Пифагор теоремасы және оны дәлелдеу тәсілдері

Пифагор теоремасы және оны дәлелдеу тәсілдері

Тақырыптың өзектілігі: Соңғы жылдардағы қоғамдық және әлеуметтік өмірде болып жатқан елеулі өзгерістер білім беру саласына көптеген міндеттер қойып отыр. Мектептерде геометрияны оқытуды жаңа көзқарастар негізінде талдау кезек күттірмейтін іс. Оқушыларды жаңа құндылықтар негізінде жетілдіру қоғам алдындағы негізгі істердің бірі. Мектепте геометрияны оқыту үдерісінде оқушылардың білімін арттыруда , іскерлік пен дағдыны қалыптастыруды, олардың қабілеттерін дамытып, танымдық белсенділігін , ұмтылушылығы мен қызығушылығын арттыру көзделеді.

Зерттеу мақсаты: Пифагор теоремасының тарихымен және дәлелдеу жолдарымен таныстыру.

Міндеті : Сыни тұрғысынан ойлауды дамыту арқылы тікбұрышты үшбұрыш қасиеттері мен Пифагор теоремасы туралы мағлұмат беру.

1.1 Пифагор теоремасының тарихы

Пифагор теоремасын оқушылар өздігінен шығара алады (кітапты қолдана отырып) . Бұл тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы тәуелділіктер ерте заманнан Қытайда белгілі болған (б.з.д 100 жыл шамасында). Ежелгі мысырлықтар жер өлшегенде мынадай тәсілді қолданған екен. Жіпті түйін салып тең 12-ге бөлген де, ұштарын біріктіріп байлаған . Содан кейін қабырғалары 3,4 және 5 бөлікке тең үшбұрыш шығатындай етіп жіпті жердің бетімен керіп артады. Сонда үшбұрыштың 5 бөлік қабырғасына қарсы жатқан бұрышы тік болады 3²+4²=5² . Осы айтылған салу тәсілін ескеріп қабырғалары 3,4 және 5 бірлік тік бұрышты үшбұрышты кейде египеттік үшбұрыш деп те атайды. Кейін қабырғалардың ұзындықтарымен арасындағы осындай қатынастар әрбір тік бұрышты үшбұрыштарда да бар екені айқындалды.

Пифагор теоремасы жөнінде Рим архитекторы - инженер Витрувий, грек жазушысы- моралист Плутарх, грек ғалымы Диоген Лоэрций , математик Прокл және басқалар өз еңбектерінде жазған. Кейбір аңыздар бойынша Пифагор теореманың құрметіне 100 өгізді құрбандыққа шалған. Алайда теореманы Пифагор ашпаған , ол тек Грецияда геометрияның теориялық ғылым ретінде дамуына үлек қосқан. Өйткені пифагордан 1200 жыл бұрын жазылған вавилон жазбаларында бұл теорема кездеседі. Қытайда гипотенузаның квадраты жөнінде Пифагордан 500 жыл бұрын білген. Негізінен «гипотенуза» -грекше «гипотайнуза» - астынан таралған катет- «катетос» - тік түсірілген деген сөздерден алынған. Бұл теорема ежелгі Үндістанда да белгілі болған. Бұған дәлел ретінде «Сутарх» тағы басқа жазбаларды мысалға келтіруге болады. Ғасырлар бойы Пифагор теоремасының көптеген дәлелдемелері келтірілген. Алғашқы дәлелдемелердің бірі Проклдың айтып кеткеніндей, Евклидтің «Бастау» кітабында берілген.

Пифагор теоремасының дәлелдемесі орта ғасырлардағы оқушылардың арасында өте қиын деп есептеліп, кейде оны «pons asinorum»- «есек көпірі» немесе «elefuga» - «білімсіздер көпірі» деп атап кеткен. Өйткені «білімсіз» оқушылар геометриядан қашқан, ал теоремаларды жаттап, олардың мәнін түсінбейтін оқушыларды «есектер» деп атап кеткен. Олардың барлығы Пифагор теоремасын «өтетін мүмкіндігі жоқ көпір» ретінде көріп, соған байланысты түрлі күлдіргі сызбалар жасаған.

Теореманың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу-пей. Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 –ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады.

