Олимипиада есептері

Математика пәні мұғалімдеріне арналған

«Фараби геометриялық олимпиадасының» қалалық кезеңі

Бірінші кезең

10. минут

Әр есеп 6 балл

1. ABCDEF дөңес алтыбұрышының барлық ішкі бұрыштары тең. Егер AB=3, BC=4, CD=5, EF=1 болса, онда FA және DE қабырғаларының ұзындықтарын табыңыздар.

1.2 𝜔 – 𝐴𝐵𝐶 үшбұрышының сырттай сызылған шеңберi. 𝐵𝑀 — медиана. 𝐵𝑀 сәулесi 𝜔-ны екiншi рет 𝐷 нүктесiнде қияды. Егер, болса, 𝐵𝐷 табыңыз.

1-3 есеп. АВС үшбұрышында , . F нүктесі үшбұрыш ішінде жатыр және . BFC бұрышын табыңыздар.

1. ABCDEF дөңес алтыбұрышының барлық ішкі бұрыштары тең. Егер AB=3, BC=4, CD=5, EF=1 болса, онда FA және DE қабырғаларының ұзындықтарын табыңыздар.

Шешуі:

Алтыбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы:

Демек сыртқы бұрышы

– тең қабырғалы үшбұрыш.

Жауабы:

Бағалау критерийі:

1. Сыртқы бұрышы екендігі көрсетіліп, – тең қабырғалы үшбұрышы сызылса 2 балл.

2. жүйесі құрылып, екендігі көрсетілсе 3 балл.

3. жауабын тапса 1 балл.

1.2 𝜔 – 𝐴𝐵𝐶 үшбұрышының сырттай сызылған шеңберi. 𝐵𝑀 — медиана. 𝐵𝑀 сәулесi 𝜔-ны екiншi рет 𝐷 нүктесiнде қияды. Егер, болса, 𝐵𝐷 табыңыз.

Шешуі: 𝑀𝐴 = 𝑀𝐶 =

Медиана ұзындығының формуласын қолданамыз:

Шеңбердің қиылысатын хордаларының қасиеті бойынша

Бағалау критерийі:

1. Сызба дұрыс салынса (1 балл)

2. Медиананың ұзындығын анықтаса (2 балл)

3. Хордалардың қасиетін пайдаланып MD ұзындығын анықтаса (2 балл)

4. ның ұзындығын анықтайды (1 балл)

1-3 есеп. АВС үшбұрышында , . F нүктесі үшбұрыш ішінде жатыр және . BFC бұрышын табыңыздар.

Шешуі: 1) (FA=FC)

2)

Демек, F – нүктесі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. Яғни CF=AF=BF=R

3)

Жауабы:

Бағалау критерийі:

1. екендігін тапса 1 балл

2. F – нүктесі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі екендігін көрсетсе 3 балл

3. екендігін тапса 2 балл

4. Балама шешімдер толық жауаппен қабылданады.