4- бөлім. Төртбұрыштар.

“Төртбұрыштар” — бұл төрт қабырғасы мен төрт бұрышы бар геометриялық фигуралар. Олар жазықтықтағы ең қарапайым көпбұрыштардың бірі. Төртбұрыштардың бірнеше түрі бар, олардың қасиеттері әртүрлі болады.

Мысалы, негізгі төртбұрыш түрлері:

1. Тіктөртбұрыш— барлық бұрыштары 90° болатын төртбұрыш.

2. Шаршы— барлық қабырғалары тең және бұрыштары 90° болатын тіктөртбұрыш.

3. Параллелограмм — қарсы жатқан қабырғалары параллель болатын төртбұрыш.

4. Ромб — барлық қабырғалары тең болатын параллелограмм.

5. Трапеция — тек екі қарсы қабырғасы параллель болатын төртбұрыш.

1. Тіктөртбұрыш

“Тіктөртбұрыш” — бұл барлық бұрыштары тік (яғни 90°) болатын төртбұрыш. Ол геометрияда жиі кездесетін фигуралардың бірі.

Тіктөртбұрыштың қасиеттері:

1. Қарсы қабырғалары тең болады. Мысалы, егер ұзындығы — a, ені — b болса, онда қарсы қабырғалары да a және b болады.

2. Барлық бұрыштары — 90°. Бұл — тіктөртбұрыштың басты ерекшелігі.

3. Көлденең және тік қабырғалары параллель болады.

4. Ауданы:

Мұндағы a — ұзындығы, b — ені.

5. Периметрі:

6. Диагональдары тең және қиылысқанда бір-бірін қақ бөлінеді. Диагональ ұзындығы Пифагор теоремасы бойынша есептеледі:

7. Тіктөрт бұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы:

2. Шаршы

“Шаршы”- төрт қабырғасы тең және барлық бұрыштары тік болатын төртбұрыш. Геометрияда шаршы- дұрыс төртбұрыштың бір түрі.

Шаршының қасиеттері:

• Барлық қабырғаларының ұзындығы бірдей.

• Барлық бұрыштары -қа тең.

• Қарама-қарсы қабырғалары параллель.

• Диагональдары бір-біріне тең және бір-бірін қақ бөлетін (ортасынан қиылысады).

• Диагональдары бір-біріне перпендикуляр.

1. Шаршының периметрі: мұндағы шаршы қабырғаларының ұзындығы.

2. Шаршының ауданы:

3. Шаршының диоганалі:

4. Іштей сызылған шеңбер радиусы:

5. Сырттай сызылған шеңбер радиусы:

3. Параллелограм

“Параллелограмм”- қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең болатын төртбұрыш.

Параллелограмның қасиеттері:

• Қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең.

• Қарама-қарсы бұрыштары тең.

• Көршілес бұрыштарының қосындысы .

• Диагональдары бір-бірін қақ бөледі.

• Егер бір бұрышы тік болса, онда параллелограмм — тік төртбұрыш.

Параллелограм периметрі:

Параллелограм ауданы:

Параллелограмм қасиеттері:

3. Ромб

“Ромб” — барлық қабырғалары тең, қарама-қарсы қабырғалары параллель болатын параллелограмм түрі.

Ромбының қасиеттері:

• Барлық төрт қабырғасы тең.

• Қарама-қарсы бұрыштары тең.

• Көршілес бұрыштарының қосындысы — .

• Диагональдары:

• Бір-біріне перпендикуляр;

• Бір-бірін қақ бөледі;

• Бұрыштарды қақ бөледі.

• Егер барлық бұрышы болса, ромб — шаршы болады.

Ромб ауданы:

кіші диагональі,

үлкен диагональі.

Ромбқа іштей сызылған шеңбер радиусы:

3. Трапеция

“Трапеция” — бір жұп қарама-қарсы қабырғалары параллель, ал екінші жұбы параллель емес болатын төртбұрыш.

