδ1k1-k2 δ2k2-k3∙…∙δnkn көпмүшелігінің жоғарғы мүшесінің
көбейткіштерінің жоғарғы мүшелері сәйкес
х1к1-к2, (х1 ∙ х2)к2-к3,...,( х1∙ ...∙ хп)кп
Бұдан көпмүшеліктің жоғарғы мүшелерінің көбейтіндісі туралы лемма бойынша (** )- ның жоғарғы мүшесі
а∙х1к1-к2+к2-к3+к3-...-кп+кп ∙х2к2-к3+...-кп+кп ∙...∙хпкп= а ∙ х1к1 ∙х2к3 ∙х3к2 ∙...∙хnkn
Ендеше f пен (**) – ның жоғарғы мүшелері тең.
АНЫҚТАМА. f >g болады және сонда тек қана сонда егер f көпмүшелігінің жоғарғы мүшесі g көпмүшелігінің жоғарғы мүшесінен жоғары болса.
АНЫҚТАМА. Көпмүшеліктер сақинасынан алынған φ 1,φ 2,φ 3,... көпмүшелер тізбегін кемімелі тізбек деп атаймыз, егер
φ 1 >φ 2 >φ 3 >... (4)
3- ЛЕММА. К[x1,…xn] сақинасындағы нолдік емес көпмүшеліктердің (4) кемімелі тізбегі шектеусіз болуы мүмкін емес.
Симметриялы көпмүшелер туралы негізгі теорема
К[x1,…xn] сақинасындағы кез келген симметриялы көпмүшеліктерді
δ1 , δ2 ,..... δп – негізгі симметриялы көпмүшеліктер арқылы өрнектеуге болады, яғни f (x1, x2,….., xn) € К[x1,…xn] үшін g(x1, x2,….., xn) € К[x1,…xn]
табылып, мынадай
f (x1, x2,….., xn)= g(δ1 (x1, x2,….., xn),.... δn (x1, x2,….., xn)) теңдік орындалады.
Дәлелдеу.
f(х1,……хn)≠0 € К[x1,…xn] симметриялы көпмүшелік болсын және
а 0∙ х1α1 ∙х2α2 ∙х3α3 ∙...∙хnαn оның жоғарғы мүшесі болсын . Онда белгісіздердің дәреже көрсеткіштері α1≥ α2≥ α3 ≥…≥ αn теңсіздіктерін қанағаттандырады.
φ0= a0 δ1α1-α2 δ2α2-α3∙…∙δn-1 αn-1-αn∙δnαn көбейтіндісін жазайық . Оның жоғарғы мүшесі f(х1,……хn) – нің жоғарғы мүшесімен тең болады.
Шынында да δ1 , δ2 ,..... δп негізгі симметриялы көпмүшеліктердің жоғарғы мүшелері х1 , х1 х2 ,..., х1 х2 ...хп болады. Сондықтан φ0
Симметриялы көпмүшелілігінің жоғарғы мүшесі
а 0∙ х1α1-α2 ∙(х1 х2 )α2-α3 ...(∙х1 х2...хп ) ап = а0 х1α1 х2 α2 ...хп ап
Сонымен f пен g көпмүшеліктерінің жоғарғы мүшелері
артпайды (f 1 > f2 ) және т.с.с. Бұл процесстің шектеусіз болуы мүмкін емес.(S+1) қадамнан кейін айырма 0- ге тең болсын, яғни
f S+1 = f S - φ s= f S - asδ1t1-t2∙ δ2t2-t3…..δn-1tn-1-tnδntn=0
Енді (1),(2),...,( S+1) теңдеулерін мүшелеп қосып:
f = a0 δ1α1-α2 δ2α2-α3∙…∙δn αn + a1 δ1l1-l2 δ2l2-l3 ….δn ln+…+asδ1t1-t2∙δ2t2-t3…δntn
аламыз. Бұл берілген симметриялы f көпмүшелігінің негізгі симметриялы көпмүшелер арқылы өрнектелуі .
Мысал-1.
х12х2 + х1х22 + х12х3 + х1х32 + х22х3 + х2х32 көпмүшелігін негізгі симметриялы көпмүшеліктер арқылы өрнекте.
