ПИ ФУНКЦИЯСЫ

ФУНКЦИЯСЫ

аралығындағы жай сандардың санын функциясы арқылы белгілейміз. Жай сандардың таралуының регуляр емес болу себепті үшін айқын өрнек алу мүмкін болмағандықтан, математиктер асимптотикалық жуықтау алуға тырысты. ұмтылғанда және функциялары асимптотикалық тең деп аталады, егер олар үшін ақырсыз үлкен болса және болса. Бұл жағдайда деп жазады.

1908 жылы француз математигі Лежандр

гипотезасын жариялаған.

Бұдан бұрын атақты неміс математигі К.Гаусс (1777-1855)

болады деген ұйғарымға келген болатын ( бұл интегралдық логарифм деп аталатын интеграл элементар функция арқылы өрнектелмейді. Оны деп белгілейді).

Бірақ бұл ұйғарымдар дәлелденбеген (ал Гаусс гипотезасы жарияланбаған). Евклидтен кейін бірінші болып жай сандарды таралу мәселесінде маңызды көрсеткіштерге жеткен, атақты орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) болды. 1849 жылы ол Лежандр гипотезасының жалған екендігін және егер қандай да бір A және B мәндері үшін

формула ретті қосылғышқа дейінгі дәлдікпен тура болса, онда А=1, B=-1 болатынын дәлелдеген. Бұдан, егер де

бар болса, онда бұл шек 1-ге тең болуы қажет.

тұжырымы немесе оған мәндес

тұжырымы жай сандардың асимптотикалық таралу заңы деп аталады.

Алғаш рет Л.Эйлер енгізген

функциясының қасиеттерін П.Л. Чебышев тереңінен зерттеген. Ол бұл функция үшін интеграл арқылы өрнек алып, оның үшін оның шексіздікке ұмтылу сипатын зерттеді.

П.Л.Чебышев үшін жай сандардың таралуының асимптотикалық заңының нақты дәлелдеуін алу сәтті болмады- ол

шегінің бар болуын дәлелдей алмады. 1850 жылы жарық көрген жай сандар туралы екінші мемуарында П.Л.Чебышев жай сандардың таралу мәселесінде басқа әдісті қолданды. Онда ол

теңсіздігін дәлелдеді (Чебышев теңсіздігі). Бұдан ол алғаш рет дәлелдемесіз айтылған француз математигі Бертранның және арасында әрқашан бір жай сан болатындығы туралы теоремасын дәлелдеді.

Мысал.ь - ды табыңдар.

Шешуі: Анықтама бойынша функциясы нақты санынан аспайтын жай сандардың санын көрсетеді. Эратосфен елегі деп аталатын белгілі әдісті пайдаланайық. Ол үшін 2-ден бастап 30-ға дейінгі барлық натурал сандар тізбегін жазамыз.

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30.

енді барлық құрама сандарды сызып, тек

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

жай сандарын қалдырамыз.

Тізбекте қалған сандарды санау арқылы болатынын табамыз.

Бұл мысалды төмендегі формуланы пайдаланып, шешуге де болады:

мұндағы –лар 2,3,5,... жай сандар тізбегі және Егер –тен аспайтын сан құрама сан болса, онда оның ең кіші жай бөлгіші демек функциясы жай сандар санын береді.

-ден -ге дейінгі натурал сандар тізбегі бірге көбейеді, яғни бір саны қосылады, бірге кеміген санын қосу арқылы көрсетілген формуланы аламыз. Формуланы қарастырылып отырған мысалға қолдансақ:

шығады.