Пирамида

“Пирамида”- жақтарының бірі көпбұрыш, ал қалған жақтары төбесі ортақ болып келетін үшбұрыштардан тұратын көпжақ.

• Негізі- кез келген көпбұрыш (үшбұрыш, төртбұрыш және т.б.)

• Жан жақтары- үшбұрыш

• Қырлар саны n+1 төбе, 2n қыры болады (негізі n- бұрыш)

Пирамида бүйір бетінің ауданы:

Толық бетінің ауданы:

Пирамида көлемі:

Тік пирамида

“Тік пирамида”- негізі дұрыс көпбұрыш және пирамиданың төбесі оның негізінің центірімен бір түзудің бойында болады.

• Бүйір қырлары бірдей

• Бүйір жақтары теі бүйірлі үшбұрыштар

• Пирамиданың биіктігі- төбеден негіздің центіріне түсірілген перпендикуляр

Тік пирамида бүйір бетінің ауданы:

Тік пирамида толық бетінің ауданы:

Тік пирамида көлемін табу:

Қиық пирамида

“Қиық пирамида” — пирамиданың жоғарғы бөлігі көлденең жазықтықпен қиылып алынып тасталғаннан кейін қалған бөлігі.

• Екі негізі болады: жоғарғы (кіші) және төменгі (үлкен)

• Жақтары — трапециялар

• Егер бастапқы пирамида тік болса, қиық пирамида да түзу қиық пирамида болады

Қиық пирамида толық бетінің ауданын табу: төменгі және жоғарғы негіздерінің ауданы

Қиық пирамида көлемін табу:

Куб

“Куб”— барлық қырлары мен барлық жақтары тең болатын дұрыс алтыжақ. Куб — дұрыс призманың ерекше түрі.

• Барлық қырлары бірдей

• Барлық бұрыштары

• 6 жақ, 8 төбе, 12 қыры бар

• Әр жағы — шаршы

Кубтың табан ауданы:

Кубтың толық бетінің ауданы:

Кубтың диагоналы:

Кубтың көлемі:

Кубтың жағының диагоналі:

Тақырып бойынша контексттік есептер шығару

1-мысал. Дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 5см- ге тең. Табандарының қабырғалары 8см және 6см. Пирамиданың бүйір қырын табыңыз.

Шешуі: Табандарының диоганалдарын табамыз:

Жауабы:

2-мысал. ABCN үшбұрышты пирамидасы берілген. AB=3см, BC=4см, AC=5см, NA=NB=NC=3,125см. ABCN үшбұрышты пирамида көлемін табыңыз.

Шешуі:

1-қадам. Табан ABC үшбұрышының ауданын табамыз. AC=5см, AB=3см, BC=4см- бұл тікбұрышты үшбұрыш.

2-қадам. Табан шеңберінің центрінен (ортасынан) биіктік табу. Ол үшін пифагор теоремасын қолданамыз. Пифагор теоремасын қолданыуымыз үшін бізге радиус керек болады. R- тауып аламыз.

3-қадам. Көлемін табамыз.

Жауабы:

3-мысал. Табаны – шеңберге сырттай сызылған дұрыс үшбұрыш тік пирамиданың табаны – қабырғасы 6 см болатын дұрыс үшбұрыш. Пирамиданың төбесі табанның центрінің дәл үстінде орналасқан. Пирамиданың биіктігі 9 см.

1. Табанының ауданын табыңыз.

2. Пирамиданың көлемін табыңыз.

3. Табанға сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

Шешуі: 1. Табан ауданы:

Дұрыс үшбұрыштың ауданы формуласы:

2. Пирамиданың көлемі:

3.Сырттай сызылған шеңбер:

Жауабы:1. 2. 3. .

4-мысал. Кубтың диагоналы 3 см-ге тең. Кубтың толық бетінің ауданын табыңыз.

Шешуі: 1-қадам. Кубтың диагоналы мен қырының байланысы.

2-қадам. Кубтың толық бетінің ауданы. Кубтың толық беті 6 квадраттан тұрады. Бір квадраттың ауданы :

Жауабы:

Тақырыпқа байланысты өзіндік тапсырмалар.

1. Суретте көрсетілгендей қыры 4-ке тең ABCDEFGH кубы берілген. F нүктесінен AHC жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Жауабы:

2. Дұрыс үшбұрышты қиық пирамиданың табандарының қабырғалары 12см және 3 см. Бүйір қыры 6см. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

Жауабы: 3см.

3. Дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 2см, ал табанының қабырғалары 3см және 5см. Осы пирамиданың диагоналын табыңыз.

Жауабы: 6см.

4. Пирамида табан қабырғасы 6см-ге тең тең қабырғалы үшбұрыш. Пирамиданың әр бір бүйір қыры табан жазықтығымен бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігі табыңыз.

Жауабы: .

5. Пирамиданың табан қабырғалары 12 см және 10 см болатын тіктөртбұрышты үшбұрыш ьолып табылады. Ұзындығы 8см-ге тең биіктігінің табаны тіктөртбұрышты диогоналдарының қиылысу нүктесі. 1-сұрақ. Пирамиданың бүйір бетінің ауданы? 2-сұрақ. Пирамиданың толық бетінің ауданы?

Жауабы: 1. 2.

6. Тік пирамиданың табаны — қабырғасы 8 см болатын шаршы. Шаршыға іштей сызылған шеңбердің радиусы арқылы пирамиданың биіктігі 6 см екені белгілі. 1. Іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. 2. Пирамиданың көлемін табыңыз. 3. Пирамиданың бір бүйір қыры мен табан арасындағы бұрышты табыңыз.

Жауабы: 1. 2. , 3. .

7. Тік пирамиданың табанында диаметрі 12 см болатын дөңгелек орналасқан. Пирамиданың төбесі осы дөңгелектің центірінің дәл үстінде орналасқан. Пирамиданың бүйір қырының ұзындығы 10 см. 1. Пирамиданың биіктігін табыңыз. 2. Пирамиданың көлемін табыңыз.

Жауабы: 1. 8см, 2. .

8. Айқаракөздің ойыншықтарын салып қою үшін әкесі оған қыры 30 см болатын куб тәрізді жәшік жасады.

1. Осы жәшіктің бүйір бетін қаптау үшін қанша мата қажет екенін табыңыз. (Тігіске жұмсалған бөлік ескерілмейді).

2. Жәшіктің табанын қаптау үшін қанша мата қажет екенін табыңыз (Тігіске жұмсалған бөлік ескерілмейді).

3. Жәшікті екі тең бөлікке бөлу үшін картоннан диагоналдық қима жасалды. Қима жасауға кететін картонның ауданын табыңыз.

4. Жәшік бетін жартылай жауып қою үшін үшбұрышы тәрізді матадан қақпақ жасалынды. Оған қанша мата қажет екенін анықтаңыз.

5. Айқаракөздің ой - өрісін арттыру үшін жәшіктің ішіне үшбұрышты пирамиданы тұрғызды. Пирамиданың көлемін табыңыз.

Жауабы: 1. 2. 3. 4.

5.