Шешуі: Жоғарғы мүшесі х12х21х30 оған сәйкес белгісіздердің дәреже көрсеткіштерінің жүйесі 210
φ0 =δ1 δ2 = (х1 + х2 + х3)(х1 х2+х1 х3+х2 х3) =
х12 х2 +х1 х22 + х1 х2 х3 + х12 х3 + х1 х2 х3 + х1 х32 + х1 х2 х3 + х22 х3 +х2 х33 =
х12 х2 +х1 х22 + х12 х3 + х1 х32+ х22 х3+ х2 х33+ 3х1х2 х3
f1 = f - φ0= - 3х1х2 х3 f1 көпмүшеліктерінің жоғарғы мүшесі - 3х1х2 х3
сәйкес белгісіздердің дәреже көрсеткіштерінің жүйесі 1 1 1
φ 1 = - δ3 = - 3х1х2 х3
f2 = f1 - φ 1= 0 олай болса f = φ 0 + φ 1 = δ1 δ2 - 3δ3
Демек f(х1,х2,х3) = δ1 δ2 - 3δ3
Мысал – 2.
f(х1,х2,х3) = (х1 + х2)2 ∙ (х1 + х3)2 ∙(х2 + х3)2 – симметриялы көпмүшеліктерді негізгі симметриялы көпмүшеліктер арқылы өрнектеңіз.
Шешуі.
Есепті екі тәсілмен шешуге болады.
І – тәсіл. Жақшаны ашып, ұқсас мүшелерін жинақтап жазайық.
f(х1,х2,х3) = (х1 + х2)2 ∙ (х1 + х3)2 ∙(х2 + х3)2 = х14 х22+ х14 х32+ х12 х24 +
+ х12 х34 + х24 х32 +х22 х34 +2( х13 х23 + х13 х33+ х23 х33) +6(х13 х22 х3 +
+ х13 х2 х32 + х12 х23 х3 + х12 х2 х33 + х1 х2 2х33 + х1 х23 х32 ) + 2( х14 х2 х3 +
+ х1 х24 х3 + х1 х2 х34 ) + 10 х12 х22 х32
Үш белгісізге тәуелді негізгі симметриялы көпмүшеліктерді жазайық.
δ1= х1 + х2 + х3,
δ2 = х1 х2+х1 х3+х2 х3
δ3 = х1х2 х3
Берілген f көпмүшелігінің жоғарғы мүшесі х1 4х22 х30 болады. Оған сәйкес
Белгісіздердің дәреже көрсеткіштерінің жүйесі 4 2 0 болды. Осындай жоғарғы мүшесі болатын φ0 – ді құрайық.
φ0 = 1∙ δ14-2 δ22-0 δ30 = δ12 δ22 =(х1 + х2 + х3)2∙(х1 х2+х1 х3+х2 х3)2 = = х14 х22+
х14 х32+ х12 х24 ++ х12 х34 + х24 х32 +х22 х34+ 2(х13 х23 + х13 х33+ х23 х33) +
+8(х13 х22 х3 ++ х13 х2 х32 + х12 х23 х3 + х12 х2 х33 + х1 х2 2х33 + х1 х23 х32)+
+ 2( х14 х2 х3 + + х1 х24 х3 + х1 х2 х34 ) – 15 х12 х22 х22
Айырымды табайық: f1 = f - φ0 = -2 (х13 х22 х3 + х12 х23 х3 + х1 х2 2х33 + х1 х23 х32 + х13 х2 х32 + х12 х2 х33 ) - 5 х12 х22 х32
Бұл f1 көпмүшелігінің жоғарғы мүшесі - 2 х13 х22 х3 . Оған сәйкес белгісіздердің дәреже көрсеткіштерінің жүйесі 3 2 1 болады.
Осындай жоғарғы мүшесі болатын φ 1 көпмүшелігін құрайық.
φ 1 = = - 2∙ δ13-2 δ22-1 δ31 =- 2 δ1 δ2 δ3= - 2(х1 + х2 + х3)(х1 х2+х1 х3+х2 х3) ∙ х1х2 х3 = - 2(х13 х22 х3 ++ х13 х2 х32 + х12 х23 х3 + х12 х2 х33 + х1 х2 2х33 + х1 х23 х32) –
6 х12 х22 х32
Айырымды табайық. f2 = f1 - φ1= х12 х22 х32 Осы көпмүшенің жоғарғы мүшесі х12 х22 х32 болады. Оған сәйкес белгісіздердің дәреже көрсеткіштерінің жүйесі 2 2 2 . Төмендегі көпмүшеліктің де жоғарғы мүшесі
f2 - нің жоғарғы мүшесіндей болады.