Трапецияның үш түрі бар. Олар:

• Тең бүйірлі трапеция- Бүйір қабырғалары тең, бұрыштары да тең

• Тікбұрышты трапеция-Бір бүйір қабырғасы негізге перпендикуляр

• Кез келген трапеция- Жалпы түрі, бүйірлері мен бұрыштары әртүрлі

Трапеция ауданы:

Трапеция қасиеттері:

Трапецияның тең бөліктері:

трапецияның тең бөліктерге бөлетін табанына параллель кесінді:

Шеңберге сырттай сызылған трапецияның қасиеті:

Биіктігі:

Шеңберге сырттай сызылған теңбүйірлі трапецияның қасиеті:

Шеңберге іштей сызылған теңбҥйірлі трапецияның қасиеті:

Төртбұрыштар тақырыбы бойынша контексттік есептер шығару

1-мысал. Төмендегі суретте жарты дөңгелек пен тіктөртбұрыштан құралған терезенің макеті көрсетілген. Үлкен жарты дөңгелек 4 бірдей A, B, C, D секцияларынан және кіші жарты E дөңгелектен тұрады. Тіктөртбұрыш үш бірдей квадрат F, G, H секцияларынан тұрады және әр квадраттың қабырғасы 10 см-ге тең.

1. А секциясының ауданын табамыз.

2. Е секциясының ауданын табамыз.

3. Терезенің ауданын табамыз.

4. Терезеның периметрін табамыз.

5. В секциясының периметрі терезенің периметрінен қанша м – ге кем?

Шешуі:

1-қадам. А секциясының ауданын табамыз

A, B, C, D – үлкен жарты дөңгелектің 4 бірдей бөлігі. Оның ортасында кіші жарты дөңгелек (Е) қиылып алынғын:

Төмендегі тіктөртбұрыш үш бірдей квадраттан (F, G, H) тұрады.

Әр квадраттың қабырғасы 10 см, демек:

Тіктөртбұрыштың ені:

Терезенің жалпы биіктігі → Демек, жарты дөңгелектің радиусы:

Үлкен жарты дөңгелек ауданы:

Кіші жарты дөңгелек ауданы:

A, B, C, D – қосындысының ауданы:

A секциясы ¼ бөлігін құрайды:

2-қадам. Е секциясының ауданын табамыз:

3-қадам. Терезенің толық ауданы:

4-қадам. Терезенің периметрін табамыз:

Тіктөртбұрыштың 3 жағы (төменгі жағы, екі жақ бүйірі):

30+10+10=50 см

Үлкен жарты дөңгелектің иілген жиегі:

5-қадам. B секциясы – үлкен жарты дөңгелектің 1/4 секторы мен ішкі доға:

Радиустары: және

B секторының доғалық бөлігі:

Қосымша 2 радиус (бірі ішкі, бірі сыртқы):

70-10=60 см

B секциясының периметрі:

Периметр айырмасы:

Жауабы: , , , , .

2-мысал. Шеңберге іштей сызылған дұрыс үшбұрыштың периметрі ге тең. Осы шеңберге іштей сызылған шаршының ауданын табыңыз.

Шешуі: 1-қадам. Дұрыс үшбұрыштың қабырғасын табайық:

2-қадам. Шеңбердің радиусын табамыз:

Дұрыс үшбұрыштың қабырғасы мен сырттай шеңбер радиусының байланысы:

3-қадам. Шеңберге іштей сызылған шаршының ауданын табамыз:

Квадраттың диагоналі:

Квадраттың қабырғасы:

Жауабы:

3-мысал. Параллелограммның бір қабырғасы 8 см, ал оған іргелес жатқан қабырға 6 см. Осы қабырғалар арасындағы бұрыш .
Параллелограммның ауданын табыңыз.

Берілгені:

Шешуі: Параллелограмның ауданын табу формуласы:

Жауабы:

4-мысал. Ромбқа іштей сызылған шеңбер берілген. Ромбтың қабырғасы 13 см, ал биіктігі 5 см-ге тең. Ромбқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табығыз.

Шешуі: Ромбқа іштей сызылған шеңбердің ауданын табу формуласы:

1-қадам. Ромбқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табу үшін бізге біріші ромбтың ауданын табуымыз керек. Ромбтың ауданын табу формуласы:

2-қадам. Ромбтың периметрін табамыз. Ромбтың периметрін табу формуласы.

3-қадам. Шеңбердің радиусын табамыз.

Жауабы: 2,5 см.

