Понятие многогранника.

Дата: Класс: 11 урок 5

Тема: Понятие многогранника.

Цель урока:

Образовательная: ознакомить с понятием правильного многогранника и с пятью типами правильных многогранников.

Развивающая: показать связь теории и практикой, развивать навыки самостоятельной работы, логическое мышление, математическую речь.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

наглядности

3 мин.

I. Организационный момент. Приветствует учеников. Для создания психологической атмосферы проводит игру «Путаница».

Ученики делятся на группы. Осмысливают поставленную цель.

5 мин.

II. Проверка пройденного материала.

По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы.

Вопросы на повторение:

1) дать определение многогранника;

2) дать определение выпуклого многогранника;

3) дать определение правильной призмы и построить правильную треугольную и четырехугольную призмы;

4) дать определение правильной пирамиды и построить правильную треугольную и четырехугольную пирамиды;

5) дать определение куба;

6) из чего состоит поверхность правильной призмы, пирамиды и куба?

Демонстрируют свои знания, умения по домашней работе.

Кубик Блума

20 мин.

III. Актуализация знаний

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

Многогранник называется правильным, если:

а) он выпуклый;

б) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;

в) в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

г) все его двугранные углы равны.

-Под это определение не попадает правильная призма и пирамида. Существует всего пять типов правильных многогранников. Покажем, почему существует всего пять типов или возможностей. Пусть k – число многоугольников, прилежащих к одной вершине (их должно быть не менее 3), сумма углов, прилежащих к одной вершине должна быть меньше 360 градусов, иначе никакой многогранный угол из этих многоугольников составить не удастся.

-Рассмотрим правильный треугольник, каждый угол которого 60 градусов, значит при одной вершине k60<360. k=3, 4, 5. Поэтому число треугольников, состоящих в каждой вершине правильного многогранника, может быть 3, 4 или 5 (три возможности).

-Рассмотрим правильный четырехугольник (квадрат): k90< 360, k < 4 k=3. Добавляется только одна возможность k=3, т.е. в каждой вершине сходится по три квадрата.

-Рассмотрим правильный пятиугольник (каждый угол которого равен 108): k108 < 360,

k<10/3 k=3. Еще одна возможность (три пятиугольника в каждой вершине).

-Рассмотрим правильный шестиугольник (каждый угол которого 120): k120 < 360, k < 3

4. Открытие детьми нового знания.

-Итак, имеется пять возможностей: в вершине правильного многогранника сходится 3, 4, или 5 треугольников, 3 квадрата или 3 пятиугольника.

-Если при вершине сходится 3 треугольника, то многогранник называется правильный тетраэдр;

если при вершине сходится 3 квадрата, то многогранник называется правильный гексаэдр;

если при вершине сходится 3 пятиугольника, то многогранник называется правильный додекаэдр;

если при вершине сходится 4 треугольника, то многогранник называется правильный октаэдр;

если при вершине сходится 5 треугольников, то многогранник называется правильный икосаэдр.

Задание: Посчитать число граней, ребер, вершин правильных многогранников пяти типов и результат занести в таблицу.

Название многогранника	Число граней	Число ребер	Число вершин
тетраэдр	4	6	4
гексаэдр	6	12	8
додекаэдр	12	30	20
октаэдр	8	12	6
икосаэдр	20	30	12

5. Немного истории.

-Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции. Именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «Платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Четыре из них олицетворяли в ней четыре «сущности» или «стихии». Тетраэдр – огонь, икосаэдр – воду, куб – землю, октаэдр – воздух. Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе все «сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. Уже по латыни в средние века его стали называть «пятая сущность» или «квинта эссенция».

-Леонардом Эйлером (1707-1783) - великим математиком, физиком и астрономом, швейцарцем по рождению, членом Петербургской академии, работавшим в России в 1727–1741 гг., была доказана удивительная теорема: Для любого выпуклого многогранника число В-Р+Г=2. И вошла теорема в историю математики как теорема Эйлера.

Задание: Проверить для правильных многогранников.

Задание для группы

Решить задачи:

1 группа: Вычислить площадь поверхности икосаэдра, длина ребра которого равна а.

2 группа: Поверхность додекаэдра равна 180 см кв. Найти площадь его грани.

3 группа: Вычислить площадь поверхности октаэдра, длина ребра которого а.

Работа по карточками для группы

Заполнить таблицы, используя модели правильных многогранников. Сделать вывод.

10 мин.

IV.Итог урока. Организует систематизацию и обобщение совместных достижений. Организует индивидуальную работу по личным достижениям.

Кроссворд По горизонтали:

2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ, подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

По вертикали:

1. Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

Первичное закрепление.

-Так что все-таки означает фраза «Существует пять типов правильных многогранников»?

-Являются ли правильным тетраэдром правильная треугольная пирамида, в основании которой:

а) равны периметры всех граней? (да)

б) равны площади всех граней? (нет)

в) равны высоты? (да)

Проводит рефлексию.

- Понравился ли вам урок?

- Что было трудным для вас?

- Что вам больше понравилось?

Оценивают работу своих одноклассников.

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Дерево Блоба

стикеры

2 мин.

Объясняет особенности выполнения домашней работы.

Записывают домашнюю работу в дневниках.