φ 2 = 1∙ δ12-2 δ22-2 δ32= δ32= х12 х22 х32
Айырымды табайық.
f 3 = f2 - φ2 =0 Бұдан f = φ 1 + φ 2 +φ 3, сондықтан
f(х1,х2,х3) = δ12 δ2 2 – 2 δ1 δ2δ3+ δ32 мұнда φ0=δ12 δ22
φ 1= - 2δ1 δ2 δ3
φ 2=δ32
Негізгі теореманың салдары
φ (z) = zn+ a1 zn-1+ ....+аn-1∙ z+an € K сақинасындағы көпмүшелік берілсін және осы көпмүшелікті φ (z) = (z-c1)(z-c2)∙….∙(z-cn), c1,c2,…,cn € C көбейтіндісіне жіктелсін. Егер f(х1,……хn) дегеніміз коэффициенттері К жиынындағы х1,...,хп бойынша симметриялы көпмүшелік болса онда
f(c1,c2,…,cn ) € К
Ескерту. Егер f(х1,……хп) көпмүшелігінің дәреже көрсеткіші үлкен болса , онда негізгі теореманың дәлелдеуін пайдаланып , берілген f көпмүшелігін
Негізгі симметриялық көпмүшеліктер арқылы өрнектеу өте қиынға соғады. Мұндай жағдайда берілген f көпмүшелігінің құрамына негізгі симметриялы көпмүшеліктер арқылы өрнектелген қандай мүшелер кіретінін алдын- ала біліп , одан кейін анықталмаған коэффициенттер әдісін пайдаланып, осы мүшелердің коэффициенттерін табу керек. Ол үшін f көпмүшелігін
Мына түрде жазып аламыз: f(х1,……хп) = Н0+....+Нк (5)
Ні = Ні(х1,...хп) і=0,к – біртектес көпмүшеліктер
Бұдан соң осы Ні –дің әрқайсысын негізгі симметриялық көпмүшеліктер арқылы өрнектеп, (5 ) орнына апарып қоямыз.
Ні көпмүшелігінің жоғарғы мүшесі төмендегі үш шартты қанағаттандыру керек.
Ні – дің құрамындағы басқа мүшелер Ні- дің жоғарғы мүшесінен жоғары емес.
Ні – дің мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінің қосындысы і-ге тең.
Ні – дің құрамындағы мүшелердің дәреже көрсеткіштері мына теңсіздікті қанағаттандыруы тиіс: α1 ≥ α2 ≥ α3 ≥ ...≥αп
Ал егер құрылған көпмүшелік осы 3 шарттың біреуін қанағаттандырмаса , онда Ні дұрыс құрылмаған.
Симметриялық көпмүшелердің қолданылуы
Симметриялық көпмүшелер теориясын теориясын пайдаланып, матемтиканың көптеген есептерін оңай шешуге болады. Мысалы теңдеулер жүйесін шешу, иррационал теңдеулер шешу , тепе- теңдіктерді дәлелдеу, бөлшектің бөлімін иррационалдықтан құтқару т .с.с
1.Теңдеулер
жүйесін шешу.
D= 12 + 4 ∙72= 289=172
8
δ1.=
-9
δ1 =8
х=8-у
у(8-у) =15
у2-8у+15=0
D=82 - 4∙15=64-60 =4
у1=3 у2=5 Жауабы: (3;5)(5;3)
2) δ1 = -9
у2 +9у+15=0
D=81-60=21
у3,4=
x3.4
=
-9+
x3.4
=
Жауабы:
(
;
)
(
;
)
Иррационал теңдеуді шешу:
+
=
8
=
u (1)
=
v (2) белгілеу
енгізейік
(1 ) мен (2) ні екі жағын да 4 дәрежеге шығарып мүшелеп қоссақ
u
4
+v4
=629+77=706 бұдан төмендегі жүйені аламыз:
δ
1
=
, δ2
=
2
-256
+3390=0
D= 9604= 982
=
15
=
113
I
жағдайда
=
15
u=5; v=3 немесе u=5; v=3
=
5
теңдеудің
екі жағын да 4 дәрежеге шығарамыз.
=3
x1 = 4 x2 = 548
I
I жағдайда
u=8-v v2-8v+113=0
D
0
Демек,
берілген иррационалдық теңдеудің
жауабы:
Теңдеулер жүйесін шешу.
белгілеу енгіземіз.
δ1 = x+y+z , δ2 =xy+yz+xz , δ3 = xyz...
Виет теоремасы арқылы теңдеу құрамыз . t2 -2t –t+2=0
(
t-2)(t2-1)=0
=1,
= -1 ,
=2
Сондықтан x=1, y=2, z= -1
Жауабы: (1;2;-1)(1;-1;2)(2;1;-1)
(2;-1;1)(-1;2;1)(-1;1;2)
3.Есеп. Мына теңдеудің х4+2х3+х2+5х+3 = 0 түбірлерінің кубтарының қосындысын тап.