5-мысал. Табандары болатын трапециядағы үшбұрышының ауданы қа тең. Трапецияның биіктігін, ауданын және үшбұрышының ауданын табыңыз.

Шешуі: 1-қадам. үшбұрышы арқылы биіктігін табамыз. үшбұрышының табаны , биіктігі - трапеция биіктігі деп аламыз:

2-қадам. Трапецияның ауданын табамыз:

3-қадам. үшбұрышының ауданын табамыз:

трапеция екі үшбұрыштан тұрады: және

Жауабы:

Төртбұрыштар тақырыбына байланысты тапсырмалар.

1. Төмендегі суретте тұрғын үйдің жоспары берілген. №3 бөлменің бір қабырғасы 8м, №1 бөлменің бір қабырғасы 5м, №4 бөлменің кіші қабырғасы 3м. Осы мәліметтерді пайдаланып төмендегі сұрақтарға жауап беріңіз, R=4 см.

1. №3 бөлменің еденінің ауданын анықтаңыз:

2. №2 және №1 бөлмелердің еденінің аудандарының қосындысын табыңыз:

3. Бүкіл үйдің сыртқы периметрін табыңыз:

4. Жарты дөңгелекпен шектелген №4 бөлмеге қанша м² ламинат қажет болатынын анықтаңыз:

5. Жоспар үйдің ауданы бойынша қанша м² анықтаңыз:

Жауабы: 1. №3 бөлменің ауданы: 40 м².

2. №2 және №1 бөлмелердің аудандарының қосындысы: 30 м².

3. Үйдің сыртқы периметрі: шамамен 39.57 м.

4. №4 бөлмеге қажет ламинат: шамамен 25.13 м².

5. Үйдің жалпы ауданы: шамамен 95.13 м²

2. Шаршы пішінді гулзар берілген. Гулзар төмендегі суретте көрсетілгендей радиусы 6 м шеңбер және тең қабырғалі үшбұрыш пішінді бөліктерге бөлінген. Осы берілгендер бойынша төмендегі сұрақтарға жауап беріңіз.

1. Шеңберге сырттай сызылған шаршының периметрін табыңыз.

2. бұрышының градустық шамасын табыңыз.

3. Шаршы ауданын дөңгелек ауданына қатынасын деп алып, табыңыз.

4. үшбұрышының ауданын табыңыз.

5. Дөңгелектің доғасына сәйкес сегментінің ауданының осы доғаға сәйкес секторының ауднына қатынасын, деп алып, табыңыз.

Жауабы: 1. 2. , 3. , 4. , 5. 0,173

3. Параллелограмның қабырғалары 12см, 15см. Ұзын қабырғасына жүргізілген биіктігі 8см. Кіші қабырғасына жүргізілген биіктігін табыңыз.

Жауабы: 10см.

3. Параллелограм биссектрисасы қарсы жатқан қабырғасын 4см және 5см кесінділерге бөледі. Параллелограмның периметрін табыңыз.

Жауабы: 26 см немесе 28см.

3. Параллелограмның екі қабырғасы 3:4 қатынасындай. Периметрі 2,8 м-ге тең. Параллелограмның қабырғаларын табыңыз.

Жауабы: 0,6 м және 0,8 м.

3. ABCD ромбында бырыш . AOD үшбұрышының барлық бұрыштарын табу керек, егер мұндағы O- диоганальдар қиылысу нүктесі.

Жауаб:

3. Ромбының қабырғасы 17см- ге тең, ал бір диоганлі 16см –ге тең. Ромбының екінші диагоналін табыңыз.

Жауаб: 30см.

3. Кіші диагоналі 8см, бұрышының біреуі болатын ромб периметрін табыңыз.

Жауабы: 32см.

3. Трапецияның бір табаны екіншісінен 36см –ге артық. Орта сызығы 48см. Трапецияның үлкен табанын табыңыз.

Жауабы: 66 см.

3. Трапецияның табандары a және b. Трапецияның диагоналдарының қиылысу нүктесінен өтетін және табан қабырғаларына параллель кесінді жүргізілген. Кесінді ұштары трапецияның бүйір қабырғаларында жатыр. Осы кесіндінің ұзындығын табыңыз.

Жауабы: