ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ" 10 КЛАСС

Цели и задачи урока.

Образовательные: 1. сформировать у учащихся умений решать однородные тригонометрические уравнения;

2. отработать навыки решения всех видов  тригонометрических уравнений.

Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока:

1.   Компьютер, проектор, экран, тетради;

2.   чистые листы для самостоятельной работы;

3.   таблицы по тригонометрии:

         а) значения тригонометрических функций;

         б) решение тригонометрических уравнений  (частные случаи);

          в) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока.

I. Организационный момент.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

 Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделала неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по -другому? А что будет, если… А быть может, вот так…  А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?

1.      Устный опрос

Решите уравнение

sin x=-1

cos x=1/2

tg x=-1

sin 2x=-1/2

cos x=- /2

tg 2x=4

sin x=-2

2.      Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

3.      Перед вами уравнения:

В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу  (в таблицу занести букву под которой стоит уравнение):

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π+x)=0

3)3tg ² x  + 2tg  x  -1=0

4) 2 cos² x + 9cos x +14=0;

5) sin 2х = -1

6)2sinx – 3cosx = 0

7)  cos 3x = 0;

8) cos (х – π/4) = ½;

 9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.

10) 3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0

11)√3tg2x + 1 = 0

12) 3cos²x – sinx – 1 =0

13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

Вспомним решения 1),12),11)

а) √3tg2x + 1 = 0

    √3tg2x  = – 1

    tg2x = – 1/√3

    2x = arctg (– 1/√3) + πn, n € Z

    2x = – π/6 + πn, n € Z

     x = – π/12 + πn/2, n € Z

б)

в) 3cos²x – sinx – 1 =0

    3 (1 – sin²x) – sinx –1 = 0

    3 – 3 sin²x – sinx –1 = 0

    – 3 sin²x – sinx + 2 = 0

     3 sin²x + sinx – 2 = 0

Пусть sinx = y

3y² + y – 2 = 0           D = b² – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25

y_1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1

      sinx = 2/3                                        или                          sinx = – 1

     x = (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn, n € Z                                       x =  – π/2+ 2πk, k € Z

Ответ:   (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn; x =  – π/2+ 2πk,  n, k € Z

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

2sinx – 3cosx = 0

3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0

IV. Усвоение новых знаний

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске:

 «Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Учитель вывешивает плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида:

asinx + bcosx = 0,  a,b ≠ 0 и

asin²x + bsinxcosx +  kcos²x = 0,  a,b,k ≠ 0

Учитель: Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cosx = 0 , то получим, что sinx = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

                                     а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx  ≠ 0

                                          2tgx – 3 = 0

                                           2tgx = 3

                                            tgx = 1,5

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

                                     б) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.

                                               3tg²x – 4tgx + 1 = 0

Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.

Решение: пусть  tgx = y

                             3y² – 4y + 1 = 0

                              D = 16 – 4·3·1 = 4

                               y_1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1                                  или                tgx = 1/3

x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(1/3) + πk, k € Z

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1.      sinx = 2cosx – однородное

2.      √3sin3x – cos3x = 0 – однородное

3.      sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное

5.      6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное

Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить.

VI. Закрепление нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске.

2) √3sin3x – cos3x = 0,

    cosx ≠ 0

    √3tg3x – 1 = 0

    √3tg3x = 1

    tg3x = 1/√3

    3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z

    3x = π/6 + πn, n € Z

     x = π/18 + πn/3, n € Z

5) 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0

     cos²x ≠ 0

     6tg²x – 1 – 5tgx = 0

     Пусть tg x = y

     6y² – 1 – y = 0

     D = 25 – 4·6· (–1) = 49

     y_1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6

                       tgx = 1                              или                     tgx = –1/6

             x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(–1/6) + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z

Решить по учебнику №18.11(а),в

                                    №18.12    в

VII. Проверка усвоения нового материала.

Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю

Самостоятельная работа

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего.

Домашнее задание №18.11 б,г,18.12 (а)

К сожалению, нельзя указать общего метода решения  тригонометрических   уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

И да поможет вам Математика!

IX. Итог урока:

Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились?

Ответ: С однородными.

Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения?

Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0

Вопрос учителя: Что имеем после деления?

Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать.

Вариант 1

Вариант 2

√3cos2x + sin2x = 0

cos2x ≠ 0

√3  + tg2x = 0

tg2x = – √3

2x = – π/3 + πn, n € Z

x = – π/6 + πn/2, n € Z

√3 sin5x + cos5x = 0

cos5x ≠ 0

√3tg5x + 1 = 0

tg5x = – 1/√3

5x = arctg(– 1/√3) + πn, n € Z

5x =– π/6 + πn, n € Z

x =– π/30 + πn/5, n € Z