Шешуі: Берілген теңдеудің х1,х2,х3,х4 - түбірлері болсын.
f(х1,х2,х3,х4) =х13+х23+х33+х43 – табу керек.
f - тің жоғарғы мүшесі х13=х13∙ х20 ∙х30∙ х40
φ0 = 1∙ δ13-0 δ20-0 δ30 -0 δ40-0 =δ13= (х1 + х2 + х3+х4)3= х13 +х23 + х33 + х43+ 3∙ х12х2 + 3х х22+3х32 х4+3х3 х42+ 3х12 х3+ 3х12 х 4+ 3х22 х3 + 3х22 х4+3х1 х32 + 3х1 х42+
+3х2 х32+ 3х2 х42+6∙ х1 ∙ х2 ∙ х3+6∙ х1 ∙ х2 ∙ х4+ 6∙ х1 ∙ х3 ∙ х4+6 ∙ х2 ∙ х3∙ х4
f 1= f- φ0 =-3х12 х2-3х12 х3-3х12 х4-3х1 х22-3х22 х3-3х22 х4-3х32 х4-3 х1 х32-3х2 х32-3х3 х42-3х1 х42-6∙ х1 ∙ х2 ∙ х3 - 6∙ х1 ∙ х2 ∙ х4- 6∙ х1 ∙ х3 ∙ х4 - 6 ∙ х2 ∙ х3∙ х4
f 1-дің жоғарғы мүшесі -3 х12 х21 х30
φ 1= - 3δ11 δ21 δ30 δ 40=-3 δ1 δ2=-3(х1 + х2 + х3+х4)(х1 х2+х1 х3+х1 х4+х2 х3+
х2 х4+х3 х4)=-3x12 x2-3x12 x3-3x12 x4-3x1 x22-3x22 x3-3x22 x4-3x32 x4-3 x1 x32-3x2 x32-3x3 x42-3x1 x42-3x2 x42-9 x1 x2 x3-9x1 x2x4-9x1 x3 x4-9x2 x3 x4
f2 = f1 - φ1=3x1 x2 x3+3x1 x2 x4+3x1 x3 x4+3x2 x3 x4
f2 - нің жоғарғы мүшесі 3x1 x2 x3
φ 2=3δ10 δ20 δ31δ40 =3(x1 x2 x3+ x1 x2 x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4 ) f2 - φ2 =0
х4+2х3+х2+5х+3=0
а1=2 δ1= -а1=-2
f(х1,х2,х3,х4)
= φ 0
+
φ 1
+φ
2=δ
13-3
δ1
δ2+3
δ3=
а2=1
δ2=
а2=1
=
а3=5 δ3= -а3=-5
а4=3 δ4= а4=3
= - 8+6-15= -17
Ендеше берілген теңдеудің түбірлерінің кубтарының қосындысы :
х13+х23+х33+х43 = -17
Қорытынды
Бұл жұмыста толық симметриялы көпмүшелердің теориясы туралы толық мағлұмат беріп, практика жүзінде есептер шығарылғанда колданысын көрсеттім. Симметриялы көпмүшелерді қолданып иррационал теңдеулер, теңдеулер жүйелерін шығаруға болатынын көрсеттім. Мектеп математикасында, үйірмелерде, олимпиада есептерін шығарғанда осы симметриялы көпмүшелерді пайдалануға болады.
Қолданылған әдебиеттер
Введение в высшую математику. Черкасов А.Н. (1964, 244с.)
Высшая математика. Баврин И.И., Матросов В.Л. (2003, 400с.)
Высшая математика. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. (2010, 360с.)
Высшая математика. Ильин В.А., Куркина А.В. (2002, 592с.)
Вся высшая математика. Тома 1- 7. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. (2001-2006)
Высшая математика. (Учебное пособие) Малыхин В.И. (2009, 365с.) (для экономических факультетов)
Высшая математика. Шамолин М.В. (2008, 912с.)
Высшая математика. Шипачев В.С. (2005, 479с.)
Высшая математика. ( В 3-х томах ) (Учебник) Бугров Я.С., Никольский С.М. (2004; 288с., 512с., 512с.)
Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі
Шығыс Қазақстан облысы Өскемен қаласы
Секция: Математика
Тақырыбы: «Мектеп математикасындағы симметриялық көпмүшенің қолданысы»
Авторы: Жанатова Гүлім
9 «Б» сынып оқушысы
Өскемен қаласы
2015 жыл
Мазмұны
І.Кіріспе
ІІ.Негізгі бөлім
Симметриялық көпмүше ұғымы
Симметриялық көпмүшелер туралы негізгі теоремалар
Симметриялық көпмүшелердің мектеп курсындағы қолданылуын зерттеу
ІІІ. Қорытынды.
IV. Қолданылған әдебиеттер
Бұл курс Қазақстан Республикасы Оқу-ағарту министрлігімен келісілген
