2022

Математикалық регата

Атырау қаласы

І тур
1.1 Сәйкесінше 1л, 2л, 3л, ..., 10л су құйылған 10 ыдыс бар. Ыдыстағы судың мөлшеріндей суды
басқа ыдыстан сол ыдысқа құю амалы рұқсатталған.
а) Онда бір ыдысқа ең көп дегенде неше литр құя аламыз?
ә) Бір ыдысқа ең көп жинау мысалын көрсетіңіз.
1.1 Имеется 10 емкостей с водой по 1л, 2л, 3л, ..., 10л соответственно. Допускается переливание
воды из одной емкости в другую в том объеме, которая уже имеется в этой емкости.
а) Сколько литров воды максимально можно налить в одну емкость?
б) приведите пример, когда одну емкость можно налить максимальное количество воды.

1.2 Теңдеуді шеш: ? 4 − 2√3? 2 + ? + 3 − √3 = 0.
1.2 Решите уравнение: ? 4 − 2√3? 2 + ? + 3 − √3 = 0.

1.3 ???? дөңес төртбұрышының ??? және ??? үшбұрыштары ұқсас. Егер |??| = |??| = 2,
|?? | = 1 және |??| < 1,4 болса, ?? кесіндісінің ұзындығын тап.
1.3 В выпуклом четырхугольнике ???? треугольники ??? и ??? подобны. Найти длину
отрезка ??, если |??| = |??| = 2, |?? | = 1 и |??| < 1,4.

ІІ тур
2.1 Теңізде минутына 1 баррель мұнай өндіруге 0,1 баррель су қолданылады. Өндірісте
мұнайды жағалауға және мұнайға пайдаланатын суды жағалаудан өндіріске жеткізу үшін сұйық
тасымалдайтын тек бір ғана құбырды пайдаланады. Өндірістегі мұнай жіберетін насосты ашса,
мұнай құбыр арқылы 6 минуттан кейін жағалауға жетеді, егер насосты жабатын болса,
құбырдың ішіндегі қалған мұнай жағалауға дәл 6 минутта толық келіп таусылады. Дәл осы
секілді жағалаудағы су жіберетін насосты ашса, құбыр арқылы дәл 6 минуттан кейін су
өндіріске келіп жетеді, ал егер насосты жабатын болса құбырдың ішіндегі қалған су дәл 6
минуттан кейін өндіріске толық жетіп таусылады. Өндірісте су сақтайтын сыйымдылығы 13,2
баррель болатын су қойма, мұнай сақтайтын сыйымдылығы жеткілікті резервуар бар болса,
құбыр арқылы бір минутта ең аз дегенде қанша баррель сұйықты тасымалдауға болады?
2.1 Добыча нефти посреди моря позволяет выкачивать 1 баррель нефти в минуту со дна моря,
используя 0,1 барреля воды. На производстве используется только один жидкостный
трубопровод для транспортировки добытой нефти с моря на берег и воду с берега на
производство. Если нефтенасос открыт, то нефть достигает берега по трубопроводу за 6 минут.
Аналогично, если открыт береговой насос, то вода по трубопроводу доберется до добычи ровно
через 6 минут, а если закрыть нефтенасос, то оставшаяся в трубопроводе вода будет полностью
слита за 6 минут. Сколько баррелей жидкости можно транспортировать по трубопроводу за
минуту, если в производстве имеется резервуар с емкостью для хранения воды 13,2 барреля,
резервуар с достаточной емкостью для хранения нефти?

2.2 ?1 , ?2 , … , ?2022 сан тізбегі берілген. 1 ≤ ? ≤ 2022 болатын әрбір натурал ? үшін ?? = ?1 +
?2 + ⋯ + ?? деп белгілейік. Егер әрбір ? үшін ?? = ?2 ?? және ?1 = 2022 болса, ?2022 мәнін
табыңыз.
2.2 Дана числовая последовательность ?1 , ?2 , … , ?2022 . Для каждого ? из промежутка 1 ≤ ? ≤
2022 определяется сумма ?? = ?1 + ?2 + ⋯ + ?? . Если для каждого ? выполняется ?? = ?2 ?? и
?1 = 2022. Найдите значение ?2022 .
Шешуі:

2.3 Радиусы 1-ге тең шеңберге сырттай сызылған тікбұрышты үшбұрыштың ауданының ең кіші
мәнін табыңыз.
2.3 Найдите наименьшую площадь
окружности радиуса 1.

прямоугольного треугольника, описанного

около

ІІІ тур
3.1 Сатылымдағы барлық заттарының бағасы жай санмен бағаланатын бір мемлекет бар делік.
Бұл мемлекетте 6 алма, 5 алмұрт, 5 анар, 3 лимон сатып алғанда барлығына 130 монета
төйлейді. Ал 3 алма, 3 алмұрт, 5 анар, 6 лимон сатып алғанда да 130 монета төйлейтін болса,
жемістердің әрқайсысының бағасы неше монета болады?
3.1 Допустим, существует страна, где цены всех продаваемых товаров оцениваются простыми
числами. В этой стране 6 яблок, 5 груш, 5 гранат, 3 лимона стоят 130 монет. А 3 яблока, 3
грушы, 5 гранат, 6 лимона стоят также 130 монет. Сколько монет стоят каждый из этих
фруктов?

3.2 ?, ?, ? оң нақты сандары үшін (1 + 3?)(? + 8?)(? + 9?)(? + 6) ≥ ???? болатындай ?–ның
ең үлкен мәнін тап.
3.2 Найдите наибольшее значение ? для положительных действительных чисел ?, ?, ? для
которых (1 + 3?)(? + 8?)(? + 9?)(? + 6) ≥ ????.

3.3 ???? дөңес төртбұрышында ∠??? = 45°, ∠??? = 30° және ∠??? = ∠??? = 15° болса,
∠??? =?
3.3 В выпуклом четырхугольнике ????: ∠??? = 45°, ∠??? = 30° и ∠??? = ∠??? = 15°.
Найдите ∠???.

ІV тур
4.1 Кез келген ? нақты саны үшін ? (? + 1) + ?(? − 1) = √2?(?) орындалады.
а) ?: ? → ? функциясының периодтылығын анықтаңыз.
ә) периодты болған жағдайда периодын анықтаңыз.
4.1 Для всех действительных ? выполняется условие ?(? + 1) + ? (? − 1) = √2?(?).
а) Определите периодичность функции ?: ? → ?.
б) Если имеет период, найти его.

1

2

3

4.2 ? > 0 және ? (? ) = ? ? + ?? болсын. Егер ? (3) = 1 + 2√2 болса, ? (2) мәнін тап.
1

2

3

4.2 Пусть ? > 0 и ? (? ) = ? ? + ??. Если ? (3) = 1 + 2√2, то найдите значение ? (2).

4.3 ???? үшбұрышты пирамиданың ??, ??, ?? қырларынан сәйкесінше ?, ?, ? нүктелері
??: ?? = 1: 1, ??: ?? = 1: 2, ??: ?? = 1: 4 қатынаста белгіленген. ??? жазықтығы ?? қырын
қандай қатынаста бөледі?
4.3 В треугольной пирамиде ???? на ребрах ??, ??, ?? соответственно отмечены точки ?, ?, ?
для которых ??: ?? = 1: 1, ??: ?? = 1: 2, ??: ?? = 1: 4. В каком соотношении плоскость
??? делит ребро ???