1.2 Пифагор және оның жолын қуушылар

Біздің жыл санауымыздан бұрынғы VI ғасырдың аяғында Перси мен Грецияның арасында болған соғыстардың зардабынан көптеген иониялықтар, олардың ішінде ғалымдар да бар, Грецияның отары – Оңтүстік Италияға ауысады. Пифагор іле-шала геометрияны абстрактылы дедукциялық ғылымға айналдырды. Ол оның негізгі принципін таза абстрактылы түрде қарады да, ал теоремаларын практикалық тұрғыдан емес, логикалық ақыл-ой тұрғысынан зерттеді. Шынында, иррационал сандар теориясын ол ашты және космостық фигуралардың түзілісін тапты. Сөйтіп, біздің жыл санауымыздан бұрынғы VI ғасырда геометрия нағыз ғылыми пән болып қалыптасқаны байқалады. Енді геометрия жер өлшеу практикасынан аулақ абстракт мәселелерді , атап айтқанда дерексіз фигураларлың қасиеттерін зерттейтін ғылыми пәнге айналды. Пифагор және оның жолын қуушылар бүкіл планиметрияны құрды деуге болады. Олардың ғылыми табыстарының ішінде көзге түсерлік жетістік «Пифагор теоремасы» : «Тік бұрышты үшбұрыштың катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қосындысы оның гипотенузасына салынған квадраттың ауданына тең». Пифагоршылар планиметриялық мәселелермен ғана емес, стереометриямен де шұғылданды. Мәселен, олар мына куб, тетраэдр, додекаэдр және октаэдр деп аталатын дұрыс көпжақты денелермен шұғылданды. Бұл денелерді олар космостық денелер деп атады.

Бұл тақырып қазіргі кезде пайдаланып жүрген оқулықтарда бірнеше тақырыпшаларды қамтиды. Олар Бұрыштың косинусы; Пифагор теоремасы; Перпендикуляр және көлбеу; Үшбұрыш теңсіздігі; Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы қатынастар; Негізгі тригонометриялық теңбе-теңдіктер; Кейбір бұрыштардың синусының, косинусының және тангенсінің мәндері және бұрыштың өзгеруіне қарай олардың өзгеруі. Мұндағы негізгі тақырып – Пифагор теоремасы. Бұл тақырыптың орналасу орнына қарай оны дәлелдеу жолдары да әртүрлі. Мысалы, үшбұрыштың ауданынан кейін тұрса ауданның формуласын, ал ұқсас түрлендіруден кейін тұрса ұқсас үшбұрыштарды пайдаланып қолдануға болады. Жеке алғанда, оқушылар гипотенуза мен сүйір бұрышы немесе сүйір бұрышы мен бір катеті белгілі болғанда екінші катетін табу есте сақталынуы керек. Басты назар сүйір бұрыштың синусының , косинусының және тангенсінің анықтамаларын меңгеруге аударылады. Пифагор теоремасының және оның салдарларының дәлелдеулері қарапайым.

2.Пифагор теоремасы және оны дәлелдеудің түрлі тәсілдері

2.1 Теореманың қарапайым дәлелдеуі

2.2 Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу

2.3 Фигуралардың тең шамалылығын пайдалана отырып дәлелдеу

2.4 Аддитивті дәлелдеулер

2.5 Эйнштейн дәлелдеуі

2.6 Қосымша салулар арқылы дәлелдеу

2.7 Алгебралық әдіспен дәлелдеу

2.8 Мельманн дәлелдеуі 1 әдісі,Мельманн дәлелдеуі 2 әдісі

2.9 Гарфилд дәлелдеуі

2.10 Бұрыштың косинусын пайдалана отырып дәлелдеу

2.11 Евклид дәлелдеуі

Қорытынды

Ғылыми жұмыстың тақырыбына сай геометрия курсында Пифагор теоремасы кеңінен қарастырылды. Геометрия курсын оқытуда Пифагор теоремасының көптеген дәлелдеулерін қарастыра отырып пәнге деген танымдық қызығушылығын арттыру. Сонымен қатар қазіргі мектеп геометриясындағы білімнің мазмұнын меңгеру үшін оқыту үрдісінің нәтижесін жоғарылату бағытында оқушылардың алған білімдерін практикада өздігімен орындауға үйрету керек. Бұл теоремаларды талдау оқушылардың өздігімен ізденуіне, талаптануына ықпалын тигізеді.

Қорыта келгенде, Пифагор теоремасын кең ауқымда қарастыра отырып оқушылардың белсенділігін, пәнге деген қызығушылығын қалыптастыруға , білім сапасын арттыруға апаратын бірден-бір жол.