Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых п-членов геметрической прогрессии

Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую — в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью — еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

S=1+2+2²+2³+...+2⁶²+2⁶³.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим:

2S=2+2²+2³+2⁴+...+2⁶³+2⁶⁴.

Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения:

2S–S=(2+2²+2³+2⁴+...+2⁶³+2⁶⁴)–(1+2+2²+2³+...+2⁶²+2⁶³).

S=2⁶⁴–1.

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму n первых ее членов через S_n:

S_n=b₁+b₂+b₃+...+b_n–1+b_n. (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S_nq=b₁q+b₂q+b₃q+...+b_n–1q+b_nq.

Учитывая, что

b₁q=b₂, b₂q=b₃, b₃q=b₄, ... , b_n–1q=b_n,

получим:

S_nq=b₂+b₃+...+b_n+b_nq. (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

S_nq–S_n=(b₂+b₃+...+b_n+b_nq)–(b₁+b₂+b₃+...+b_n–1+b_n)=b_nq–b₁,

S_n(q–1)=b_nq–b₁,

Отсюда следует, что при q≠1

. (3)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой q≠1. Если q=1, то все члены прогрессии равны первому ее члену и S_n=nb₁.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (3) вместо b_n выражение b₁q^n–1. Получим:

, если q≠1. (4)

Пример 1

Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁=3 и q= .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно воспользоваться формулой (4). Получим:

Пример 2

Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии –32; –16; ... .

Имеем: b₁=–32; b₂=–16. Отсюда

Воспользуемся формулой (4):

Пример 3

Найдем сумму 1+x+x²+x³+...+x^n–1, где x≠1, слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; x²; ... .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель равен x. Так как x^n–1 является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых ее членов. Воспользуемся формулой (3):

Таким образом, если x≠1, то

1+x+x²+x³+...+x^n–1=

Пример 4

Докажем, что последовательность b_n=3¹⁺ⁿ является геометрической прогрессией, и найдем сумму n первых ее членов.

Попробуем привести выражение 3¹⁺ⁿ к виду b₁q^n–1:

b_n=3¹⁺ⁿ=3²·3^n–1=9·3^n–1. Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией, в которой b₁=9 и q=3.

Найдем сумму n первых ее членов:

Пример 5

Найдите сумму n и четырех первых членов геометрической прогрессии:

а) 2; 2²; 2³; ... ; б) ; – ; ; ... ; в) –1; x; –x²; ... , где x≠–1.

Имеем:а) b₁=2; q=2; б) b₁= ; q= – ; в) b₁=–1; q= –x.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

а) ; S4=25–2=30.

б)

в)

D/3